(完整版)勾股定理(基础)知识讲解

勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。

具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。

这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。

二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。

几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。

常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。

2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。

代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。

通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。

三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。

例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。

勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。

2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。

而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。

这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。

3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。

勾股定理（基础）撰稿：吴婷婷 责编：常春芳【学习目标】1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．【要点梳理】【高清课堂 勾股定理 知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以． 要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3． 与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．【答案】解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10，∴ 2222210664a c b =-=-=，∴ a ＝8．（2）设3a k =，5c k =，∵ ∠C ＝90°，b ＝32，∴ 222a b c +=．即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．类型二、与勾股定理有关的证明2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是中线，MN ⊥AB ，垂足为N ，试说明222AN BN AC -=．【答案与解析】解：因为MN ⊥AB ，所以222AN MN AM +=，222BN MN MB +=，所以2222AN BN AM BM -=-．因为AM 是中线，所以MC ＝MB ．又因为∠C ＝90°，所以在Rt △AMC 中，222AM MC AC -=，所以222AN BN AC -=．【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化．若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边的中点，DE ⊥AB 于E ，则AE 2-BE 2等于（ ）A ．AC 2B ．BD 2C ．BC 2D ．DE 2【答案】连接AD 构造直角三角形，得，选A ．类型三、与勾股定理有关的线段长【高清课堂 勾股定理 例3】3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D ；【解析】解：设AB ＝x ，则AF ＝x ，∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ，∴ △ABE ≌△AFE ．BE ＝EF ，EC ＝BC －BE ＝8－3＝5，在Rt △EFC 中，由勾股定理解得FC ＝4，在Rt △ABC 中，()22284x x +=+，解得6x =．【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解． 类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）A ．6B ．5C ．11D ．16【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b 是正方形，可求△ABC ≌△CDE ．由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积．【答案】D【解析】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC ，在△ABC 和△CDE 中，∵ABC CDE ACB DEC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE∴BC=DE∵222AB BC AC +=∴222AB DE AC +=∴b 的面积为5+11=16，故选D ．【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．则在Rt △BCD 中，22222=16+12=400BD DC BC =+，所以20BD = (cm )．答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖．【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=．∴ 13AB =(m )．∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )．∴ 旗杆折断前的高度为18m ．。

勾股定理重点知识点2017精选关于勾股定理重点知识点一、勾股定理与逆定理A.勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

1、勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中。

2、勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2= c2—b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2。

3、由于a2+b2=c2>a2 ，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。

B.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。

说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等。

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形。

必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断。

(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角。

然后进一步结合其他已知条件来解决问题。

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形;否则不是。

面积分割法、构造直角三角形二、实数与数轴1、实数与数轴上的点是一一对应关系。

任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数。

数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。

2、在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离。

3、利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小。

三、矩形的性质1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。

A B C ac 弦勾勾股定理（知识点）【知识要点】1.勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.即直角三角8,15,17等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（4；（1⇒∠A+（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°1AB可表示如下：⇒BC=2∠C=90°（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

∠ACB=90°1AB=BD=AD可表示如下： CD=2D为AB的中点6.数轴上表示无理数1.2.、∠B、A.a2+b2=c2B.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a23.矩形ABCD,AB=5cm,AC=13cm,则这个矩形的面积为60cm2.4.如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D，则△ABC斜边上的高AD=12．5.已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高．．．．为(C)A.12cmB.60cm C.12013cm D.1013cm136.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为6，8，10．7.（易错题）已知直角三角形的两边x，y的长满足│x－4│+3 y=0，则第三边的长为5或.8.10.11.别用．12.，分别以13.形A，49cm第4题第11题第12题第13题14.在Rt△ABC，∠C=90°（1）已知c=17，b=8,求a。

数学八年级上册知识点第一章数学八年级上册知识点第一章1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。

勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。

4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的.长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确的是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C数学学习方法诀窍1细心地发掘概念和公式很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。

例如，在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式〞。

二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。

这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。

三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。

记忆是理解的基础。

如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢?我们的建议是：更细心一点(观察特例)，更深入一点(了解它在题目中的常见考点)，更熟练一点(无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如)。

勾股定理知识总结三篇篇一：勾股定理知识总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若a b c三角形三边长a，b，c满足222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角a c b三角形，但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。

勾股定理的证明常用拼图的方法。

通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。

2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。

3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。

勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。

在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。

同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。

勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。

如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。

勾股定理的实际应用有很多。

例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。

现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。

同时梯子的顶端B下降至B′。

那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。

又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。

设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。

勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (3)1.勾股定理： (3)2.勾股定理的逆定理： (3)3.勾股定理的证明 (3)4.含特殊角的直角三角形三边的关系 (3)5.逆命题与逆定理 (4)三、常考题型 (5)1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长 (5)2. 勾股定理在几何计算中的应用-坐标平面内两点的距离 (6)3. 勾股定理在几何计算中的应用-面积问题 (8)4.构造直角三角形 (9)5.勾股定理的逆定理的应用 (11)四、重难点题型 (14)1.利用勾股定理解计算问题 (14)2勾股数组 (15)3.与线段平方关系有关的证明题 (16)4.矩形和直角三角形中的折叠问题 (18)二、基础知识点1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2注：1）仅在直角三角形中存在勾股定理2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边两直角边的平方和，避免出现这样的错误2.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是以c为斜边的直角三角形。

注：在同一个三角形中，大边对大角，小角对小边3.勾股定理的证明方法一：方法二：4.含特殊角的直角三角形三边的关系勾股数：1）a=3，b=4，c=52）a=5，b=12，c=13特殊直角三角形①a=x，c=2x，b=√3x②a=x，b=x，c=√2x③AC=x，DC=x，AD=√2x，BD=√2x④AC=x，AF=2x，DC=√3x，BD=2x5.逆命题与逆定理命题与定理命题：判断一件事的语句定理：经过我们一定推理，得到的真命题互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反的命题。

若将其中一个叫做原命题，则另一个就是它的逆命题逆定理：若一个定理的逆命题成立，则这个定理与原定理互为逆定理三、常考题型1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长解析：应用勾股定理，在直角三角形中，“知二求一”。

畢氏定理（基礎）【學習目標】1. 掌握畢氏定理の內容及證明方法，能夠熟練地運用畢氏定理由已知直角三角形中の兩條邊長求出第三條邊長．2. 掌握畢氏定理，能夠運用畢氏定理解決簡單の實際問題，會運用方程思想解決問題．3. 熟練應用畢氏定理解決直角三角形中の問題，進一步運用方程思想解決問題． 【要點梳理】要點一、直角三角形直角邊與斜邊之間の大小關係 定理：在直角三角形中，斜邊大於直角邊. 要點二、畢氏定理直角三角形兩直角邊の平方和等於斜邊の平方.如果直角三角形の兩直角邊長分別為a b ，，斜邊長為c ，那麼222a b c +=.要點詮釋：（1）畢氏定理揭示了一個直角三角形三邊之間の數量關係.（2）利用畢氏定理，當設定一條直角邊長為未知數後，根據題目已知の線段長可以建立方程求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到瞭解決問題の目の.（3）理解畢氏定理の一些變式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.要點三、畢氏定理の證明方法一：將四個全等の直角三角形拼成如圖（1）所示の正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等の直角三角形拼成如圖（2）所示の正方形. 圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.要點四、畢氏定理の作用1. 已知直角三角形の任意兩條邊長，求第三邊；2. 用於解決帶有平方關係の證明問題；3. 利用畢氏定理，作出長為の線段.【典型例題】類型一、畢氏定理の直接應用1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C の對邊分別為a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ． 【答案與解析】解：（1）因為△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因為△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24， 所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【總結昇華】已知直角三角形の兩邊長，求第三邊長，關鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再決定用勾股原式還是變式．舉一反三：【變式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C の對邊分別為a 、b 、c ．（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3，∴ a ==； （2）設3a k =，5c k =．∵ ∠C ＝90°，b ＝32，∴ 222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=． 解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．類型二、畢氏定理の證明2、如圖所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是中線，MN ⊥AB ，垂足為N ， 試說明222AN BN AC -=．【答案與解析】解：因為MN ⊥AB ，所以222AN MN AM +=，222BN MN MB +=，所以2222AN BN AM BM -=-． 因為AM 是中線，所以MC ＝MB ．又因為∠C ＝90°，所以在Rt △AMC 中，222AM MC AC -=， 所以222AN BN AC -=．【總結昇華】證明帶有平方の問題，主要思想是找到直角三角形，利用畢氏定理進行轉化．若沒有直角三角形，常常通過作垂線構造直角三角形，再用畢氏定理證明．3、作長為、、の線段.【答案與解析】 作法：如圖所示（1）作直角邊為1（單位長度）の等腰直角△ACB ，使AB 為斜邊；（2）作以AB 為一條直角邊，另一直角邊為1のRt .斜邊為； （3）順次這樣做下去，最後做到直角三角形，這樣斜邊、、、の長度就是、、、.【總結昇華】（1）以上作法根據畢氏定理均可證明是正確の；（2）取單位長度時可自定。

知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

（2） 勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边（3）理解勾股定理的一些变式（在三角形ABC 中，∠C=90°）： c 2=a 2+b 2，a2=c 2-b 2， b 2=c 2-a 2 ， c 2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。

图（1）中，所以。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

图（2）中，所以。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

c a b =+22a cb =-22b c a =-22在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以。

知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；知识点四：勾股数满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么当k＞0时，ka，kb，kc同样也是勾股数组）常见勾股数：①3、4、5；②5、12、13；口诀：5月12记一生（13）③8、15、17；口诀：八月十五在一起（17）④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41；⑦6、8、10；⑧9；12；15；⑨15、20、25.知识点五：勾股树知识点六：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a、b、c，且满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．

全章要点勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边2、勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13勾股定理的逆定理：：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

3、勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段例题讲解例1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。

解：30cm，300cm2例2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=32cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。

解：90，60，30，4，23例3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S △ABC = 。

第二章 勾股定理、平方根专题第一节 勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；勾股定理和 平方根勾股定理平方根 立方根 实数近似数、 有效数字判定直角三角形勾股定理的验证定义、性质 开平方运算开立方运算定义、性质（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

勾股定理相关知识点勾股定理，那可是数学世界里相当神奇的存在。

就像一把神秘的钥匙，打开了很多关于直角三角形的奥秘之门。

在一个直角三角形里，有三条边，两条直角边和一条斜边。

这勾股定理就说啊，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

比如说，一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那斜边的平方就是3的平方加上4的平方，也就是9 + 16 = 25，那斜边就是5。

这就像是一种数字之间的默契，不管直角三角形的大小如何变化，只要是直角三角形，这种边与边之间的平方关系就始终存在。

这勾股定理的历史可老悠久了。

据说在古代的中国，就有好多聪明的脑袋琢磨这事儿了。

古代的数学家们在丈量土地啊，建造房屋的时候，就发现了这个规律。

就好比说要建造一个直角的墙角，那古人就可以利用勾股定理来确定这个墙角是不是标准的直角。

如果三条边的长度符合这个定理，那这个墙角大概率就是直角了。

这可比用那些简陋的工具一点点测量角度要方便得多呢。

在西方也有类似的情况。

古希腊的毕达哥拉斯，那也是个数学大拿。

他对这个勾股定理的发现也有很大的贡献。

当时人们觉得这个定理简直太神奇了，就像发现了大自然隐藏的密码一样。

这勾股定理一出现，好多跟几何相关的问题就迎刃而解了。

比如说，知道了直角三角形的两条边，就可以轻松算出第三条边的长度。

这在航海的时候就特别有用，水手们可以根据星象和船行驶的方向，利用勾股定理算出自己距离目的地还有多远。

就像在茫茫大海上，有了一个能指引方向的灯塔，心里就有底了。

勾股定理还能玩出好多花样呢。

有一种叫勾股数的东西，就是满足勾股定理的一组整数。

像3、4、5就是最经典的一组勾股数。

还有5、12、13啊等等。

这些勾股数就像是勾股定理的小跟班，只要看到它们，就知道这肯定能组成一个直角三角形。

而且在生活中，勾股定理的应用也无处不在。

家里装修的时候，要确定一个角落是不是直角，就可以用这个定理来验证。

木工师傅拿着卷尺量一量，心里就有数了。

咱再说说勾股定理的证明。

第17章勾股定理知识梳理——汇森中学刘明17.1勾股定理知识点一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222+=，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.a b c勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，已知a，b，c，（c为斜边长）中的任意两条边的长度，利用此定理可以求出第三条边的长度.运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，并借助直角明确直角边和斜边勾股定理的变形公式：222=-，c=a=b c a=-，222a c bb=.例1.在Rt ABCBC cm=，8=，求AC的长.∆中，90C∠=°，10AB cm知识点二：勾股定理的探索与证明勾股定理的证明方法有许多种，现在给出集中常见的证明方法：证明一：著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》中，给出了一个很好的证明.做三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，把他们拼成如图所示的形状，使H 、C 、B三点在一条直线上，连接BF 、CD .过C 作CL DE ⊥，交AB 于点M ，交DE 于点L .,,AF AC AB AD FAB CAD ==∠=∠,FAB CAD ∴∆≅∆.于长FAB ∆的面积等于212a ，CAD ∆的面积等方形ADLM 的面积的一半，∴长方形ADLM 的面积=2a .同理可证，长方形MLEB 的面积=2b .正方形ADEB 的面积=长方形ADLM 的面积+长方形MLEB 的面积，∴222c a b =+，即222a b c +=.证明二:用拼图的方法验证勾股定理 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA例2：如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积= 平方厘米；正方形Q的面积= 平方厘米；正方形R的面积= 平方厘米；正方形P、Q、R的面积之间的关系是；由此，我们得出直角三角形ABC的三边的长度之间存在关系 .（n为大于1的正整数）的线段例3知识点四：勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．例4. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？类型一：利用勾股定理计算线段的长例1：如图所示，在四边形ABCD中，︒=DBC，3∠90=∠90BAD，︒AD=，4AB=，BC=，求CD.12变式训练1：在ABC ∆中，20,15,AB AC BC ==边上的高AD 为12，求ABC ∆的周长.类型二：勾股定理解决三角形中的折叠问题例2：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边6,8AC cm BC cm ==，将ACD ∆折叠，使点C 与点E 重合，折痕为AD ，则CD 等于 .ABCE D变式训练2：如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C’的位置上，已知3BC=，重合部分△EBD的面积为．AB=，7类型三：勾股定理在空间图形中的应用例3：有一根长170cm的木棒，放在长、宽、高分别是30cm，40cm，120cm的木箱中，露在外边的长度至少为cm．DA变式训练3：一根筷子长度为17cm，斜放在半径为3cm的圆柱形水杯内，露在水杯外面的部分AD的长为7cm，则水杯高AC= cm．类型四：勾股定理的规律探索题例4:张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c =（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.变式训练4：若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？（2）写出各数都大于30的两组商高数．用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．例5：如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的ABCD的面积是 .变式训练5：在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4= ．类型六：勾股定理的实际应用例6：如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABC DL变式训练6：一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？AABA O类型七：用勾股定理巧求最短距离例7：如图，一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为 .变式训练7：如图，长方体的长为15，宽10，高为20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 .∙∙AB17.2勾股定理的逆定理知识点一：互逆命题与互逆定理1.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.注：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立.2.互逆定理有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.例1：写出下列命题的逆命题：（1）对顶角相等；（2）两个锐角的和是钝角.知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理，即如果直角三角形的三边长,,a b c满足222+=，那么这个三角形是直角三角形.a b c利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：（1）确定三角形的最长边；（2）分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，且最长边的对角就是直角.例2：判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形.（1）7,24,25===；a b ca b c===；（2）0.3,0.4,0.5（3）2,3,4===.a b c知识点三：勾股数满足222+=的三个正整数，称为勾股数.a b c常见的勾股数：3,4,5； 5,12，13； 6,8,10； 7,24,25； 8,15,17；9,40,41；11,60,61； 12，16,20； 15,20,25. 另外，勾股数的倍数也是勾股数.例3：根据下列条件，判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形（1）7,24,25a b c===；a b c===；（2）8,15,19（3）0.6,0.8, 1.0===.a nb nc na b c===；（4）3,4,5类型一：判断三角形是否是直角三角形例1：在ABC ∆中，22a m n =-，2b mn =，22c m n =+，其中m 、n 是正整数，且m n >，试判断ABC ∆是否是直角三角形.变式训练1：若ABC ∆的三边,,a b c 满足条件222338102426a b c a b c +++=++，试判定ABC ∆的形状．类型二：勾股定理及其逆定理的综合应用例2：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：∠EFA=90︒.AB DCFE变式训练2：如图，是一种四边形的零件，东东通过测量，获得了如下数据：AB=4cm，•BC=12cm，CD=13cm，AD=3cm，东东想计算这种零件的面积，你认为东东还需测出哪些数据？请你写出这些数据并帮东东算出这种零件的面积.变式训练3：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．C类型三：利用勾股定理逆定理解决航海中问题例3：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？①“远航”号航行的距离是多少海里？②“海天”号航行的距离是多少海里？③“远航”号航行的距离和“海天”号航行的距离与两船之间的距离满足什么关系？④根据以上各题你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？变式训练4：如图，南北向MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？************勾股定理中考链接*************1.（2013巴中）若直角三角形的两直角边长为a 、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．A M C B2.（2013雅安）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣，0），B （，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．10 D．124.（2013湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理5.（2013柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A． B． C． D．考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理6.（2013鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．考点：三角形中位线定理；勾股定理．7.（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．8．（2013绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是．考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数图象上点的坐标特征．9.（2013莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．考点：勾股定理10.（2013包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度．考点：勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．11.（2013株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．12.（2013襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是．考点：图形的剪拼；勾股定理．13．（2008年广东湛江市）如图9所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于点E．连接AC、OC、BC ．（1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．考点：圆；勾股定理第14章 勾股定理单元测试一、选择题1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D. 82. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ）；④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④3. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a:b:c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a:b:c =13∶5∶12 4. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是( ) A ．5 B ．25 C ．7 D ．5或7 6．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是( )A. 24cm 2B. 36cm 2C. 48cm 2D. 60cm 27．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )A ．121B ．120C ．90D ．不能确定8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )A ．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定9．直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )A ．61B ． 71C ．81D ． 9110. 已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ A.6B.8C.10D.12二、填空题11. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 12. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那F第10题图13．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．14．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．15．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米.16．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．17．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B’，那么 BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．18.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 . 三、解答题19.图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形.20.已知a 、b 、c 是三角形的三边长，a ＝2n 2＋2n ，b ＝2n ＋1，c ＝2n 2＋2n ＋1（n 为大于1的自然数）,试说明△ABC 为直角三角形.21. 如图，铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄，若DA=10km,CB=15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处？图1图222. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？E BCAD23.如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B 岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？24. 如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8m，求DE的长．AB CDE25. 如图所示的一块地ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，，求这块地的面积．CDA B。

勾股定理知识点归纳一、勾股定理的定义如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a²＋b²＝ c²。

这就是勾股定理。

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是解决直角三角形相关问题的重要工具。

二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多种，常见的有以下几种：1、赵爽弦图法通过四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间形成一个小正方形。

大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，从而证明勾股定理。

2、毕达哥拉斯证明法以直角三角形的斜边为边长作正方形，再分别以两条直角边为边长作正方形。

通过计算三个正方形的面积关系来证明勾股定理。

3、总统证法通过将直角三角形拼成梯形，利用梯形面积等于三个三角形面积之和来证明勾股定理。

三、勾股定理的应用1、已知直角三角形的两条直角边，求斜边例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3 和4，根据勾股定理，斜边 c ＝√（3²＋ 4²) ＝ 5 。

2、已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边比如，直角三角形的斜边为 5，一条直角边为 3，则另一条直角边 b ＝√（5² 3²) ＝ 4 。

3、实际生活中的应用（1）测量问题在无法直接测量某些长度时，可以构建直角三角形，利用勾股定理来计算。

比如测量旗杆的高度，可以在旗杆底部向外量出一段距离，然后测量这段距离以及在这个点观测旗杆顶部的仰角，通过勾股定理计算旗杆高度。

（2）航海问题在航海中，确定船只的位置和航向时，经常会用到勾股定理。

（3）建筑问题在建筑施工中，计算建筑物的高度、角度等也会用到勾股定理。

四、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。

勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据。

五、勾股数满足 a²＋ b²＝ c²的三个正整数，称为勾股数。