《勾股定理》典型例题分析
一、知识要点：
1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说:如果直
角三角形的两直角边为ａ、b,斜边为c ，那么 a 2 + b ２= ｃ2。公式的变形：a 2
＝ ｃ2－ ｂ2， b 2= c ２-a ２
。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形A ＢC 的三边长分别是ａ，ｂ，ｃ，且满足a 2 + b 2= c 2
,那么三角形ＡBC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点: ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.
②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.
③得到的结论:这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角． ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数
满足a 2 + b 2= ｃ2
的三个正整数,称为勾股数。注意
:①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。常见勾股数有:
（3，4，5)(5,12,13） (6,8,1０） (7,２4,25) （８,1５，17 ）(９，40，4１ )
４、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析
考点一：利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积:（1）阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;（３)阴影部分是半圆.
２. 如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是Ｓ1、
Ｓ2、S 3,则它们之间的关系是( ）Ａ. S 1－ S ２= S 3 B. S 1+ Ｓ2= S 3 C. S 2＋S 3< S 1 D. S 2- S ３=Ｓ1
3、如图,以Ｒｔ△AB Ｃ的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．
4、四边形ABCD 中,∠B ＝90°,AB=3,B Ｃ=4,ＣD=12，A Ｄ=１3,求四边形AB ＣＤ的面积。
S 3
S 2
S 1
５、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图４所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是１、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、
34S S 、，1234S S S S +++则=＿__＿______＿。
考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边ﻩ
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为１cm ，2ｃm ,则斜边的平方为 ．
2.(易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、２，则另一条边长的平方是
3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12, 求斜边上的高．
4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ )A ． 2倍 B. 4倍 ﻩC ． 6倍 ﻩＤ. 8倍
5、在Rt △ABC 中,∠C=90°
①若ａ=5，b=１2,则c=＿＿＿_____＿_＿；②若ａ＝１5,c=２5,则b=___＿_______;
③若ｃ＝61，b=6０，则a=___＿＿_____;④若a ∶b=3∶4，ｃ＝10则Rt △ABC 的面积是=＿_＿＿＿_＿_。
6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2
-,2n(ｎ>１）,那么它的斜边长是（ ） Ａ、２n
ﻩB 、n+１
ﻩＣ、ｎ2
－１ ﻩ ﻩD 、
1n 2+
７、在Rt △ＡＢC 中，ａ,b ，c 为三边长,则下列关系中正确的是( )
A. 222a b c +=
B. 222a c b +=
C. 222
c b a += D.以上都有可
能
8、已知R ｔ△ＡBC 中，∠C=9０°，若a+b=14ｃｍ，ｃ＝10cm ,则Rt △AB Ｃ的面积是（ )
Ａ、242c m ﻩ ﻩＢ、36 2
c m
C 、４８2c m ﻩ
D 、６02
c m
9、已知ｘ、ｙ为正数，且│x 2
－４│＋（ｙ2
－３）2
=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ) ﻩﻩ
A 、5
ﻩ
B 、25ﻩ ﻩ
C 、7ﻩﻩ
D 、1５
考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图１所示,等腰
中,
，
是底边上的高,若
，求 ①A Ｄ的长；②ΔABC 的面积.
考点四:勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题
１、下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是( ）
A ． 4,5，6 B. ２,3，4 C. １1,1２,１3 D ． 8,1５,17
2、若线段a,b ，c 组成直角三角形，则它们的比为( )
Ａ、2∶３∶4 B 、３∶4∶6 Ｃ、5∶12∶13ﻩ D 、4∶6∶７ ３、下面的三角形中：
①△ABC 中,∠C ＝∠Ａ-∠B ；②△ABC 中，∠A ：∠B ：∠Ｃ=1:2:3；
③△ＡBC 中,a ：b:c ＝３:4:5;④△A ＢＣ中,三边长分别为8，１５，１7． 其中是直角三角形的个数有（ ）．A ．１个 Ｂ.2个 C ．３个 D.4个
４、2:12
,则这个三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.不等边三角形
5、已知ａ,b,ｃ为△ＡB Ｃ三边,且满足(a 2－b ２)（a 2+b 2-c 2
）＝０，则它的形状为（ ）
A.直角三角形 ﻩ Ｂ．等腰三角形
Ｃ.等腰直角三角形ﻩﻩ ﻩ D ．等腰三角形或直角三角形
6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数， 得到的三角形是( )
A ． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D ． 等腰三角形
7、若△ABC 的三边长ａ,b,c 满足222
a b c 20012a 16b 20c +++=++，试判断△
ＡBC 的形状。
