勾股定理全章知识点和典型例习题
一、基础知识点：
1•勾股定理
内容：____________________________________________________________
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c，那么__________________
2 •勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
3 •勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C 90 ,
则 __________________________________________ ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定
理解决一些实际问题
4. 勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2c，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能
形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a , b , c为三边
的三角形是直角三角形；若 _________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若__________________ ，时，以a ,
b , c为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a2 c2 b2,
那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
5. 勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为
一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等
③用含字母的代数式表示n组勾股数：
2 2
n 1,2n,n 1 （n 2, n 为正整数）；
2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m , n为正整数）7 .勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题•在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.
6、互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
类型一：勾股定理的直接用法
1 在Rt△ ABC 中，/ C=90 °
(1) 已知a=6, c=10，求b, (2)已知a=40, b=9，求c；(3)已知c=25, b=15，求a. 思路点拨：写解的过程中，一定要先写
上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
举一反三
【变式】：如图/ B=Z ACD=90 ° , AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少【答案I：/ ACD =90 °
AD=13, CD=12
••• AC2 =AD 2-CD2
=132- 122
=25
•AC=5
又•••/ ABC=90 ° 且BC=3
•••由勾股定理可得
AB2=AC2-BC2
=52- 32
=16
•AB= 4
•AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
^=30.求BC的长.
2、如图，已知：在丄:二-中，一二v,二-■匚-〔-
A
思路点拨：由条件--=--L，想到构造含丄「角的直角三角形，为此作上-—上匸于D，则有
BD=-AB^
■'，: ，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的
长•
解析：作于D，则因—二
•(芒上的两个锐角互余)
B D ~C
-.45 = 15 2 （在他中，如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半） 根据勾股定理，在
-中，
加-⑹=3-15* = 1 久疗.
根据勾股定理，在
中，
3二 J AC 2
- AD 2 =
—占乜三心.
...更二 ED + DC 仝5 +15 = 80 .
举一反三 【变式1】如图，已知： —— _，一】二-丄吕二于p.求证：二’I -：
l -
B
C A
解析：连结BM ，根据勾股定理，在 見丄刃存中， BP 2 = BM 2-PM 2. 而在中，则根据勾股定理有 胚"二恥-亦. .———：…
■ .：-
.■-]——：•「.■ ■，! I 2
又•••=•・---1 （已知）， ...加=磁"肱? +肿. 在
中，根据勾股定理有
妝—W 二亦 ...加二肘 + AF\
【变式2】已知：如图，/ B= / D=90 °，/ A=60 ° , AB=4 , CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC ,或延长AB 、DC 交于F ,或延长AD 、BC 交于点E ，根 据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD 、BC 交于E 。
• / A= / 60°,/ B=90 ° ,.Z E=30°。
.AE=2AB=8 , CE=2CD=4 ,
A
.BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48 , BE=时4匕=4^/1。
类型三：勾股定理的实际应用
BD =
•/ DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12,
2
...S 四边形 ABCD =S △ABE -S ^CDE
= J AB
