第七章 电场

1 第七章 电场

7-1回答下列问题：

（1）在电场中某一点的场强定义为0qFE，若该点没有检验电荷，那么该点的场强如何？如果电荷在电场中某点受到的电场力很大，该点的场强是否一定很大？

提示：电场强度是电场的基本性质，由电荷的分布决定，而与试验电荷无关。因而若该点没有试验电荷，场强并不发生变化；若该点的电场力很大，场强不一定很大。

（2）根据点电荷的场强公式：304qr＝rE，从形式上看，当所考察的场点和点电荷的距离0r时，则按上述公式E，但这是没有意义的。对这个问题如何解释。

提示：点电荷的场强公式304qr＝rE是由库仑定律0304qqFrr推导而来，而库仑定律是经验公式，当0r时，点电荷的模型不成立，库仑定律不成立，此时点电荷的场强公式也不成立。

7-2—个带正电荷的质点。在电场力作用下从A点出发经C点运动到B点，其运动轨迹如图7-2所示。巳知质点运动的速率是递减的，下面关于C点场强方向的四个图示中正确的是( )。

①质点沿曲线运动时，加速度的

方向总是指向曲线凹的一边；

②依题意，质点的切向加速度a与线速度反向；

③电场强度E的方向即为质点在该点加速度a的方向，将a分解为切向加速度a与法向加速度na

提示：D

7-3 如7-3题图所示，闭合曲面S内有—点电荷q，P为S面上一点，在S面外A 点有—点电荷`q，若将`q移至B点，则（ ）

(A)穿过S面的电通量改变、P点的电场强度不变；

(B)穿过S面的电通量不变，P点的电场强度改变；

(C)穿过S面的电通量和P点的电场强度都不变；

(D)穿过S面的电通量和P点的电场强度都改变。

提示：B

7-4 在真空中有A、B两块板，板面积为S，分别带有电量q、q，相距为d，若忽略边缘效应，则两板间的相互作用力为多少？

解：A板上的电荷q在B板q产生的场中，0022qES。因此，A板上的电荷q所受的电场力为：

20022AqqFqEqss （A） （B） （C） （D）

7-2题图

7-3题图 2 同理：

202BqFs

这是一对作用力与反作用力。

7-5 在一个等边三角形的三个顶角处各放置一个电荷，电荷的大小和性质都相同，如果以这三角形的中心为球心，作一个包围这三个电荷的球形高斯面，问：

(1)能否利用高斯定理求出它们所产生的场强?

(2)高斯定理是否仍然成立?

提示：(1)不能，由带电体所产生的静电场中，若场中场强的分布具有对称性(轴对称、平面对称、球面对称)，则可应用高斯定理求场强．因为在对称性的电场中，可作高斯面，使场强E在高斯面上等值。

(2)仍然成立。

7-6如果通过闭合面S的电通量为零，能否肯定S面的场强处处为零?

提示：不能，只能说明场强的能量为零，不能认为场强处处为零。

7-7在带电量Q(Q＞0)的物体A附近放置一个不带电的导体B，试判断带电体A的电位VA、导体B的电位VB、无穷远处的电位V的大小关系。

提示：如7－7题图所示， 导体B的电位将升高。原来B不带电，电位为零，当A移近时，在B上靠近A的一端感应出负电荷，此负电荷与A上的正电荷相联系。在B上远离A的一端感应出正电荷，此正电荷发出的电力线伸向无限远。取0V，由于电力线总是从电位高处指向电位低处，可知此时B的电位大于零，即电位升高了。

7-8导体空腔内有点电荷，空腔内任一点的电势与空腔电势相同吗? 为什么?

提示：由高斯定理可分别求出空腔及内外的电场，再由电势的定义式aaVdEl可知，空腔内任一点的电势与空腔电势不相同。

7-9关于静电场中的电位移矢量线，下列说法中，正确的是( )。

A、起自正电荷，止于负电荷，不形成闭合线，不中断；

B、任何两条电位移矢量线互相平行；

C、起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移矢量线在无自由电荷的空间不相交；

D、电位移矢量线只出现在有电介质的空间。

提示：C。电位移线起于正自由电荷，止于负自由电荷，通过介质时不中断。

7-10在边长为a的正六角形的六个顶点都放有电荷，如7-10题图所示，则六角形中心O处的电场强度为多少？

解：如7-10题图所示，由题可知，C点与F点的点电荷，B点与E点的点电荷在O点产生的电场相互抵消。因此O点的电场仅由A点和D点的点电荷产生。根据点电荷在空间某点产生的电场公式204qEr可得：

222000442OADqqqEEEaaa

方向沿X轴正方向。 7-10题图 7－7题图 3 7-11一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q，求环心处的电场强度。

解：如图7-11题图所示，在带电半圆环上任取一线元dlRd，其电荷为：QdqdlR，此电荷元可视为点电荷，它在0点产生的电场强度大小为：2014dqdEr，方向沿径向。因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，所以电场分布也是轴对称的。则有：

0xxEdE；

2220001sin42yyQQEdERdRRR

电场强度的方向沿y轴负向。

7-12设均匀电场的电场强度E与半径为R的半球面的轴平行，试计算通过此半球面S1的电通量；若以半球面的边线为边线，另作一个任意形状的曲面S2，则通过S2面的电通量又是多少?

解：由1s和以R为半径的大圆面0s组成一个封闭曲面s，由高斯定理知：

010Sdq内ES

而010sssdddEsEsEs，所以：

1102seSsEddSEREsEs

同理， 212eSeSER

7-13如7-13题图所示，电荷线密度为1的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为2的有限长均匀带电直线AB，两者位于同一平面内。则AB所受静电作用力的大小为多少？

解：方法一， 由题意可知，两直线均匀带电。由于库仑定律只适用于点电荷系统．因此，需将两带电直线分成许多电荷元；建立如7-13题图(右)所示的直角坐标系，有11dqdy，22dqdx，根据库仑定律，可得1dq，施加给2dq的作用力为：

122014dqdqdFr

r为两电荷元之间的距离。将dF沿x、y轴7-12题图 7-11题图

7-13题图 4 投影，得：cosxdFdF，sinydFdF；根据对称性分析可知：yyFdF为零。因此，F只沿x轴正向，即

2230cos4abxaxdxdyFdFdFr

121222320002ln4()2abadyabxdxxya

方法二： 由电场强度定义求解。带电直线AB处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线AB视为许多电荷元2dq的集合，则电场对每个电荷元的作用力为2dFEdq；各电荷元的dF的矢量和，即为带电直线AB所受的电场力。如7-13题图(右)所示。在距无限长带电直线x处任取一电荷元22dqdx，由无限长带电直线的场强公式可知2dq处的场强为：

102Ex

方向沿x袖正向。于是有

122012dFEdqdxx

由于各电荷元所受力的方向均沿x轴正向，所以：

222200ln22abxadxabFFdFxa

若问题中的1和2异号，则F沿x轴负向。根据作用力与反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力`F，其大小与F相等，其方向与F相反。

7-14 求无限长均匀带电圆柱面内、外场强E的空间分布。设圆柱面半径为R。电荷面密度为。

解：如7-14题图所示，过圆柱面内、外任一点作高为l的圆柱形高斯面，根据高斯定理01Sdq内ES，有：

当rR时，20Erl，0E；

当rR时，022RlErl，0REr； 7-14题图 5 7-15求均匀带电球体内、外的场强分布，已知球体半径为R，所带总电荷为q。场强。

解：由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。

以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为：

24 esEdSrE

根据高斯定理，有：

2014 esdrEESq内 (1)

当场点在球体外，即rR时，q内q，由(1)式可得电场强度为：

204qEr球外＝

当场点在球体内时 即rR时，q内33334433qqrrRR，由(1)式可得电场强度为：

304qrER球内＝

7-16求均匀带电细棒中垂线上的电场和电势。设棒长2l，带电量为q。

解：由于电势是标量，可由电势叠加原理，先求出带电直线在P点的电势，再由场强与电势的微分关系求P点的场强。

建立如7-16图所示的直角坐标系，并取带电直线中心为坐标原点O。则在带电直线上任取一电荷元2qdqdydyl，在P点产生的电势为：

2204pdqdVxy

因此，整个带电系统在P点产生的电势为

2222220002ln[]444lplqdydqqllxlVdVlxxyxy

则该点的场强为：xyijEEE，其中：

2204xVqExxlx，0yVEy，所以，P点的场强为：

2204xqEEiixlx

7-17求均匀带电球体的电势。已知电荷q均匀地分布在半径为R的球体上，求空间个各点的电势。

解：由高斯定理可求出电场强度的分布

RrRqrRrrqE 4 43020＝ 方向沿径向。 7-16题图 6 由电势的定义式rVEdl，可得：

当rR时，有： 20044rqqVdrrr球外＝

当rR时，有：223230000()4484RrRqrqqRrqVdrdrRrRR球内＝

7-18 如7-18题图所示，2ABl，OCD是以B为中心、l为半径的半圆，A点有点电荷q，B点有点电荷q。求

（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它做了多少功?

（2）单位负电荷从D点沿AB延长线移到无穷远处，电场力对它做了多少功?

解：由点电荷在空间某点产生的电势公式04qVr可得：

000043460ODVqqqVlllV

由()ababWqUU可得：

(1)01()6ODODqWVVL

(2)0(1)()6DDqWVVL

7-19 在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为100.5310m的圆周绕原子核旋转。求：

(1)若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?

(2)电子的电离能为多少?

解：(1)电子在玻尔轨道上作圆周运动时，它的电势能为：