第四章 差异量数

1 第一节 全距、百分位差、四分位差、平均差

一、全距

全距是一列数据中最大数与最小数的差距，又称极差，用符号Rg（Range）表示，其公式为

minmaxXXRg

全距是说明数据离散程度最简单的统计量。

全距的局限：该统计量只依据分布中的两个极端值，未利用到分布的大部分信息。它不能反映观察值的整个变异度，样本的例数越多，全距越大，不够稳定。

二、百分位差

百分位差表示某两个百分位数之间差异程度的指标。常用的百分位差如793PP，1090PP。

百分位数是指量尺上的一个点，在此点以下，包括数据分布中全部数据个数的一定百分比，符号为Pp。其计算公式为：

例4-1：用下面的次数分布表计算该分布的百分位差P90- P10。

组别 f d

65～ 1 157

60～ 4 156

55～ 6 152

50～ 8 146

45～ 16 138

40～ 24 122

35～ 34 98

30～ 21 64

25～ 16 43

20～ 11 27

15～ 9 16

20～ 7 7  100 —

解：先计算P90 和P10

第1步：确定P百分位数对应的位置， ， ifFNpLPbbp1003.141100901577.1510010157 2 第2步：确定百分位数所在的分组区间，P90在“50～”这组，P10在“15～”这组

第3步：确定公式中的符号，5.49bL，5.14bL，138bF，7bF，5i，8f，9f

第4步：代入公式计算P90 ，P10

第5步：计算P90-P10

23.3233.1956.511090PP

答：该分布的百分位差P90-P10是32.23。

百分等级：任意分数在整个分数分布中所处的百分位置，百分等级是一种相对位置量数。计算公式为：

三、四分位差

四分位差是百分位差的特例，用于分析75P（3Q）与25P（1Q）之差的一半，即

213QQQ

四、平均差

（一）概念及计算公式

平均差是一组数内各个数据之间与平均数的绝对离差的平均数。用A.D.或者M.D.表示。

计算公式为：

分组数据计算平均差

])([100iLXfFNPbbR离差平均差--------------------A.D..A.DiiiXnXnXX差的绝对值表示组中值对平均数离表示各组次数表示平均差::xfADNxfAD56.51581383.1415.4990P33.195977.155.1410P 3

（二）特点

较好反映了数据分布的离散程度。平均数代表一组数据得集中趋势，把一组数据中的每个数据与平均数比较就可以得到每个数据与平均数偏离的程度。

但是有绝对值，计算起来不方便。属于低效的差异量数。

第二节 方差和标准差

一、定义及公式

方差是离均差平方的算术平均数，表示一列数据平均差距的平方，其样本方差用符号2S表示，总体方差用符号2表示。标准差就是方差的算术平方根，表示一列数据的平均差距。样本标准差用符号S或SD表示，总体标准差则用符号表示。

标准差可用于描述变量值的离散程度，与均数结合还可描述资料的分布情况，此外还可用于求参考值范围和计算标准误。

利用原始数据的计算公式：

原始数据公式推导过程如下： 2222XXXXXX 222XXXX

∵ NXX，22XNX 22222NXNXNNXXS2222NXNXNNXXSNXXS22NXXS2 4 ∴ 222222NXNNXXXXXXX

NXXNXNXX222222

∴ NXXXX222

例4-2：计算6、5、7、4、6、8这一组数据的方差和标准差。

（一）计算步骤：

1）求平均数

2）求离均差的平方和

10)68()66()64()67()65()66(2222222x

3）代入方差和标准差的公式，计算结果：

29.167.12ss

（二）采用原始数据计算

表4-2 方差与标准差的原始数据计算表

编号 x 2X

1 4 16

2 5 25

3 7 49

4 4 16

5 6 36

6 8 64  36

226

计算步骤：

1）求原始数据的和，即X，见表4-2的第2栏。

2）将每一数据（X）平方，并求其平方和（2X），见表4-2的第3栏。

3）代入方差的公式，计算结果 66864756NXX67.161022Nxs 5 方差：

二、计算分组数据的标准差与方差

表4-3 学生创造性思维成绩分布表

第1行 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24 15-19 

第2行 人数f 1 7 3 11 8 2 32

第3行 组中值m 42 37 32 27 22 17 —

第4行 fm 42 259 96 297 176 34 904

第5行 Xm 13.75 8.75 3.75 -1.25 -6.25 -11.25 0

第6行 2Xm 189.0625 76.5625 14.0625 1.5625 39.0625 126.5625 —

第7行 2Xmf 189.0625 535.9375 42.1875 17.1875 312.5000 253.125

1350.0000

1．基本式

fXmfS22

fXmfS2

计算过程如下：

1）求各组次数与组中值的乘积（fm）及乘积和（fm），见表4-3的第4行。

2）求平均数

25.2832904ffmX

3）求各组的离均差（Xm）及各组的离均差平方2Xm，见表4-3的第5行和第6行。

4）求各组的次数与离差平方的乘积2Xmf及其连加和2Xmf，见表4-3的第7行。 5）代入公式，计算结果 fXmfS22fXmfS267.163662262222NXNXs 6 fXmfS250.61875.42321350

２．简捷式

iffdfdfS22 过程如下：

1）确定各组的简化值d，见表4-4的第4行。

2）求各组简化值的平方，即2d，见表4-4的第5行。

3）求各组次数与简化值乘积及连加和（df），见表4-4的第6行。

4）求各组次数与简化值平方的乘积及连加和（2df），见表4-4的第7行。

5）代入公式，计算结果。

iffdfdfS2250.6530.1532328562

表4-4 学生创造性思维成绩分布表

第1行 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24 15-19 

第2行 人数f 1 7 3 11 8 2 32

第3行 组中值m 42 37 32 27 22 17 —

第4行 d 3 2 1 0 -1 -2 —

第5行 2d 9 4 1 0 1 4 —

第6行 df 3 14 3 0 -8 -4 8

第7行 2df 9 28 3 0 8 8

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三、方差与标准差的合成

方差： ndSnSt222

标准差： ndSnSt22

例4-4：在三个班级进行某项能力研究，三个班测查结果的平均数和标准差分别如下，求三个班的总标准差。

班级 人数

（n） 均数

（X） 标准差

（S） tXXd 22tXXd

1 42 103 16 6 36

2 36 110 12 1 1

3 50 98 17 -4 16 7  74 — — — —

计算步骤：

1）求总平均数

74745470201618207020701675188020nXnXt

2）求离差d和离差的平方2d

3）代入公式，计算结果

ndSnSt22

2016182046204816171868202222222

40.8745220

四、方差与标准差的性质和意义

（一）性质

可加性、可分解性

1、每一个观测值都加一个相同常数C之后，计算得到的标准差等于原标准差。

2、每一个观测值都乘以一个相同的常数C，所得到的标准差等于原标准差乘以这个常数。

3、每一个观测值都乘以同一个常数C，再加上一个常数d，所得的标准差等于原标准差乘以这个常数C。

（二）意义

1、方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标。

2、切比雪夫定理指出，随机变量落在平均值附近的概率与标准差有一定的数量关系。

第三节 标准差的应用

一、差异系数

（一）概念及公式

差异系数：又称变异系数、相对标准差等，为标准差对平均数的百分比，用CV表示。差异系数是一种相对差异量。用以比较不同单位数据资料的差异，或比较单位相同但平均数相差甚大的数据资料的差异。

计算公式为：