第四章__差异量数

第四章 差异量数
• 两位参赛人员在八个分赛段的得分（百分制） 分别是：
– A ： 70，72，74，78，71，72，74，73 – B ： 70，80，72，55，90，68，78，73
X A 73 X B 73.25
6
2 A
103.07
2 B
几种常用差异量数
• 对数据集的离中趋势的描述：
解： 则有 z
(X X )
N N
2
2 ( Z Z )
又 Z 0 z 1
2 ( X X )
Z
N 1
2

(
X X

N
)2
z 1
N

1
• 标准分数的应用
– 当一组数据服从正态分布时，其标准分数服从 标准正态分布。 – 标准分数具有可比性和可加性。 – 常用于确定数据在团体中的位置，比较单位不 同数据相对位置的高低或进行分数合成。
1
3 5 16 18 22 30 25 16 3 5
144
143 140 135 119 101 79 49 24 8 5
/2=7.27
相对地位量数：百分等级
• 百分等级的概念
– 指一组有序数据中某一数据以下所含次数占总 次数的百分比，通常用PR表示。
R PR 100 (1 ) N
总次数
– 按大小顺序排列数据 – 找N/4+1/2位置对应的数据，此为第一四分位数 – 3N/4+1/2位置对应的数据，此为第三四分位数 – 代入公式4.5，即可求得
• 求下列18个数据的四分差： • 51，60，58，63，74，88，66，70，71， 75，81，86，52，57，61，65，90，77
• 原始数据法（未分组数据）

2 X
N
X ( ) N
2

2
(X X )
N
2 ( X X )
2
公式4.1

2 2 X 2 X X X
N
2

2 2 ( X 2 X X X )
N
2
X
2 X X NX
N 2 ( X ) 2 X N N
– 原始数据距离平均数有多少个标准差，含义是以平均 数为标准，以标准差为单位表示一个数据在团体中的 相对位置。 – 符号Z X X – 公式： Z 公式4.6

• 标准化与标准化变量
•标准化：对于任意变量X，转换成相应的Z值的过程 •标准化变量：转换后得到的变量Z 被称为标准化变量
• 标准分数的特性
• 某班外语期末考试的平均成绩为75分，标准 差为10分；数学的平均成绩是88分，标准差 为15。学生张某的外语成绩是80分，数学成 绩是93分。请评价一下他的成绩在班上的水 平？
某班甲、乙两考生考试的各科成绩及该班各科成绩的平 均数和标准差如下表，试比较两位考生总成绩的优劣。
两考生成绩及班级各科成绩平均数和标准差统计表 科目 语文 数学 外语 物理 化学 Σ 平均数 80 78 66 70 84 标准差 8 9 10 11 9 甲生分数 84 69 72 70 85 380 乙生分数 86 80 62 68 80 376

X
2
X 2 X N ( N N
2
N
X
N
)2
2 X
N
2
X ( ) N

2 X
N
X ( ) N
公式4.2
• 例4.2 用原始数据法计算下列数据的标准差 11.0，13.0，10.0，9.0，11.5，12.2，13.1， 9.7，10.5
2 X

• 解题思路：分别计算甲乙两人各科的标准 分数，然后分别总计二人的标准分数之和， 再进行比较。
两考生成绩及班级各科成绩平均数和标准差统计表 科目 语文 数学 外语 物理 化学 Σ 平均数 80 78 66 70 84 标准差 8 9 10 11 9 甲生分数 84(0.5) 69(-1) 72(0.6) 70(0) 85(0.11) 380(0.21) 乙生分数 86(0.75) 80(0.22) 62(-0.4) 68(0.18) 80(0.44) 376(1.19)
– 标准差 – 四分差 – 差异系数
• 对某个数据在数据集中位置的描述：
– 百分等级 – 标准分数
标准差的概念
• 概念：标准差是一组数据中每个数据与其算术平均数之差 的平方的算术平均数的算术平方根。
2 ( x x ) i i 1 n

n
– 利用全部数据计算得到 – 仅用一个数值刻画了数据相对于均值的平均偏离程度 – 对于不同的数据集，当离散程度越大，该度量值也越大。
x1 , x2 , x3 ...xn • 请证明：对于任意的样本：
当且仅当
a
x1 x2 x3 ... xn n
时，
2 ( x a ) 的取值最小。 i
差异系数
• 差异系数的概念 – 差异系数又称相对标准差，即标准差与平均 数之比。符号表示为CV
CV

X
100 %• 差异系数适用条件源自NX ( ) N
2
1128.04 100 2 ( ) 125.338 123.457 9 9
1.881 1.37
• 分组数据：依据次数分布表计算时


f ( X c X )2 N
公式4.3

fX
N
2 c
fX ( N
c
)
2
公式4.4
计算30位运动员成绩的均值和标准差
较身高和体重两组数
据的离散程度。
体重的差异程度大于身高的 差异程度
平均数差异较大
• 某班期末考试，语文平均 成绩为82分，标准差为6.5 分；数学平均成绩为75分，
标准差为5.9分；外语平均
成绩为66分，标准差为8 分。问哪一科成绩的离散 程度大？
四分差的概念
• 四分差又称四分位距，通常用符号Q来表示。它 是指在一个次数分布中，中间50%的次数的全距 之半，也就是第三四分位数Q3与第一四分位数 Q1之差的一半。第3四分位数是指数轴上的一点， 在这一点的下端有占总次数75%的数据，在其上 端有占总次数25%的数据；第1四分位数也是数 轴上一点，在这一点的下端有占总次数25%的数 据，在其上端有占总次数75%的数据。
– 标准分数的平均数为零，标准差为1，即
Z 0, z 1
– 标准分数不带测量单位。
• 证明
Z 0, z 1
XX 解： Z σ XX 1 (X X) σ 1 σ 则有 Z (X X) N N Nσ 1 [(X1 X) (X2 X) ...... (Xn X)] Nσ 1 1 [(X1 X 2 ... X n ) NX] 0 0 Nσ Nσ Z 0
2
• 由各部分的标准差合成总标准差
t
N (
i
2 i
di )
2
Nt
di X i X t N1 X 1 N 2 X 2 N3 X 3 ... N k X k Xt N1 N 2 ... N k
• 例4.4 某年级四个班学生人数分别为50人， 52人，48人，51人。期末数学考试各班的 平均成绩分别是90分，85分，88分，92分， 标准差分别为6分、5.5分、7分、8.2分。求 年级成绩的标准差。
标准差的适用条件
• 与算术平均数配合使用 • 是其他统计量的基础，如差异系数，相关系数， 标准分数等。 • 在推断统计中，尤其是进行方差分析时，常用方 差（ 2 ）表示离散程度。
不同数据情况下怎样计算标准差？
• 基本公式法（未分组的数据，且均值容易 计算）
– A ： 70，72，74，78，71，72，74，73 – B ： 70，80，72，55，90，68，78，73
Q3 Q1 Q 2
公式4.5
四分差
频 数
N 4
N 4
N 4
N 4
Q1
M dn Q3
观测变量
Q2
图4.4 四分差示意图
• 适用条件：
– 与中数配合使用。即当一组数据的集中趋势宜 用中位数描述时，差异情况要用四分差描述。 – 有极端值出现 – 个别数据模糊不清或组限不清时
四分差的计算
• 未分组数据
• 分组数据：
N Fb Q1 Lb 4 i f Q1
3N Fb Q3 Lb 4 i f Q3
某校初一144名学生外语成绩次数分布表
X 次数f 由下向上累 加次数
• Q1=56.9
• Q3=71.44 • Q=（Q3-Q1）
90~94
85~89 80~84 75~79 70~74 65~69 60~64 55~59 50~54 45~49 44以下
85~89
80~84 75~79 70~74
196名学生外语考试成绩
的次数分布表如右图。某 考生的分数为83分，求其 百分等级是多少？
65~69 60~64 55~59 50~54 45~49 40~44 35~39 30~34 25~29 20~24 合计
相对地位量数：标准分数
• 标准分数的概念
X
次数f 3
由下向上累 加次数 196
分组数据的百分等级
95~99
90~94
6 7
14 16 35 42 30 21 6 4 4 3 2 2 1 196
193 187
180 166 150 115 73 43 22 16 12 8 5 3 1