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4.差异量

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常用统计量二：差异量

常用统计量二：差异量
在生产过程中，如果数据的平均差较大，则说明生产过程不稳定，需要 采取措施加以控制和调整。因此，平均差可以用于质量控制中判断生产 过程的稳定性。
03 方差
方差的定义
方差是用来度量一组数据分散程度的统计量，其计算公式为方差 = Σ[(x_i - μ)^2] / N，其中x_i表示每个数据点，μ表示平均值，N表示数据点的数量。
差异量与相关系数的关系
相关系数用于描述两个变量之间的线性关系，而差异量用于描述数据分布的离散程度。两者之间存在一定的联系，但也有明 显的区别。
在分析两个变量之间的关系时，如果两个变量之间的差异越大，那么它们之间的相关性可能越弱。因此，在分析相关系数时 ，需要考虑两个变量之间的差异程度，以更准确地理解它们之间的关系。
方差在统计学中广泛应用于描述数据的分散程度，帮助我们 了解数据的稳定性、波动性和离散程度。
在金融领域，方差被用于评估投资组合的风险；在生物学中 ，方差被用于分析实验数据的变异程度；在社会科学中，方 差分析被用于研究不同组之间的差异。
04 离散系数
离散系数的定义
离散系数是用来衡量一组数据的离散程度的统计量，通常 用标准差除以该组数据的平均值来计算。
常用统计量二差异量
目录
• 差异量的定义与分类 • 平均差 • 方差 • 离散系数 • 差异量与其他统计量的关系
01 差异量的定义与分类
差异量的定义
01
差异量是用来度量两个数值之间 差异的统计量，通常表示为两个 数值之差。
02
差异量用于比较不同数据集或不 同时间点之间的变化，帮助我们 了解数据之间的相对差异。
差异量的分类
绝对差异量
表示两个数值之间实际差值的绝 对值，不考虑正负号。
相对差异量

(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数

(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数
心理与教育统计学
复习专题：
平均增加率与几何平均数 平均增加量与算术平均数
一列数据分别为X1，X2，X3…Xn， 按一定的比例关系变化，则：
1
X2 X1
2
X3 X 2
N 1
XN X N 1
1 2 N 1
Mg N1 12 N1
Mg N1 X 2 X 3 X N X1 X 2 X N 1
160
170
180
190
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。
• 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min （4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据
中的极端值； • 容易受极端值的影响；
]
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
60－
5
12
55－
4
7
50－
2
3
4.54+79.5=84.04
45－
1
1
合计
58
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
PP
Lb
P 100
N
Fb
i fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
X N X N 1 cN 1

4 第四章 差异量数

4 第四章 差异量数

第三四分位为第九位和第十位的中位数，即：
Q3=（80+90）/2=85。 四分位差Q=（Q3-Q1）/2=(85-26)/2=29.5
24
在分组数据中：
n f b25 Q1 LQ1 4 i f Q1
3n f b75 Q3 LQ3 4 i f Q3
LQ：表示Q所在组的下限 N：表示总频数 fb:表示小于Q所在组下限的频数总和 i:表示组距
16
（五）用累加次数分布曲线图求百 分位数。P83 是一种粗略的计算方法
17
三、百分等级分数
百分等级分数与百分位数相反，它是事 先知道分布中的一个原始分数，再求这个原 始分数在分布中所处的相对位置—百分等级。
百分等级分数指出原始数据在常模团体 中的相对位置，百分等级越小，原始数据在 分布中相对位置越低；百分等级越大，原始 数据在分布中相对位置越高。
18
1 百分等级分数的计算公式
PR Fb
X Lb f
i N
100
式中:Ｌb 为某特定原始变量所在组的下限 Fb 小于Lb的累积频数
f 为某特定原始变量所在组的频数
N 为数据总的次数
i 为组距
19
2 百分等级分数的应用
例2 表4-1所列的考试分数分布中，已 知某应试者的考分为82分，问在这次考试 中低于该应试者的人数比例。
2 i 2 2 i
i
X X )
2
2X Xi N X
Xi X N X2 N X2
i

X
X 2(
X i2 2 X i2
N ( X i ) 2
) X i
X N (
N N

第四章 差异量

第四章 差异量

二 平均差、方差、标准差
4）方差、标准差的应用及优缺点 是表示一组数据离散程度的最好指标，是 常用的差异量数。
三
相对差异量
1）标准差的比较及差异系数的概念 绝对差异量和相对差异量（差异系数） 2）差异系数的使用及条件
四 差异量的数值关系与选用
1 差异量的数值关系
2 如何选用
1）共同考虑集中量和差异量； 2）多数数情况下，平均数和标准差一起进行一组数据 的描述。
练习
• 课内完成本章练习题1-8题
感谢各位的参与！
二 平均差、方差、标准差
1 平均差
1）离均差与平均差 离均差，又称离差或偏差，表示每一个观察值 与平均数的距离大小。——平均差，是次数分布 中所有原始数据与平均数绝对离差的平均值。 2）公式表达 3）平均差的意义 能较好地反应次数分布的离散趋势；但绝对值 的求取不利于进一步统计分析，因此为低效差异 量数，实践中谓方差、标准差 方差，也称变异数、均方，是每个数据与该组数据平均 数之差乘方后的均值，即离差平方后的均值。 标准差，是方差的平方根。 2）方差、标准差的计算 3）方差、标准差的性质 方差具有可加性和可分解性的特点，是方差分析的基本 依据。 方差、标准差的基本特性：a）每一个观测值都加上一个 常数C，所得数据的标准差或方差等于原标准差或方差；b） 每一个观测值都乘上一个常数C，所得数据的标准差等于原 标准差乘以这个常数C，所得数据的方差等于原方差乘以这 个常数C的平方。
1）何谓百分位距 百分位数（又称百分位点，指量尺上的一个点，在此点 以下数据分布中全部数据个数的一定百分比。）——百分 位差（指第10百分位数和第90百分位数之间的距离。）
一 全距与百分位距
2）百分位数的计算 与计算分组数据中数的原理一致。 3）百分等级的计算 百分位数的逆运算。

04差异量数-PPT课件

04差异量数-PPT课件
8
4.3 方差和标准差
方差和标准差的定义
XX S n
2


2
X X S n


2
原始数据计算公式
X X 2 S n n
2 2
X2 X S n n
2
9
4.3 方差和标准差
例: 下面是从甲乙两个班分别随机抽取10名学
生的英语听力考试成绩,计算这两个班这 次考试成绩的平均分分数和离散程度。 甲班 7 乙班 8 8 8 6 5 3 5 5 5 9 4 8 5 6 7
18
4.4 差异系数
例1:比较计量单位不同的数据资料的差异程度
表 抑郁水平与理性恋爱观差异程度对比
平均数 抑郁 理性恋爱观 17.74 1.68 标准差 3.69 0.41 差异系数 20.8 24.4
19
S CV 100 % X
17
4.4 差异系数
差异系数的作用

比较不同单位资料的差异程度
比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 可判断特殊差异情况
Tips
根据经验，一般CV值常在5％－35％之间。如果CV大于 35％时，可怀疑所求得的平均数是否失去了意义；如果 CV小于5％时，可怀疑平均数与标准差是否计算有误。
数理统计
张丹慧
教育统计和测量所
danhuizhang1980gmail
北京师范大学本科生公共课
2
全面反映一组数据的特征： 必须求出集中量数；还要求出差异量数。
差异量数越小，说明数据的离散程度越小，集中量数的代表性越大 差异量数越大，说明数据的离散程度越大，集中量数的代表性越小
第四章 差异量数

教育统计学第四章 差 异 量

教育统计学第四章 差 异 量

σ =
2 x
∑ (x
2 i
i
− x)
2
n
σ =
2 x
∑x
n
−
∑x
n
i

2
• 例1 求数据组{52，62，74，45，50， 71，81，85}的方差。 为了使方差与数据组中的数据具有相 同的单位，将方差开平方， 同的单位，将方差开平方，称为数据组的 标准差，用符号бx表示。 标准差，用符号 表示。 标准差的计算公式： 标准差的计算公式： 标准差等于方差的算术平方根
差异系数的计算公式为： 差异系数的计算公式为：
cv =
σx
x
× 100%
例1 某学校一年级学生体重与身高情况 如下述资料表： 如下述资料表：
表4-3 某学校一年级学生体重与身高情况资料表
平均数 体重 身高 21.40公斤 公斤 125.85cm
标准差 2.19公斤 公斤 4.67cm
计算差异系数： 解 计算差异系数：
cv体重
cv身高
2.19 = × 100% = 10.23% 21.40
4.67 = × 100% = 3.71% 125.85
某班期末考试数学平均分为95分 例2 某班期末考试数学平均分为 分， 标准差为10分 语文平均分为60分 标准差为 分；语文平均分为 分，标准差 为9分，试比较数学和语文分数的离散程度。 分 试比较数学和语文分数的离散程度。
频数分布表方差和标准差的计算公式： 频数分布表方差和标准差的计算公式：σ =2Fra bibliotekx∑fx
N
2 i i
−
−
∑fx
N
i i

2

统计学第四章重点知识点

第四章 差异量教学目的：1.理解全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数等概念；2.掌握各种差异量指标的计算方法。

数据的分布特征不仅有集中趋势，还有离中趋势。

以动态的眼光，从不同的角度看，数据是向中间变动的，也是向两端变动的。

两组数据可能平均水平相同，但两组数据的分布特征并不完全相同。

【如】:比较以下两组数据 A 组：88、82、73、76、81 B 组：92、86、70、72、80两组平均数,80==B A X X 但R A =88－73＝15，R Ｂ=92－70＝22。

即A 组较集中，B 组较分散。

因此，我们描述一组数据的分布特征，既要描述其集中趋势，也要描述其离中趋势。

差异量：表示一组数据的离中趋势或变异程度的量称为差异量。

常用的差异量指标有全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数。

第一节全距、四分位距、百分位距一、全距全距：是一组数距中最大值与最小值之差。

优点：意义明确，计算方便。

缺点：反响不灵敏，易受极端值影响。

二、四分位距〔一〕四分位距的的概念四分位距:是指一组按大小顺序排列的数据中间部位50%个频数距离的一半。

QD ：表示四分位距； Q 3：表示第三四分位数； Q 1：表示第一四分位数。

所以：四分位距的公式又为： 〔二〕四分位数的计算方法 1、原始数据计算法〔1〕将数据由小到大进行排列；〔2〕分别求出三位四分位数〔点〕；〔3〕代入公式计算。

【例如】：有以下16个数据25、22、29、12、40、15、14、39、37、31、33、19、17、20、35、30，其中四分位距的计算方法如下：〔1〕先将原始数据从小到大排列好；12、14、15、17、*19、20、22、25、*29、30、31、33、*35、37、39、40Q1=18 Md=27 Q3=34〔2〕求出Q1、Md、Q3；〔3〕将Q1、Md、Q3的得数代入公式〔4.1〕。

2、频数分布表计算法利用频数分布表计算公式为：关键是分别计算P75和P25，百分位数计算方法掌握了，这里的计算就不会有什么问题。

第四章 差异量

三、百分位距 ——百分位距是指两个百分位数之差。 常用的有两种： 一为第90与第10百分位数之差，用P90-P10； 一为第93与第7百分位数之差，用P93-P7表示。 优点——用几个百分位距能较好反映一组数据的差异程度。
应用——在计算频数分布峰态量时，要用到百分位距。
13
第一节 全距、四分位距、百分位距
20
第二节 平均差
课堂练习 4、求频数分布表数据（Md=64）的平均差 解： MD
X Md n ( 15 64 1 45 64 3 55 64 4 65 64 5 75 64 4 85 64 2 95 64 1) 20 13.2
2 2 2
X
X
X
n
2
X n
2
2
41 39 37 35 38 5 4
2
28
第三节 方差和标准差
二、计算方法
2、频数分布表计算法 若原始数据已归入频数分布表，且无原始数据，可以用组中 值近似计算。
X
2
fX n
一、全距 1、原始数据 ——是一组数据中最大值与最小值之差，又称极差。用R表示。
甲组：54、63、72、74、82、88、99 乙组：67、71、73、76、79、82、84
甲组的全距 乙组的全距 R=99-54=45 R=84-67=17
平均数是76 平均数是76
6
第一节 全距、四分位距、百分位距
R≈6σX≈7.5MD≈9QD
34
类 别 标 准 差 方 差 全 距
优
点
缺 方差和标准差 点 第三节
应
用
1.感应灵敏 2.严密确定 3.适合代数法处 理 4.受抽样变动影 响小 1.意义简明 2.计算简单

4差异量数


11
练习：某小学二年级80名学生身高的频数分布如下表，求 其四分差。
小学二年级80名学生身高的频数分布表 身 高 115~ 118~ 121~ 124~ 127~ 130~ 133~ 136~ 139~ 142~ 总 和 频 数 1 3 8 10 20 19 12 4 2 1 80 累计频数 1 4 12 22 42 61 73 77 79 80 计算四分差
3、标准分数的性质
（1）一组原始数据的标准分数的算术平均数为 ，即 ）一组原始数据的标准分数的算术平均数为0， （2）一组原始数据的标准分数的标准差为 ，即 ）一组原始数据的标准分数的标准差为1，
25
4、标准分数的应用 （1）确定原始数据在其团体中的相对位置 例：某市中考，数学平均成绩为75分，标准差为12分。某 生数学考了78分，试问其数学成绩在全市考生中的地位如 何？ 解：该考生数学成绩的标准分数为：
15
利用公式计算平均差
五、方差和标准差
（一）概念 方差是指离差平方的算术平均数。
方差的算术平方根称为标准差。总体标准差用 示，样本标准差用 S 表示。
表
标准差是一个较为准确的差异量数，常与算术平均数 配合使用，来描述一组数据的集中、离中趋势。标准差数 据越大，表明这组数据的离散程度越大。
16
离差
甲乙两组共12名小学生体育课跳远测验成绩如下， 甲乙两组共 名小学生体育课跳远测验成绩如下，请分别计算 名小学生体育课跳远测验成绩如下 其标准差。 其标准差。
甲乙两组小学生跳远成绩统计表（米） 组别 甲组 乙组 1.90 2.30 1.95 1.60 2.15 1.70 跳 远 成 绩 1.98 2.01 2.10 2.04 1.82 2.05 2.08 1.90 2.02 2.40 平均成绩 2.00 2.00

4 差异量数


0
Starting Salary
jinggangshan
第四章 差异量数
•差异量数就是描述一组数据离中趋势的量数。
•集中量数虽然能较好地描述一组数据的集中趋势，但 这还远远不够，它还不能代表一列数据分布的全貌。 客观世界的事物总是千差万别的，这其中不仅有质的 差异，而且还有量的差异，这种事物的差异则是统计 分布的另种特征——离中趋势或离散程度 。
•差异量数主要有：全距 (Range) 、四分位差 (Quartile) 、 百分位距(Percent Rank)、平均差(AD)、方差和标准差 (Variance & SD) 、差异系数(相对标准差CV).
jinggangshan
全距
• 全距是指一列数据最大差距，即一列数 据中最大数与最小数的差距，又称极差， 用符号RN（Range）表示. • 全距意义简明，计算简单，但容易受极 端数据的影响，不反映全部数据的差异 情况 ，使用价值极小。
jinggangshan
四分位差(Quartile)
N i Q1 LQ1 Fb 4 fQ1
N i Q3 LQ3 Fb 4 fQ3
jinggangshan
N i Q90 LQ90 Fb 4 fQ90
N i Q10 LQ10 Fb 4 fQ10
jinggangshan
•平均差(AD）
•是指一组数据的离差绝对值的算术平均数。 •未归表数据求平均差； •已归表数据求平均差。
0 0. 50 62 0.0 50 57 .0 0 50 52 0.0 50 47 0.0 50 42 0.0 50 37 .0 0 50 32 0.0 50 27 0.0 50 22 .0 0 50 17 0.0 50 12 0 . 00 75
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举例说明
教 育 统 计 学
• 以下是两组样本数据，及其样本平均数与样本标准差。
第一组 41 44 45 47 47 48 51 53 58 66
第二组 20 37 48 48 49 50 53 61 64 70
第一组 第二组
x =50.0，s=7.4 x =50.0，s=14.2
教 育 统 计 学
经计算，Min=5, Q1=23, Q2=30.5, Q3=36.5, Max=66 请问数据中有无极端值存在？
教 育 统 计 学
百分位距
• 百分位距是两个百分位数之差。 • 常用的百分位距有两种： • P90 －P10 • P93 －P7
教 育 统 计 学
平均差
X M X Md MD 或 n n
教 育 统 计 学
练习
• 1. 如果一个公司的职员每人加薪3000元，那么他们 收入的标准差如何变化？众数、中位数、均值、极 差、四分位距呢？ • 2. 如果一个公司的职员每人工资增长2倍（变为原来 的3倍），那么他们收入的标准差如何变化？众数、 中位数、均值、极差、四分位距呢？
教 育 统 计 学
X
2
X X
N N
2
2
X
X X
2
在式中， X 表示方差， X 表示标准差； N表示总频数。
X X表示每个数据与平均数 的差数，称为离差；
教 育 统 计 学
• 标准差代表了什么意义？ – 可以由标准差看出：平均而言，数据中的观察值 究竟有多偏离平均数。 – 标准差越大，表示数据中的观察值越偏离平均数， 而数据的分散程度也就越大。
原始数据计算法
X
2

X
N
2

2
X
N

2
X X N N 在式中， X表示原始数据；
2
X
N表示总频数。
教 育 统 计 学
• 例：某校对 5 个教师的教学效果进行测评，满分为 20 分， 5 个教师的得分为 14 分、 15 分、 13 分、 12 分 和14分，这五个教师得分的方差和标准差各是多少？
解 : X 68, X 930, N 5
2
X
2
930 68 186 184.96 1.04 5 5
2
X 1.04 1.02
教 育 统 计 学
频数分布表计算法
• 对于用频数分布表提供的数据资料，可以用组中
值作为各组数据的近似值来计算方差和标准差。
教 育 统 计 学
极端值的判断
• 运用Q1，Q3, QD来设定下限与上限 下限= Q1 – 3QD； 上限= Q3 + 3QD
凡是在上述范围之外的观察值，即为潜在的极端值。
下限 上限
位于此处的观察值即是 潜在的极端值。
教 育 统 计 学
一个例子 • 以下是抽取20位美国人，调查其每周观看电视的 时数，所得的一组资料。 25 66 34 30 41 27 35 31 26 32 38 30 32 15 38 20 43 05 16 21
教 育 统 计 学
3. 方差和标准差的优缺点及应用
• 优点：反应灵敏、严密确定、计算简单、适合代 数运算等。 • 缺点：意义不易理解、易受两极端数值的影响、 有个别数据不清楚时无法计算。 • 应用：是最常用的差异量数，标准差的应用尤其 广泛。标准差往往和算术平均数配对使用，以反 映一组数据的差异程度和集中程度。
教 育 统 计 学
• 柴比契夫规则：若存有一组资料与一个数值k (k 1 ＞1)，则至少有 100 1 % 的观察值会落在距离
k2
平均数加减k个标准差的范围内。
至少100(1-1/k2)%的 观察值会落在平均数 加减k个标准差的范围 内
次 数
平均数 –k个标准差
平均数 平均数 + k个标准差
教 育 统 计 学
差异量
– 差异量是表示一组数据变异程度或离散程度的
一类特征量。差异量越大，说明数据分布的范
围越广，分布越不整齐；差异量越小，说明数
据变动范围越小，分布就越集中。
– 在教育工作中常用的差异量有全距、方差、标
准差、差异系数等。
教 育 统 计 学
全距
• 全距是一组数据中的最大值与最小值之差，又称为 极差。用R表示。 • 对于一组原始数据，全距等于其最大值与最小值之 差。 • 对于频数分布表提供的数据，全距等于最大一组与 最小一组的组中值之差，或者是最大一组的上限与 最小一组的下限之差。
教 育 统 计 学
• 三个标准差原则：
在任何一组数据中，大部分的观察值会落入距离 平均数加减三个标准差的范围内。 根据柴比契夫规则，89%的观察值会落入距离平 均数加减三个标准差的范围内。
• 适用任数据的分配型态。
根据经验法则，99%的观察值会落入距离平均数 加减三个标准差的范围内。 • 适用于钟型对称的数据分配型态（常态分配）
教 育 统 计 学
全距 = 78-72 =6英寸
全距 = 84-67=17英寸
教 育 统 计 学
四分位距
• 四分位距是用依一定顺序排列的一组数据中间部位 50%个频数距离的一半作为差异量的指标。即四分 位距就是第三个四分位数Q3与第一个四分位数Q1差 的一半。用QD表示。 QD=（Q3－ Q1）÷2 Q3 = P75
相对差异量
1. 相对差异量的概念
• 前面的全距、方差和标准差都是带有单位的绝对差异 量。 • 相对差异量（即差异系数）：是指一组数据的标准差 与算术平均数的百分比。它是没有单位的相对数。用 CV表示差异系数，计算公式为：
CV
X
X
100%
教 育 统 计 学
2. 差异系数的用途
• 差异系数越大，则该组数据内部的差异程度就越大，反 之，差异程度就越小。因此，我们可以通过计算两组数 据差异系数的大小来比较它们差异程度的大小。 • 比较不同单位数据组资料的差异程度。
教 育 统 计 学
计算公式：
P 75 P 25 Ku 2( P 90 P 10 )
• 当Ku＜0.263时，分布呈高狭峰；
• 当Ku＞0.263时，呈低阔峰；
• 当Ku=0.263时，分布为正态峰。
教 育 统 计 学
第四章 差异量
教 育 统 计 学
数据的“位置”
教 育 统 计 学
数据的“尺度” • 这两组数据“胖瘦”一样吗？
教 育 统 计 学
• 让我们来看一个例子
– 以下是从两个篮球队抽样的五位球员。 – 虽然两队的平均身高都是75英寸，中位数都是76英寸，众 数都是76英寸。但仔细观察，这两队的身高是否还是有所 不同呢？（1英尺 = 12英寸；1英寸=2.54公分)
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偏态量与峰态量
• 1. 偏态量（ skew）：是描述次数分布的偏态方向和 程度的量数。 • 计算公式：
X M0 3( X Md ) SK SK S S
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• 2. 峰态量（ kurtosis ）：描述次数分布的高低宽窄特 征的量数。
• 高狭峰：S较小，分数分布高窄，集中在平均数两侧。 • 低阔峰：S较大，分数分布低阔，散布较广。 • 正态峰：分布介于高峰态和低峰态之间。
• 比较单位相同而平均数相差较大的数据组资料的差异程 度。
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例：现有成人组和婴儿组各100人的两个抽样总体。测得成 人组平均体重为65千克，标准差为6千克；婴儿组平均体重为4 千克，标准差为1.5千克。能否认为成人组体重的差异比婴儿 组体重的差异大？ 例：对一个群体测量身高和体重，平均身高为170.2厘米， 身高标准差为5.30厘米；平均体重为70千克，体重标准差为 4.77千克。比较身高和体重的离散程度。
，
Q1 = P25
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极值
• 落在上或者下四分位数的3个四分位距单位之外的观测值。
• 即：大于Q3+3QD 或小于Q1-3QD的数据为极值。
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极端值
• 极端值的意义 – 又称「离群值」或「异常值」
– 在一组数据中，凡是落在数据整体组型之外的观 察值，即为极端值。
– 例如：全班几乎所有人的体重都落在45到80公斤 之间，其中以65到70公斤之间的人居多（整体组 型），但有一位同学的体重高达100公斤，显著的 偏离班上同学的体重范围，此即极端值。
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方差和标准差
1. 方差和标准差的概念
• 方差和标准差是通过离差来定义的。
• 离差：是指一组数据中的各个数据与该组数据算术平均数 之差。
• 方差：是一组数据离差平方的算术平均数，即方差可由离 差的平方和除以数据个数所得。 • 标准差：是方差的算术平方根。
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2. 方差和标准差的定义公式