当前位置：文档之家 › 第四章 差异量数

第四章 差异量数

  • 格式：ppt
  • 大小：711.00 KB
  • 文档页数：70

下载文档原格式

  / 70

合集下载

第四章差异量数

第四章差异量数


Q3在70-74组。
将Lb 5 4.5, f Q1 2 5, Fb 2 4, i 5, N 4.7 , 得 3 6代入公式 4 36 24 Q1 5 4.5 5 25 5 6.9
将Lb 6 9.5, f Q1 1 8, Fb 1 0 1 , i 5, 3N 4.8, 得 108 代入公式 4 1 0 8 1 0 1 Q3 6 9.5 5 18 7 1.4
1 6, 2 5.3, 3 7, 4 8.2
50 90 52 85 48 88 51 92 则Xt 50 52 51 48 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 58 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X t 92 89 3
平均差、方差、标准差、差异系 数等
第一节
标准差
一、全距：一组数据中最大值与最小值之 差，又称极差。(用符号R表示。)
全距的优缺点： 优点：概念清楚，意义明确，计算简便。
缺点：易受两个极端的数值影响。
二、方差和标准差
方差（又称为变异数、均方）。是表示一组数据离散
2 S 程度的统计指标。一般样本的方差用 表示，总体

X
100
（4.9）
式中：CV 为差异系数； 为标准差；X 为平均数。
2、差异系数的作用

比较不同单位(现象)资料的差异(变异)程度
比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 可判断特殊差异情况
差异系数CV又称为相对标准差，属于相对差异量
数，不具有测量单位。在算术平均数不为零的情况
统计学第四章

统计学第四章

第四章 差异量教学目的：1.理解全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数等概念；2.掌握各种差异量指标的计算方法。

数据的分布特征不仅有集中趋势，还有离中趋势。

以动态的眼光，从不同的角度看，数据是向中间变动的，也是向两端变动的。

两组数据可能平均水平相同，但两组数据的分布特征并不完全相同。

【如】:比较下列两组数据 A 组：88、82、73、76、81 B 组：92、86、70、72、80两组平均数,80==B A X X 但R A =88－73＝15，R Ｂ=92－70＝22。

即A 组较集中，B 组较分散。

因此，我们描述一组数据的分布特征，既要描述其集中趋势，也要描述其离中趋势。

差异量：表示一组数据的离中趋势或变异程度的量称为差异量。

常用的差异量指标有全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数。

第一节全距、四分位距、百分位距一、全距全距：是一组数距中最大值与最小值之差。

优点：意义明确，计算方便。

缺点：反应不灵敏，易受极端值影响。

二、四分位距（一）四分位距的的概念四分位距:是指一组按大小顺序排列的数据中间部位50%个频数距离的一半。

）（1.4213Q Q QD -=QD ：表示四分位距； Q 3：表示第三四分位数；Q 1：表示第一四分位数。

所以：四分位距的公式又为：22575P P QD -=（二）四分位数的计算方法 1、原始数据计算法（1）将数据由小到大进行排列； （2）分别求出三位四分位数（点）； （3）代入公式计算。

【例如】：有以下16个数据25、22、29、12、40、15、14、39、37、31、33、19、17、20、35、30，其中四分位距的计算方法如下：（1）先将原始数据从小到大排列好；12、14、15、17、*19、20、22、25、*29、30、31、33、*35、37、39、40Q 1=18 Md =27 Q 3=34（2）求出Q 1、Md 、Q 3；（3）将Q 1、Md 、Q 3的得数代入公式（4.1）。

第四章 差异量数

第四章 差异量数


例2:比较两组女童体重的差异情况
表4—2 某市两组女童体重的调查资料
平均数 2个月组 6岁组 5.45千克 19.02千克 标准差 0.62千克 2.12千克
解：
CV 1
S 0.62 100 0 0 100 0 0 11.4 0 0 5.45 X
CV 2
1
S 2.12 100 0 0 100 0 0 11.2 0 0 19.02 X
组。
二、平均差
(一)定义：平均差是指一组数据中，
每一个数据与该组数据的平均数离差的绝 对值的算术平均数，通常用AD表示。 （二）计算公式
AD
Xi X n
例1:有5名被试的错觉实验数据如下， 求其平均差。
被试
错觉量
1
16
2
18
3
20
4
22
5
17
（ms）
解：已知n=5
则
AD Xi X
优点：① 反应灵敏； ② 严密确定；
③ 容易计算；④ 适合进一步代数运算； ⑤ 受抽样变动的影响小； ⑥ 简单明了。 缺点：应用方差和标准差比较两个不
同数据的次数分布，必须保证两数据的
单位相同。而且两数据的平均水平比较 接近。
四、差异系数
（一）定义
差异系数是指标准差与其算术平均数
的百分比。它是没有单位的相对差异量


2
2.根据原始数据计算方差和标准差的公式
Xi Xi S n n
2 2 2
Xi Xi S n n
2
2

原始数据的计算公式等价于定义公式，当两
个公式计算结果有出入时，应以原始数据计算公 式的结果为准，因其更准确。
统计心理-第四章 差异量数

统计心理-第四章 差异量数


第二节 平均差、方差与标准差
一、平均差 • 1. 意义： 次数分布中所有原始数据与平均
数绝对离差的平均值。一般用符号A.D.或 M.D. 来表示。 • 2. 计算： • （1）原始数据求平均差
A.D. Xi X
n
例题：
有5名被试的错觉实验数据如下，求其平均差。
被试
1
2
3
4
5
错觉量 16
18
i 1
N


i 1
N

i




（三）总标准差的合成
St
N 1
S
2 1

d
2 1
N2
S
2 2

d
2 2
Nk
S
2 k

d
2 k
N1 N2 Nk
k
k
N
i
S
2 i

N
i
d
2 i
i1
i1
k
Ni
i1
S
：
t
总
标
准差
注意：只有应用同一种观测手段，测量同一 个特质，只是样本不同时，才能应用该公式 合成方差和标准差。
易受极端值的影响； 易受取样变动的影响； 未考虑数据的分布。
7 8 9 10 7 8 9 10 全距只是一种低效的差异量数，主要用 于对数据的预备性检查，了解数据的大概 范围，以确定如何统计分组。
二、百分位差（percentile）
• 为了避免极端数据的影响，将数据的两 端各截去10%，即P10和P90之间的距离作 为差异量数。
负号，应用较少。
二、方差与标准差
差异变量1

差异变量1


Q1=1.7 Q=(2.2-1.7)/2=0.25
Q3=2.2
（2）数据分组后（次数分布表）计算法
Q Q 3 Q1 2
其中
这里 L b 表示百分位数所在组的精确下限， b 表示小于L b F 的各组次数的和， f 表示百分位数所在组的次数；
例：下表为一个年级期末考试数学的分数，求四分位差？
21
6 4 4 3 2 2 1
43
22 16 12 8 5 3 1
合计
196



未分组资料的百分等级 PR=100-{(100R-50)/N|}, 其中R是原始分数排列顺序数，N是指总人数 （样本的总人数）。 例如：小东在30名同学中语文成绩是80分，排 列第5名，则其百分等级为： PR=100-{（100*5-50）/30}=85 百分等级为85即指，在100名被试中，语文成 绩低于小东的80分的有85人。
R=Xmax– Xmin
次数分布表的全距一般是最大一组与最小一组的组中值 之差，或者是最大一组上限与最小一组下限之差。
例：下列数据是实验中所得的，10个被试的跳远距离：2.0、 2.3、2.5、1.9、1.6、1.5、2.8、2.2、1.7、1.8（单位m）， 求这组数据的全距是多少？ R=Xmax– Xmin=2.8—1.5=1.3m
第四章 差异量数
差异量数的概念
差异量数就是对一组数据的变异性（离中趋势） 特点进行度量和描述的统计量。它反映了次数分 布中数据彼此分散的程度。 常用的差异量数有全距、四分位差、百分位 差、平均差、标准差与组数据中最大值与最小值之差。全距用R表示。
全距的计算方法 原始数据的全距是最大值与最小值之差。
85-89
80-84 75-79
(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数

(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数

心理与教育统计学
复习专题：
平均增加率与几何平均数 平均增加量与算术平均数
一列数据分别为X1，X2，X3…Xn， 按一定的比例关系变化，则：
1
X2 X1
2
X3 X 2
N 1
XN X N 1
1 2 N 1
Mg N1 12 N1
Mg N1 X 2 X 3 X N X1 X 2 X N 1
160
170
180
190
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。
• 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min （4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据
中的极端值； • 容易受极端值的影响；
]
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
60－
5
12
55－
4
7
50－
2
3
4.54+79.5=84.04
45－
1
1
合计
58
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
PP
Lb
P 100
N
Fb
i fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
X N X N 1 cN 1
心理统计学-课程讲义4

心理统计学-课程讲义4

【课程讲义】第四章差异量数【教学目标】明确差异量数是描述数据离中趋势的一种量数，它与集中量数一起描述数据的全貌；明确标准差是所有差异量数中代表性最好的；掌握各种差异量数的概念、性质、计算方法、适用条件。

【学习方法】了解、理解、计算与应用。

【重点难点】差异量数的概念及适用条件；各种差异量数的计算方法；标准分数及百分等级的概念、适用条件及计算方法。

【讲义内容】前一章讨论的集中量数反映的是一组数据的集中趋势，代表一组数据的一般水平。

但是客观事物总是千差万别的，一组数据中不是所有的数值都与一般水平相等，而是有的高些，有的低些，彼此参差不齐。

描述一组数据波动情况的量数成为差异量数。

差异量数常用来衡量集中量数的代表性程度。

差异量数越大，则集中量数的代表性越小；差异量数越小，则集中量数的代表性越大。

差异量数分为：绝对差异量数和相对差异量数绝对差异量数：标准差，方差，四分差；相对差异量数：差异系数另外，本章还讲到相对地位量数：标准分数，百分等级。

第一节标准差一、标准差的概念及适用条件（一）概念标准差是一组数据中每个数据与其算术平均数之差的平方和，除以总的数据个数，再求算术平方根。

标准差的计算公式为：n XS2)(X-∑=（4.1）X为算术平均数，n为数据的个数。

（二）适用条件1．与算术平均数配合使用，与算术平均数的适用条件相同。

即一组数据的一般水平适合用算术平均数描述时，其离散程度宜用标准差描述；2．计算其他统计量时，如差异系数，标准分数，相关系数等，需要用到标准差；3．在推论统计中，尤其是进行方差分析时，常用方差表示数据的离散程度。

二．标准差的计算方法（一）未分组资料标准差的计算方法1．基本公式法用标准差的定义n XS2)(X-∑=，计算标准差。

例1 某校四年级举行数学竞赛，一班、二班分别派九名选手参加，成绩如下表。

试比较两个班的成绩。

4-1 四年级一班九名学生竞赛成绩统计表4-2 四年级二班九名学生竞赛成绩统计表解：先求年级一班的平均数和标准差。

心理与教育统计学第4章差异量数

心理与教育统计学第4章差异量数

（4.21）
4.3.2 标准分数
某班平均成绩为90分，标准差为3分，甲生得94.2分，乙生得89.1分，求甲、乙两个学生的Z分数各是多少？
Z分数乘以标准差即为原始分到平均值的距离。
Z分数无实际单位，是以平均数为参照点，以标准差为单位的一个相对量。
标准分数的性质
所有原始分数的Z分数的平均数为0
58×0.8=46.4 46.4-40=6.4 6.4×0.71=4.54 4.54+79.5=84.04
84.50
83.79
83.07
82.36
81.64
80.93
80.21
79.50
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限；
01
fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数；
学生身高标准分数分布
(4) 若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z分数为均值为0、标准差为1的标准正态分布。
标准分数转换对数据分布的基本形状没有影响
01
04
02
03
可比性。不同性质的原始分数，转化为标准分数后可以进行比较。
可加性。标准分数为抽象数值。
明确性。可以知道该分数在全体分数中的位置。
稳定性。 假设有两套测量某种能力心理测验，同一个人做，其原始分可能差异较大，但是标准分较为稳定。
4.1.5 四分位差
其中：
（4.6）
四分位差：
用次数分布表计算四分位差
成绩
频数f
累加频数
95－
2
58
90－
3
56
85－
6
53
80－
7
47
75－
8
教育统计学第四章 差 异 量

教育统计学第四章 差 异 量


次数分布表的平均差的计算
如果已知次数分布表来计算平均差， 如果已知次数分布表来计算平均差，可 采用下面的公式
AD =
∑ f x −x ∑f
i i i
例3 56名学生数学成绩的次数分布表计 名学生数学成绩的次数分布表计 算步骤见表4-1。 算步骤见表 。
表4-1 56名学生数学成绩的次数分布表 名学生数学成绩的次数分布表
一、方差和标准差的定义 一组数据离差平方的算术平均数，称 一组数据离差平方的算术平均数， 方差。具体地说， 为方差。具体地说，就是一组数据中每个 数据与该组平均数之差的平方，求其总和， 数据与该组平均数之差的平方，求其总和， 再除以数据的个数。 表示方差: 再除以数据的个数。用б2表示方差
方差的计算公式： 方差的计算公式：
cv体重
cv身高
2.19 = × 100% = 10.23% 21.40
4.67 = × 100% = 3.71% 125.85
某班期末考试数学平均分为95分 例2 某班期末考试数学平均分为 分， 标准差为10分 语文平均分为60分 标准差为 分；语文平均分为 分，标准差 为9分，试比较数学和语文分数的离散程度。 分 试比较数学和语文分数的离散程度。
频数分布表方差和标准差的计算公式： 频数分布表方差和标准差的计算公式：
σ =
2 x
∑fx
N
2 i i
−
−
∑fx
N
i i

2
σx =
∑fx
N
2 i i
∑fx
N
i i

2
二、标准差的性质
1、数据组中每一个数据都加上同一个常数后， 、数据组中每一个数据都加上同一个常数后， 该数组的标准差不变。 该数组的标准差不变。
4差异量数

4差异量数


11
练习：某小学二年级80名学生身高的频数分布如下表，求 其四分差。
小学二年级80名学生身高的频数分布表 身 高 115~ 118~ 121~ 124~ 127~ 130~ 133~ 136~ 139~ 142~ 总 和 频 数 1 3 8 10 20 19 12 4 2 1 80 累计频数 1 4 12 22 42 61 73 77 79 80 计算四分差
3、标准分数的性质
（1）一组原始数据的标准分数的算术平均数为 ，即 ）一组原始数据的标准分数的算术平均数为0， （2）一组原始数据的标准分数的标准差为 ，即 ）一组原始数据的标准分数的标准差为1，
25
4、标准分数的应用 （1）确定原始数据在其团体中的相对位置 例：某市中考，数学平均成绩为75分，标准差为12分。某 生数学考了78分，试问其数学成绩在全市考生中的地位如 何？ 解：该考生数学成绩的标准分数为：
15
利用公式计算平均差
五、方差和标准差
（一）概念 方差是指离差平方的算术平均数。
方差的算术平方根称为标准差。总体标准差用 示，样本标准差用 S 表示。
表
标准差是一个较为准确的差异量数，常与算术平均数 配合使用，来描述一组数据的集中、离中趋势。标准差数 据越大，表明这组数据的离散程度越大。
16
离差
甲乙两组共12名小学生体育课跳远测验成绩如下， 甲乙两组共 名小学生体育课跳远测验成绩如下，请分别计算 名小学生体育课跳远测验成绩如下 其标准差。 其标准差。
甲乙两组小学生跳远成绩统计表（米） 组别 甲组 乙组 1.90 2.30 1.95 1.60 2.15 1.70 跳 远 成 绩 1.98 2.01 2.10 2.04 1.82 2.05 2.08 1.90 2.02 2.40 平均成绩 2.00 2.00
4 差异量数

4 差异量数


0
Starting Salary
jinggangshan
第四章 差异量数
•差异量数就是描述一组数据离中趋势的量数。
•集中量数虽然能较好地描述一组数据的集中趋势，但 这还远远不够，它还不能代表一列数据分布的全貌。 客观世界的事物总是千差万别的，这其中不仅有质的 差异，而且还有量的差异，这种事物的差异则是统计 分布的另种特征——离中趋势或离散程度 。
•差异量数主要有：全距 (Range) 、四分位差 (Quartile) 、 百分位距(Percent Rank)、平均差(AD)、方差和标准差 (Variance & SD) 、差异系数(相对标准差CV).
jinggangshan
全距
• 全距是指一列数据最大差距，即一列数 据中最大数与最小数的差距，又称极差， 用符号RN（Range）表示. • 全距意义简明，计算简单，但容易受极 端数据的影响，不反映全部数据的差异 情况 ，使用价值极小。
jinggangshan
四分位差(Quartile)
N i Q1 LQ1 Fb 4 fQ1
N i Q3 LQ3 Fb 4 fQ3
jinggangshan
N i Q90 LQ90 Fb 4 fQ90
N i Q10 LQ10 Fb 4 fQ10
jinggangshan
•平均差(AD）
•是指一组数据的离差绝对值的算术平均数。 •未归表数据求平均差； •已归表数据求平均差。
0 0. 50 62 0.0 50 57 .0 0 50 52 0.0 50 47 0.0 50 42 0.0 50 37 .0 0 50 32 0.0 50 27 0.0 50 22 .0 0 50 17 0.0 50 12 0 . 00 75

第四章差异量数


大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
2、某招干考试分数如下表,预定取考分居前10%得 应考人员进行面试选拔,请划定面试分数线
三、四分位差(quartile deviation) (一)概念 百分位差得一种,又叫四分位距,指第三个四分位数与第 一个四分位数之差得一半,即在一个次数分布中,中间 50%得次数得距离得一半,用Q表示。
(5)受抽样变动影响小,即不同样本得标准差或方差 比较稳定
(6)简单明了,虽然比其她差异量数稍有不足,但其意 义还就是较明白得
二、应用条件 (一)同一个团体不同观测值离散程度得比较 即同一个团体但就是所测得特质不同
例:已知某小学一年级学生得平均体重为25千克, 体重得标准差为3、7千克,平均身高为110厘米, 标准差为6、2厘米,问体重与身高得离散程度哪 个大？
四、优缺点
(一)优点 1简单,容易理解 2计算简单
(二)缺点 1最粗糙,不可靠 2只就是利用了数据中得极端值,其她数据未参与运算过 程 3如果两极端值有偶然性或属于异常值时,全距不稳定 4全距受到取样变动得影响
第二节百分位差与四分位差
一、百分位数
(一)概念 百分位数(percentile),又叫百分位分数,用符号Pp表示,指 次数分布中相对于某个特定百分点(小p)得原始分数,它表 明在次数分布中 小于这个分数得数据个数占数据分布中 全部数据个数得一定百分比。 如P70 =85,表明将一批数据从小到大排列后,小于85分得 数据占该批数据得70%
(二)不同团体进行得就是同一种类型得观测,但测得就 是水平相差较大,需要比较观测值得离散程度
例:通过一个测验,一年级(7岁)学生得平均分数为60分,标准差 为4、02分,五年级(11岁)学生得平均分数为80分,标准差为6、 04分,问这两个年级得测验分数中哪一个分散程度大？

04心理统计学-第四章 差异量数


第三节 标准差的应用
▪ 一、差异系数（coefficient of variation） P94
绝对差异量数 vs. 相对差异量数（不带测量单位）
➢ 用以比较多组数据之间离散程度的大小。
➢ 计算公式：CV s 离散程度的比 较（如，身高 vs. 体重）；②（各均值相差较大时）不 同团体同种观测值离散程度的比较（如，成人体重 vs. 小孩体重）。
➢ 1、计算公式 ： Z X X
s
例题计算 [自习例4-7]
➢ 例：某中学体检，全校身高平均为160cm，标准差为 24cm；体重平均为55kg，标准差为11kg。小明身高 172cm，体重66kg。问：①身高与体重哪个的分布更 为离散？②若从相对排名来看，小明是身高排名更靠前、 还是体重排名更靠前？（高的、重的排名在前）
例题计算 [自习例4-5、例4-6]
➢ 注意：①适用资料至少是等距，理论要求为比 率数据；②尚不能进行统计推论。
第三节 标准差的应用
▪ 二、标准分数（standard score，又称Z分数） P95
是以标准差为单位来表示一个原始分数在团体中 所处的相对位置量数。可用以比较多个数在其所 在数组分布中的相对位置的高低（Z分数越大，表 明该数据在其分布中的相对位置越高）。
第四章 差异量数
第一节 全距和百分位差 第二节 平均差、方差与标准差 第三节 标准差的应用：差异系数和
标准分数
第四节 差异量数的选用
第一节 全距和百分位差
▪ 一、全距 P80
➢ 又称两极差，用最大值与最小值之差来表示离中 趋势，符号R（range），公式 R X max X min
计算所得数值越大，表明数据越离散/分散 [下同]
➢ 3、标准分数的优缺点

统计第四章


表示方法：A.D.或M.D.或AD 平均差是次数分布中所有原始数据与平均数绝 对离差的平均值。
∑X A.D. =
xi : 离均差
i
−X
n
∑x =
n
i
例4-2
某小组言语测验成绩如下：77、79、81、84、 84，求其平均差。
数据分组求离均差
∑f A.D. =
x
n f ：各组次数。 x ：各组中点值对平均数 离差的绝对值。
有以下16个数据：25、23、28、13、40、15、 14、39、38、32、33、19、18、21、35、30， 求该组数据的四分差。
应用
四分位差通常与中数联系起来共同应用。 与全距相比，用百分位差表述数据的离散情况 稍微好一些。如在两极端数据不清楚时，可以 计算四分位差。但是由于它没有把全部数据考 虑在内，其稳定性会差一些。还有，不适合代 数方法运算反应不够灵敏，所以用的不多。
例4-5
两组学生某科测验分数分别为： 甲组：54、63、72、74、82、88、99； 乙组：67、71、73、76、79、82、84。 比较两组学生成绩的离散程度。
不能直接比较标准差的情况：
1、两个或两个以上样本所使用的观测工具不 同，所测得的性质不同。 2、两个或两个以上样本所使用的是同一种观 测工具，所测得的特质相同，但样本间的水平 相差极大。（通常这种情况下，平均数的值较 大，其标准差的值一般也较大；平均数的值较 小，其标准差的值也较小。）
应用
差异系数在心理与教育研究中的应用： 1、同一团体不同观测值离散程度的比较。 2、对于水平相差较大，但进行的是同一种观 测的各种团体，进行观测值离散程度的比较。
例4-6
某校高考考生语文科平均分为63 分，标准差为11分，数学科平均 分为75分，标准差为12分，试比 较该校考生哪一科离散程度大。

语言统计第四章 离中趋势和差异量数-精选文档



1.未分组数据标准差和方差的求法 第一步：计算个数值与平均数之差（离均差） 第二步：求离均差的平方 第三步：把平方离均差相加，求”平方和“； 第四步：把平方和除以数值的个数，求得方差； 第五步：方差的平方根即为标准差。用公式表示：
显然，由于涉及到平均数，上述公式使用 起来很不方便；我们可以在上述的公式的 基础上得出一个不涉及平均数的求标准差 的公式：


第三节
四分差

一、概念 四分差指一个分布中，中间50%的次数的 全距之半，用符号Q表示。 正如中数把一个次数分布分成两半那样， 有一些点把一个次数分布分成四等份，这 些点称作四分点或四分位数。第一个四分 点（或称下25分点）用Q 表示，其下有全 部数值的1/4或25%，其上则有全部数值 的3/4或75%，其上则有全部数值的1/4或 25%。
第二节

两极差


一、概念 两极差也称全距，用符号R表示。所谓两极差就是一组数 据中最高值与最低值之差。 二、两极差的求法 R=最大数值-最小数值 三、小结： 1.两极差是简单而粗略的差异量数 2.不能反映中间数值的差异情况，也受两极 端异常数值的影响。 3.可以作为数据分布的初步统计，在一定程度上反映 数据的差异情况（前提是分布比较对称、没有极端数值）

下面我们仍用上例中的数据说明公式的用法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

三个公式计算结果一样，但计算过程要简 便得多。
2.次数分布数据标准差和方差的求法：
如果已有次数分布表，那么标准差和方差的计算 将更加简便。计算公式为：


3.分组次数分布数据标准差和方差的求法
从分组次数分布数据标准差和方差的公式如下：

教育统计学第04讲 差异量数


X
f 为某一百分位数所在组的频数
Lb
n 为数据总的次数
i 为组距
Fb
10
（一）百分位数的计算
例 用表数据计 算该分布的百分 位数P90及P10。
组别
65~ 60~ 55~ 50~ 45~ 40~ 35~ 30~ 25~ 20~ 15~ 11 10~
f 向上累加次数
1
157
4
156
6
152
8
146
16
16
（一） 百分等级分数的计算公式
PR

Fb


X

Lb i

N
f
100
式中:Ｌb 为某特定原始变量所在组的下限 Fb 小于Lb的累积频数 f 为某特定原始变量所在组的频数 N 为数据总的次数 i 为组距
17
（二）百分等级分数的应用
例： 表4-1所列的考试分数分布中，已知某应试者 的考分为82分，问在这次考试中低于该应试者的人 数比例。

X
2 i

2X i X
2
X

X
2 i

2X
2
Xi N X

X
2 i

2(
Xi ) N
Xi N (
Xi )2 N

X
2 i

2
(
Xi )2 ( N
Xi )2 N

X
2 i

(
Xi )2 N
30
（二）方差与标准差的计算
样本方差
25~29 139 268 29.89 75~79 70 1809 95.21

第四章-差异量数

第一节 全距、百分位差、四分位差、平均差一、全距全距是一列数据中最大数与最小数的差距，又称极差，用符号Rg （Range ）表示，其公式为min max X X Rg -=全距是说明数据离散程度最简单的统计量。

全距的局限：该统计量只依据分布中的两个极端值，未利用到分布的大部分信息。

它不能反映观察值的整个变异度，样本的例数越多，全距越大，不够稳定。

二、百分位差百分位差表示某两个百分位数之间差异程度的指标。

常用的百分位差如793P P -，1090P P -。

百分位数是指量尺上的一个点，在此点以下，包括数据分布中全部数据个数的一定百分比，符号为Pp 。

其计算公式为：例4-1：用下面的次数分布表计算该分布的百分位差P 90- P 10。

组别f d 65～ 1 157 60～ 4 156 55～ 6 152 50～ 8 146 45～ 16 138 40～ 24 122 35～ 34 98 30～ 21 64 25～ 16 43 20～ 11 27 15～9 16 20～7 7 ∑100—解：先计算P 90 和P 10第1步：确定P 百分位数对应的位置， ，ifF N pL P bb p ⨯-⨯+=1003.14110090157=⨯7.1510010157=⨯第2步：确定百分位数所在的分组区间，P 90在“50～”这组，P 10在“15～”这组第3步：确定公式中的符号，5.49=b L ，5.14=b L ，138=b F ，7=b F ，5=i ，8=f ，9=f第4步：代入公式计算P 90 ，P 10第5步：计算P 90-P 1023.3233.1956.511090=-=-P P答：该分布的百分位差P 90-P 10是32.23。

百分等级：任意分数在整个分数分布中所处的百分位置，百分等级是一种相对位置量数。

计算公式为：三、四分位差四分位差是百分位差的特例，用于分析75P （3Q ）与25P （1Q ）之差的一半，即213Q Q Q -=四、平均差（一）概念及计算公式平均差是一组数内各个数据之间与平均数的绝对离差的平均数。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

三、由各部分的标准差合成总标准差的计算方式
已知总体中各部分的标准差，若求其总标准 差，可用下面公式进行合成： （4.6） 式中： t为总标准差； N t 为总体中数据的个 d 数； i为各部分数据的标准差；i 为各部分平 均数与总平均数之差，即 di X i X t 。其中
Nt
t
例6．某小学四年级248名学生的平均身高为 143.52厘米，标准差是6.48厘米；平均体重
30.28千克，标准差4.56千克，试比较身高与体
重两变量的离散程度。
解：
CV身高
6.48 100＝ 100 4.52 X 143 00 15.06 X 30.28
=
50 90 52 85 48 88 51 92 50 52 48 51
= 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 85 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X T 92 89 3
第四章

差异量数
第一节 标准差 第二节 四分差 第三节 差异系数 第四节 相对地位量数 习 题与思考题
描述一组数据离中趋势(波动性)的量数，称 为差异量数。
差异量数有：绝对差异量数和相对差异量数 两种。绝对差异量数包括全距、平均差、四分差 、方差、标准差等，相对差异量数有差异系数和 峰态量数、偏态量数。
本章重点介绍标准差、四分差、差异系数， 并学习标准分数和百分等级两个相对地位量数。
第一节 标准差
一、标准差的概念 二、标准差的计算方法

1、对原始数据计算标准差
2、对次数分布表计算标准差

三、由各部分的标准差合成总标准差的计 算方式
一、标准差的概念
一组数据中每一数值与其算术平均数的差 ，数学上称为“离差”。 离差平方之算术平均数的算术平方根称为 标准差。总体标准差用 符号表示，样本标准 差用 S 符号表示。计算公式为：
将求得的 Q1和 Q3数值代入公式（4、7） Q3 Q1 92.577 80.611 Q 5.98 2 2
第三节 差异系数
标准差和四分差都是绝对差异量数，它们与 原始数据有相同的测量单位。 要比较单位不同或者虽然单位相同但平均数 相差较大的两组数据的离散程度，不适合用绝对 差异量数，需使用相对差异量数来比较。 相对差异量数不具有实际测量单位，它是以 差异系数的大小抽象地反映数据的离散程度。
1 3
i
例5. 某小学六年级120名学生数学考试成绩的次数 分布如下表，求其成绩的四分差。
N 解： 120 f 则 Lb 79.5 ，Q1 18 （4.8）得：
N ， 4 30
，Q1 所以所在组为80—84组。 F ， b 26 ， i 5 。代入公式
N 120 Fb 26 Q1 Lb 4 i 79.5 4 5 80.611 f Q1 18
（二）标准分数的计算
标准分数的计算比较简单，只要已知一组 数据并求得其算术平均数和标准差，就可以求出 某一个原始数据对应的标准分数，其步骤为： （1）计算原始数据的 与 ； X X （2）计算离差 X ； （3）代入公式 X X 。 Z

例8.有10名学生的考试成绩如下表，求各个成绩 的标准分数。
N i ( i2 d i )
2
而 N1 N 2 N K N t
N1 X 1 N 2 X 2 N k X K Xt N1 N 2 N K
例3、某年级四个班的学生人数分别为50人、52 人、48人、51人。期末数学考试各班的平均成绩 分别为90分、85分、88分、92分，标准差分别 为6分、5.5分、7分、8.2分。求四个班成绩的总 标准差。
fX c2 N

（4.4） 2 （ 4.5） fX c
N
式中，X c 表示组中值； f 表示各组对应的次数； N 为总次数。
例2．某班45名学生的语文成绩如表4－4，求其 标准差。
解：将上述表中计算的中间结果代入公式（4.5） 得

fX
N
2 c
2 fX c 332615 3855 7.26 N 45 45 2
解：求得 X 82 ， 9.94 ，根据公式（4.11）
计算得到各个原始分数对应的标准分数，如表4
－6的第3列。
例9．已知A、B两班英语考试成绩如下表。
甲生是A班的学生，成绩为70分。乙生是B班的 学生，成绩也是70分。求甲、乙两人成绩的标准 分数。
解： X X 70 80 甲生的标准分数为： Z甲 ＝ 2 5 4
图4—2 四分差和四分位数之间的关系
二、四分差的计算方法
四分差的计算公式为：
Q3 Q1 Q 2
（4.7）
式中， Q 表示四分差； Q1 表示第1四分位数； Q3表示第3四分位数。
1．
对原始数据计算四分差
求法：将各个数据按大小顺序排列；再将 数据的个数N 除以4，然后根据求中位数的方法 N 1 Q1 Q1的位置为 ）和第3四 求出第1四分位数 ,（ 4 2 Q3 的位置为 3N 1 ），将其代入公式 分位数Q3 （ 4 2 （4.6），即可求得四分差。
Z XX

（4.11）
式中， X 表示原始数据； X 表示原始数据的算术平均数； 表示原始数据的标准差。
标准分数是以算术平均数为参照点，以标准差 为单位，表示每一个原始数据在其团体中的相对 位置。 标准分数有正有负，如果原始数据大于算术平 均数，则标准分数为正值；如果原始数据值小于 算术平均数，则为负值。标准分数的绝对值越大， 则说明原始数据距算术平均数越远。 标准分数没有测量值的单位。
差异系数也叫变异系数，或称相对标准差， 用符号 CV 表示。它是标准差与平均数的比值， 不具有实际测量单位。公式为： CV 100 X （4.10） 式中 ， CV 表示变异系数； 表示标准差； X 表示平均数。 从公式中可以看出，变异系数大，表明数据的 离散程度大，反之数据的离散程度小。
， Fb 74 ， Q3 f
3N 因 为 4 90
Q ， 3 所 以 所 在 组 为 9 0 — 9 4 组 。 则 Lb 89.5， 代入公式（4.9）得 26 ， i 5
3N 3 120 Fb 74 Q3 Lb 4 i 89.5 4 5 92.577 f Q3 26
（米）。
X2
N
2 32.51 16 ＝ 0.25 8 8
(米)。
从上例可以看出，虽然两组数据的平 均数都是2.00米，但两组数据的标准差不 同。 两组数据的差异程度不同，平均数的可 靠性不同。
2. 对次数分布表计算标准差
计算公式为：



f ( X c X )2 N
3.82 100 2.57 X 148 .54

CV六年级

若仅从绝对差异量数标准差来看，六年 级学生的身高的标准差要比一年级学生身高的 标准差稍大一些。但由于这两组数据的平均数 相差较大，用变异系数比较其离散程度，结果 一年级学生身高的离散程度反而比六年级的大 一些。
第四节

相对地位量数
因此 t = ＝
N i ( i2 d i2 ) Nt
N1 N 2 N 3 N 4
2 2 2 2 2 N1 ( 12 d i2 ) N 2 ( 2 d 2 ) N 3 ( 3 d 32 ) N 4 ( 4 d 4 )
50(6 2 12 ) 52[5.5 2 (4) 2 ] 48[7 2 (1) 2 ] 51(8.2 2 3 2 ) 50 52 48 51
1
3
Q3 Q1 79.5 62 Q 8.75 2 2
2．
对次数分布表数据计算四分差
首先计算出 Q1与 Q3两点数值，然后代入公式（4.7） 即可。计算 Q1和 Q3的公式为： N Fb Q1 Lb 4 i （4.8） f Q1 3N Fb Q3 Lb 4 i （4.9） f Q3 式中，Lb 表示该四分位数所在组的下实限； f Q 、 表示 Q1 、 3 所在组的次数； Q fQ Fb 表示该四分位数所在组下一组对应的向上 累积次数；表示组距；为总次数。 N
解： 设
N1 50, N 2 52, N 3 48, N 4 51
X 1 90, X 2 85, X 3 88, X 4 92
1 6, 2 5.5, 3 7, 4 8.2
则
N1 X 1 N 2 X 2 N 3 X 3 N 4 X 4 Xt N1 N 2 N 3 N 4

CV体重 CV身高
体重的离散程度比身高的离散程度大。
例7．已知某校一年级学生的平均身高 为124.20厘米.标准差为3.26厘米；六年级
学生的平均身高为148.54厘米，标准差为
3.82厘米。试比较两个年级身高的离散程 度。
解
CV一年级
3.26 100＝ 100 2.62 X 124 .20
例4． 20名学生英语测验成绩为52、79、73、 60、45、44、89、87、65、81、68、79、67、 80、65、64、72、66、48、83，求测验成绩 的四分差。
解：先将20个数据按从小到大顺序排列：44、 45、48、52、60、64、65、65、66、67、68、 72、73、79、79、80、81、83、87、89。 然后确定 Q1和Q3 的位置，由于 N 20 ，所以Q1 60 64 20 1 Q 62 ；Q 的位置 的位置是 4 2 5.5 ，则 3 2 3 20 1 是 4 2 15.5 ，则 Q 79 80 79.5 。代入公式 2 （4.6）得