二次根式的加减
知识要点梳理：
同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 二次根式加减的步骤：先将二次根式化简成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并。
二次根式的混合运算的顺序和整式的混合运算顺序相同：先算乘方再算乘除最后加减，有括号先算括号 乘法公式回顾：完全平方公式：2
2
2
2)(b ab a b a ++=+，2
2
2
2)(b ab a b a +-=- 平方差公式：2
2
))((b a b a b a -=-+ 经典例题： 例1.计算
（1（2 （3）
练习：看谁做的又对又快！限时6分钟 (1) )27
131(
12-- (2) )512()2048(-++
(3) y
y
x y x x
1241+-+ （4）)461(9322
x x x x x x --
例2.计算： （1）（38+
）×6 （2）22)6324(÷-
（3）)52)(32(++ （4）2
)232(-
练习：计算（限时6分钟） （1）12)3
2
3242731(?-- （2）)320)(532(+-
（3）2
)3223(+ （4）（）
例3、已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（23+y -（x ）的值．
例4、如图所示，面积为48cm 2的正方形的四个角是面积为3cm 2
的小正方形，现将
这四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底面边长分别是 多少？
经典练习：
1、选择题
（1是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ （2）已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式，则满足条件的 a,b 的值（ ）
A ．不存在
B ．有一组
C ．有二组
D ．多于二组
2、计算：
（1）38550 （2）
x
x x x 1246932-+
（3）505
1
1221832++- （4）2
14
5
40
（5）)123)(123(+--+ （6）20092009(3(3+
3、已知1
21,1
21+=
-=
b a ，求102
2++b a 的值。
4.拓展延伸
同学们，我们以前学过完全平方公式222
()2a b a ab b ±=±+，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2
，5=（5）2
，下面我
们观察：
2221)211213=-?=-=-
反之，2
3211)
-=-=
∴ 2
31)-=
∴ 223-=2-1 仿上例，求：（1）；324+ （2）你会算124-吗？
（3）若n m b a +=+2，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．
巩固练习：
1.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A B
C D
2、计算： （1）6·a 3·b 31
（2）16
141÷
（3）5)9080(÷+ （4）326324?-÷
（5）)()3(33ab ab ab b a ÷+-（a>0,b>0） （6）52)(2652)
3.母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积为8cm 2
,
另一个为18cm 2
，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为50cm 的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？
《二次根式的加减》练习 一、选择——基础知识运用 1．下列运算正确的是（） A．-= B．=2 C．-= D．=2- 2．估计×+的运算结果应在（） A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间 3．计算之值为何？（） A．0 B．25 C．50 D．80 4．已知x=1+，y=1-，则代数式的值为（） A．2 B．±2 C．4 D． 5．已知实数x，y满足（x-）（y-）=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为（）A．-2008 B．2008 C．-1 D．1 6．a是-5的整数部分，则a为（） A．-1 B．1 C．0 D．-2 二、解答——知识提高运用 7．如果最简二次根式2与是同类二次根式，那么x= 。 8．已知a-b=+，b-c=-，求a-c的值。 9．化简： （1）（+2）（1-）； （2）(-)(+)； （3）(2?)2。 10．计算：x?x2+6x，其中x=5。 11．已知a=，求+的值。 12．已知x＝，求x6+x5+2x4-4x3+3x2+4x-4的整数部分。 13．已知x=2+，y=2-，求- 的值。
参考答案 一、选择——基础知识运用 1．【答案】A 2．【答案】C 【解析】∵×+=4+，而4＜＜5， ∴原式运算的结果在8到9之间； 故选C。 3．【答案】D 【解析】== ===80， 故选D。 4．【答案】A 【解析】∵x=1+，y=1-， ∴x+y=1++1-=2， ∴=＝2， 故选A。 5．【答案】D 【解析】∵（x-）（y-）=2008， ∴x-= =y+， y-= =x+， 由以上两式可得x=y。 ∴(x?)2=2008，解得：x2=2008， ∴3x2-2y2+3x-3y-2007=3x2-2x2+3x-3x-2007=x2-2007=1。 故选D。 6【答案】D 【解析】∵91516 ∴34 ∴3-54-5，即-2-1 的整数部分为-2。因此a=-2. 故选D。 二、解答——知识提高运用 7．【答案】由最简二次根式2与是同类二次根式，得：2x-3=9-4x。解得x=2.
21.3 二次根式的加减 教学目标 1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算； 2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题； 3．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简． 教学重难点 【教学重点】 将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算. 【教学难点】 运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入 小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？ 二、合作探究 探究点一：同类二次根式 例1：已知最简二次根式2a＋b与a＋b3a－4能够合并同类项，求a＋b的值． 解析：利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b求解即可． 解：∵最简二次根式2a＋b与a＋b 3a－4能够合并同类项，∴a＋b＝2，2a＋b＝3a－4，解 得a＝3，b＝－1，∴a＋b＝3＋(－1)＝2. 方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解． 探究点二：二次根式的运算
【类型一】 二次根式的加减运算 例2：计算：12－13 －(2)2＋|2－3|. 解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式． 解：原式＝23－33－2＋2－3＝? ?? ??2－13－13＝233. 方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变． 【类型二】 二次根式的四则运算 例3：计算： (1)12223×9145÷35； (2)? ????312－213＋48÷23＋? ????132 ； (3)2－(3＋2)÷ 3. 解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算． 解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2； (2)原式＝? ????63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13 ＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－ 3＋23＝2－1－233. 方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 【类型三】 二次根式的化简求值 例4：先化简，再求值：a 2－b 2a ÷? ????a －2ab －b 2a ，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3. 解析：先将原式化为最简形式，再将a 与b 的值代入计算即可求出． 解：原式＝（a ＋b ）（a －b ）a ÷a 2－2ab ＋b 2 a ＝（a ＋ b ）（a －b ）a ·a （a －b ）2＝a ＋b a －b .当a ＝2＋3，b ＝2－3时，原式＝2＋3＋2－32＋3－2＋3＝423 ＝233. 方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解． 【类型四】 二次根式运算在实际生活中的应用 例5：母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的 壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm 2，另一张面积为450cm 2，他想如果再用金色细彩带把 壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?
80 45 9a 25a 24 12 5 5 5 a a 3 16.3 二次根式的加减(一） 一、教学目标 知识与技能目标：通过自主探究概括同类二次根式的概念及二次根式加减法法则 过程与方法目标：了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式，会利用法则进行二次根式的加减运算 情感态度与价值观目标：通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情， 让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣 二、教学重难点 重点：同类二次根式的概念及二次根式加减运算法则 难点：探讨二次根式加减法运算的方法，准确进行二次根式加减法的运算 三、教法学法 启发式、探讨式 四、教学过程设计 （一）类比引入，探求新知. 1、化简下列两组二次根式 (1) = = (2) = = 2、观察上述两组二次根式，他们各有什么特征？ (1)4 5、3 5 （2）3 a 、5 （ a a ≥ 0） 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 3. 与 是同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 4、做一做 (1)4 - 3 = (2)3 + 5 = 如何合并同类二次根式? 与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数, 根号及根号内部都不变. 32
8 18 12 75 2 9 2 24 12 18 80 7 （二）理解应用，体验成功 1、例题讲解 (1) - (2) + + 4 总结：二次根式加减法的步骤 （1） 将每个二次根式化为最简二次根式； （2） 找出其中的同类二次根式 （3） 合并同类二次根式。 简称为：一化、二找、三合并 （三）课内练习 1. 判断:下列计算是否正确? (1) (2) (3) (4)3 + 1 = - = 1 + = - = 2 2. 计算 (1)2 - 6 (2) - (3)( + (4) - ( (5)( + + 20) + ( 0.5) - ( - 5) - 6) 三.清点收获 由教师开出清单，学生进行清点 1. 同类二次根式的定义? 2. 二次根式加减运算的步骤? 3. 如何合并同类二次根式? （六）课后作业 P14 1、2 2 3 4 4 + 9 2 2 2 3 98 - 27 ) 20 5 2 3 7
xx学校xx学年xx学期xx试卷 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分 一、xx题 评卷人得分 （每空xx 分，共xx分） 试题1: 下列根式中，与是同类二次根式的是（） A. B. C. D. 试题2: 下面说法正确的是（） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 与是同类二次根式 C. 与不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式 试题3: 与不是同类二次根式的是（） A. B. C. D.
下列根式中，是最简二次根式的是（） A. B. C. D. 试题5: 若，则化简的结果是（） A. B. C. 3 D. -3 试题6: 若，则的值等于（） A. 4 B. C. 2 D. 试题7: 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（） A. B. C. 1 D. 3 试题8: 下列式子中正确的是（） A. B. C. D. 试题9: 在中，与是同类二次根式的是。
若最简二次根式与是同类二次根式，则。试题11: 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。试题12: 若最简二次根式与是同类二次根式，则。试题13: 已知，则。 试题14: 已知，则。 试题15: 。 试题16: 计算： 试题17: 计算：
计算： 试题19: 计算： 试题20: 计算及化简： 试题21: 计算及化简： 试题22: 计算及化简： 试题23: 计算及化简： 试题24:
已知：，求的值。 试题25: 已知：，求的值。 试题26: 已知：为实数，且，化简：。试题27: 已知的值。 试题1答案: B 试题2答案: A 试题3答案: A 试题4答案: C 试题5答案: C 试题6答案: C 试题7答案: C
作者姓名赵闪学校土山中学 学科数学年级/班级八年级 教材版本鲁教版课时名称二次根式的j 上课时间 2 学生人数52 本课时的整体设计思路 本课时内容是二次根式加减法的计算，教学方法上以启发引导，讲练结合为主。本课的教学过程主要有以下三个环节：第一个环节类比整式中同类项的导入，用学生讨论交流和教师引导相结合的方式完成对二同类二次根式次根式的学习；第二个环节：第二个环节类比整式加减法的运算导入，用学生讨论交流和教师引导相结合的方式完成对二次根式加减法法则的探究；第三个环节：例题探究与巩固练习，通过设计有层次及逐步深入的练习，使学生理解掌握二次根式加减法多种题型的计算方法，并总结计算中应注意的问题； 教材分析 本节内容出自鲁教版八年级上册第三节第一课时，本节在研究最简二次根式和化简二次根式的基础上，来学习二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。本节重点是二次根式的加减运算，教材从一个实际问题引出二次根式的加减运算，使学生感到研究二次根式的加减运算是解决实际问题的需要。通过二次根式的加减运算，用其解决一些实际问题，来提高我们数学解决实际问题的意识和能力。另外，通过本小节的学习为后面学生熟练进行二次根式的加减运算及加、减、乘、除混合运算做好铺垫。 学情分析 八年级学生通过前两年数学的学习，已经形成了良好的学习习惯，具有小组合作学习的经验，能通过观察、实验等数学活动，积极参与对数学问题的讨论，但一旦思维受阻，心情也会低落，这时急需老师的鼓励与指导；他们在学习本课之前已经学习了整式的加减、二次根式的定义、二次根式的性质及最简二次根式等相关知识；通过本节课的学习，学生将通过与整式加减的类比学习，掌握二次根式加减法运算法则，并最终领会二次根式加减法实质就是合并同类二次根式，合并方法与合并同类项类似。 学习目标一、知识与技能 1、了解同类二次根式的概念，会判断同类二次根式； 2、能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算。 二、过程与方法 经历二次根式运算法则的形成过程，体会类比的数学思想方法 三、情感态度与价值观 1、在与同学交流讨论中，学会倾听、思考，大胆发表自己的观点，并体验学习的 快乐，养成严谨认真的解题习惯； 2、通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的简单的形式美。 教学重难点及解决措施重点：通过化简二次根式，合并被开方数相同的二次根式。 难点：正确合并被开方数相同的二次根式，二次根式加减法的实际应用。 通过复习旧知识，使学生对于知识达到联结的目的，运用创设问题激发学生求知欲。使学生能全面参与学习，多动手动脑加强练习。达到每个学生在学习数学上有不同的发展。 教学过程
16.3二次根式的加减(一） 一、教学目标 知识与技能目标：通过自主探究概括同类二次根式的概念及二次根式加减法 法则 过程与方法目标：了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式，会利用 法则进行二次根式的加减运算 情感态度与价值观目标：通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣 二、教学重难点 重点：同类二次根式的概念及二次根式加减运算法则 难点：探讨二次根式加减法运算的方法，准确进行二次根式加减法的运算 三、教法学法 启发式、探讨式 四、教学过程设计 （一）类比引入，探求新知. 1、化简下列两组二次根式 2、观察上述两组二次根式，他们各有什么特征？ 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 3. 与 是同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 4、做一做 如何合并同类二次根式? ()=801=45()=a 92= a 255354)1(、）（、）（0532≥a a a 2412325 ()=-53541()= +a a 5323
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部都不变.
（二）理解应用，体验成功 1、例题讲解 总结：二次根式加减法的步骤 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式 （3）合并同类二次根式。 简称为：一化、二找、三合并 （三）课内练习 1.判断:下列计算是否正确? 2.计算 三.清点收获 由教师开出清单，学生进行清点 1.同类二次根式的定义? 2.二次根式加减运算的步骤? 3.如何合并同类二次根式? （六）课后作业 P14 1、2 2 4188)2(++7512)1(-()1232=-()94943+=+()2 22234=-) 62()5.024)(5(--+)53()2012)(3(-++) 2798(18)4(--5 2080)2(+-()3 121=+7 672)1(-
§ 3.3二次根式的加减(1) 课型：新授课 ［教学目标］ 知识技能：1、能够正确进行简单的二次根式加减法的运算； 2 、利用二次根式加减法解决一些实际问题. 能力技能：1、通过整式加减法与二次根式加减法运算的比较体会类比思想； 2 、培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力； 3、通过二次根式加减法运算培养学生运算能力； 4 、获得把实际问题转化为数学问题的体验. 情感态度：1、通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣. 2、通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自我意识. ［教学过程］ 一、复习引入 计算下列各式. (1)2x+3x; (2) 2X2-3X2+5X2;( 3) x+2x+3y; (4) 3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并?同类项合并就是字母不变，系数相加减. 二、探索新知 计算下列各式. (1) 2、2 +3、、2 ；(2) 2、8-3 8+5 8 ； (3)丿7 +2 订7 +3 7 ；(4) 3*3-2 -/3 + 舟；2 . 点评：(1)如果我们把.2当成X，不就转化为上面的问题吗？ 2 、、2 +3、、2 =(2+3) 、、. 2 =5、、2 (2)把.8当成y； 2 、8 - 3 8 +5 8 =(2-3+5) ■- 8 =4、8 =8、、2 (3)把, 7 当成z; ■■/7 +2 ?:; 7 +3 -.；9=2 J7 +2』7 +3 /7 =(1+2+3) 7 =6 ：,7 (4) 3 看为x，2 看为y.
』3 -2」3 + [2 =(3-2)」3 + ^2 = ?.；3 +』2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如8 ? J18、3 J3 + ., 27表面上 看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的. 、.8 .18=2、、2+3、、2=5、. 2 ； 3 ^3 ^.27 =^,3+^. 3 =^.3 小结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进 行合并. 三、例题讲解 1、例1 计算：（1）9^ 25a ；（2）80-\45. 解：（1）I 9a 25a = 3. a 5、、a = 8 , a ； （2）J80-、、45 =4 ,5-3 ,5『5. 2、例2 计算：（1）2,^ -6 1 3.48 ；（2）（ 52 -、20）（、、3-、一5） 解：（1）原式=4込-2、、3 12.3 （2）原式V 2一5 厂3厂5 =14 V3 = ^"3+ 7~5 3、问题：现有一块长7.5dm,宽5dm的木板，能否在这块木板上截出两个面积分别为8dm? 和18dm i的正方形木板？ 解：???大、小正方形木板的面积分别为8dmf和18dm2 它们的边长分别为\8 dm和18 dm. 、.8 .18鼻2、,2 3「2 =5「2dm 又?/ .2 ：：1.5 ?可以在这块木板上截取这两个正方形木板 4、例3:要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（结果保留小 数点后两位）？ 4m D Im C
第三讲：二次根式的加减 二、二次根式的加减 1、同类二次根式的概念：化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式就叫做同类二次根式。 例1．当a ＝________时，最简二次根式12-a 与73--a 是同类二次根式． 2、二次根式加减法运算步骤：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 例2：计算： （1）483 2315311312--+ （2）)5.0420010 1(08.027252+-+ （3）a a a a a a a 1082 363273223-+-
(4) 2 + + - + a b b a b a a b 三、二次根式的混合运算： 注：1、在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内仍成立； 2、在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用. 例3：计算： （1） 2 2)3 2 2 3( )3 2 2 3(- - + （2） )7 5 3 )( 7 5 3 (- + + -
（3 ） 2 1 2 (π) --++-+ （4） ? ÷ - 4 8 ) 8 3 2 (3 x x x x （5） 101 10010 3 10 3） （ ） （- +．
《二次根式》全章复习与巩固 一、化简 1、无条件的（所有字母取正数） ① 2、有附加条件的 a＜ ①0)
② 5(03)x x --＜＜ 3、 有隐含条件的（有意义的字母的取值范围） ① 2+ ② - 4、 需要分类讨论的 ① -
二、因式分解（实数范围内） ① 4 a++ ② 2 x x +-- ③ 2 215 x+- 三、解方程（组）
21.3二次根式的加减 一、学习目标 1、了解同类二次根式的定义。 2、能熟练进行二次根式的加减运算。 二、学习重点、难点 重点：二次根式加减法的运算。 难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。 三、学习过程 （一）自主学习 自学课本第10—11页内容，完成下面的题目： 1、试观察下列各组二次根式，哪些是同类二次根式： （1）2322与 （2）x 9x 4与 （3）205与 （4）1218与 从中你得到：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式 2、自学课本例1，例2后，仿例计算： （1（263 （3） 通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应化为 最简二次根式 ，再将其中的同类二次根式合并。 （三）合作交流 (1) )27131( 12-- (2) )512()2048(-++ (3) y y x y x x 1241+-+ （4）)461(9322x x x x x x --
（四）展示交流：计算：（1）()()532532+- （2）()2 3223- （五）达标测评： 1 ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 2、下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）． A ．12与27 C ．m 9m 18与 3、已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式，则满足条件的 a,b 的值为 。 4、计算： （1） （2） x x x x 1246932-+ （3）（4）232282xy x x +-(0,0)x y >> （5）(2ax -5bx )(2ax +5bx ) （6） ()26210-
二次根式的加减法 【学习目标】 1、熟练进行二次根式的化简。 2、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。 3、会利用二次根式的加减运算法则进行计算。 教学重难点及突破 重点：二次根式加减法运算。 难点：1、同类二次根式的概念及其判断方法 2、熟练进行二次根式加减法的运算。 突破：二次根式加减法运算的关键在于二次根式化简，在讲解过程中引入几个整式加减法的运算。 教学方法：启发引导，讲练结合为主，自主探究 教学准备： 教师准备：多媒体课件精选二次根式的加减的例题。 学生准备：复习最简二次根式，预习二次根式的加减运算法则。 教学步骤 （一）、明确目标: 学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）、整体感知: 同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力． 教学设计： 一、复习回顾最简二次根式、整式加减法等知识，引入二次根式加减法 1、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？ 2可以化简吗？ （学生回答）
A、判断是否为最简二次根式的两条标准： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2。 B可以化简 3、什么是同类项？ （https://www.doczj.com/doc/f45563602.html,/view/313812.htm） 4、如何进行整式的加减运算？ https://www.doczj.com/doc/f45563602.html,/view/b2f6351252d380eb62946d99.html （课件出示练习题让学生计算）（计算17题1、2小题） 5、计算：（1）2x-3x+5x （2） 22 23 a b ba ab +- （教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．） （教师提出问题）二次根式的加减运算与整式的加减运算有什么相似之处？这就是今天要探讨的问题——二次根式的加减运算 二、引出同类二次根式并让学生进行判断 1、自学课本第10—11页内容，完成下面的题目： A、什么是同类二次根式？ B、判断是否同类二次根式时应注意什么？ （学生回答）：几个二次根式化成_______________后，如果它们的 ________相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式。 判断是否同类二次根式注意问题： （1）被开方数相同。 （2）二次根式不能再化简。 （3）与二次根式的系数无关 （学生练习） 2、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：https://www.doczj.com/doc/f45563602.html,/Math/Ques/Detail/5ecac9ed-127c-453b-b76a-a0acb7b 79d5b C、如何进行二次根式的加减运算？
21.3二次根式的加减法 班级 座号 姓名 成绩 一、填空与选择（每小题4分，共40分）． 1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数 ，称这几个二次根式为同类二次根式． 2．二次根式的加减：①先把各个二次根式化成 ____________；②再把 _____________分别合并． 3．下列各式中，与2是同类二次根式的是 （ ）. A ．23 B ．6 C ．8 D ．10 4. 已知二次根式42-a 与3是同类二次根式，则的a 值可以是（ ）. A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．计算8－2的结果是（ ）. A ．6 B ．6 C ．2 D ．2 6． 下列计算正确的是（ ） A 3= B ．532=+ C ． = D ．224=- 7．化简：3＋（5－3）=_____________. 8 ．计算：计算：_____________ 9．如果两个最简二次根式3213+-a a 与能合并，那么=a ________ 10．如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所 示的折线从A →B →C 所走的路程为_______m ．（结果保留根号） 二、计算与解答（60分）． 11．（20分）计算： （1）481227+- （2） ()() 1515-+
（3）225213 32+- （4）22)2332()2332(--+ 12.（8x ，小数部分为y ，求xy 的值. 13. （10分）先化简再求值： 215),6()3)(3(+= --+-a a a a a 其中 14．（提升与拓展）（10分）计算 211+＋321+＋431+＋…＋100 991+ 15.（提升与拓展）（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝472,472-=+BD ，求菱 形的边长和面积.
6 8 1 2 24 a + 1 a +1 2 3 5 6 6 2 3 3 3 75 8 32 二次根式加减运算（讲义） ? 课前预习 1. 有理数混合运算的操作步骤： ①观察 ，划 ； ②有序操作，依 ； ③ ． 2. 两大公式： ①平方差公式 ； ②完全平方公式 ． 3. 数轴上 A ，B 两点对应的实数分别为 1，3，点 B 关于点 A 的 对称点为 C ，若点 C 表示的数为 x ，则 x = ． ? 知识点睛 1. 同类二次根式： ． 2. 二次根式的加减法则： ① ；② ． 3. 实数混合运算顺序： 先算 ，再算 ，最后算 ．如果有括号， 先算括号里面的． ? 精讲精练 1. 下列各式与 是同类二次根式的是（ ） A. B ． C ． D ． 2. 与最简二次根式5 是同类二次根式，则 a = ． 3. 已知最简二次根式2 与则 a = ． 的和是一个二次根式， 4. 下列计算正确的是（ ） A ． + = B ． + = 6 C ． 2 + = 2 5. 计算： D ． 2 - = （1） 3 + ； （2） 3 - 5 ； 解：原式= 解：原式= 3 12 4 - 2a 2 3
24 2 3 18 8 9 2 3 1 10 10 24 1 2 2 28 700 1 3 48 32 8 49 2 1 8 2 （3） - 9 ； （4） - ； 解：原式= 解：原式= （5） - ； （6） -10 + ； 解：原式= 解：原式= （7） + - 54 ； （8） - 3 + ； 解：原式= 解：原式= （9） - + ； （10） 2 - 6 + 3 ． 解：原式= 解：原式= 6. 计算： （1） 50 ? ÷ - ；（2）( 45 + ? 18) - 2 ? - 20 ； ? ? ? 解：原式= 解：原式= （3） 1 ( + 3) - 3 ( + 27) ； 2 4 解：原式= 3 2 40 25 6 32 1 7 12 2
二次根式的加减法 一、知识概述 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似． 2、二次根式的加减法法则 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并； (2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变． 3、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”； (2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式． 二、重难点知识 1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．
2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律． 三、典型例题讲解 例1、计算： ． 分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并． 解： ． 例2、计算： 分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．
二次根式的加减说课稿 今天我说课的内容是义务教育课程标准试验教科书数学九年级上册，第二十一章《二次根式》第三节《二次根式的加减》第一课时。下面我将从教材分析、教学方法、学法指导、教学程序、板书设计等五个方面进行陈述。 一. 说教材 1，教材所处的地位和作用 本节是在上节学习的化简二次根式的基础上，进一步学习二次根式的加减。在化简二次根式的同时，引导学生概括出同类二次根式的概念。类比整式的加减运算中的合并同类项，给出二次根式的加减运算法则，进而进行二次根式的加减混合运算。 2,教学目标 知识与能力 1、了解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法。 2、使学生能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算， 过程与方法 正确掌握合并同类二次根式的方法 情感、态度与价值观 在探究合并同类二次根式的方法过程中，发展合作意识和合情推理能力. 教学准备制作课件，提高学生的学习兴趣 教学重点 : 二次根式加减法则及其应用。 教学难点 : 法则的探索与理解。 二，教法与学法：由于初三学生的数学思维特征有具体逻辑思维逐步过渡到抽象逻辑思维，但仍有很大程度的经验性，而二次根式需要有一定的抽象思维能力。因此，本节课运用引导探究法，在教师引导下学生进行自主探究的教学方法。 三，教学构思：本节课是在二次根式的化简的基础上的进一步学习，重点是探索二次根式的加减运算法则。在设计本课时教案时，先复习二次根式的化简，并由此引出同类二次根式的定义，注意引导学生对同类二次根式和同类项、二次根式的加减的合并同类项进行比较学习。在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，逐步渗透类比、概括等数学思想，提高学生用数学方法
16.3 二次根式的加减(1) 第一课时 教学内容 二次根式的加减 教学目标 理解和掌握二次根式加减的方法． 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简． 重难点关键 1．重点：二次根式化简为最简根式． 2．难点关键：会判定是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习引入 学生活动：计算下列各式． （1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减． 二、探索新知 学生活动：计算下列各式． （1）（2） （3（4） 老师点评： （1当成x，不就转化为上面的问题吗？ =（2+3 （2y； （2-3+5 （3当成z；
（1+2+3 （4x看为y． =（3-2+ 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如表面上看是不相同的， 但它们可以合并吗？可以的． （板书） 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并． 例1．计算 （1（2 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：（1=（2+3 （2（4+8 例2．计算 （1） （2++
解：（1）=（12-3+6 （2++ 三、巩固练习 教材练习1、2． 四、应用拓展 例3．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y 2 -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12 ，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值． 解：∵4x 2+y 2-4x-6y+10=0 ∵4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x=12 ，y=3 原式= 23 当x=12 ，y=3时， 原式= 12 五、归纳小结
二次根式的加减--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根 式，进行简单的二次根式加减运算； 2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根 式就叫做同类二次根式. 要点诠释： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根 式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外 的因式无关. 2.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释： (1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 要点二、二次根式的加减 1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简 二次根式，再把其 中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 要点三、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算 加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【典型例题】 类型一、同类二次根式
21．3 二次根式的加减 1．若a a=_______，b=_______． 2_________． 3． 4，则它的周长是________． 5．在实数范围内分解因式：a 2-4=_________． 6大小关系是_________． 7．下列根式中与其他三个不同类的是（ ） A B C D 8．下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ） A B ．18 9．下列根式合并过程正确的是（ ） A ．-=2 B ． C ．1212 ．13-14=112 10+13 ） A ．． 11．若，则y 值为（ ） A ．1 C ．．3 12．一个等腰三角形的两边分别为 ） A ． B ． C ． D ．或 13．计算： （1） （2）
（3（4）14 14．如果△ABC 的三边，P ． 15的整数部分是a ，小数部分是b ，计算+b 的值为________． 16．如图所示，数轴上表示1的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数 是（ ） A -1 B ． C ． D 17．已知，，则代数式a 2-b 2-c 2-2bc 的值是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．无法确定 18．已知2（a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ）的值． 19 1.414 1.7320.01）．
答案: 1．1 1 2 3．． 5．（a 2+2）（）（） 67．C 8．C 9．D 10．C 11．?D 12．D 13．（1）（2）（3）19413， （4 14． 15．．C 17．B 18．?30 ? 19．43+94 5.49 20．解：∵S AE ⊥BC ， ∴×AE=5 2， ∵∠B=30°，∴AB=2AE=?5，? ∴ ABCD 周长C=AB+BC+CD+DA=2AB+2BC=2×5+2×， ∴ 所求ABCD 周长C 的值为
二次根式的加减(1)(第6课时） 学习目标： 1. 使学生知道什么是同类二次根式,会辨别两个根式是否同类二次根式. 2. 使学生会通过合并同类二次根式,进行二次根式的加法与减法运算. 重点:同类二次根式概念以及二次根式的加法与减法运算. 难点:如何辨别两个根式是否同类二次根式. 学习过程 一、复习、类比 1、什么是同类项？ 2、合并同类项（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2 二、探究 1、类比回答：（1）2x 4与-5x 4是 项 （2）3532-与是 二次根式。 归 纳同类二次根式的概念： 。 例： 2、思考：818与是同类二次根式吗？ 3、类比计算：（1）5a+3a= (2)6365+= 归纳怎样合并同类二次根式： 4、如何进行二次根式加减计算？_________________________________ 三、例题 计算
（1）7672+ （2）4580+ 四、课堂小结 比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 五、课堂作业 1 、 、 、 、 是同类二次根式的有 . 2、下列计算正确吗？若错误请改正。 （1 ）53 2=+ （2 ）222 2=+ （3 ）3223 =- （4 ）123492 818=-=-=- 3、以下二次根式：①；③ ；④中，与是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 4、下列计算是否正确？为什么？ （1）3838-= - （2）9494+=+ （3）22223=- 5、计算： （1） （2）2-3 （3）+3
16.3 二次根式的加减(3) 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用． 教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算 （1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算 （1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）?单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用． 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 例1．计算: （1）（6+8）×3（2）（46-32）÷22 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运算规律． 解：（16836383
=18+24=32+26 解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22 =23- 例2．计算 （1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7） 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 解：（1）（5+6）（3-5） =35-（5）2+18-65 =13-35 （2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2 =10-7=3 三、巩固练习 课本练习1、2． 四、应用拓展 例3．已知=2-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0， 化简+，并求值． 分析：由于（1x ++x ）（1x +-x ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可． 解：原式=+ =+ =（x+1）+x-2(1)x x ++x+2(1)x x + =4x+2 ∵=2- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2 ∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2
21.3 二次根式的加减(3) 第三课时 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与 多项式相乘、相除；乘法公式的应用. 教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用. 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算. 重难点关键 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算. 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 .计算 (1) ( 2x+y ) ? zx (2)( 2x 2y+3xy 2 )+ xy .计算 (1) ( 2x+3y )( 2x-3y ) (2)( 2x+1) 2 + (2x-1 ) 2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有( (2) 单项式X 多项式；(3)多项式十单项式；(4)完全平方公式；(5) 如果把上面的X 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？ 整式运算中的X 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切, 也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式. 例1 .计算： 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律, 算规律. 解：(1)(拆+ 5/8)x 73=76 X 亞 X 73 1) ?单项式X 单项 平方差公 式； 式的运用. 二、探索新知 ?仍成立. ?当然 (1) ( \/6 + y/8) X '^3 (2)( 4亞 -3 J 2 )- 2 ?所以直接可用整式的运
有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到 （J x +1 - 7X ）2 X 的值，代入化简得结果即可. （J x +1 + T X ）2 力 (J x +1 +77)(J x +1 ->/x)(J x +1 -7x)(J x +1 +依) =(J x +1 -\/x)2 + (J x +1 +7x)2 (x +1)—X (x +1)—X #8+何=3 返+2^6 解：(4j 6-3 J 2)- 2j 2=4j 6 十 2J 2-3J 2 十 2 近 =2屁 3 2 例2.计算 =3 y/5 -(苗)2+ 18-6 =13-3 75 (2)(应+77)( J 10-&)= U 10) 2 - (77)2 =10-7=3 三、 巩固练习 课本P 20练习1、2. 四、 应用拓展 X — b X — a 例3 .已知亠上=2-—^，其中a 、b 是实数，且a+bM 0, a b 小竹 J x +1 -T X J x +1 +仮 *+箱 化间 ——=+ -------- ——产，并求值. J x +1+J x V x +1-J x （1）（ >y 5+6）（ 3- 75) (2)( 710+77)( 710- 77) 分析：刚才已经分析, 二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立. 解：（1）（J 5+6） （3-75） 分析：由于(J x +1 + J X ) (J X +1 - J X ) =1,因此对代数式的化简，可先将分母