九年级数学二次根式的加减3

21.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）×解：（）÷÷-例2．计算32（1））（（2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1））（2（2））=）2-2=10-7=3三、巩固练习课本P 20练习1、2．四、应用拓展例3．已知=2-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，））=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式=+x b a-x a b -=+ =（x+1）=4x+2∵=2- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ）∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2∴（a+b ）x=（a+b ）2∵a+b ≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、布置作业1．教材P 21 习题21．3 1、8、9．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》作业设计2(1)x x +-2(1)x x+-x b a-x a b -一、选择题1．的值是（ ）． A ．．C ．．2）．A ．2B ．3 C．4 D ．1二、填空题1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________． 2．（）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，a 2b-ab 2=_________．三、综合提高题1．化简 2．当时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识20323232031221．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．ACD2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b ）=a 2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如与也是互为有理化因式．________；_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1；（2）； （3（44．其它材料：如果n=________=_______．答案:一、1．A 2．D二、1．．-24 3．2 4．三、1．原式＝==-）2=== 2（2x+1）∵+1 原式＝2（+3）+6.=22222(1)()21x x xx+++⨯+2(1)(1)1x x xx++++。

二次根式的运算二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

在数学中，二次根式的运算是一项重要的内容，掌握好它们的运算规则和技巧，可以帮助我们更好地解决与二次根式相关的问题。

本文将介绍二次根式的加减乘除运算，以及求解二次根式的近似值的方法。

一、二次根式的加减运算1. 相同根式的加减运算当两个二次根式具有相同的根号部分时，可以直接对根号内的数进行加减运算，并保持根号部分不变。

例如：√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 02. 不同根式的加减运算当两个二次根式具有不同的根号部分时，无法直接进行加减运算。

此时，我们需要进行有理化处理，将二次根式化为同类项后再进行运算。

有理化的方法包括乘以其共轭形式、分子有理化等。

下面以乘以共轭形式为例进行说明。

例如：（√2 + √3）- (√2 - √3)= √2 + √3 - √2 + √3（将括号内的式子加上负号，改为减法）= √2 - √2 + √3 + √3（合并同类项）= 2√3二、二次根式的乘除运算1. 乘法法则当计算两个二次根式的乘积时，我们可以直接将根号内的数相乘，并将根号部分合并为一个根号。

例如：√2 × √3 = √62. 除法法则当计算两个二次根式的商时，我们可以直接将根号内的数相除，并将根号部分合并为一个根号。

例如：√6 ÷ √2 = √3三、二次根式的近似值求解在一些实际问题中，我们往往需要求解二次根式的近似值。

这时，我们可以利用计算器或者近似计算的方法得到结果。

例如：求解√5的近似值，我们可以使用计算器进行计算，得到约等于2.236。

四、总结通过本文的介绍，我们了解到了二次根式的运算方法。

在进行加减运算时，相同根式直接加减，不同根式需要进行有理化处理；在进行乘除运算时，直接进行乘除运算并合并根号部分。

另外，在求解二次根式的近似值时，可以利用计算器或者近似计算的方法获得结果。

掌握好这些运算方法，可以帮助我们更好地解决与二次根式相关的问题。

二次根式的运算加减乘除二次根式，是指具有根号的数学表达式，常见形式为√a或√(a + b)，其中a和b为实数。

本文将围绕二次根式的运算进行讨论，包括加法、减法、乘法和除法。

一、二次根式的加法对于两个具有二次根式形式的数，如√a和√b，它们的和可以通过以下步骤进行计算：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式，即将根号内的数分解为互质的因数。

例如，√20可以化简为√(4 × 5)，再进一步化简为2√5。

Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相加。

例如，对于√20 + √45，可以分别先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相加得到5√5。

因此，二次根式的加法运算要先将根号内的数化简为互质的因数，然后合并相同根号部分。

二、二次根式的减法二次根式的减法与加法类似，也需要先将根号内的数化简为最简形式，然后合并相同根号部分。

以下是减法的步骤：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式。

Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相减。

例如，对于√20 - √45，可以先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相减得到-√5。

需要注意的是，减法运算中可能会出现负数的结果，这也是合理的。

三、二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过以下步骤进行：Step 1: 将两个二次根式进行分解，将根号内的数分别因式分解为互质的因数。

例如，对于√20 × √45，可以将20分解为2 × 2 × 5，45分解为3 × 3 × 5。

Step 2: 将每个二次根式的因数进行合并。

例如，√20 × √45可以化简为(2 × √5) × (3 × √5)。

Step 3: 将合并后的二次根式继续化简为最简形式。

对于(2 × √5) × (3 × √5)，可以合并根号前的系数，得到6 × √(5 × 5)，即6 × √25。

二次根式的加减二次根式是代数中常见的一种形式，它可以表达为√n的形式，其中n是一个非负实数。

在代数学中，我们常常需要对二次根式进行加减运算。

本文将探讨二次根式的加减规则以及一些实际问题的应用。

一、二次根式的加法对于两个相同的二次根式√n的相加运算，我们可以简化为2√n。

例如，√3 + √3 = 2√3。

对于两个不同的二次根式√m 和√n 的相加运算，我们需要考虑它们的根数是否相同。

如果根数相同，即两个二次根式的根数都为m，那么它们可以合并为(√m + √n)。

例如，√5 + √5 = 2√5。

如果根数不同，我们无法直接合并它们。

在这种情况下，我们可以先将它们的根数调整为相同的形式，然后再进行合并。

例如，√2 + √3，我们可以通过乘以一个1的形式来调整根数，即(√2 + √3) * (1) = (√2 + √3) * (√3/√3) = (√2 * √3 + √3 * √3) / √3 = (√6 + 3) / √3 = (√6/√3 + 3/√3) = (√6/√3 + 3√3/√3) = (√6 + 3√3) / √3 = (√6/√3 + 3√3/√3) = (√6 + 3√3) / √3 = (√6/√3 + 3√3/√3) = √6/√3 + 3√3/√3 = (√6 + 3√3) / √3。

二、二次根式的减法对于两个相同的二次根式√n的相减运算，我们可以简化为0。

例如，√4 - √4 = 0。

对于两个不同的二次根式√m 和√n 的相减运算，我们的方法与二次根式的加法类似。

我们需要调整它们的根数，使它们变为相同的形式，然后再进行运算。

例如，√7 - √3，我们可以通过乘以一个1的形式来调整根数，即(√7 - √3) * (1) = (√7 - √3) * (√7/√7) = (√7 * √7 - √3 * √7) /√7 = (7 - √21) / √7。

三、二次根式的应用二次根式在实际问题的求解中经常出现。

二次根式的加减法二次根式是数学中的一种特殊类型，由一个根号和一个数构成。

在这篇文章中，我们将讨论二次根式的加减法运算。

通过理解二次根式的性质和运算规则，我们能够有效地计算和简化这类数学表达式。

一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a的数学表达式，其中a为一个非负实数。

根号下的数称为被开方数，√a读作a的二次根。

例如，√4和√9分别等于2和3，因为2²等于4，3²等于9。

这些数都是被开方数的平方根。

二、二次根式的加法与减法原则1. 加法原则：当两个二次根式具有相同的根号下数时，我们可以将它们合并为一个根号下，然后在对应的系数上进行加法运算。

例如，√5 + 2√5 = 3√5解释：这里的√5和2√5具有相同的根号下数5，所以可以将它们合并为3√5。

2. 减法原则：与加法类似，在两个二次根式具有相同的根号下数时，我们可以将它们合并为一个根号下，然后在对应的系数上进行减法运算。

例如，3√7 - √7 = 2√7解释：这里的3√7和√7具有相同的根号下数7，所以可以将它们合并为2√7。

三、示例与应用让我们通过几个示例来进一步了解二次根式的加减法运算。

示例1：计算：√8 + 3√2解答：√8 = √4 × 2 = 2√2所以，√8 + 3√2 = 2√2 + 3√2 = 5√2示例2：计算：5√10 - 2√10解答：5√10 - 2√10 = 3√10示例3：计算：√18 + 4√3 - 2√12解答：√18 = √9 × 2 = 3√2√12 = √4 × 3 = 2√3所以，√18 + 4√3 - 2√12 = 3√2 + 4√3 - 2√3 = 3√2 + 2√3四、简化与合并在进行二次根式的加减法运算后，我们可以进一步将结果进行简化与合并。

具体而言，可以将相同根号下数的二次根式合并为一个根号下，并且对应的系数进行加减运算。

例如，2√5 + 3√5 = (2+3)√5 = 5√5在这个步骤中，我们将2√5和3√5合并为5√5，并对应的系数2和3进行加法运算。

二次根式加减运算法则公式1. 什么是二次根式？二次根式是指某个数的平方根，其中这个数可以是整数、分数或者解析式的形式。

例如√16、√(4/9)、√(x+1) 都是二次根式。

2. 二次根式加减法则对于二次根式的加减运算，需要遵循一定的法则，以下是二次根式加减法则：1. 对于同类项的二次根式，即根号里面的数相同的根式，可以直接合并，例如√2+√2=2√2。

2. 对于不同类项的二次根式，则不能直接合并，需要进行化简，即将其转化为同类项的形式后再合并。

3. 化简的方法一般有提公因式、有理化分母等，但需要保证等式两边的值相等。

3. 实例分析为了更好地了解二次根式加减法则，下面举几个例子进行分析：1. 化简√10+2√5-√80将√10 和√5 提取公因式得到√10+2√5-√80=√2(5+10-40)=√2(-25)=-5√2。

因此，√10+2√5-√80=-5√2。

2. 化简√(2/5)+√(3/20)先将分母提出来，即√(2/5)+√(3/20)=√(2)/√(5)+√(3)/√(20)。

然后将分母有理化，即分别用√(5) 和√(20) 乘以相应分子分母。

化简后的结果是：√(2)/√(5)+√(3)/√(20)=√(40)/5+√(15)/10。

3. 化简√3-√7+√12将√3和√12提取公因式，得到√3-√7+√12=√3+2√3-√7-2√3+√12=(√3+2√3+√12)-(2√3+√7)因此，√3-√7+√12=3√3-√7-2√3+√12=√3-√7+√12。

4. 总结二次根式是基础数学中的重要概念，对于二次根式的加减运算，也有一定的规则和方法。

只有掌握了二次根式的加减法则，才能更好地处理涉及到二次根式的问题。

二次根式的运算二次根式是指具有2次方根号的数学表达式，它在数学中有着广泛的应用。

在数学运算中，我们常常需要对二次根式进行加减乘除以及化简等操作。

本文将介绍二次根式的运算方法，以帮助读者更好地理解和应用二次根式。

一、二次根式的加减运算对于具有相同根指数的二次根式，我们可以通过合并系数进行加减运算。

例如：√2 + √3 = √2 + √3 （无法合并）√2 + √2 = √2 + √2 = 2√2当根指数或根数不同的时候，我们无法进行直接相加或相减。

例如：√2 + √3 （无法直接相加）这种情况下，我们可以使用有理化的方法将根式的根指数或根数相同，然后再进行加减操作。

有理化的方法有以下两种常见形式：1. 乘法有理化：a√n + b√n = (a + b)√n （其中 a 和 b 为任意实数）2. 共轭有理化：a√n + b√m = (a√n + b√m)×(√n - √m) / (√n - √m) = (a√n√n - b√m√n +b√m√n - b√m√m) / (√n - √m)二、二次根式的乘除运算1. 乘法运算：a√n × b√m = ab√n√m （其中 a 和 b 为任意实数）2. 除法运算：(a√n) ÷ (b√m) = (a√n) / (b√m) = (a / b) × (√n / √m) = (a / b) × (√n√m / √m√m) = (a / b) × (√nm / m)三、二次根式的化简当根式中的根数是平方数的倍数时，我们可以将其化简为整数形式。

例如：√4 = 2√9 = 3当根式中存在约数时，我们可以将其提出并化简。

例如：√18 = √9 × √2 = 3√2对于复杂的二次根式，我们可以应用上述的运算规则进行多次化简，直至得到最简形式。

总结：通过本文的介绍，我们了解了二次根式的运算方法，包括加减乘除和化简。

数学二次根式的运算二次根式是代数中常见的表达式，它可以用来表示开方运算。

在数学中，我们经常需要对二次根式进行运算，包括加减乘除等操作。

本文将探讨二次根式的运算规则及其应用。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。

√a表示a的平方根，也就是一个数的平方等于a。

例如，√9=3，√16=4。

二次根式的运算可以分为简化、加减、乘法和除法四种基本形式。

下面我们分别来介绍这些运算规则。

二、二次根式的简化当二次根式的下标含有完全平方因子时，我们可以将其进行简化。

例如，√12=√(4×3)=2√3。

这里，我们将12拆分成4和3，然后把4的平方根提取出来。

简化二次根式的关键是找到下标的因子，并将其拆分成完全平方。

这样，我们就可以把其中的完全平方根提取出来，从而得到更简洁的表达式。

三、二次根式的加减对于二次根式的加减运算，我们首先要保证它们的下标相同。

如果下标不同，我们需要进行二次根式的化简，使其下标相同。

然后，根据运算法则，将相同下标的系数相加或者相减即可。

例如，√2+√2=2√2，√5-√3无法进行运算，因为它们的下标不同。

如果需要进行运算，我们可以采用化简的方法，将√5写成√(25/5)=√5/√5。

四、二次根式的乘法二次根式的乘法运算很简单，只需要将系数和下标分别相乘即可。

例如，√2×√3=√(2×3)=√6。

在乘法运算中，如果有完全平方因子，我们可以提取其平方根。

例如，√2×√8=√(2×4×2)=2√2。

五、二次根式的除法二次根式的除法运算可以通过乘以倒数来实现。

例如，(√2)/(√3)=√2/√3=√(2/3)。

除法运算中，如果有完全平方因子，同样可以进行化简。

例如，(√12)/(√4)=(√(4×3))/(√4)=√3。

六、二次根式的应用二次根式的运算在数学中有广泛的应用，尤其在几何和物理学中常见。

例如，在计算三角形的边长时，可能会遇到涉及二次根式的运算。

二次根式的运算根式的加减乘除法则根式是数学中的一种特殊表示形式，用来表示不能精确表示的数值。

在根式中，二次根式是一种常见形式，它的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。

一、二次根式的加法法则当我们进行二次根式的加法时，要求根号下的数相同，即根号下的数应该是相同的。

例如，要计算√2 + √2，可以将它们合并为2√2。

同理，如果要计算3√5 + 4√5，可以将它们合并为7√5。

这种合并相同根号下数值的方法，使我们可以简化计算过程，得到更简洁的结果。

二、二次根式的减法法则二次根式的减法法则和加法法则类似，也要求根号下的数相同。

例如，要计算√3 - √2，我们无法直接合并，因为它们的根号下的数不同。

在这种情况下，我们可以保持根号下的数不变，得到√3 - √2。

这就是二次根式的减法的最简形式。

三、二次根式的乘法法则当我们进行二次根式的乘法时，可以将根号下的数相乘，然后再把它们的根号提取出来。

例如，要计算√2 × √3，我们可以先把2和3相乘得到6，然后再提取根号，得到√6。

同理，如果要计算2√5 × 3√7，我们可以先将5和7相乘得到35，然后再提取根号，得到6√35。

四、二次根式的除法法则二次根式的除法法则和乘法法则相反，我们可以将根号下的数相除，然后再把它们的根号提取出来。

例如，要计算√5 ÷ √2，我们可以先把5除以2得到2.5，然后再提取根号，得到√2.5。

同理，如果要计算5√10 ÷ 2√3，我们可以先将10除以3得到3.33，然后再提取根号，得到1.83√2。

总结：二次根式的加减乘除法则为：1. 加法法则：要求根号下的数相同，将相同根号下的数值合并，得到最简形式。

2. 减法法则：要求根号下的数相同，保持根号下的数不变，得到最简形式。

3. 乘法法则：将根号下的数相乘，然后提取根号，得到最简形式。

4. 除法法则：将根号下的数相除，然后提取根号，得到最简形式。

这些法则可以帮助我们在进行二次根式的运算时，简化计算过程，得到最简形式的结果。

二次根式的加减法二次根式是指根号下含有变量的代数式，表现形式为√a ，其中 a 为非负实数。

在数学中，我们常常需要对二次根式进行加减运算。

本文将详细介绍二次根式的加减法规则，以及一些实用的求解技巧。

一、二次根式的基本性质在进行二次根式的加减法之前，我们需要了解一些二次根式的基本性质，以便于后续运算。

1. 同类项的概念在进行加减法运算时，我们需要保证参与运算的二次根式是同类项。

同类项指的是具有相同根指数和根数的项。

例如，√2 和2√2 就是同类项，因为它们的根指数都为 2，且都是根号下的 2 乘以某个系数。

2. 二次根式的合并在进行加减法运算时，我们可以通过合并同类项的方式简化计算。

合并同类项的基本原则是保留相同根指数和根数，将系数相加或相减。

3. 二次根式的乘法与除法对于二次根式的乘法和除法，我们可以使用以下规则进行计算：•乘法：二次根式的乘法可以通过将根号内的数相乘，并保留相同的根指数和根数，这相当于将系数相乘。

•除法：二次根式的除法可以通过将根号内的数相除，并保留相同的根指数和根数，这相当于将系数相除。

二、二次根式的加法运算二次根式的加法运算可以通过合并同类项的方式进行，具体步骤如下：1.检查所要相加的二次根式是否为同类项，即根指数和根数是否相同。

2.如果是同类项，将系数相加，并保留相同的根指数和根数。

3.如果不是同类项，无法进行直接加法运算，需要将它们转化为同类项后再进行相加。

下面举一个具体的例子来说明二次根式的加法运算：例：计算√2 + 2√2这里的√2 和2√2 是同类项，因为它们的根指数都为 2，且都是根号下的 2 乘以某个系数（1 和 2）。

根据同类项的合并原则，我们将系数相加得到最终结果，即√2 + 2√2 = 3√2 。

三、二次根式的减法运算二次根式的减法运算与加法运算相似，同样是通过合并同类项进行计算。

具体步骤如下：1.检查所要相减的二次根式是否为同类项，即根指数和根数是否相同。