全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》(高级中学)核心讲义(数学学科基础知识 下)【圣才出品

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全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（高级中学）核心讲义

第3章数学学科基础知识（下）

3.1考纲解读
数学学科知识包括大学本科数学专业基础课程和高中课程中的数学知识。
1．大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论
与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连续函数、
一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识。
其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数
学的问题。
2．高中数学知识是指《课标》中所规定的必修课全部内容、选修课中的系列1、2的
内容以及选修3-1（数学史选讲），选修4-1（几何证明选讲）、选修4-2（矩阵与变换）、
选修4-4（坐标系与参数方程）、选修4-5（不等式选讲）。
其内容要求是：理解高中数学中的重要概念，掌握高中数学中的重要公式、定理、法则
等知识，掌握中学数学中常见的思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、
数据处理等基本能力以及综合运用能力。

3.2核心讲义
一、随机现象与概率
（一）随机现象的基本特征
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1．可重复性

2．不确定性或随机性
3．稳定性
（二）概率的概念
概率表示的是一个量，它和质量、长度、面积等有着相同的性质（如：非负性和可加性）。
概率是满足一种公理体系的特殊测度。
1．样本空间和随机事件
（1）在随机现象中，随机试验有很多结果，它们是不能同时发生的，可以用一个字母
（如ω）表示其中一个结果，所有可能出现的结果构成一个集合，记做Ω。把集合Ω称为样
本空间。Ω中的元素ω称为样本点。
（2）面对同一个实际问题，什么是一个“结果”可能看法不同，将导致描述同一个随
机现象会引入不同的样本空间。
（3）在随机事件中，有两个特殊的随机事件：不可能事件和必然事件。不可能事件用
φ表示，必然事件用Ω表示。
（4）一般，由一个样本点组成的单点集称为基本事件。
（5）如果事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B互不相容。
2．事件域
事件域Ω表示所有样本点组成的集合，F是由Ω的某些子集组成的集族，F的元素是Ω
的子集，从公理化的角度来说，需要F满足以下三个条件：
（1）
（2）若A∈F，则A∈F；
（3）若
k

A
∈F，k=1，2，3，…，则

1
k
k

UAF




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3．概率

（1）设Ω为一个样本空间，F为它的一个事件域，通常把F中的元素称作随机事件，
对每一个事件A∈F，定义一个实数P（A），满足以下条件：
①P（A）≥0；
②P（Ω）=1；
③
1A，2

A，…，kA
，…为一列两两不相容的事件；

（2）则11()()kkkkPUAPA称P（A）为事件A的概率。（Ω，F，P）称为一个概
率空间。
（三）统计中的随机性
统计学是从数据中提取信息，并利用信息解决问题的学科，统计学有两类，一类叫描述
性统计学，另一类称作推断性统计学，又称作数理统计学。这些也可以看作研究数据的两种
思路。

二、统计：统计问题与基本的步骤
（一）统计问题的认识
1．统计的概念
统计就是研究如何搜集、整理、汇总、描述和分析数据资料，并在此基础上进行推断和
决策的一门学科。
2．统计问题的思维方式
统计问题是一种归纳的思维方式，传统的数学思维更强调演绎。
（二）解决统计问题的基本步骤
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解决统计问题的基本步骤

1．要根据实际的任务或课题提炼或归结出关键的统计问题。
2．根据实际问题需要和统计的目的，选择普查或者抽样调查的方法收集数据。
3．对数据进行适当的整理、分析，将大量的数据转化为比较直观的形式。
4．用样本的频率分布估计出总体的分布，用样本的基本数字特征估计出总体的基本数
字特征。
5．要对统计推断做可能的检验。
6．在完成统计工作后，要进行回顾与反思。
（三）设计有效的统计活动
1．要会判断好的统计问题
一个好的统计问题应有如下特点：
（1）问题来自学生的实际或是学生容易理解的现实问题；
（2）体现要教授的统计思想和统计方法；
（3）能引起学生的兴趣并适合学生的认知水平；
（4）能充分利用现代信息技术进行数据的分析。
2．鼓励帮助学生从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
3．学生获取数据信息后，进行整理和分析数据。
4．还要能从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释。
5．进一步体会用样本估计总体的思想。

三、概率模型
（一）古典概型
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1．古典概型的概念

古典概型是一种特殊的数学模型，由于它在概率论发展初期的时候是主要的研究对象，
许多概率的最初结果也都是由它得到的，所以称它为古典概型。
2．古典概型的特征
古典概型的两个特征：
（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等。
只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。
（二）几何概型
几何概型讨论的是连续性随机变量中的均匀分布。由于历史上它的解最早是用几何方法
来求的，人们把它称为几何概型，由于积分的出现，这种方法目前的意义已经不大。
（三）二项分布
进行n次独立试验，每次试验只有两个结果，一个结果是A，另一个结果是，每次
试验结果A出现的概率相同，记录n次试验中A出现的次数的概率分布，这样的概率分布
模型称作二项分布。
（四）超几何分布
1．超几何分布是统计学上一种离散概率分布，它描述了由有限个物件中抽出n个物件，
成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。
2．超几何分布是产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件
不合格品，即不合格率P=M／N。
（五）数学模型与实际问题
数学模型并非是现实生活的确切描述，而且同一个现实对象可以用不同的模型来描述。
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四、统计模型
（一）回归分析
（1）在统计中，回归分析和相关分析是应用非常广的。
（2）相关分析主要是分析这些量关系强弱，而回归分析是求这些关系的近似函数表示。
回归分析中最重要的是线性回归，即求两个变量的近似线性函数关系。
（二）独立性检验
例如，吸烟与肺癌是否有关、人的性别与掌握英语的能力是否有关，等等。要说明吸烟
与肺癌无关，只需说明：吸烟人中患肺癌的百分比，与不吸烟人中患肺癌的百分比基本相同。
这就是独立性检验的基本思想。
（三）假设检验
（1）在高中阶段，教师只给出假设检验的思想。
（1）就内容来说，只讨论在给定假设下，小概率事件发生从而否定假设的情形。并不
全面介绍这一理论。也不引入各种名词和术语。
（四）聚类分析
（1）聚类分析是一种分类方法。每个个体通常由多个指标来刻画。
（2）聚类分析的基本思想是引进距离，利用距离的大小进行分类。
①给出样本与样本之间、类与类之间的距离。用距离来刻画样本与样本之间、类与类之
间的相近程度。
②对样本进行分类。不同的聚类分析方法，通常是指引进的距离不同。