多目标规划与数学模型

第六章 最优化数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划§4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法§5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。

而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。

它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。

最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。

最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。

（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。

一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。

设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。

（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。

例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。

在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。

max(min)Z f1( x1, x2,, xn )
i ( x1, x2,, xn ) gi (i 1,2,, m)
f
min j
fj
f
max j
(
j
2,3,,
k)
方法四 目标达到法 首先将多目标规划模型化为如下标准形式：
f1( X )
min
F
(
x
)
min
f2
(X
)
fk
(
X
)
1
(
（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描 写为如下形式：
max(min)
f1
(
X
)
Z F ( X ) max(min) f2 ( X )
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
s.t.
(
X
)
2(X
)
G
g2
m ( X )
gm
式中： X [ x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量。
∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2、目标约束和绝对约束
引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题 有了新的限制，既目标约束。
目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起 作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。
绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或 不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对 约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。
目标规划的图解法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较

s.t
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x c x c x b k2 2 kn n k k1 1 x1 , x2 , , xn 0
对目标函数和约束条件作适当处理．
目标规划的基本概念： 目标值和偏差变量 目标约束和绝对约束 达成函数（即目标规划中的目标函数） 优先因子（优先等级）与优先权系数 满意解（具有层次意义的解）

1、目标值和偏差变量
目标规划通过引入目标值和偏差变量， 将原目标函数和原约束条件转化为目标约束。 目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。 实际值或决策值：是指当决策变量xj 选定以后， 目标函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实际值 和目标值之间的差异,记为 d （d≥0 )。 正偏差变量：表示实际值超过目标值的部分， 记为 d＋。 负偏差变量：表示实际值未达到目标值的部分， 记为 d－。
盾方程时，线性规划方法是无法解决的．实践中，
人们转而采取“不求最好，但求满意”的策略，
在线性规划的基础上建立一种新的数学规划方
法——目标规划．
二 目标规划概述 目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。 （一）目标规划与线性规划的比较 1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约 束条件下的极值问题； 而目标规划是多个目标决策，可求得更切合实际的解。 2、线性规划求最优解； 目标规划是找到一个满意解。
在一次决策中，实际值不可能既超过目标值又 未达到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,
并规定d＋≥0, d－≥0 实际操作中，当目标值确定时，所做的决策只可 能出现以下三种情况（即由d+和d- 所构成的3种不 同组合表示的含义）： 当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。

图7.1两目标最优解的解集
7.3 多目标优化问题的求解方法
7.3.1 评价函数法
评价函数法的主要思想是根据优化问题的特点和决策者的意图，构造一个把m个目标 转化为一个总目标的评价函数。通过对m个目标的“评价”，把求解多目标极小化问题归 结为求解与之相关的单目标极小化问题。
1. 线性加权和法 这是一种最简单也是最基本的评价函数法。它根据各个目标在问题中的重要程度，分别赋 予一个系数，然后相加起来构造评价函数 t 对于一组目标函数F1,F2,…,Ft，分别赋予系数 W1,W2,…,Wt 例7-4 用例7-2来说明线性加权和法的求解过程。 解：由问题可知，钢梁设计问题归结为下面评价函数(约束条件略)
这就是在给定的权系数下问题的最优解。若权系数改变，结果也就随之而变化。 2. 理想点法 理想点法也有很多种，这里介绍其中的极大模理想点法。 基本思想是，首先求出分目标函数 F1,F2,…,Ft各自的极小值 F1* , F2* , Ft* ，然后确定表示各目 标函数逼近其极小值重要程度的权系数 Wi 0 i 1, 2, , t ，将原来的多目标最优化问题转化 min 成下列单目标最优化问题 求解得到的最优解 X x1 , x 2 , x t , 即为原问题的最优解
V ( / 4)(D d ) 2 H 0 0.785( x1 x2 ) 2 (0.35x3 x2 1.5x1 ) 105
2
约束条件 2 [ ]
2d 65 d D 88
4C 8
(C D / d )
强度约束 筒体内径约束 旋绕比约束 变形约束
约束条件
r 2 [( 1 ) 2 (
x 2 x2 2 ) ] min 2 x1 H 0
2 1