2019版高考数学一轮复习题组训练第1章第3讲 逻辑联结词、全称量词与存在量词(含最新模拟题) Word版含答案

考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2．全称量词与存在量词（1）理解全称量词与存在量词的意义.（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.一、逻辑联结词1．常见的逻辑联结词：或、且、非∧，读作“p且一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起，得到一个新命题，记作p qq”；∨，读作“p或q”；用联结词“或”把命题p和q联结起，得到一个新命题，记作p q⌝，读作“非p”．对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作p2．复合命题的真假判断“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）确定：含有逻辑联结词的命题的真假判断：∧中一假则假，全真才真．（1）p q∨中一真则真，全假才假．（2）p q⌝真假性相反．（3）p与p注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念. 二、全称命题与特称命题 1．全称量词和存在量词用中可以灵活地选择.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：考向一 判断复合命题的真假1．判断“p q ∧”、“p q ∨”形式复合命题真假的步骤： 第一步，确定复合命题的构成形式； 第二步，判断简单命题p 、q 的真假； 第三步，根据真值表作出判断．注意：一真“或”为真，一假“且”为假．2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式． 3．当p q ∨为真，p 与q 一真一假；p q ∧为假时，p 与q 至少有一个为假.典例1 设a 、b 、c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是 A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧⌝（）（）D ．p q ∨⌝（）【答案】A【解题技巧】1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式． 如：a ≥3是a >3或a ＝3；y ＝0是＝0或y ＝0；2＋y 2＝0是＝0且y ＝0.1．已知命题p ：∀∈R,2<3；命题q ：∃∈R ，3＝1－2，则下列命题中为真命题的是 A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )考向二 判断全称命题与特称命题的真假要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.典例2 下列命题中是假命题的是A ．,,αβ∃∈R 使sin()sin sin αβαβ+=+B ．ϕ∀∈R ，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数C ．m ∃∈R,使243()(1)m m f x m x-+=-是幂函数，且在(0,)+∞上单调递减D ．0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点 【答案】B【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以选择题为主，难度一般不大.2．若命题22:421p x ax x a x ∀∈++≥-+R ，是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(]2-∞，B ．[2+)∞，C ．(2,)-+∞D ．(2,2)-考向三 含有一个量词的命题的否定一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.典例3 已知命题()31,,168p x x x ∀∈+∞+>：，则命题p 的否定为A ．()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+≤： B ．()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+<：C ．()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤：D ．()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+<：【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤：.故选C.3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 A ．0x x ∀∈>R ，B ．000x x ∃∈>R ，C ．0x x ∀∈≤R ，D ．000x x ∃∈≤R ，1．设命题:,2ln 2xp x Q x ∃∈-<，则p ⌝为A ．,2ln 2xx Q x ∃∈-≥B ．,2ln 2xx Q x ∀∈-< C ．,2ln 2xx Q x ∀∈-≥D ．,2ln 2xx Q x ∀∈-=2．设集合2{|02},{|2}M x x N x x x =∈<≤=∈≥R R ，则 A ．,x N x M ∀∈∈ B ．,x M x N ∀∈∈ C ．00,x N x M ∃∉∈D ．00,x M x N ∃∈∉3．下列命题中的真命题是 A ．∃∈[0，π2]，sin ＋cos ≥2B ．∀∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan>sinC ．∃∈R ，2＋＝－1D ．∀∈R ，2＋2>4－34．已知命题p ：“,a ba b ∀>>”，命题q ：“000,20xx ∃<>”，则下列为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∨⌝5．已知函数()3f x x =和()12xg x -=，命题()():,p f x g x 在定义域内都是增函数；命题:q 函数()()y f x g x =-的零点所在的区间为（0，2），则在命题：,,p q p q p q ∧∨⌝∧中，真命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．36．下面四个命题：1p ：命题“2,2n n n ∀∈>N ”的否定是“0200,2n n n ∃∉≤N ”； 2p 向量()(),1,1,m n ==-a b ，则m n =是⊥a b 的充分且必要条件；3p ：“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC △中，若sin sin A B ≤，则A B ≤”； 4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 是假命题.其中为真命题的是 A ．12,p pB ．23,p pC ．24,p pD ．13,p p7．命题“x ∃∈R ，()2110x m x --+<”为假命题，则实数m 的取值范围为__________． 8．已知命题:P x ∀∈R ， ()22log 0x x a ++>恒成立，命题[]0:2,2Q x ∃∈-，使得022x a ≤，若命题P Q ∧为真命题，则实数a 的取值范围为__________．1．（2016浙江理科）命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <2．（2018北京理科）能说明“若f （）>f （0）对任意的∈（0，2］都成立，则f （）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．3．（2015山东理科）若“[0,]tan 4x x m π∀∈≤，”是真命题，则实数m 的最小值为__________________．1．【答案】B【解析】由20＝30知p 为假命题；令h ()＝3＋2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程3＋2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．3．【答案】C【解析】由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.1．【答案】C【解析】由含有一个量词的命题的否定的概念可得p ⌝：,2ln 2xx Q x ∀∈-≥，故选C ．【名师点睛】（1）该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确特称命题的否定是全称命题，即可得结果.（2）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则写出命题的否定． 2．【答案】B【解析】由22x x ≥得02x ≤≤，即}{|02N x x =∈≤≤R ，所以M N ⊆，根据全称命题的特点和子集的定义，得出正确选项为B ．【名师点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系以及全称命题和特称命题的特征等，属于易错题.错误的主要原因是没有弄懂全称命题和特称命题的定义.解本题时，先由不等式22x x ≥求出x 的范围，写成集合即为N ，再得出集合M ，N 之间的关系，最后得到正确的选项.4．【答案】C【解析】对于命题p ，当a =0，b =−1时，0>−1，但是|a |=0，|b |=1，|a |<|b |，所以命题p 是假命题.对于命题q ，000,20x x ∃<>，如1011,2=0.2x -=->所以命题q 是真命题. 所以p q ∨为真命题. 故答案为C.【名师点睛】（1）本题主要考查全称命题和特称命题的真假，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些基础知识的能力.（2）复合命题的真假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. （3）求解此类问题时，先判断命题p 和q 的真假，再判断选项的真假.【名师点睛】首先判断简单命题,p q 的真假，再由复合命题的真值表可判断复合命题的真假.复合命题的真值表：6．【答案】B【解析】对于1p ：命题“2,2n n n ∀∈>N ”的否定是“0200,2nn n ∃∈≤N ”，所以1p 是假命题；对于2p 向量()(),1,1,m n ==-a b ，所以⊥a b 等价于m −n =0即m =n ，则m n =是⊥a b 的充分且必要条件，所以2p 是真命题；对于3p ：“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC △中，若sin sin A B ≤，则A B ≤”，所以3p 是真命题； 对于4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 或q 是假命题，所以4p 是假命题. 故答案为B.【名师点睛】本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.7．【答案】[]1,3-【解析】命题“x ∃∈R ，()2110x m x --+<”是假命题，则命题的否定是：“x ∀∈R ，()2110x m x --+≥”是真命题，则()2140m ∆=--≤，解得13m -≤≤，故答案为[]1,3-.【名师点睛】应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型：（1）全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识解决． （2）特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题时，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 2．【答案】y =sin （答案不唯一）【解析】令()(]0,04,0,2x f x x x =⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，则f （）>f （0）对任意的∈（0，2］都成立，但f （）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （）=sin ，则f （0）=0，f （）>f （0）对任意的∈（0，2］都成立，但f （）在［0，2］上不是增函数.【名师点睛】要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使()0p x 不成立即可.通常举分段函数.。

备战高考2019年高考数学一轮复习第1章集合与简易逻辑第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试要求：1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2.理解全称量词和存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理，自主学习一、基础知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q，p∨q，￢p的真假判断2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.3.全称命题和特称命题二、双基自测训练1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和￢p不可能都是真命题．(√)(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(×)(5)命题￢(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)2.命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是()A.￢p：∀x∈R，x≤1B.￢p：∃x∈R，x≤1C.￢p：∀x∈R，x<1D.￢p：∃x∈R，x<1解析特称命题的否定为全称命题.∴￢p：∀x∈R，x≤1.答案 A3.(2018·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A.∃x0∈R，lg x0＝1B.∃x0∈R，sin x0＝0C.∀x∈R，x3＞0D.∀x∈R，2x＞0解析当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则D为真命题.答案 C4.(2017·山东卷)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是()A.p ∧qB.p ∧￢qC.￢p ∧qD.￢p ∧￢q解析 ∵一元二次方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x 2－x ＋1>0恒成立，∴p 是真命题，￢p 为假命题.∵当a ＝－1，b ＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， ∴q 为假命题，￢q 为真命题.根据真值表可知p ∧￢q 为真命题，p ∧q ，￢p ∧q ，￢p ∧￢q 为假命题. 答案 B5.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1. 答案 1考点突破，深度剖析考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A.p ∨qB.p ∧qC.(￢p )∧(￢q )D.p ∧(￢q )(2)(2018·深圳联考)已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( ) A.p ∧qB.p ∧(￢q )C.(￢p )∧(￢q )D.(￢p )∧q解析 (1)取a ＝c ＝(1，0)，b ＝(0，1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题.又a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ， ∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，∴q 是真命题. 综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题. 又∵￢p 为真命题，￢q 为假命题. ∴(￢p )∧(￢q )，p ∧(￢q )都是假命题. (2)命题p ：当a ＝0时，有1>0恒成立； 当a ≠0时 ，得⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解之得0<a <4. ∴实数a ∈[0，4)，因此p 假，￢p 是真命题. 命题q ：由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，q 为真命题.故(￢p )∧q 为真命题.答案 (1)A (2)D【训练1】 (2018·郑州调研)命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为( ) A.p ∧qB.p ∨qC.p ∧(￢q )D.￢q解析 由于y ＝log 2(x －2)在(2，＋∞)上是增函数， ∴命题p 是假命题.由3x>0，得3x＋1>1，所以0<13x＋1<1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0，1)，故命题q为真命题.所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(￢q)为假命题，￢q为假命题. 答案 B考点二含有一个量词命题的否定及真假判定【例2】(1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0(2)(2018·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋1x≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x20＞x30，则下列命题中为真命题的是()A.(￢p)∧qB.p∧(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.p∧q解析(1)全称命题的否定为特称命题，∴命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0.(2)对于p：当x＝－1时，x＋1x＝－2，∴p为假命题.取x0∈(0，1)，此时x2＞x30，∴q为真命题.从而￢p为真命题，(￢p)∧q为真命题. 答案(1)D(2)A【训练2】 命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题： (￢p )∨(￢q )，p ∧q ，(￢p )∧q ，p ∨(￢q )中，正确命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题.则(￢p )∨(￢q )为真命题，p ∧q 为假命题，(￢p )∧q 为真命题，p ∨(￢q )为假命题.∴四个命题中正确的有2个命题. 答案 B考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例3】 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.(4，＋∞)B.[1，4]C.[e ，4]D.(－∞，－1)(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e ，由q 为真，知x 2＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.综上可知e ≤a ≤4.(2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14. 答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞【训练3】 本例(2)中，若将“∃x 2∈[1，2]”改为“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是____________.解析 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ， ∴m ≥12. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞高考频点常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)(2017·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(￢p )∧q C ．p ∧(￢q ) D ．(￢p )∧(￢q )答案 B解析 因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－⎝⎛⎭⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(￢p )∧q 为真命题，故选B. 二、充要条件的判断典例2 (1)(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B ，故选B.(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C. 三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [e,4]解析 命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2 x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0.自我检测，夯实智能一、选择题1.命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( )A.∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12B.∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12C.∃x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12D.∃x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12解析 命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12”.答案 D2.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则￢p 为( ) A.∀n ∈N ，n 2>2n B.∃n ∈N ，n 2≤2n C.∀n ∈N ，n 2≤2nD.∃n ∈N ，n 2＝2n解析 命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”，∴￢p ：∀n ∈N ，n 2≤2n . 答案 C3.(2016·江西师大附中模拟)若命题p ：∀x ∈R ，log 2x ＞0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0＜0，则下列命题为真命题的是( ) A.p ∨(￢q ) B.p ∧q C.(￢p )∧qD.p ∨q解析 命题p 和命题q 都是假命题，则命题￢p 和命题￢q 都是真命题，故选A. 答案 A4.第十三届全运会于2017年8月27日在天津市隆重开幕，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( ) A.(￢p )∨(￢q )B.p ∨(￢q )C.(￢p )∧(￢q )D.p ∨q解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(￢p )∨(￢q ).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p ∧q ”的否定选A. 答案 A5.(2018·成都调研)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是( ) A.p ∧(￢q )B.(￢p )∧qC.(￢p )∧(￢q )D.p ∧q解析 由题意知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故￢p 是假命题，￢q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧(￢q )是真命题. 答案 A6.命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若￢p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，4]B.[0，4]C.(－∞，0]∪[4，＋∞)D.(－∞，0)∪(4，＋∞)解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以命题￢p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0， 则a <0或⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4. 答案 D7.以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2，其中真命题的个数为( ) A.0B.1C.2D.4解析 ∵Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立， ∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题； 对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；④中，当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2；则④为假命题.答案 A8.(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞). 答案 D9.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D.∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20解析 改变量词，否定结论.∴￢p 应为：∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20.答案 D10.(2018·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.(￢p )∧qC.p ∧(￢q )D.(￢p )∧(￢q )解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(￢p )∧q 为真命题.答案 B二、填空题11.(2018·河北“五个一”名校联考改编)命题“∃x 0∈R ，1<f (x 0)≤2”的否定是________.答案 ∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>212.若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，∴Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4，∴a －1＞2或a －1＜－2，∴a ＞3或a ＜－1.答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)13.(2018·石家庄调研)已知下列四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”； ②“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则￢p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0；④若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题.其中为真命题的是________(填序号).解析 显然①③正确；②中，x 2－3x ＋2>0⇔x >2或x <1.∴“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，②正确；④中，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，④错误.答案 ①②③14.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x＞1，若“(￢q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________.解析 因为“(￢q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎨⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1<x ≤2或x <－3， 所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1<x ≤2或x <－3}.答案 (－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)15.(2018·安徽江南十校联考)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________. 解析 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，即Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2.因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)16.(2018·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________.解析 依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ，因此172≤8＋a ，则a ≥12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 17．已知命题p ：∃x 0∈R ，0e x－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(￢q )为假命题，则实数m 的取值范围是____．答案 [0,2]解析 若p ∨(￢q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0， 设f (x )＝e x x，x ≠0，则 f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2， 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x x在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e x x在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e. 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(￢q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.18．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1， 解得a ∈(1，3]．。

考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2．全称量词与存在量词（1）理解全称量词与存在量词的意义.（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.一、逻辑联结词1．常见的逻辑联结词：或、且、非∧，读作“p且一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起，得到一个新命题，记作p qq”；∨，读作“p或q”；用联结词“或”把命题p和q联结起，得到一个新命题，记作p q⌝，读作“非p”．对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作p2．复合命题的真假判断“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）确定：含有逻辑联结词的命题的真假判断：∧中一假则假，全真才真．（1）p q∨中一真则真，全假才假．（2）p q⌝真假性相反．（3）p与p注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念. 二、全称命题与特称命题 1．全称量词和存在量词用中可以灵活地选择.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：考向一 判断复合命题的真假1．判断“p q ∧”、“p q ∨”形式复合命题真假的步骤： 第一步，确定复合命题的构成形式； 第二步，判断简单命题p 、q 的真假；第三步，根据真值表作出判断．注意：一真“或”为真，一假“且”为假．2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式． 3．当p q ∨为真，p 与q 一真一假；p q ∧为假时，p 与q 至少有一个为假.典例1 设a 、b 、c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是 A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧⌝（）（）D ．p q ∨⌝（）【答案】A【解题技巧】1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式． 如：a ≥3是a >3或a ＝3；y ＝0是＝0或y ＝0；2＋y 2＝0是＝0且y ＝0.1．已知命题p ：∀∈R,2<3；命题q ：∃∈R ，3＝1－2，则下列命题中为真命题的是 A ．p ∧q B ．(¬p )∧q C ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )考向二 判断全称命题与特称命题的真假要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.典例2 下列命题中是假命题的是A ．,,αβ∃∈R 使sin()sin sin αβαβ+=+B ．ϕ∀∈R ，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数C ．m ∃∈R,使243()(1)mm f x m x -+=-是幂函数，且在(0,)+∞上单调递减D ．0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点 【答案】B【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以选择题为主，难度一般不大.2．若命题22:421p x ax x a x ∀∈++≥-+R ，是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(]2-∞，B ．[2+)∞，C ．(2,)-+∞D ．(2,2)-考向三 含有一个量词的命题的否定一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.典例3 已知命题()31,,168p x x x ∀∈+∞+>：，则命题p 的否定为A ．()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+≤： B ．()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+<：C ．()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤：D ．()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+<：【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤：.故选C.3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 A ．0x x ∀∈>R ，B ．000x x ∃∈>R ，C ．0x x ∀∈≤R ，D ．000x x ∃∈≤R ，1．设命题:,2ln 2xp x Q x ∃∈-<，则p ⌝为A ．,2ln 2xx Q x ∃∈-≥B ．,2ln 2xx Q x ∀∈-< C ．,2ln 2xx Q x ∀∈-≥D ．,2ln 2xx Q x ∀∈-=2．设集合2{|02},{|2}M x x N x x x =∈<≤=∈≥R R ，则 A ．,x N x M ∀∈∈ B ．,x M x N ∀∈∈ C ．00,x N x M ∃∉∈D ．00,x M x N ∃∈∉3．下列命题中的真命题是 A ．∃∈[0，π2]，sin ＋cos ≥2B ．∀∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan>sinC ．∃∈R ，2＋＝－1D ．∀∈R ，2＋2>4－34．已知命题p ：“,a ba b ∀>>”，命题q ：“000,20xx ∃<>”，则下列为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∨⌝5．已知函数()3f x x =和()12xg x -=，命题()():,p f x g x 在定义域内都是增函数；命题:q 函数()()y f x g x =-的零点所在的区间为（0，2），则在命题：,,p q p q p q ∧∨⌝∧中，真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．36．下面四个命题：1p ：命题“2,2n n n ∀∈>N ”的否定是“0200,2n n n ∃∉≤N ”； 2p 向量()(),1,1,m n ==-a b ，则m n =是⊥a b 的充分且必要条件；3p ：“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC △中，若sin sin A B ≤，则A B ≤”； 4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 是假命题.其中为真命题的是 A ．12,p pB ．23,p pC ．24,p pD ．13,p p7．命题“x ∃∈R ，()2110x m x --+<”为假命题，则实数m 的取值范围为__________． 8．已知命题:P x ∀∈R ， ()22log 0x x a ++>恒成立，命题[]0:2,2Q x ∃∈-，使得022x a ≤，若命题P Q ∧为真命题，则实数a 的取值范围为__________．1．（2016浙江理科）命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <2．（2018北京理科）能说明“若f （）>f （0）对任意的∈（0，2］都成立，则f （）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．3．（2015山东理科）若“[0,]tan 4x x m π∀∈≤，”是真命题，则实数m 的最小值为__________________．1．【答案】B【解析】由20＝30知p 为假命题；令h ()＝3＋2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程3＋2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．3．【答案】C【解析】由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.1．【答案】C【解析】由含有一个量词的命题的否定的概念可得p ⌝：,2ln 2xx Q x ∀∈-≥，故选C ．【名师点睛】（1）该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确特称命题的否定是全称命题，即可得结果.（2）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则写出命题的否定． 2．【答案】B【解析】由22x x ≥得02x ≤≤，即}{|02N x x =∈≤≤R ，所以M N ⊆，根据全称命题的特点和子集的定义，得出正确选项为B ．【名师点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系以及全称命题和特称命题的特征等，属于易错题.错误的主要原因是没有弄懂全称命题和特称命题的定义.解本题时，先由不等式22x x ≥求出x 的范围，写成集合即为N ，再得出集合M ，N 之间的关系，最后得到正确的选项.4．【答案】C【解析】对于命题p ，当a =0，b =−1时，0>−1，但是|a |=0，|b |=1，|a |<|b |，所以命题p 是假命题.对于命题q ，000,20x x ∃<>，如1011,2=0.2x -=->所以命题q 是真命题. 所以p q ∨为真命题. 故答案为C.【名师点睛】（1）本题主要考查全称命题和特称命题的真假，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些基础知识的能力.（2）复合命题的真假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. （3）求解此类问题时，先判断命题p 和q 的真假，再判断选项的真假.【名师点睛】首先判断简单命题,p q 的真假，再由复合命题的真值表可判断复合命题的真假.复合命题的真值表：6．【答案】B【解析】对于1p ：命题“2,2n n n ∀∈>N ”的否定是“0200,2nn n ∃∈≤N ”，所以1p 是假命题；对于2p 向量()(),1,1,m n ==-a b ，所以⊥a b 等价于m −n =0即m =n ，则m n =是⊥a b 的充分且必要条件，所以2p 是真命题；对于3p ：“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC △中，若sin sin A B ≤，则A B ≤”，所以3p 是真命题； 对于4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 或q 是假命题，所以4p 是假命题. 故答案为B.【名师点睛】本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.7．【答案】[]1,3-【解析】命题“x ∃∈R ，()2110x m x --+<”是假命题，则命题的否定是：“x ∀∈R ，()2110x m x --+≥”是真命题，则()2140m ∆=--≤，解得13m -≤≤，故答案为[]1,3-.【名师点睛】应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型：（1）全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识解决． （2）特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题时，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 2．【答案】y =sin （答案不唯一）【解析】令()(]0,04,0,2x f x x x =⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，则f （）>f （0）对任意的∈（0，2］都成立，但f（）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （）=sin ，则f （0）=0，f （）>f （0）对任意的∈（0，2］都成立，但f （）在［0，2］上不是增函数.【名师点睛】要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使()0p x 不成立即可.通常举分段函数.。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，⌝p 的真假判断2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”简记为∀x ∈M ，p (x )．(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个元素x 0，使p (x 0)成立”，简记为∃x 0∈M ，p (x 0)．3．含有一个量词的命题的否定【考点突破】考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】(1)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若1x >1y，则x <y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④(2)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(⌝q )B ．(⌝p )∧qC ．p ∧qD ．(⌝p )∨q[答案] (1)C (2)A[解析] (1) 由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③⌝q 为真命题，则p ∧(⌝q )为真命题；④⌝p 为假命题，则(⌝p )∨q 为假命题．(2) 对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得2x 0＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(⌝q )为真命题，故选A.【类题通法】1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤2.p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”.【对点训练】1.已知命题p ：a 2≥0(a ∈R)，命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(⌝p )∧(⌝q )；④(⌝p )∨q . 其中为假命题的序号为________． [答案] ②③④[解析] 显然命题p 为真命题，⌝p 为假命题．∵f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． ∴命题q 为假命题，⌝q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，(⌝p )∧(⌝q )为假命题，(⌝p )∨q 为假命题． 2.若命题p ：∀x ∈R ，log 2x ＞0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0＜0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∨(⌝q ) B ．p ∧q C ．(⌝p )∧q D ．p ∨q[答案] A[解析] 命题p 和命题q 都是假命题，则命题⌝p 和命题⌝q 都是真命题，故选A.考点二、全称命题、特称命题【例2】(1)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，则⌝p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n(2)下列命题中，为真命题的是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2>1 B ．∃x 0∈(1，＋∞)，lg x 0＝－x 0 C ．∀a ∈(0，＋∞)，a 2>aD ．∃a 0∈(0，＋∞)，x 2＋a 0>1对x ∈R 恒成立 [答案] (1) C (2) D[解析] (1)命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n”，∴⌝p ：∀n ∈N ，n 2≤2n .(2)对于A ，当x ＝1时不成立；对于B ，当x ∈(1，＋∞)时，lg x >0，而－x <0，不成立； 对于C ，当a ＝1时不成立；对于D ，∃a 0＝2∈(0，＋∞)，x 2＋a 0＝x 2＋2>1对x ∈R 恒成立，正确．故选D. 【类题通法】 1. 命题否定2步操作(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．2．真假判断注意特例全称命题与特称命题的真假判断要注意“特例”的作用，说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明特称命题为真命题，只需找出一个正例．【对点训练】1．命题p ：∀x <0，x 2≥2x，则命题⌝p 为( )A ．∃x 0<0，x 20≥2x 0 B ．∃x 0≥0，x 20<2x 0 C ．∃x 0<0，x 20<2x 0 D ．∃x 0≥0，x 20≥2x 0[答案] C[解析] 全称命题的否定，应先改写量词，再否定结论，∴⌝p ：∃x 0<0，x 20<02x.2．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2，其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] A[解析] ∵∆＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；④中，当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2；则④为假命题.考点三、由命题的真假求参数的取值范围【例3】(1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3，1)(2)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，则实数a 的取值范围为________．[答案] (1)B (2) (－∞，－2]∪[1，2)[解析] (1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3， ∴实数a 的取值范围为(－1，3).(2) p 为真：Δ＝4a 2－16<0，解得－2<a <2；q 为真：3－2a >1，解得a <1.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1⇒1≤a <2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2，a <1⇒a ≤－2.∴实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[1，2)． 【类题通法】 1．由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．2．根据命题的真假求参数的取值范围的步骤(1)求出当命题p ，q 为真命题时所含参数的取值范围； (2)根据复合命题的真假判断命题p ，q 的真假性；(3)根据命题p ，q 的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围． 【对点训练】1．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________． [答案] (－4，0][解析] “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且∆＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．2．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2][答案] A[解析] 依题意知，p ，q 均为假命题． 当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有∆＝m 2－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.∴实数m 的取值范围是[2，＋∞)．。