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切线长定理及三角形的内切圆

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切线长定理及三角形的内切圆
一知识回顾
1. 定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

3. 常用辅助线
已知PA，PB切⊙O于A，B。

（1）（2）（3）（4）
图（1）中，有什么结论？（PA＝PB）
图（2）中，连结AB，增加了什么结论？（增加了∠PAB＝∠PBA）
图（3）中，再连结OP，增加了什么结论？（增加了∠OPA＝∠OPB，OP⊥AB，AC＝BC，）。

图（4）中，再连结OA，OB。

又增加了什么结论？（增加∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＋∠APB＝180°，以及三角形全等）
4. 和三角形的各边都相切的圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

注意：“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”。

二典型例题
例1. 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。

求证：AC∥OP。

(一题多解)
例2.已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D。

（1）若PA = 6，求△PCD的周长。

（2）若∠P = 50°求∠DOC
例3. 已知，如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作弦AB切小⊙O于C点，AD切小⊙O 于E点。

求证：AB＝AD.
例4.已知：AB为⊙O直径，AD∥BC，∠B = 90°，DC切⊙O于E
求证：（1）CD = AD + BC
（2）∠COD = 90°
1
例5如图，△ABC中，∠A＝α，O是△ABC的内心。

求证：∠BOC=90°＋
2
例6已知，如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°
（1）若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r。

例7如图,在⊿ABC中, ∠C=90°,AC=8,AB=10,点P在AC上,AP=2,若⊙O的圆心在线段BP上,且⊙O与AB、AC都相切,则⊙O的半径是多少?
例8:如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．
（1）证明：AF 平分∠BAC ；
（2）证明：BF ＝FD ；
三课堂练习
四课后练习
1. 如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别切AC 、AB 、BC 于D 、E 、F ，若AB ＝9，AC ＝7，CD ＝2，则BC ＝（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
2. 已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，半径OB ＝5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，则AB 的长为（ ）
A. B. C. 或 D.
3. 若一个梯形内接于圆，有如下四个结论：①它是等腰梯形；②它是直角梯形；③它的对角线互相垂直；④它的对角互补，则正确结论的序号为______________。

（把你认为正确的结论的序号都填上）
4. 已知⊙O ，给出以下四个论断：①直线AB ⊥直线OC ，②AB 是⊙O 的切线，③点C 在⊙O 上，④AB 经过点C 。

请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题：________________________。

（用序号的形式写出）
A B C D E O
5. 在⊙O 中，弦AD//BC ，DA ＝DC ，∠AOC ＝160°，则∠BCO ＝___________。

6. 直线AB 经过⊙O 的圆心，与⊙O 相交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝30°，点E 是直线AB 上的一个动点（与点O 不重合），直线EC 交⊙O 于点D ，则使DE ＝DO 的点E 共有___________个。

7. 一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r 时，大圆的半径应为_______。

8. 已知△ABC 的∠C ＝90°，斜边长为2
17，两直角边的长分别是关于x 的方程09)2
1(3x 2=++-m x m 的两个根，则△ABC 的内切圆面积为_____________。

9. 在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠D ＝90°，以斜腰AB 为直径作圆，已知AB ＝10，AD ＝m ，BC ＝m+4，要使圆与折线BCDA 有三个公共点（A 、B 两点除外），则m 的取值范围是__________。

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第九讲切线长定理及三角形的内切圆.doc

第九讲切线长定理及三角形的内切圆.doc

______________________ 的交点; 相等，是内切圆的 ，与三角形的形状.七.切线长定理及三角形的内切圆一、教学目标:1、理解切线长的定义及切线长定理，并能够利用切线长定理计算与证明2、理解三角形的内切圆和内心的概念，注意区分三角形的内心与外心二、教学内容1、切线长概念及定理:(1) 切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.提问：经过直线外一点可以做圆的几条切线？它们的切线长有什么关系？为什么？(2) 切线长定理：.如图：P 为。

O 外一点，PA 、PB 分别与。

0相切，切点分 别为A 、B,则 PA=PB,PO 平分 ZAPB 举例练习：(1) 如上图，连接AB,(1)写出图中所有的垂直关系；(2)写出图中所有的全等三角形(3) 如果PA=4cm, PD=2cm,求半径OA 的长.(2)如图，PA, P8分别为。

的切线，切点分别为*、B , ZP =60° , PA = 10cm,那么 A8 的长为.(3) 如图，PA, 分别为。

的切线，AC 为直径，切点分别为A 、B , ZP = 70° ,则 ZC=.2、三角形的内切圆与三角形的内心(1) 概念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆的圆心叫做三角形的(2) 三角形的内心是三角形的 ______它到三角形三边的提问：三角形的内心在三角形的—举例练习：练 习1、如图，PA, P3分别为。

的切线，切点分别为A 、B , 24 = 1(),在劣弧上任取一点C,过C 作。

的切线，分别 交PA, PB 于D, E,则左PDE 的周长是2.如图，24切。

于人，PB 切。

于 B , ZAPB =90° , 0P = 4, 。

〃的半径为_ —.3.如图，。

半径为1, P为。

外一点，切。

于点A, PA = 1, AB 是。

的弦，且AB = 4i , PB的长为. 4. 如图，ZAPB = 60 ° ,半径为2的。

切线长定理及三角形内切圆(wy)

切线长定理及三角形内切圆(wy)


2.
区别
联系
切线
直线
不可度量 切线长是切线一
切线长 线段的长度 可度量
部分的长度
3.切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 B
对称性
。
P
O
4.证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，AB是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB
对比：直角三角形的外接圆与内切圆
A
A
b
c
O
C
B
C
a
B
1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在_斜__边__中__点___，
半径为_斜__边__的__一__半__.

2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在_三__角__形__内__部_， 半径r=____a_+_b_-_c___.
2
△ABC的内心，求∠ BOC的度数。
A
∠ BOC= 90°+ 1 ∠ A 2
O
B
C
2.求直角三角形内切圆的半径
直角三角形的两直角边分别是a，b ，斜边是c, 则其内切圆的半径r与三边的关系是什么？
r = a+b-c
A
2
c b
r.
Ca
练习：直角三角形的两直角边分 别是5，12则其内切圆的半径为 ___2_c_m_。 B
34.7 切线长定理* 三角形的内切圆
*探索并证明切线长定理； 知道三角形的内心，会尺规作三角形的内切圆；
小组合作：3min
1.什么是
？
2.
与
的区别？
3.
北师版数学九年级下册 切线长定理及三角形的内切圆

北师版数学九年级下册 切线长定理及三角形的内切圆

互动探究 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的
三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才 能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的 位置关系？
O
O
最大的圆与三角
形三边都相切
O
O
问题2 如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为 r 的☉I 与△ABC 的三边都相切，那么
B
解析：取圆的圆心为O，连接 OA，
O P ， 由 切 线 性 质 知 △ O PA 为 直 角
O
三角形，从而在 Rt△OPA 中由勾
股定理易求得半径．
C
解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA. ∵ AP、AB 为 ⊙O 的切线，
∴ OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO.
又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°.
练一练
1. 求边长为 6 cm 的等边三角形的内切圆半径与外接圆
半径.
解：如图，由题意可知 BC = 6 cm，
A
∠ABC = 60°，OD⊥BC，BO 平分∠ABC.
∴∠OBD = 30°，BD = 3 cm. O
∴ 内切圆半径OD BD tan30° 3 cm，
∴ 外接圆半径 OB
BD cos 30°
如：线段 PA 的长就是点 P 到☉O 的切线长.
问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折， 设圆上与点 A 重合的点为 B．
➢ OB 是☉O 的一条半径吗？
A
➢ PB 是☉O 的切线吗？
O
P
➢ PA、PB 有何关系？ B
➢∠APO 和∠BPO 有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
初中：切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(提高)

初中：切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(提高)

切线长定理及三角形的内切圆一知识讲解〈提高）【学习目标11.了解切线长定义：理解三角形的内切圆及内心的定义：2.掌握切线长定理：利用切线长定理解决相关的计算和证明．【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长z经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长．要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称．切线是直线，而非线段．2.切线长定理＝从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等．要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆z与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形．三角形的内心到三角形的三边距离相等．2.三角形的内心z三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点．要点诠释：(1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形：(2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半即S=i Pr (S 'jg三角形的面积P为三角形的周长r为内切圆叫）(3）三角形的外心与内心的区别：名称｜ 确定方法｜图形｜性质外心（三角形｜三角形三边中垂线的外接圆的圆｜交点心） AB(1)OA=OB=OC: (2）外心不一定在三角形内部内心（三角形｜三角形三条角平分线内切圆的圆的交点心）【典型例题】类型一、切线长定理Bc(1）到三角形三边距离相等：(2) OA、OB、oc 分别平分ζBAC、LABC、LACB:(3）内心在三角形内部．。

1.(20叫德〉叫图，以Rt l'-.ABC 的AC 边为直径作。

交斜川于点E 连接EO 并延长交BC的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF.(1）求证：EF是①0的切线：(2）若80的半径为3,LEAC=60°，求AD的长－ABFc【答案与解析】证明：(1）如图1，连接FO,·:p 为BC 的中点，AO=CO,λOF!! AB,γAC是θ0的直径，二CE_LAE,γOF!! AB,二OF..LCE,二OF所在直线垂直平分C E,二FC＝陀，OE =OC ,:. LFEC＝ζFCE ，ζOEC＝正OCE,．．·ζACB=90。