切线长定理和内切圆

七.切线长定理及三角形地内切圆一、教案目标：1、理解切线长地定义及切线长定理，并能够利用切线长定理计算与证明2、理解三角形地内切圆和内心地概念，注意区分三角形地内心与外心二、教案内容1、切线长概念及定理:<1 )切线长地概念：经过圆外一点作圆地切线，这点和切点之间地线段地长，叫做这点到圆地切线长•提问：经过直线外一点可以做圆地几条切线？它们地切线长有什么关系？为什么？<2 线长定理：_________________________________________ . b5E2RGbCAP如图：P为O O外一点，PA、PB分别与O O相切，切点分别为A、B，贝U PA=PB，PO 平分/ APB举例练习：(1) 如上图，连接AB，(1>写出图中所有地垂直关系；(2>写出图中所有地全等三角形(3>如果PA=4cm,PD=2cm,求半径0A地长•<2 ) 如图，PA，PB分别为O 0地切线，切点分别为A、B，/P=60 ° ，PA =10 cm，那么AB 地长为•(3) 如图，PA，PB分别为O O地切线，AC为直径，切点分别为A、B，N P=70 ° ，则N C = .2、三角形地内切圆与三角形地内心<1)概念：与三角形各边都相切地圆叫做三角形地________________内切圆地圆心叫做三角形地__________ .地交点；<2 )三角形地内心是三角形地 ________________________________p1EanqFDPw它到三角形三边地_____________ 相等，是内切圆地__________ •提问：三角形地内心在三角形地 _____________ ，与三角形地形状______________举例练习:(1) 如图若/ A=40o,M分别为△ ABC地外心、内心、垂心时，求/ BMC地度数.(2＞如图,△ ABC中,E是内心，/ A地平分线和△ ABC地外接圆相交于点D,求证：DE=DB.练习1、如图，PA , PB分别为O O地切线，切点分别为A、B , PA =10 ,在劣弧AB上任取一点C ,过C作O O地切线，分别交PA, PB于D , E ,则厶PDE地周长是DXDiTa9E3d2.如图,PA 切O O于A , PB 切O O 于B , /APB =90° , OP =4, 地半径为_________ .3.如图，O O半径为1, P为O O外一点，切O O于点A, PA =1, AB是OO地弦，且AB = 42 , PB地长为______________ .4.如图，.APB =60 ° ,半径为2地O O切PB于P点，若将O O在PB上向右滚动，则当滚动到O O与PA也相切时，圆心O移动地水平距离是 _________ . RTCrpUDGiT5•如图，PA、PB分别与O O相切于A、B两点，C是O O上一点，且-ACB =55 ,则• P 等于<)A. 70B. 65C. 110D. 5511.如图,Rt △ ABC 中，/ C =90 ° , E 为AC 上一点，以CE 为直径地O O 切AB 于D 点，AD = 4, AE =2.求 BD 地长.A.梯形B.菱形C.矩形D.平行四边形7.如图,AB 、 AC 与O O 相切于点B 、C , . A 二50。

九年级上册数学《第二十四章 圆》 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24. 第3课时 切线长定理 & 三角形的内切圆◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 【注意】①切线是直线，不能度量．②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． ◆2、切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. ∵ P A 、PB 分别切☉O 于 A 、B ， ∴ P A = PB ， ∠OP A = ∠OPB .切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. ◆4、三角形外心、内心的区别：名称 确定方法 图形 性质POAB外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1、外心到三顶点的距离相等；2、外心不一定在三角形的内部．内心：三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1、内心到三边的距离相等；2、内心在三角形内部．【例题1】（2022秋•潮州期末）如图，P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A 、PB 于点C 、D ，若P A ＝8，则△PCD 的周长为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．20【变式11】（2023•怀化三模）如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，切点分别是P 、C 、D ．若AB ＝10，AC ＝6，则BD 的长是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【变式12】如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC ＝10，AB ＝8，BC ＝9，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为⊙O 的切线，则△CDE 的周长为（ ） A ．9B ．7C ．11D ．8【变式13】（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，且AB ＝8，CD ＝15，则四边形ABCD 的周长为 ．【变式14】（2022秋•红旗区校级期末）以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，若△CDE 的周长为12，则直角梯形ABCE 周长为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15【变式15】如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Q ，交P A 、PB 于点E 、F ，已知P A ＝12cm ，∠P ＝40°OCBAO CBA①求△PEF的周长；②求∠EOF的度数．【变式16】如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求P A的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．【例题2】（2022秋•东城区期中）如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（）A．99°B．102°C．104°D．152°【变式21】（2023•东安县模拟）如图，在△ABC中，∠A＝70°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A．130°B．140°C．105°D．125°【变式22】如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（）A．40°B．50°C．60°D．80°【变式23】如图，在△ABC中，∠B＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AC，AB，BC于点D，E，̂上一点，则∠EPF的度数为（）F，P是DFA．50°B．55°C．60°D．65°【变式24】（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．25°【变式25】（2023•陇县一模）如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．80°【例题3】（2023•青海一模）如图，⊙O 与△ABC 的边AB 、AC 、BC 分别相切于点D 、E 、F ，如果AB＝4，AC ＝5，AD ＝1，那么BC 的长为 ．【变式31】（2022秋•同心县期末）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，点D ，E ，F 为切点，AD ＝4，AC ＝10，BC ＝14，则BD 长为 ．【变式32】如图，①ABC 中，①C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，①O 与①ABC 的三边相切于点D 、E 、F ，则AD 长为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14【变式33】如图，①O 分别切①ABC 的三条边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F 、若AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，求AD 、BE 、CF 的长．【变式34】已知△ABC 的内切圆半径r =√3，D 、E 、F 为切点，∠ABC ＝60°，BC ＝8，S △ABC =10√3，求AB 、AC 的长．【变式35】（2022秋•津南区期末）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．（1）若∠ABC ＝50°，∠ACB ＝75°，求∠BOC 的度数； （2）若AB ＝13，BC ＝11，AC ＝10，求AF 的长．【例题4】（2023•天心区校级三模）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若△ABC 的周长为18，面积为9，则⊙O 的半径是（ ） A ．1B ．√2D ．2【变式41】已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（ ）A ．3B ．5C ．32D ．52【变式42】（2023•邵阳县一模）如图所示，⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，若AB ＝4，则⊙O 的半径是（ ） A ．√32B ．1C ．2√33D ．2【变式43】（2022秋•齐河县期末）如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦BC 为8cm ，∠ACB 的平分线交⊙O于点D ，△ADB 的内切圆半径是（ ） A ．12B ．5（√2−1）C ．5（√2+1）D ．5√22【变式44】如图，这条花边中有4个圆和4个正三角形，且这条花边的总长度AB 为4，则花边上正三角形的内切圆半径为（ ） A ．√33B ．23√3C ．1D ．√3【变式45】如图，圆O 是△ABC 的内切圆，其中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，求其内切圆的半径．【例题5】（2023春•江岸区校级月考）如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，则花圃的面积为 ．【变式51】（2022秋•河西区校级期末）如图，⊙I 是直角△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，若AF ＝10，BE ＝3，则△ABC 的面积为 ．【变式52】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（ ）A ．4πB ．43πC ．23πD ．163π【变式53】如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CB ，AD ＝CD ．若∠ABD ＝∠ACD ＝30°，AD ＝1，则△ABC的内切圆面积 （结果保留π）．【变式54】如图，①O 内切于正方形ABCD ，O 为圆心，作①MON ＝90°，其两边分别交BC ，CD 于点N ，M ，若CM +CN ＝4，则①O 的面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4ππ【例题6】（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（）A．2B．3C．4D．无法判断【变式61】（2023•沭阳县一模）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为．【变式62】（2022秋•防城港期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为步．【变式63】（2022秋•金华期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC=52，CA＝2，则⊙O的半径是．【变式64】（2022秋•黔西南州期中）如图，已知O是△ABC的内心，连接OA，OB，OC．若△ABC内切圆的半径为2，△ABC的周长为12，求△ABC的面积．【变式65】（2022秋•天河区校级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的长；（2）求⊙O的半径r．【变式66】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接OD，OE，OF．（1）若BC＝6，AC＝8，则r＝；（2）若Rt△ABC的周长为L，面积为S，则S，L，r之间有什么数量关系，并说明理由．【例题7】如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是．【变式71】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3√2，0），点B在第一象限，且AB与直线l：y＝x2平行，AB长为4，若点P是直线l上的动点，则△P AB的内切圆面积的最大值为．【变式72】（2022秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是．【变式73】已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm．（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．（2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？（3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离．【例题8】如图，点E是①ABC的内心，AE的延长线和①ABC的外接圆①O相交于点D，过D作直线DG①BC．（1）若①ACB＝80°，则①ADB＝；①AEB＝．（2）求证：DE＝CD；（3）求证：DG是①O的切线．【变式81】（2022秋•泗阳县期末）已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P 是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP．（1）求证：BD＝PD；（2）已知⊙O的半径是3√2，CD＝8，求BC的长．【变式82】（2023•庐阳区校级一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．（1）求证：l是⊙O的切线；（2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长．【变式83】（2022秋•江夏区校级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=√3AD．【变式84】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D过D作直线DG ∥BC．（1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝；∠AEB＝．（2）求证：DE＝CD；（3）求证：DG是⊙O的切线．【变式85】如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3．（1）求证：CD＝DE；（2）求BD的长；（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．。

基础知识点（一）知识点一：切线长定理1.切线长的概念： 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 2. 切线和切线长是两个不同的概念切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

3. 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

注：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法4. 方法总结解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。

（1）分别连结圆心和切点（2）连结两切点（3）连结圆心和圆外一点5. 切线，常有六性质1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3切线垂直于过切点的半径; 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

6.示例讲解例1如图，四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD DA 和圆O O 分别相切于点 L 、M 、N 、P ,求证： AD+BC=AB+CD 例2如图，卩是00外一点t PA.PB 分别和00切于点=4 c 叫是箱上任意•点，过点作O"的切线分 别交PA.PB 于点D&求；（I ） A PDE 的周长；例3（2014，云歯曲靖中考・23题* 10分）如图是GO 的切线胡/为切点是OO 的直径,GPR 的延长线相 交丁点“<1）若Z.1-20%求LAPB 的度数.（2）当"为多少度时请说明理由.（二）知识点二：三角形的内切圆1.问题：怎样做三角形内切圆2.方法：作角平分线1.作/ ABC 、 / ACB 的平分线 BM 和CN ，交点为I. ID 为半径作O I. O I 就是所求的圆.3. 定义和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

切线长定理及三角形的内切圆一知识讲解〈基础）【学习目标】l.了解切线长定义：理解三角形的内切圆及内心的定义：2.掌握切线长定理：利用切线长定理解决相关的计算和证明．【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长．要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称．切线是直线，而非线段．2.切线长定理z从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等．要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆z与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形．三角形的内心到三角形的三边距离相等．2.三角形的内心z三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点．要点诠释z(1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形：(2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积户即S=;Pr (S 7'J 三角形的面积P为三角形的周长r为内切圆阳）(3）三角形的外心与内心的区别：名称｜确定方法｜图形｜性质外心（三角形｜三角形三边中垂线的外接圆的圆｜交点心）AB(1)OA=OB=OC: (2）外心不一定在三角形内部内心（三角形三角形三条角平分线内切圆的圆的交点心）【典型例题】类型一、切线长定理B c(1)到三角形三边距离相等：(2) O A、OB、oc分别平分L'.'.BAC、ζABC、丘ACB:(3）内心在三角形内部．。

1.(2叫湛江校级脚己知PA,PB :5t别切。

于A、B E为劣弧础上一点过E,#,1¥Ji;JJ�交PA于C、交PB于D.(1）若PA吨，求6PCD的周长．(2）若ζP=50°求ζDOC.p【答案与解析】解：(1）连接OE,..PA、PB与圆0相切，:.PA=PB=6,同理可得：AC=CE,BD=DE,6PCD的周长＝PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12: (2）γPA PB与圆O相切，二ζOAP＝ζOBP=90。

切线长和切线长定理及圆与圆的位置关系一、切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、三角形内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-、abr a b c=++重难点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．1.切线长定理及切线性质的应用例题1（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。

（1） 求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。

解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………2分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =21CD …………4分 理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD ……7分 三、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用． 难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题． 易错点：1）圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间， 2）没有公共点要考虑外离和内含的两种情况 3）有一个公共点要考虑内切与外切两种情况4）两圆相交求的公共弦多对的圆周角，求出圆心距一般都有两种情况圆与圆的位置关系的应用 例题2（2011•绍兴）如图，相距2cm 的两个点A 、B 在直线l 上．它们分别以2cm/s 和1cm/s的速度在l 上同时向右平移，当点A ，B 分别平移到点A 1，B 1的位置时，半径为1cm 的⊙A 1，与半径为BB 1的⊙B 相切．则点A 平移到点A 1，所用的时间为为多少秒?考点：圆与圆的位置关系。

切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】解：连接OD．∵ OA=OD，、∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】解：（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，连接OB ，则OB ⊥AB ；在Rt △AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， ∴ AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2. （2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=22 ∵OG⊥BC，2，2，在Rt △OAG 中，∠A=30°∴OA=2OG=22，MNEDO图（1）．MANEDBCO图（2）∴x=AD=22－23.（2014•高港区二模）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为（）A．B．C．D．【答案】B；【解析】解：如图，设FC=x，AB的中点为O，连接DO、OE．∵AD、DE都是⊙O的切线，∴DA=DE=3．又∵EF、FB都是⊙O的切线，∴EF=FB=3﹣x．∴在Rt△DCF中，由勾股定理得，（6﹣x）2=x2+42，解得，x=，则tan∠CDF===．故选B．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．OCBA【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠O DA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm ， ∴AD==10（cm ），∵AD 切⊙O 于E ，∴OE⊥AD， ∴OE•AD=OD•OA， ∴OE==（cm ）；（Ⅲ）∵F 是AD 的中点， ∴FO=AD=×10=5（cm ）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理． 举一反三：【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC ，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分的面积为（ ）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.。