《切线长定理》与内切圆

“切线长定理”教学设计【学习目标】1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理2．通过对例题的学习，培养分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，培养数形结合的思想．情景导入生成问题旧知回顾：1.过⊙O内一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？2.过⊙O上一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？3.过⊙O外一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？自学互研生成能力知识模块一切线长定理【自主探究】认真阅读课本P99思考上面内容，完成下列问题：阅读教材P99第一段话可以得到以下归纳：归纳：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．如图，过圆外一点P作两条直线PA、PB与圆相切，切点分别为A、B，连接OA、OB、OP.(1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由．答：△PBO与△PAO均为直角三角形，根据切线的性质．(2)△PBO与△PAO的关系怎样？根据什么判断的？答：△PBO与△PAO全等，根据“HL”可判断．(3)PA与PB、∠APO与∠BPO有怎样的关系？根据是什么？答：PA＝PB，∠APO＝∠BPO，根据△PBO与△PAO全等的性质．归纳：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两切线的夹角．范例：已知：如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B，Q为AB上一点,过Q点作⊙O的切线,交PA、PB于E、F点,已知PA=12cm,∠P=70º.求(1)△PEF的周长。

(2)∠EOF 的度数解：略探究提升：切线长定理的基本图形研究写出所有的垂直关系，相等关系交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 切线长定理当堂检测 达成目标【当堂检测】1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC ＝110°.连接AC ，则∠A 的度数是35°． (第1题图) (第2题图) (第3题图)2．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是4．提示：根据题意得：AE ＝CE ，BF ＝CF ，PA ＝PB ，所以△PEF 的周长＝PE ＋CE ＋CF ＋PF ＝PE ＋AE ＋BF ＋PF ＝PA ＋PB ＝4.【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

切线长定理及三角形的内切圆一知识讲解〈基础）【学习目标】l.了解切线长定义：理解三角形的内切圆及内心的定义：2.掌握切线长定理：利用切线长定理解决相关的计算和证明．【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长．要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称．切线是直线，而非线段．2.切线长定理z从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等．要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆z与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形．三角形的内心到三角形的三边距离相等．2.三角形的内心z三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点．要点诠释z(1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形：(2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积户即S=;Pr (S 7'J 三角形的面积P为三角形的周长r为内切圆阳）(3）三角形的外心与内心的区别：名称｜确定方法｜图形｜性质外心（三角形｜三角形三边中垂线的外接圆的圆｜交点心）AB(1)OA=OB=OC: (2）外心不一定在三角形内部内心（三角形三角形三条角平分线内切圆的圆的交点心）【典型例题】类型一、切线长定理B c(1)到三角形三边距离相等：(2) O A、OB、oc分别平分L'.'.BAC、ζABC、丘ACB:(3）内心在三角形内部．。

1.(2叫湛江校级脚己知PA,PB :5t别切。

于A、B E为劣弧础上一点过E,#,1¥Ji;JJ�交PA于C、交PB于D.(1）若PA吨，求6PCD的周长．(2）若ζP=50°求ζDOC.p【答案与解析】解：(1）连接OE,..PA、PB与圆0相切，:.PA=PB=6,同理可得：AC=CE,BD=DE,6PCD的周长＝PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12: (2）γPA PB与圆O相切，二ζOAP＝ζOBP=90。

【学习目标】1. 知识技能(1)理解圆的切线的有关性质并能灵活运用.(2)理解切线长及切线长定理.(3)体验并理解三角形内切圆的性质.2. 解决问题通过例题的教学, 培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识．3. 数学思考(1)通过动手操作、合作交流, 经历圆的切线的性质定理的产生过程.(2)体验切线长定理, 并能正确、灵活地运用.(3)通过作图操作, 经历三角形内切圆的产生过程．4. 情感态度通过动手操作, 反复尝试, 合作交流, 培养探索精神和合作意识．【学习重难点】1. 重点: (1)切线的性质定理、切线长定理.(2)三角形的内切圆.2. 难点：切线性质的灵活运用.课前延伸切线的判定方法:(1)和圆________公共点的直线是圆的切线.(2)和圆心距离等于________的直线是圆的切线.(3)经过________且________的直线是圆的切线.课内探究一、课内探究:1. 如图27－2－131, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点, AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.求证: AC平分∠DAB.2．如图27－2－132, △ABC的内切圆⊙O与BC, CA, AB分别相切于点D, E, F, 且AB ＝9 cm, BC＝14 cm, CA＝13 cm, 求AF、BD、CE的长．图27－2－131图27－2－132 图27－2－1333. 如图27－2－133所示, △ABC的内心为I, ∠A＝50°, O为△ABC的外心, 求∠BOC 和∠BIC的度数.二、课堂反馈训练1. 如图27－2－134, PA切⊙O于点A, 该圆的半径为3, PO＝5, 则PA的长等于________.2．如图27－2－135, ⊙O的半径为5, PA切⊙O于点A, ∠APO＝30°, 则切线长PA为________．(结果保留根号)图27－2－134图27－2－135 图27－2－1363．如图27－2－136所示, PA, PB, DE分别切⊙O于点A, B, C, 如果PA＝8 cm, 求△PDE的周长．。

切线长和切线长定理及圆与圆的位置关系一、切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、三角形内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-、abr a b c=++重难点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．1.切线长定理及切线性质的应用例题1（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。

（1） 求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。

解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………2分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =21CD …………4分 理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD ……7分 三、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用． 难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题． 易错点：1）圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间， 2）没有公共点要考虑外离和内含的两种情况 3）有一个公共点要考虑内切与外切两种情况4）两圆相交求的公共弦多对的圆周角，求出圆心距一般都有两种情况圆与圆的位置关系的应用 例题2（2011•绍兴）如图，相距2cm 的两个点A 、B 在直线l 上．它们分别以2cm/s 和1cm/s的速度在l 上同时向右平移，当点A ，B 分别平移到点A 1，B 1的位置时，半径为1cm 的⊙A 1，与半径为BB 1的⊙B 相切．则点A 平移到点A 1，所用的时间为为多少秒?考点：圆与圆的位置关系。

切线长定理和三角形的内切圆切线长定理和三角形的内切圆，这俩玩意儿看上去有点高深莫测，但其实嘛，真没那么复杂，大家来轻松聊聊。

想象一下，你在一个阳光明媚的下午，跟朋友们一起聚会，话题从生活琐事聊到数学，大家哈哈大笑，结果你一不小心提到了这两样东西。

你朋友们肯定会瞪大眼睛，疑惑地问：“这是什么鬼？”别急，让我来给你解解惑。

切线长定理就像是数学界的小秘密。

啥意思呢？就是在一个圆外，如果你画一条切线，这条线跟圆的交点只有一个，那就有点意思了。

这条切线的长度与从圆心到切线的距离有关。

大家可能会想，听起来好像没啥用。

切线长定理就像生活中的一条真理，适用性非常广。

举个例子，如果你想用一根绳子围住一个圆，绳子长短跟你离这个圆的远近有直接关系。

这种简单的道理其实在很多地方都能找到，比如你在超市排队，越靠近收银台，越容易看到商品，哈哈，明白了吗？说到内切圆，它就像是三角形里的小秘密武器。

内切圆的意思就是一个圆，它刚好能碰到三角形的三条边。

听上去是不是很神奇？这就好比你想象一下，一个小朋友在玩捉迷藏，躲在一个房间的正，四周都有墙壁，但它总能找到一个最舒服的位置，这就是内切圆的感觉。

三角形的每一条边都可以算得上是“朋友”，而这个内切圆就像是它们的聚会地点。

更妙的是，内切圆的半径跟三角形的面积和周长有着密不可分的关系。

这就像是你在聚会中，跟朋友们聊得开心的同时，气氛越好，大家就越会聚在一起，形成一种共鸣。

再说切线长定理和内切圆的关系。

这俩玩意儿就像是一对黄金搭档。

在三角形里，如果我们在三角形的每一边画切线，切线的长度与内切圆的半径又有妙不可言的联系。

简而言之，切线的长度告诉你这个圆有多大，而内切圆又是三角形的灵魂。

大家可以想象，内切圆就像是三角形的情感核心，而切线则是把这情感包围起来的纽带。

它们互相依存，缺一不可。

我们可以通过简单的图形来理解这一切。

想象一下，一个大三角形，中间有一个小圆，圆正好包裹住三角形的每一条边。

你站在三角形的某个顶点，伸出手，发现能碰到内切圆的点。

专题2.3 切线长定理及三角形的内切圆-重难点题型【知识点1 切线长定理及三角形的内切圆】（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角（2）三角形内切圆【题型1 切线长定理（周长问题）】【例1】（2021•永定区模拟）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交P A于F，交PB于点G，若P A＝8cm，则△PFG的周长是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm【变式1-1】（2020秋•龙凤区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD 的周长为．【变式1-2】（2020秋•崇川区月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．【变式1-3】（2020秋•锡山区校级月考）如图，P是⊙O外的一点，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB̂上的任意一点，过点C的切线分别交P A、PB于点D、E．若P A＝4，求△PED的周长．【例2】（2020秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O的半径为（）A．1B．√3C．2D．2√3【变式2-1】（2020秋•新丰县期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、3，则其内切圆的半径为．【变式2-2】（2020秋•东台市期末）在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是（）A．5B．2C．5或2D．2或√7−1【变式2-3】（2020秋•江岸区校级月考）如图，△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的内切圆半径为．【题型3 三角形的内切圆（求面积）】【例3】（2019秋•遵化市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（）A．6B．7C．7√3D．12【变式3-1】（2020•河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）A．πB．2πC．4πD．0.5π【变式3-2】（2021•荆门一模）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（）A．4√3B．2√3C．2D．4【变式3-3】（2020秋•黄冈期中）如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E 为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．【例4】（2021•莱芜区三模）如图，锐角△ABC内接于⊙O，I为△ABC内心，已知∠OAB＝50°，则∠AIB的度数为（）A．110°B．125°C．130°D．135°【变式4-1】（2020秋•夏津县期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是．【变式4-2】（2020秋•龙岩期末）如图，P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠P AE+∠PBE的度数为（）A．50°B．62°C．66°D．70°【变式4-3】（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是．。

环节2 探究新知1.如图，纸上有一个⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？2.这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能发现这个图形中相等的线段吗？有相等的角吗？PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.3.三角形的内切圆思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？1.小组合作 1.OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.过圆外一点能够作圆的两条切线.切线长与切线的区别：①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，是可以度量．2.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系预设：部分学生不能够正确的讨论出来。

补救：学生解释，老师补充。

4.如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24,圆O是△ABC的内切圆，切点分别是D,E,F。

①求AB的长；②求圆O的半径；提供了理论依据。

3.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边的距离相等.环节3 当堂练习1.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环1.学生独立完成。