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蓝以中第三章行列式3.2剖析

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§2 n阶方阵的行列式 现在我们按照上节几何实例的提示，来阐述n阶方阵行列式的概念及其基本性质。 1. 行列式函数的定义 读者在中学里已经学习过定义在实数域上的函数：对于每个实数x，都按

一个给定的法则对应于一个唯一确定的实数y，x称为自变量，y称为x的函数，

使用记号yfx来表示。在前面两章我们把研究范围扩大，摆脱了实数运算的限制，进入矩阵运算这个新领域。与此相应，函数的概念也应当扩大，把自变量由实数转换成矩阵，即研究定义在数域K上n阶方阵所成的集合nMK上的函

数yfx。 进入大学后学习微积分的知识，对函数的研究深入了一步：研究某些特殊的函数。设fx是定义在区间,ab内的函数，如果它满足某些特定条件，它就称

为一个连续函数，如果它再满足某些进一步的条件，它就称为区间,ab内的可微函数。数学分析的这些思想对学习本章有重要参考价值。 本章的内容，就是按照上面所说的思想，研究定义在nMK上的满足某些

特定条件的函数fA。 考查数域K上全体n阶方阵所成的集合nMK。从集合nMK到数域K的一个映射f称为定义在上的一个数量函数。因此，nMK上一个数量函数就是一个给定的法则，按照这一法则，K上每个n阶方阵A对应于K内一个唯一确定的数fA。

例如，设ijnAaMK，我们定义11fAa，即每个n阶方阵A在法则f下对应于其第一行第一列元素11a，f就是nMK上的一个数量函数。由此看来，nMK上的数量函数是很多的。第二章中研讨的一个方阵A的秩rA和迹TrA都是nMK上数量函数的具体例子。显然，并不是nMK上随便一个数

量函数都有研究价值。下面我们介绍nMK上具有某种特定属性的数量函数，它将成为研究n阶方阵的重要工具。 为了使下面的阐述较为简明、清楚，我们在本章中将使用一些特定的记号。 设A是数域K上一个n阶方阵，其行向量组为12n，，,，列向量组为12,,,n，我们根据行文的需要把A写成

12

nA





或12,,,.nA

如果我们只研究A的第i行或第j列，就写成 iA



或 ,,,jA

把不讨论的行（列）用省略号代替。于是nMK上的一个数量函数fA可以写成

12

nfAf





或 if

以及 12,,,nfAf 或 ,,.jf

定义 设f是定义在nMK上的一个数量函数，满足如下条件：对nK中任意向量12n，，,，以及K中任意数，都有 111,iinnnfff

11

iinn

ff



（这里1,2,,in，则称f为nMK上的一个行线性函数。

设g是定义在nMK上一个数量函数，满足如下条件：对对nK中任意向量 12,,,n，以及K中任意数，都有

1,,,,jng



11,,,,,,,,,jnngg

11,,,,,,,,jnjngg

（这里1,2,,jn），则称g为nMK上的一个列线性函数。 如果fA是nMK上的行线性函数，那么对任意,K都有

.iifff



反之，若nMK上一个数量函数满足上面的条件，只要分别令1及0代

入，即知它满足行线性函数的条件。同样，若gA为nMK上列线性函数，那么 ,,,,,,.jjggg

同样，nMK上一个数量函数如果满足上述条件，则它是一个列线性函数。 如果nAMK，且A有一行向量为0，于是该行向量可以写成0，则对任意行线性函数f，有00fAfA。同样，若A有一个列向量为0，则对任意列线性函数g，有0gA。 例如，考查2MK。设 111222122

aaAMKaa



，

定义11221221fAaaaa。容易验证，f是2MK上一个行线性函数，也是一个列线性函数。 如果nMK上一个列线性函数f满足如下条件：当nAMK有两列元素

相同时（这时当然要2n），必有0fA，则f称为反对称的列线性函数。 当然，我们可以类似的定义反对称的行线性函数，这就不再重复说明了。 命题2.1 设f是2nMKn上的反对称列（行）线性函数，那么，下面的命题成立： (i) 设将nAMK的,ij两列（行）互换得出方阵B，则fBfA；

(ii) 设将nAMK的第j列（行）加上其第列（行）的倍（为K中任意取定的数）得出方阵B，则有fBfA。 证 设,,,,ijA。由于f是反对称的列线性函数，我们有 

0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.ijijiijjjjjjijjifffffff 于是 ,,,,ijfAf

,,,,jif

fB

同样的，我们有 





,,,,,,,,,,,,,,,,.ijiijiiijfBffffAffA

推论1 设,fg是nMK上两个反对称列线性函数，且对某个nAMK有fAgA。设A经有限次初等列变换变为方阵B，则仍有fBgB。

证 显然只需要考虑B是A做一次初等列变换得出的方阵就可以了。下面分别讨论三种初等列变换。

(i) 设互换A的,ij两列变为B，则按命题2.1，有

,,fBfAgBgA

从而fBgB。 (ii) 设将A的第j列乘以K内非零数得出方阵B，则 ,,,,.jjfBfffA

同理，gBgA，于是fBgB。 (iii)设将A的第j列加上第i列的倍得出方阵B，则按命题2.1，有 .fBfAgAgB

推论2 设f是2nMKn上的列（行）线性函数。则f为反对称的充分必要条件是对K上任何不满秩n阶方阵A都有0fA。 证 必要性 若rAn，则A的第i个列向量为其余列向量的线性组合，此时将A的其余各列乘适当倍数加到第i列，使第i列变为0，得K上n阶方阵B。按命题2.1及列线性函数的性质知

0fAfB

充分性 当A有两个列向量相同时，显然不满秩，按假设应有0fA，故f为反对称。 下面给出本节的基本概念。 定义 设f是nMK上一个列线性函数且满足如下条件：

(i) 如果nAMK不满秩，则0fA； (ii) 对nMK内单位矩阵E，有1fE， 则称f为nMK上一个行列式函数。 例如，在2MK上定义数量函数f如下：若 11122122

aa

Aaa



，

则11221221fAaaaa。那么，容易验证f是2MK上的一个行列式函数。 对K上任意一阶方阵1111AaaE，定义11fAa，数量函数f显然为1MK上的行列式函数。反之，对1MK上任意行列式函数g，按定义有

1111gAagEa。故gAfA。即此f为1MK上唯一的行列式函数。 下面只要讨论2n的情况。此时按命题2.1的推论2.行列式函数定义中的条件（i）等价于f为反对称行列线性函数。

命题2.2 nMK上的行列式函数是唯一的。 证 设f与g是nMK上的两个行列式函数，我们需要证明：对任意nAMK，有fAgA。

(i) 如果rAn，那么按定义有0fAgA。 (ii) 如果rAn，按第二章命题5.2，A可表为n阶初等矩阵1,,mPP的乘积： 11.mmAPPEPP

上式表明A可由单位矩阵E做m次初等列变换得出。因此,fg均为nMK上反对称列

线性函数，按命题2.1的推论1，由1fEgE可推出 .fAgA

下面对行列式函数的性质作进一步的讨论。 命题2.3 设fA是nMK上的行列式函数，则对一切nAMK有

'fAfA，即A和它的转置A函数值相同。

证 当1n时AA，命题自然成立。下面设2.n 若rAn，则0fA。此时rArAn，故

'0fAfA。

若rAn，按第二章命题5.2，存在n阶初等矩阵12,,,mPPP，使 12. 1mAEPPP

令121,2,,iiBEPPPim。设0BE，则1iiiBBP。根据第二章命题5.1，

1iiBP是对1iB作一次初等列变换。因为fA为反对称列线性函数，按命题2.1及列线性，11iiiiifBfBPfB，其中

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第3课 行列式

第3课 行列式


-21-
例3
× × 0 × × 0 × × 0 × × ×
× × 0 0= ⋅× × × =0 × × × × × × × × × × × ×
0 0 0 0
0 0 0
性质8 性质8
都是n阶方阵 设A，B都是 阶方阵，则 ， 都是 阶方阵，
AB = A ⋅ B
-22-
例4
是奇数阶方阵， 设A是奇数阶方阵，且 AT A = E , A = 1, 是奇数阶方阵 证明 E − A = 0
按第1列展开 按第 列展开
a11
a 23 L a 2 n a 33 a3n O M a nn ( n−1)
按第1列展开 按第 列展开
a 33 a11a 22
a 34 L a 3 n a44 a4n O M
=L
a nn ( n − 2)
= a11a 22 L a nn
-8-
由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算 由定义，
互换行列式的两行（ 互换行列式的两行（列）,行列式变号。 行列式变号。
1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8, 3 5 8 6 6 2
再如，证明 再如，
1 7 5 7 1 5 6 6 2 = − 6 6 2. 3 5 8 5 3 8
a b c × × × =0 a b c
a b c × × × a b c
a11 L a1k M M D= a k 1 L a kk c11 L c1k M M c n1 L cnk
p11 M p = k1 c11 M cn1
0 b11 L b1n M M bn1 L bnn
O L pkk L c1k M L cnk
0 q11 M O qn1 L qnn
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3....》329PPT课件

高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3....》329PPT课件

(c di 0)其中c - ddi， 化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式 除法的分母“有理化”很类似。
例3．计算 (1 2i) (3 4i)
(1 2i) (3 4i) 1 2i (1 2i)(3 4i) 3 4i (3 4i)(3 4i0
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
（第一课时）
隆安县第三中学 韦贞平
教学目标：
（1）知识目标：能进行复数代数形式的乘除运算 （2）过程与方法目标：从实数的乘除运算及其运算
律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律， 通过实现实数与虚数的转化，培养学生转化的思想。 （3）情感与能力目标：通过复数的乘除法的学习，
(4)若x-2+yi和3x-i互为共轭复数，则实数
x=______,y=________.
(5)设复数z满足 1 2i i,则z _____. z
课后作业
课本第61页 习题3. 2 A组4，5
(2) 共轭复数:实部相等，虚部互为相反数的两个复数， 叫做共轭复数。
(3)复数代数形式的除法运算法则:通常先将除法写成分式 的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化 简后可得，类似于以前学习的分母有理化.
三、巩固练习：
(1)(3 4i)(2 3i)
(2) 2i 2i
(3)(1 i)( 1 3 i)(1 i) 22
通常记复数z=a+bi的共轭复数为 z a 。bi
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数
1 2i,3 4i,3 i,1 3i,i,3.
③计算 1
2
2, 3
而1 2 怎样算呢？ 2-i
试比较写出复数的除法法则。
线性代数第3章(矩阵的初等变换与线性方程组)

线性代数第3章(矩阵的初等变换与线性方程组)

第3章　矩阵的初等变换与线性方程组本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念，并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质；然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有惟一解或有无限多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法.§1矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用.为引进矩阵的初等变换，先来分析用消元法解线性方程组的例子.引例　求解线性方程组解这里，　（1）→（B1）是为消x1作准备. （B1）→（B2）是保留①中的x1，消去②、③、④中的x1.（B2）→（B3）是保留②中的x2并把它的系数变为1，然后消去③、④中的x2，在此同时恰好把x3也消去了.　（B3）→（B4）是消去x4，在此同时恰好把常数也消去了，得到恒等式0=0（若常数项不能消去，就将得到矛盾方程0= 1，则说明方程组无解）.至此消元完毕.（B4）是4个未知数3个有效方程的方程组，应有一个自由未知数，由于方程组（B4）呈阶梯形，可把每个台阶的第一个未知数（即x1，x2，x4）选为非自由未知数，剩下的x3选为自由未知数.这样，就只需用“回代”的方法便能求出解：由③得x4=-3；将x4=-3代入②，得x2 = x3 +3；以x4=-3， x2 =x3+3代入①，得x1=x3+4.于是解得其中x3可任意取值.或令x3=c，方程组的解可记作即其中c为任意常数.在上述消元过程中，始终把方程组看作一个整体，即不是着眼于某一个方程的变形，而是着眼于整个方程组变成另一个方程组.其中用到三种变换，即：　（i）交换方程次序（ⓘ与ⓙ相互替换）；　（i i）以不等于0的数乘某个方程（以ⓘ×k替换ⓘ）；　（i i i）一个方程加上另一个方程的k倍（以ⓘ+kⓙ替换ⓘ）.由于这三种变换都是可逆的，即因此变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，这三种变换都是方程组的同解变换，所以最后求得的解（2）是方程组（1）的全部解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算.因此，如果记方程组（1）的增广矩阵为那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B的变换.把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换.定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i）对换两行（对换i，j两行，记作r i↔r j）；（i i）以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记作r i×k）；（i i i）把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i+k r j）.把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）.矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换.显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换；变换r i↔r j的逆变换就是其本身；变换r i×k的逆变换为变换r i+kr j的逆变换为r i+（-k）r j（或记作r i-k r j）.如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A～B.矩阵之间的等价关系具有下列性质：（i）反身性A～A；（i i）对称性　若A～B，则B～A；（i i i）传递性　若A～B，B～C，则A～C.下面用矩阵的初等行变换来解方程组（1），其过程可与方程组（1）的消元过程一一对照：由方程组（B4）得到解（2）的回代过程，也可用矩阵的初等行变换来完成，即B5对应方程组取x3为自由未知数，并令x3=c，即得其中c为任意常数.矩阵B4和B5的特点是：都可画出一条从第一行某元左方的竖线开始到最后一列某元下方的横线结束的阶梯线，它的左下方的元全为0；每段竖线的高度为一行，竖线的右方的第一个元为非零元，称为该非零行的首非零元.具有这样特点的矩阵称为行阶梯形矩阵.为明确起见给出如下定义：定义2 （1）非零矩阵若满足（i）非零行在零行的上面；　（i i）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵；（2）进一步，若A是行阶梯形矩阵，并且还满足：　（i）非零行的首非零元为1；（i i）首非零元所在的列的其他元均为0，则称A为行最简形矩阵.于是B4和B5都是行阶梯形矩阵，且B5还是行最简形矩阵.用归纳法不难证明（这里不证）：对于任何非零矩阵A m×n，总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.利用初等行变换，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，是一种很重要的运算.由引例可知，要解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵.由行最简形矩阵B5，即可写出方程组的解（2）；反之，由方程组的解（2）也可写出矩阵B5.由此可猜想到一个矩阵的行最简形矩阵是惟一确定的（行阶梯形矩阵中非零行的行数也是惟一确定的）.对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形.例如矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元全为0.对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与A等价的矩阵组成一个集合，标准形F是这个集合中形状最简单的矩阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，为探讨它的应用，需要研究它的性质，下面介绍它的一个最基本的性质.定理1设A与B为m×n矩阵，那么（i）的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA =B；（i i） A～B的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使A Q=B；（i i i）A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PA Q=B.为证明定理1，我们引进初等矩阵的知识.定义3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应有三种初等矩阵.（i）把单位矩阵中第i，j两行对换（或第i，j两列对换），得初等矩阵用m阶初等矩阵E m（i，j）左乘矩阵A=（a i j）m×n，得其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i行与第j行对换（r i↔r j）.类似地，以民阶初等矩阵E n（i，j）右乘矩阵A，其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换：把A的第i列与第j列对换（　c i↔c j）.（i i）以数k≠0乘单位矩阵的第i行（或第i列），得初等矩阵可以验知：以E m（i（k））左乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第i行（r i×k）；以E n（i（k））右乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第i列（c i×k）.（i i i）以k乘单位矩阵的第j行加到第i行上或以k乘单位矩阵的第i列加到第j列上，得初等矩阵可以验知：以E m（i j（k））左乘矩阵A，其结果相当于把A的第j行乘k加到第i行上（r i+kr j）；以E n（i j（k））右乘矩阵A，其结果相当于把A的第i列乘k加到第j 列上（c j+kc i）.归纳上面的讨论，可得性质1设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵.显然初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵：性质2方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…，P l，使A =P1P2…P l.证　先证充分性.设A=P1P2…P l，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆.故A可逆.再证必要性.设n阶方阵A可逆，它经有限次初等行变换成为行最简形矩阵B.由性质1，知有初等矩阵Q1，…，Q l使Q l…Q1A=B.因A，Q1，…，Q l均可逆，故B也可逆，从而B的非零行数为n，即B有n个首非零元1，但B总共只有n个列，故B=E.于是这里为初等矩阵，即A是若干个初等矩阵的乘积. 证毕下面应用初等矩阵的知识来证明定理1.定理1的证明：（i）依据A～B的定义和初等矩阵的性质，有A～B ⇔A经有限次初等行变换变成B⇔存在有限个m阶初等矩阵P1，P2，…， P l，使P l… P2P1A=B⇔存在m阶可逆矩阵P，使PA=B.类似可证明（i i）和（i i i）.证毕定理1把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到初等变换的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换去研究矩阵的乘法.下面先给出定理1的一个推论，然后介绍一种利用初等变换求逆阵的方法.推论　方阵A可逆的充分必要条件是证A可逆⇔存在可逆矩阵P，使PA=E定理1表明，如果，即A经一系列初等行变换变为B，则有可逆矩阵P，使PA=B.那么，如何去求出这个可逆矩阵P？由于因此，如果对矩阵（A，E）作初等行变换，那么，当把A变为B时，E就变为P.于是就得到所求的可逆矩阵P.例1设的行最简形矩阵为F，求F，并求一个可逆矩阵P，使PA=F.解　把A用初等行变换化成行最简形矩阵，即为F.但需求出P，故按上段所述，对（A，E）作初等行变换把A化成行最简形矩阵，便同时得到F和P.运算如下：故为A的行最简形矩阵，而使PA=F的可逆矩阵注　上述解中所得（F，P），可继续作初等行变换r3×k，r1+kr3，r2+kr3，则F不变而P变.由此可知本例中使PA=F的可逆矩阵P不是惟一的.例2设证明A可逆，并求A-1.解　如同例1，初等行变换把（A，E）化成（F，P），其中F为A的行最简形矩阵.如果F=E，由定理1之推论知A可逆，并由PA=E，知P=A-1.运算如下：例3求解矩阵方程A X=B，其中解　设可逆矩阵P使PA =F为行最简形矩阵，则P（A，B）=（F，P B），因此对矩阵（A，B）作初等行变换把A变为F，同时把B变为PB.若F=E，则A 可逆，且P=A-1，这时所给方程有惟一解X=PB=A-1B.由可见因此A可逆，且即为所给方程的惟一解.例2和例3是一种用初等行变换求A-1或A-1B的方法，当A为3阶或更高阶的矩阵时，求A-1或A-1B通常都用此方法.这是当A为可逆矩阵时，求解方程A X=B的方法（求A-1也就是求方程A X=E的解）.这方法就是把方程A X=B 的增广矩阵（A，B）化为行最简形矩阵，从而求得方程的解.特别地，求解线性方程组Ax=b （A为可逆矩阵）时把增广矩阵（A，b）化为行最简形矩阵，其最后一列就是解向量，从而得到了一个求解线性方程组的新途径.例4求解线性方程组解　记此方程组为Ax=b，则增广矩阵因故　A可逆，于是方程组有解，且解为此方程组我们已在第2章例16中分别用克拉默法则和逆矩阵求解过.比较这三种方法，显然这里介绍的方法最为方便和快捷.§2矩阵的秩为了更好地理解矩阵的秩的概念，重新讨论上节引例中增广矩阵B及其行阶梯形矩阵B4和B5：我们发现B4和B5都恰好有3个非零行.自然要问：每一个与B行等价的行阶梯形矩阵是否都恰好有3个非零行？回答是肯定的.为阐明这一问题先引入矩阵子式的概念.定义4在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.m×n矩阵A的k阶子式共有个.现在来观察行阶梯形矩阵B4的子式.取B4的第1、第2、第3行和第1、第2、第4列，得到三阶非零子式而它的任一四阶子式都将因含有零行而成为0.换言之，B4中非零子式的最高阶数是3.同样B5中非零子式的最高阶数也是3.非零子式在矩阵的初等行变换中的意义可以表述成如下的引理.引理　设，则A与B中非零子式的最高阶数相等.证　先证B是A经过一次初等行变换而得的情形.设D是A中的r阶非零子式.当或对，在B中总能找到与D相对应的r阶子式D1，由于D1=D或D1=-D或D1=kD，因此D1≠0.当时，因为对于作变换r i↔　r j时结论成立，所以只需考虑这一特殊情形.分两种情形讨论：　（①　D不包含A的第1行，这时D也是B的r阶非零子式；②　D包含A 的第1行，这时把B中与D对应的r阶子式D1记作若p=2，则D1=D≠0；若p≠2，则D2也是B的r阶子式，由D1-kD2=D≠0，知D1与D2不同时为0.总之，B中存在r阶非零子式D1或D2.记A和B中非零子式的最高阶数分别为s和t，那么上述表明s≤　t.因A经一次初等行变换成为B，B也就可经一次初等行变换成为A，故又有t≤　s，于是s=t.经一次初等行变换结论成立，即可知经有限次初等行变换结论也成立. 证毕现在可以回答本节一开始提出的问题了.设C是任一与B行等价的行阶梯形矩阵，由引理，C中非零子式的最高阶数应与B4中非零子式的最高阶数相同，即C有且仅有3个非零行.值得注意的是上面的讨论中，关心的并不是非零子式（作为行列式）本身，而是它的阶数，尤其是非零子式的最高阶数.由此给出矩阵的秩的定义：定义5设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）.并规定零矩阵的秩等于0.由行列式的性质可知，在A中当所有r+1阶子式全等于0时，所有高于r+1阶的子式也全等于0，因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，而A的秩R（A）就是A的非零子式的最高阶数.由于R（A）是A的非零子式的最高阶数，因此，若矩阵A中有某个s阶子式不为0，则R（A）≥s；若A中所有t阶子式全为0，则R（A）＜t.显然，若A为m×n矩阵，则0≤R（A）≤mi n｛m，n｝.由于行列式与其转置行列式相等，因此A T的子式与A的子式对应相等，从而R（A T）=R（A）.对于n阶矩阵A，由于A的n阶子式只有一个︳A ︳，故当︳A ︳≠0时R（A）= n，当︳A ︳=0时R（A）＜n.可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数.因此，可逆矩阵又称满秩矩.阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵.矩阵的初等变换作为一种运算，其深刻意义在于它不改变矩阵的秩，即有定理2若A～B，则R（A）=R（B）.证　由引理，只须证明A经初等列变换变成B的情形，这时A T经初等行变换变为B T，由引理知R（A T）=R（B T），又R（A）=R（A T），R（B）=R（B T），因此R（A）= R（B）.总之，若A经有限次初等变换变为B（即A～B），则R（A）=R（B）. 证毕由于A～B的充分必要条件是有可逆矩阵P、Q，使PA Q=B，因此可得推论　若可逆矩阵P、Q使PA Q=B，则R（A）=R（B）.对于一般的矩阵，当行数与列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.然而对于行阶梯形矩阵，如前所示，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算.因此依据定理2把矩阵化为行阶梯形矩阵来求秩是方便而有效的方法.例5求矩阵A和B的秩，其中解　在A中，容易看出一个2阶子式A的3阶子式只有一个经计算可知因此R（A）= 2.对B作初等行变换变成行阶梯形矩阵因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以R（B）= 3.例6设求矩阵A及矩阵B=（A，b）的秩.解　对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设B的行阶梯形矩阵为，则就是A的行阶梯形矩阵，故从中可同时看出R（A）及R（B）.因此R（A）=2，R（B）= 3.从矩阵B的行阶梯形矩阵可知，本例中的A与b所对应的线性方程组Ax=b是无解的，这是因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程0=1.例7设已知R（A）=2，求λ与μ的值.解因R（A）=2，故下面讨论矩阵的秩的性质.前面我们已经提出了矩阵秩的一些最基本的性质，归纳起来有①0≤R（A m×n）≤　min｛ m，n｝.②R（A T）=R（A）.③若A～B，则R（A）= R（B）.④若P、Q可逆，则R（PA Q）=R（A）.下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质：⑤ma x｛R（A），R（B）｝≤R（A，B）≤R（A）+R（B），特别地，当B=b为非零列向量量时，有R（A）≤R（A，b）≤R（A）+1.证　因为A的最高阶非零子式总是（A，B）的非零子式，所以R（A）≤R（A，B）.同理有R（B）≤R（A，B）.两式合起来，即为max｛R（A），R（B）｝≤R（A，B）.设R（A）=r，R（B）=t.把A T和B T分别作初等行变换化为行阶梯形矩阵和.因由性质2，R（A T）=r，R（B T）=t，故和中分别含r个和t个非零行，从而中只含r+t个非零行，并且.于是证毕例如令则⑥　R（A+B）≤R（A）+R（B）.证　无妨设A，B为m×n矩阵.对矩阵作初等行变换ri-r n+i（i=1，2，…，n）即得于是证毕后面我们还要介绍两条常用的性质，现先罗列于下：⑦　R（A B）≤mi n｛R（A），R（B）｝（见下节定理7）.⑧若A m×n B n×l=O，则R（A）+R（B）≤　n（见下章例13）例8设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥　n.证　因（A+E）+（E-A）=2E，由性质⑥，有R（A+E）+R（E-A）≥R（2E）= n，而R（E-A）= R（A-E），所以R（A+E）+R（A-E）≥≥n.例9证明：若A m×n B n×l=C，且R（A）= n，则R（B）=R（C）.证　因R（A）=n，知A的行最简形矩阵为，并有m阶可逆矩阵P，使于是由矩阵秩的性质④，知R（C）=R（PC），而故R（C）=R（B）.本例中的矩阵A的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩矩阵.当A为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵.因此，本例的结论当A 为方阵这一特殊情形时就是矩阵秩的性质④.本例另一种重要的特殊情形是C=O，这时结论为设A B=O，若A为列满秩矩阵，则B=O.这是因为，按本例的结论，这时有R（B）=0，故B=O.这一结论通常称为矩阵乘法的消去律.§3线性方程组的解设有n个未知数m个方程的线性方程组（3）式可以写成以向量x为未知元的向量方程A x=b，（4）第二章中已经说明，线性方程组（3）与向量方程（4）将混同使用而不加区分，解与解向量的名称亦不加区别.线性方程组（3）如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它不相容.利用系数矩阵A和增广矩阵B=（A，b）的秩，可以方便地讨论线性方程组是否有解（即是否相容）以及有解时解是否惟一等问题，其结论是定理3 n元线性方程组Ax=b（i）无解的充分必要条件是R（A）＜R（A，b）；（i i）有惟一解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）=n；（i i i）有无限多解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）＜n.证　只需证明条件的充分性，因为（i），（i i），（i i i）中条件的必要性依次是（i i）（i i i），（i）（i i i），（i）（i i）中条件的充分性的逆否命题.设R（A）=r.为叙述方便，无妨设B=（A，b）的行最简形矩阵为（i）若R（A）＜R（B），则中的d r+1=1，于是的第r+1行对应矛盾方程0= 1，故方程（4）无解.（i i）若R（A）=R（B），则进一步把B化成行最简形矩阵，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形矩阵.（i i i）设R（A）=R（B）=r，把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数，其余n-r个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于c1，c2，…，c n-r，由B（或A）是行最简形矩阵，即可写出含n-r个参数的通解.例10求解齐次线性方程组解　对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵即得与原方程组同解的方程组由此即得令x3 =c1，x4=c2，把它写成通常的参数形式其中c1，c2为任意实数，或写成向量形式例11求解非齐次线性方程组解　对增广矩阵B施行初等行变换可见R（A）=2，R（B）=3，故方程组无解.例12求解非齐次线性方程组解　对增广矩阵B施行初等行变换即得亦即例13 设有线性方程组问λ取何值时，此方程组（1）有惟一解；　（2）无解；　（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解.解法1对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有（1）当λ≠0且λ≠-3时，R（A）= R（B）=3，方程组有惟一解；（2）当λ=0时，R（A）=1，R（B）= 2，方程组无解；（3）当λ=-3时，R（A）=R（B）= 2，方程组有无限多个解，这时由此便得通解即解法2因系数矩阵A为3阶方阵，故有R（A）≤　R（A，b）3×4≤　3.于是由定理3，知方程有惟一解的充分必要条件是A的秩R（A）=3，即︳A ︳≠0.而因此，当λ≠0且λ≠-3时，方程组有惟一解.当λ=0时知R（A）=1，R（B）=2，故方程组无解.当λ=-3时知R（A）=R（B）=2，故方程组有无限多个解，且通解为比较解法1与解法2，显见解法2较简单.但解法2的方法只适用于系数矩阵为方阵的情形.对含参数的矩阵作初等变换时，例如在本例中对矩阵B作初等变换时，由于λ+1，λ+3等因式可以等于0，故不宜作诸如这样的变换.如果作了这种变换，则需对λ+1=0（或λ+3=0）的情形另作讨论.因此，对含参数的矩阵作初等变换较不方便.由定理3容易得出线性方程组理论中两个最基本的定理，这就是定理4 n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R（A）＜n.定理5线性方程组A x=b有解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）.显然，定理4是定理3（i i i）的特殊情形，而定理5就是定理3（i）.为了下一章论述的需要，下面把定理5推广到矩阵方程.定理6矩阵方程A X=B有解的充分必要条件是R（A）= R（A，B）.证　设A为m×n矩阵，B为m×l矩阵，则X为n×l矩阵.把X和B按列分块，记为X=（x1，x2，…，x l）， B=（b1，b2，…，b l），则矩阵方程A X=B等价于l个向量方程A x i=b i（i=1，2，…，l）.又，设R（A）=r，且A的行最简形矩阵为，则有r个非零行，且的后m-r行全为零行.再设从而由上述讨论并依据定理5，可得A X=B有解⇔Ax i=b i有解（i=1，2，…，l）⇔R（A，b i）=R（A） （i=1，2，…，l）⇔b i的后m-r个元全为零（i=1，2，…，l）⇔（b1，b2，…，b l）的后m-r行全为零行⇔R（A，B）=r=R（A）. 证毕利用定理6，容易得出矩阵的秩的性质7，即定理7设A B=C，则R（C）≤min｛ R（A），R（B）｝.证　因A B=C，知矩阵方程A X=C有解X=B，于是据定理6有R（A）= R（A，C）.而R（C）≤R（A，C），因此R（C）≤R（A）.又B T A T=C T，由上段证明知有R（C T）≤R（B T），即R（C）≤　R（B）.综合便得R（C）≤min｛R（A），R（B）｝.证毕定理6和定理7的应用，我们在下一章中讨论.习　题　三1.用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：2.设求一个可逆矩阵P，使PA为行最简形矩阵.3.设（1）求可逆矩阵P，使PA为行最简形矩阵；（2）求一个可逆矩阵Q，使QA T为行最简形矩阵.4.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：5.试利用矩阵的初等行变换，求解第2章习题二第15题之（2）.6. （1）设求X使A X=B；（2）设　求X使XA=B；（3）设A A X=2X+A，求X.7.在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r-1阶子式？有没有等于0的r阶子式？8.从矩阵A中划去一行得到矩阵B，问A，B的秩的关系怎样？9.求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是（1，0，1，0，0），（1，-1，0，0，0）.10.求下列矩阵的秩：11.设A、B都是m×n矩阵，证明A～B的充分必要条件是R（A）=R（B）.12.设，问k为何值，可使（1）R（A）= 1；（2）R（A）=2；（3）R（A）=3.13.求解下列齐次线性方程组：14.求解下列非齐次线性方程组：15.写出一个以为通解的齐次线性方程组.16.设有线性方程组问λ为何值时（1）有惟一解；（2）无解；　（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解.17.λ取何值时，非齐次线性方程组（1）有惟一解；　（2）无解；　（3）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.18.非齐次线性方程组当λ取何值时有解？并求出它的通解.19.设问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无限多解？并在有无限多解时求其通解.20.证明R（A）=1的充分必要条件是存在非零列向量　a及非零行向量　b T，使A=ab T.21.设A为列满秩矩阵，A B=C，证明线性方程Bx=0与Cx=0同解.22.设A为m×n矩阵，证明方程A X=E m有解的充分必要条件是R（A）=m.。

线性代数第三章

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矩阵A可逆AP1P2 Pl 其中P1 P2 Pl都是初等矩阵.
求逆矩阵的初等行变换法
设A为n阶可逆矩阵 B为ns矩阵. 显然A1也可逆 所以存
在初等矩阵P1 P2 Pl 使 A1P1P2 Pl
于是有
A1AP1P2 Pl A
即
E P1P2 Pl A
及
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r43r1
0 5 0 3
5 3 6 3 4 3
r43r2
0 0
0 0
0 2 6 0 1 3
~ ~ r3r4
r42r3
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r1r2 r2r3
1 0
0 1 1 1
0 0
4 3
0 0 0 1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 20 06
P1P2 Pl (A B)(E A1B). 上式的意义
(i)取BE时 上式成为 P1P2 Pl (A E)(E A1).
(ii)当A为可逆矩阵时 方程AXB的解为XA1B. 求AXB 的解可以对(A B)进行初等行变换 使之成为(E A1B) 此时即 得XA1B.
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❖矩阵的等价关系 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B 就称矩阵A
与B行等价 记作 A ~r B.
如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称矩阵A 与B列等价 记作 A ~c B.
如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B 等价 记作 A ~ B.