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行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。
一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。
二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。
2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。
3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。
4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。
对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。
2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。
具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。
若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。
2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。
3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。
例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。
五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。
行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。
通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。
行列式知识点行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等多个领域都有着广泛的应用。
下面就让我们来详细了解一下行列式的相关知识点。
首先，我们来明确一下行列式的定义。
行列式是一个由数值组成的方阵所确定的一个数值。
对于一个二阶方阵＼＼begin{pmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{pmatrix}＼其行列式的值为＼（ad bc\）。
对于一个三阶方阵＼＼begin{pmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{pmatrix}＼其行列式的值可以通过按照一定的规则进行计算得到。
那么行列式有什么用呢？其中一个重要的应用就是判断线性方程组是否有唯一解。
如果一个线性方程组对应的系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解。
接下来，我们来探讨一下行列式的性质。
性质一：行列式与它的转置行列式相等。
也就是说，如果把一个方阵的行换成同序数的列得到一个新的方阵，那么这两个方阵的行列式是相等的。
性质二：交换行列式的两行（列），行列式的值变号。
性质三：行列式的某一行（列）中的元素乘以同一数后，加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
这些性质在计算行列式的值时非常有用，可以通过利用这些性质将行列式化为上三角行列式或下三角行列式，从而方便地计算出行列式的值。
再说说计算行列式的方法。
除了前面提到的二阶和三阶行列式的直接计算方法外，对于高阶行列式，常见的方法有按行（列）展开法和利用行列式的性质进行化简。
按行（列）展开法是基于行列式的代数余子式来进行的。
比如，对于一个＼（n\）阶行列式，选定某一行（列），将该行（列）的元素分别乘以其对应的代数余子式，然后求和，就得到了行列式的值。
行列式在求解线性方程组、计算矩阵的逆、求向量组的秩等方面都发挥着关键作用。
在实际应用中，比如在物理学中，行列式可以用于求解电路中的电流和电压；在计算机图形学中，行列式可以用于进行图形的变换；在经济学中，行列式可以用于分析投入产出模型。
第三章 行列式在第一章中，我们用矩阵的初等行变换解决了线性方程组是否有解及求解的问题. 但这种方法，早已把方程组的系数和常数项变得面目全非了，无法给出解与方程组的系数和常数项之间的关系，本章就利用行列式来解决这一问题. 行列式不仅是研究线性代数的重要工具，在其它领域也有广泛应用. 本章介绍行列式的概念、性质、计算及应用.3. 1行列式的概念一、二阶和三阶行列式首先我们通过解二元、三元线性方程组引入二阶和三阶行列式的定义. 对于二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩，利用消元法知，当112212210a a a a -≠时，求得其解为122212211121121122122111221221,b a b a b a b ax x a a a a a a a a --==--. （3. 1）上式作为二元线性方程组解的公式，给出了解与方程组的系数和常数项之间的关系，但不好记忆. 为便于应用这个公式，我们引入二阶行列式的定义.我们把四个数11122122,,,a a a a 排成两行两列构成的二阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭所确定的算式11221221a a a a -称为二阶行列式. 记为11122122a a a a 或A 或D ，即 1112112212212122===-a a D A a a a a a a .二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆，把11a 到22a 所在的连线称为主对角线，把12a 到21a 所在的连线称为副对角线，则二阶行列式等于主对角线上两元素乘积减去副对角线上两元素乘积.利用二阶行列式的定义，（3. 1）式中1x ，2x 的分母可记为1112112212212122a a a a a a D a a -==，称为线性方程组的系数行列式.分子可记为1121222121222b a b a b a D b a -==，1112111212212a b b a b a D a b -==，其中1D 是用常数项12,b b 替换系数行列式D 的第一列得到的行列式，2D 是用常数项12,b b 替换系数行列式D 的第二列得到的行列式.于是，利用二阶行列式的定义，（3. 1）式可表示为11211122221212121112111221222122,b a a b b a a b D Dx x a a a a D D a a a a ====. 例3. 1 求解二元线性方程组121232421x x x x -=⎧⎨+=⎩.解 由于 ()32347021D -==--=≠，()14242611D -==--=，23438521D ==-=-，因此 121265,77D D x x D D -====. 类似地，在解三元线性方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的过程中引入三阶行列式的定义.把三阶方阵111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所确定的算式 112233122331132132a a a a a a a a a ++132231122133112332a a a a a a a a a ---称为三阶行列式，记为111213212223313233a a a a a a a a a 或A 或D . 即111213212223313233a a a A a a a a a a = 112233122331132132a a a a a a a a a =++132231122133112332a a a a a a a a a ---.由三阶行列式的定义，我们注意到：注1三阶行列式是6项的代数和，并且正负各占一半； 注2它的每一项是不同行、不同列的三个元素的乘积.三阶行列式的算式很难记忆，下面我们考察三阶行列式与二阶行列式之间的关系. 事实上111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132a a a a a a a a a =++132231122133112332a a a a a a a a a --- ()()()112233233212213323311321322231a a a a a a a a a a a a a a a =---+- ()()()111213222321232122111213323331333132111a a a a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-其中22233233a a a a 是划掉三阶方阵A 中元素11a 所在的第一行和第一列，剩下元素构成的二阶行列式，该行列式称为元素11a 的余子式，记为11M .记()1111111A M +=-，称为元素11a 的代数余子式. 相应的有()1221231231331a a A a a +=-，称为元素12a 的代数余子式.()1321221331321a a A a a +=-，称为元素13a 的代数余子式.于是111213212223111112121313313233a a a a a a a A a A a A a a a =++. 这说明三阶行列式可转化为二阶行列式来计算.例3. 2计算三阶行列式11321131-.解 11321131-()()()()111213210102111131311113+++=⨯-⨯+-⨯-+⨯- ()()11328=-+-+⨯-=-.二、n 阶行列式把二阶、三阶行列式推广到一般情形，便得到n 阶行列式的定义. n 阶行列式有几种等价的定义方法，在这里我们用归纳法定义.定义3. 1 n 阶方阵()ij A a =所确定的算式称为n 阶行列式，记为111212122212n n n n nna a a a a a A a a a =，并且该算式满足：当1n =时，1111A a a ==；当2n =时，1112112212212122a a A a a a a a a ==-；当2n >时，1112121222111112121112n n n n n n nna a a a a a A a A a A a A a a a ==+++111nj j j a A ==∑.其中()1i jij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式；ij M 为A 中划去第i 行和第j 列后剩下元素所构成的1n -阶行列式，即111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1j j n i i j i j in iji i j i j i n n n j n j nna a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=称ij M 为ij a 的余子式.n 阶行列式A 也可以简记为D 或det A 或ij a .由n 阶行列式定义，我们同样可以得到类似于三阶行列式的结论： 注1 n 阶行列式是!n 项的代数和，并且正负各占一半； 注2 它的每一项是不同行、不同列的n 个元素的乘积. 此外还要注意n 阶行列式和n 阶矩阵的区别：注3 它们本质不同. 行列式是一个算式，其结果是一个数值，而矩阵是一个数表； 注4 它们记法和形状不同. 行列式记号是两条竖杠，矩阵则是圆括号；行列式的行数和列数必需相等，而矩阵的行数和列数不一定相等.例3. 3计算4阶行列式1102101010310100D -=.解 1111121213131414D a A a A a A a A =+++()()23010110110311113110000-=⨯-+⨯-()()45100101011012110301010--+⨯-+⨯- ()()()()()1201311111111100000+=-+-⨯-+-⨯-()()403102111001⎡⎤-⨯-+-⎢⎥⎣⎦1247=-⨯=-.例3. 4证明对角行列式（指主对角线以外的元素都为零）和副对角行列式（指副对角线以外的元素都为零）12120000n nλλλλλλ=，()()112212000100nn n nλλλλλλ-=-.证明 由n阶行列式定义12000nλλλ=111Aλ()22110nλλλ=-312nλλλλ===12n λλλ.120000nλλλ=()211010nnλλλ+-()()3111120110nn nλλλλ++-=--==()()()11113112201110nn n n nλλλλλ++-+-----()()()()111131212211111nn n n n λλλλλ++-++--=----()()()()122112211111n n n n n λλλλλ----=----()()12121n n n λλλ-=-. 例3. 5证明下三角行列式112122112212000nn n n nna a a a a a a a a=.证明 由n 阶行列式定义11212212000nn nna a a a a a =22112n nna a a a==1,111222,2,10n n n n n n nna a a a a a -----=1122nn a a a .我们注意到，在例3. 3中行列式第四行的零元素比第一行的零元素还要多，如果能够按第四行展开，计算岂不是更简单. 事实上，行列式不但可以按第一行元素展开，还可以按任一行或任一列元素展开，结果都是一样的. 因此有下面按行（或按列）展开定理: 定理3. 1 n 阶行列式ij D a =等于它的任一行（或任一列）的每个元素与其所对应的代数余子式乘积之和，即11221ni i i i in in ik ik k D a A a A a A a A ==+++=∑ ()1,2,,i n =或11221nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A ==+++=∑ ()1,2,,j n =证明略例3. 6计算n 阶行列式11121,1121222,11,11,21n n n n n n n a a a a a a a D a a a ----=解 将行列式按最后一列展开，n D()212,111110n nnn a a a a -+=-()()313,211112,11110n nn n n n a a a a a -++--=--=()()()()14312,111111n nn n n a a a +----- ()()()()122112,111111n n n n n a a a ---=----=()()1212,111n n n n n a a a ---.类似地，可得到12,121,1000n n n n n n nna a a a a a --()()1212,111n n n n n a a a --=-.习题3. 11. 计算行列式.(1)xy x y y x y x x y xy+++； (2)111230254-；(3) 01000102009834567； (4)1213002003401200101132-----. 2. 计算n 阶行列式.(1)010000200010n n -； (2)001002001000000n n-.3. 求x 的值使 14131232x x x+ 21311132x x x-=0.3. 2行列式的性质利用定义计算n 阶行列式，当n 很大时，计算量会很大. 本节将研究行列式的性质，借此来简化行列式的计算.设n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D A a a a ==，将其行与对应的列互换后得到的行列式称为D 的转置行列式，记为T D 或TA ，即112111222212n n T T nnnna a a a a a D A a a a ==.性质1 行列式与其转置行列式相等，即TD D =. 证明 用数学归纳法. 当2n =时，1112112212212122a a D a a a a a a ==-，1121112212211222T aa D a a a a a a ==-， 所以 TD D =.假设()13n k k =-≥时结论成立. 下面证明当n k =时结论也成立.为此，将D 和T D 分别按第一行和第一列展开，记1t A 为D 中第一行第t 列元素1t a 的代数余子式；1t B 为T D 中第一列第t 行元素1t a 的代数余子式. 则有111111,n nTt t t t t t D a A D a B ====∑∑因为1t A 与1t B 都是1k -阶行列式，且11Tt t A B =，由归纳假设知，11t t A B =()1,2,,t n =，所以 T D D =.性质1表明，在行列式中行与列的地位是相同的，因此，凡对行成立的性质，对列也都成立. 性质1还可以用方阵的行列式形式表达：T A A =.性质2 互换行列式的两行（或两列），行列式变号.证明 用数学归纳法.易验证当2n =时，结论成立.假设对1n -阶行列式结论成立，现在考察n 阶行列式11121121212ni iin j j jnn n nna a a a a a i D a a a j a a a ←=←第行第行记交换D 的第i 行和第j 行所得到的行列式为1D .因为3n ≥，所以D 和1D 中必存在第k 行(),k i j ≠，现在把D 和1D 分别按第k 行展开，得到111,n nkt kt kt kt t t D a A D a B ====∑∑其中kt A ，kt B 分别为行列式D 和1D 中元素kt a 所对应的代数余子式()1,2,,t n =.因为kt A 和kt B 都是1n -阶行列式，且交换kt A 的两行后得到kt B ，由归纳假设得1kt kt A B =-()1,2,,t n =所以 1D D =- ， 故结论成立.推论1 若行列式中两行（或两列）对应元素相同，则行列式的值为零.性质3 用数k 乘以行列式的某一行（或列）所有元素，等于用数k 乘此行列式. 即11111n iin n nna a ka ka a a =11111n iin n nna a k a a a a . 证明 将行列式按第i 行展开便得.性质3还告诉我们，若行列式的某一行（或列）所有元素有公因数，则此公因数可以提到行列式的外面.推论1 若行列式中某行（或列）的元素全为零，则行列式的值为零.推论2 若行列式中有两行（或两列）的元素对应成比例，则行列式的值为零.性质4 若行列式中某一行（或列）的元素都是两数之和，则此行列式可表示为下面两个行列式之和：111111n ii inin n nna a ab a b a a ++1111111111nn i in iin n nnn nna a a a a ab b a a a a =+. 证明将行列式按第i 行展开，便得111111n i i in in n nna a ab a b a a ++ ()111nnnik ik ik ik ik ik ik k k k a b A a A b A ====+=+∑∑∑1111111111n n i in i inn nnn nna a a a a ab b a a a a =+. 性质5把行列式的某一行（或列）的各个元素乘以同一数k ，然后加到另外一行（或列）对应元素上去，行列式值不变. 即11121121212n i i inj j jnn n nna a a a a a a a a a a a 1112112112212n i i inj i ji jninn n nna a a a a a a ka a ka a ka a a a =+++证明由性质4及性质3便得.性质2、性质3、性质5涉及到对行列式的行（或列）的三种变换恰好与矩阵的三种初等变换相对应，因此我们通常也把行列式的这三种变换分别记为i j r r ↔，表示互换行列式的第i 行和第j 行；i kr ，表示用非零常数k 乘行列式第i 行所有元素；j i r kr +，表示用一个非零常数k 乘行列式第i 行所有元素后加到第j 行对应元素上.若 “行”换成“列”，相应地记为i j c c ↔，i kc 和j i c kc +. 例3.7已知1abcd =，证明222222221111011111111a b c d a b c d ab c d a b c d ++++=.证明 行列式的第一行都是两项之和，且每一列有相同的变量，利用性质4和性质3得22222222111111111111a b c d a b c d a b c d a b c d ++++2222222211111111111111111111a b c d a b c d a b c da b c d a b c da b c d =+12D D =+.而 1D 222211111111a b c d ab c da b c d=2222111111111111a b c d abcd ab c d a b c d = 13342222111111111111r r r r a b c d a b c d a b cd↔↔=242222111111111111r r a b c d a b c d a b c d ↔=-2D =-.所以 左边12D D =+0=.性质6行列式的某一行（或列）的元素与另外一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即112210ni j i j in jn ik jk k a A a A a A a A =+++==∑ ()i j ≠，112210ni j i j ni nj ki kj k a A a A a A a A =+++==∑ ()i j ≠.证明 作行列式111111niin iin n nna a a a i D a a j a a ←'=←第行第行由D '中第i 行和第j 行元素相同，所以0D '=. 再将D '按第j 行展开，得11220i j i j in jn D a A a A a A '=+++=.综合定理3. 1和性质6，我们可以把这两个结论用下面表达式表示：1,0,nik jkk D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当时，当时.（3. 2） 1,0,nki kjk D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当时，当时.（3. 3） 例 3.8 设行列式9302555565066610D =，求（1）41424344A A A A +++，（2）216A222495A A ++.解（1）根据（3. 2）式，在分析行列式的特点，我们作第二行元素与第四行元素对应的代数余子式乘积之和，则有4142434455550A A A A +++=，所以 414243440A A A A +++=.（2）由题意，把行列式的第二行元素换为6,9,0,5，其它不变，便有212224695A A A ++=9302690565066610而9302932690569565066566610=-231333212432953041256256r rr r ----=---= 3121244130413195914914r r ------=-=-=所以 212224695195A A A ++=-.性质7 若A 为n 阶方阵，k 是数，则nkA k A =. 证明 由性质3及数与矩阵乘法便得.性质8 设分块矩阵0,0A A C P Q C B B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中A ，B 分别为n 阶和m 阶方阵，则P A B =，Q A B =.证明 设1111n n nn a a A a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，1111m m mm b b B b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 对行列式A 作若干次i j r r ↔或i j r kr +初等行变换，可将其化为下三角行列式，即()()11112211ssnn nnq A q q q q =-=-*其中s 表示所作行变换i j r r ↔的次数.在对行列式B 作若干次i j c c ↔或i j c kc +初等列变换，可将其化为下三角行列式，即()()11112211ttmm mmp B p p p p =-=-*其中t 表示所作列变换i j c c ↔的次数.对行列式P 的前n 行实施上述相应的行变换，对行列式P 的后m 列实施上述相应的列变换，便有()111110s tnnmm q Oq P p Cp +*=-*()112211221s tnn mm q q q p p p +=-A B =.又因为 TT TT A O Q CB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以 TTT TTT A O Q Q A B CB===A B =. 性质9 若n 阶分块矩阵100t A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，其中()1,2,,i A i t =是方阵，则1t A A A =.请读者自证.性质10若,A B 均为n 阶方阵，则AB A B =.证明 设()(),ij ij A a B b ==都是n 阶方阵，下面作2n 阶辅助行列式1111111111nn nnn n nna a Oa a A O Db b EBb b ==---由性质8得D A B =.现在证明D AB =. 为此用1j b 乘第一列，2j b 乘第二列，，nj b 乘第n 列，都加到第n j +列上()1,2,,j n =，得A CD E O=-，其中()ij C C =，1nij ik kjk C ab==∑(),1,2,,i j n =，由矩阵乘法知C AB =.再将A CD E O =-中第i 行与第n i +行依次作交换()1,2,,i n =，得()1nE O D AC-=-()1n E C =--()()11nnC =--AB =所以 AB A B =.例3. 9 计算行列式3393234000580006562166000D =解 化为分块三角矩阵. 再由性质8，有1533932660003400034000580005800065621656216600033932r r D ↔=-=0006666621003434932=-=-⨯=.例3. 10 证明奇数阶反对称矩阵的行列式的值等于零.证明设A为n（为奇数）阶反对称矩阵，则有T A A=-，由性质1及性质7，得()1nTA A A A A==-=-=-，因此有0A=.习题3. 21. 计算行列式.(1) 110112198232032-；(2)1122331001100110011bb bb bb------；(3)1234234134124123； (4)5010011200225005731442658.2. 计算n阶行列式1112221212(2)12nn n nx x x nx x x nD nx x x n++++++=≥+++.3. 设3400430000200022A⎛⎫⎪-⎪=⎪⎪⎝⎭，求8||A.4. 已知1326，2743，5005，3874都能被13整除，不计算行列式的值，试证1326 2743 5005 3874能被13整除．5. 已知1012110311101254D -=-，求：（1）12223242A A A A -+-；（2）41424344A A A A +++．3. 3行列式的计算下面介绍行列式计算的几种常用方法.一、 化三角行列式法性质2、性质3和性质5对行列式做的三种变换对应着矩阵的三种初等变换，我们知道矩阵总可以通过初等变换化为阶梯形矩阵，所以利用性质2、性质3和性质5总可以把行列式化成三角行列式，之后求出其值，这种方法称为化三角行列式法.例3. 11 计算3112513*********D ---=---.解 D 121312153402115133c c ↔---=----2141513120846021101627r r r r -+---=---2313120211084601627r r ↔--=---433242544813121312021102114000810008105001015002r r r r r r ++-----===---. 例3. 12计算n 阶行列式a b bb b a bb bb ab b b ba. 解 a b bb b a bb bb ab b b ba()()()()121111nr r r a nb a n b a n ba n bb a b bb b abbbba++++-+-+-+-=()11111b a bb a n b b b ab b b b a =+-⎡⎤⎣⎦ ()21311111100100n r br r br r br a b a n b a b a b----=+-⎡⎤-⎣⎦-()()11n a n b a b -=+--⎡⎤⎣⎦.二、降价法所谓降价法就是利用定理3. 1把n 阶行列式展开成n 个1n -阶行列式，反复使用此方法，最后求出行列式的值. 显然当行列式的某行（或列）有很多零元素时，该方法比较适用.例3. 13计算1012213101011342----.解 观察行列式，注意到第三行零较多，利用性质使第三行除一个元素是非零的，其余都为零.4210121012213121320101010013421341c c +----=--2131211211223201614151r r r r +---=--=--按第三行展开163151=-=-.例3. 14计算1n +阶行列式112231111111n n nn a a a a a D a a a +----=-解111211122231110111111121n n n nc c c cn n n c c nn n a a a a a a a D a a a a a n nn +-+++--+---==-+-()()122111n n na a n a a +-=-+按第一列展开()()111nni i n a ==-+∏.三、数学归纳法当n 阶行列式的结果是已知的，往往可以用数学归纳法来证明.例 3. 15证明n 阶范德蒙德行列式()1232222123111111231111n n n ijj i nn n n n nx x x x D x x x x x x x x x x ≤<≤----==-∏其中记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证明 用数学归纳法. 当2n =时，()221121211i j j i x D x x x x x ≤<≤===--∏， 结论成立.假设对1n -阶范德蒙德行列式结论成立，下面证明对n 阶范德蒙德行列式结论也成立.将n D 从最后一行开始，自下而上每一行减去上一行的1x 倍，得到()()()()()()21311221331122222133111111000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x xx x x x x x D x x x x x ------------=将其按第一列展开，之后把每一列的公因式提出来，就得到()()()232131122223111nn n n n nn x x x x x x x D x x x x x ------=上式右端是一个1n -阶范德蒙德行列式，由假设知，它等于()2ijj i nx x ≤<≤-∏，因此()()()()213112n i j n j i nx x x x xx x Dx ≤<≤----=∏()1ijj i nx x ≤<≤=-∏.综上，结论得证.从该例可知，当12,,,n x x x 各不相同时，范德蒙德行列式不等于零.四、递推法所谓递推法就是利用行列式的性质和展开定理，建立n 阶行列式与同结构的1n -阶行行列式之间的递推关系，找到递推公式，求出行列式的值.例3. 16计算2n 阶行列式2n a baba b D c dc d cd=.解 2nD ()210010n ababa b ab a bcdcdc dcd dc++-=按第一行展开()()()221211nn n adD bcD ----=分别按最后一列和第一列展开()()21=n ad bc D --()()()()21222n nn ad bc D ad bc D ad bc --=-==-=-.上面我们简要的介绍了计算行列式的常用方法.在具体计算之前，应注意观察所给行列式是否具有某些特点，然后考虑能否利用这些特点采取相应的方法以达到简化计算的目的.在计算以字母作元素的行列式时，更要注意简化.习题3. 31. 计算行列式.(1)214131211232562-； (2)1234123412341234x x x x++++； (3)222233331111586258625862.2. 计算行列式211222233020010400301011D x x x a x b x c x d =. 3. 计算行列式na a a a D 01001001111210=. 4. 证明))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c ba+++------=.5．证明1221100001000001nn n x x x a a a a x a ---⎛⎫ ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭=111n n n n x a x a x a --++++.3. 4 行列式的应用行列式有十分广泛的应用，本节介绍行列式在矩阵和一类特殊线性方程组中的应用.一、行列式与矩阵可逆设()ij A a =为n 阶方阵，把A 中元素ij a 都换成它的代数余子式ij A ，在转置，所得到的矩阵()112111222212n Tn ij nnnn A A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭称为A 的伴随矩阵.由（3. 2），（3. 3）式得AA A A **=000000AA A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A E =. 由上式我们可以得到矩阵可逆的充要条件：定理3. 2 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，且1A A A*-=.证明 必要性 若A 可逆，则存在n 阶方阵B ，使AB E =，由性质10得1A B E ==，所以 0A ≠.充分性 若0A ≠，由AA A A **=A E =，有11AA A A E A A**==. 由逆矩阵的定义，于是有A 可逆，且1A A A*-=.当0A ≠时，称A 为非奇异矩阵，当0A =时，称A 为奇异矩阵. 推论 若AB E =（或BA E =），则A 可逆，且1A B -=.证明 因为AB E =，所以1A B E ==，故0A ≠，因此A 可逆. 于是()()1111B EB A A B A AB A E A ----=====.关于矩阵A 的逆矩阵和伴随矩阵的行列式有下面性质： 性质1 1n A A-*=（A 为()2n n ≥阶方阵）证明 （1）若A 可逆，则0A ≠. 由AA A A **=A E =，得n A A A A A E A **===，所以1n A A-*=.（2）若A 不可逆，则0A =. 因此 AA *0A E ==. 假设0A *≠，则A *可逆，因而()10AAA A -**==.若0A =，A *一定为零矩阵，这与0A *≠矛盾，所以0A *=. 故1n A A -*=.性质2 111AAA--==证明 设A 是n 阶方阵，由1A A A*-=，有11111n n n A AA A A A A A*--*====. 例3. 17利用伴随矩阵求方阵123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.解 求得20A =≠，所以A 可逆. 计算A 中每个元素的代数余子式：()211211243A =-=，()321231643A =-=，314A =-，123A =-，226A =-，325A =， 132A =，232A =，332A =-.求得 264365222A *-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以 1A A A *-==26413652222-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 例3. 18 求矩阵000100001000aa Pb b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭的逆矩阵（其中0,0a b ≠≠）.解 对P 进行分块00010*******00a a A P b B b ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭， 又,A B 都可逆，所以11100A PB ---⎛⎫=⎪⎝⎭. 而 12011a A a a -⎛⎫=⎪-⎝⎭， 12110b B b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故 212100011001100100a a a Pb b b -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、行列式与矩阵的秩下面我们研究矩阵的秩与行列式的关系. 为此，引入矩阵k 阶子式的概念.定义3. 2 设A 是一个m n ⨯矩阵，在A 中任取k 行、k 列，由位于这些行与列的交点上的2k 个元素按原来次序构成的k 阶行列式，称为k 阶子式.m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kk mn C C ⋅个. 定义3. 3 设在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式r D ，且所有1r +阶子式（如果存在的话）全等于0，则称r D 为矩阵A 的最高阶非零子式.例如，123001212460A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，取A 中第一、二行和第三、四列交点上的元素构成的2阶子式303021=≠取A 中第一、二、三行和第一、三、四列交点上的元素构成的3阶子式1300210260= 可以验证，A 中所有3阶子式均为0，所以A 的最高阶非零子式的阶数是2. 通过初等变换方法可求出A 的秩也是2. 我们注意到，矩阵A 的秩就等于矩阵A 的最高阶非零子式的阶数. 事实上，这个结论对任意矩阵都成立，下面给出证明.引理 若矩阵A 与B 等价，则A 中存在r 阶非零子式的充分必要条件是B 中也存在r 阶非零子式. 也可以表述为：A 中所有r 阶子式全为0的充分必要条件是B 中所有r 阶子式全为0.证明 由矩阵等价具有对称性，仅需证明必要性.设0r A ≠是A 中r 阶非零子式，r B 是B 中r 阶子式，当A 经过一次初等行变换变成B ，相应的r A 变成r B .（1）若是互换A 中的两行，则有0r r B A =±≠.（2）若是用非零常数k 乘以A 中某一行，则有0r r B k A =≠.（3）若是用数k 乘A 中第i 行所有元素后加到第j 行对应元素上，则有下面两种情况:1 若r A 中不含A 中第j 行，或是既含A 中第i 行又含A 中第j 行，则0r r B A =≠.2 若r A 中只含A 中第j 行但不含A 中第i 行，则r j i j i r r B r kr r k r A k A =+=+=+如果0r A ≠，就已经证明B 中有r 阶非零子式；如果0r A =，由上式有0r r B A =≠. 综上B 中也存在r 阶非零子式.定理3. 3 矩阵的秩等于矩阵的最高阶非零子式的阶数.证明 首先，设()R A r =，下面分两种情况讨论： （1）当{}m i n ,r m n <时，则矩阵A 与它的标准形000rm nE F ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭等价，因F 中有r 阶非零子式r E ，且所有1r +阶子式全为零，所以A 中最高阶非零子式的阶数是r .（2）当(){}min ,R A m n =时，即r m =或r n =，则有矩阵A 与它的标准形()0rE 或0r E ⎛⎫⎪⎝⎭等价，因而A 中有r 阶非零子式，但不存在1r +阶子式，所以A 中最高阶非零子式的阶数是r .反之，设A 中最高阶非零子式的阶数是r ，下面证明()R A r =.设()R A k =，由上述结论知k r ≥（否则A 中所有r 阶子式全为零，与已知矛盾），同时k r ≤（否则A 中一定有k ()1k r ≥+阶子式不为零，这也与已知矛盾）， 因此k r =，即()R A r =.例3. 19设1221248024233606A --⎛⎫⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭，求A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式. 解 对A 进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，1221248024233606A --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭2131412231221004200210063r r r r r r -+---⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭23242231221002100000000r r r r r ÷-+--⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭所以()2R A =.由定理3. 3知A 中有2阶非零子式.1202是阶梯形矩阵的一个2阶非零子式，由引理，A 中对应有2阶非零子式12028≠，所以1228便是A 的一个最高阶非零子式.三、行列式与线性方程组对于方程个数等于未知量个数的特殊线性方程组，我们给出其解与方程组的系数和常数项的关系.定理3. 4（克拉默法则）设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （3. 4）若其系数行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =0≠，则方程组有唯一解，且其解可表示为j j D x D=()1,2,,j n = （ 3. 5）其中j D 是把D 中的第j 列换成常数项12,,,n b b b 所得的行列式，即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j nn j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=()1,2,,j n =.证明 记1122,n x b x b B x X bn ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，D A =，则线性方程组的矩阵表示为AX B =.由0D A =≠知，A 可逆，所以方程组有唯一解1X A B -=.又由1A A D*-=，所以1X A B -=可表示为11121112122222121n n n nnnn x A A A b x A A A b D x A A A bn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故有 ()11221j j j n nj x b A b A b A D =+++111,111,11212,122,121,1,11j j nj j n n n j nn j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+==j D D. ()1,2,,j n =推论1 如果非齐次线性方程组（3. 4）无解或有无穷解，则它的系数行列式必为零.推论2 如果齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式0D ≠，则它只有零解.推论 3 齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0D =.例3. 20 解线性方程组1234123412341234224432485341233226x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪+-+=⎩解 系数行列式2211431285343322D --=--20=≠，由克拉默法则，方程组有唯一解.而 1421143124125346322D --==--，2241144120812343622D --==--，3224143428851243362D ==-，4221443148853123326D --==---. 所以 11422D x D ===，22002D x D ===， 33842D x D -===-，44842D x D -===-.例3. 21 当k 取何值时，方程组1232123123424x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩有唯一解、无解、有无穷多解？在有解的情况下，求出方程组的全部解.解 系数行列式 ()()111114112kA kk k =-=+--，由克拉默法则，当0A ≠时，即1k ≠-且4k ≠时，方程组有唯一解，用公式（3. 5）求得唯一解为212232124121k k k x k k x k x k k ⎛⎫+ ⎪+ ⎪⎛⎫ ⎪++ ⎪= ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪+⎝⎭. 当1k =-时，111411111124A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭213123111402380005r r r r r r +-↔-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭.由()()23R A R A =≠=，方程组无解.当4k =时，1144141161124A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭21311144055200228r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪---⎝⎭()233252114401140000r r r r ÷÷--⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭12103001140000r r -⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭.由()()23R A R A ==<，方程组有无穷解，通解为1234x cx c =-⎧⎨=-+⎩（c 为任意常数）， 通解也可以用矩阵形式表达，即123301410x x c x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例3. 22 当,λμ取何值时，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解？并求解.解 系数行列式1111121A λμμ=()1111011210λλμμλλμ=--=---，由推论3，当0A =时有非零解，即0μ=或1λ=.当0μ=时，11101101A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1232011101000r r r r λλ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ 12101011000r r λ↔⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪⎝⎭，通解为()121x k x k λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即123111x x k x λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当1λ=时，32211111111101012100r r r r A μμμμ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23123221111101010010000000r r r r r r r μ--+⨯-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭通解为120x k x =-⎧⎨=⎩， 即123101x x k x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.习题3. 41. 已知矩阵=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011012111，问A 是否可逆，若可逆，求出逆矩阵. 2. (1) A 是3阶矩阵，||2A =，A 的伴随矩阵为*A ，求*|2|A .(2)设111121113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，求***(1,1,1)(1,2,1)(1,1,3)T T T A A A ++.3. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.（1）321312131370518---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭； （2）01112022200111111011-⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪-⎝⎭. 4. 问λ 取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(z x yx z y xλλλ有非零解？5. 用克拉默法则解方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+--=++-=++-4333235233362324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .练习三1. 填空与选择.(1)设100220345A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()_____A -=.(2) 方程2212341334034123415x x -=-的根为_________.(3) A 是n 阶可逆矩阵，A a =，且A 的各行元素之和均为b ，则A 的代数余子式之和12____.j j nj A A A +++=(4) 设A 为n 阶方阵，则||0A =的必要条件是( ) .(A) A 的两行元素对应成比例 (B) A 中必有一行为其余行的线性组合 (C) A 中有一行元素全为零 (D) A 中任一行为其余行的线性组合(5) 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵，则10(3)0T A B -⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ）.(A) 1(3)AB -- (B) 1(3)n A B --(C) (3)n A B - (D) 19nAB -（6） 设A 为n 阶方阵,*A 是其伴随矩阵,下列说法不正确的是（ ）.(A) 若0A ≠，则*0A ≠ (B) 若()1R A n =-，则*0A = (C) 若10A =，则*110n A -= (D) *A A AE =（其中E 为n 阶单位矩阵） 2. 计算下列n 阶行列式.(1)111111111x x x；(2)121111111111(0,1,2,,)11111i na a a i n a ++≠=+ .3. 计算n 阶行列式0001011n x y xy x y xy D x y x y++=++.4. 设,,a b c 是三角形的三条边，证明：00000a bc a c b bc a c b a <.5. 矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120017，求10A ，1-A . 6. =A ()211ββα，=B (),212ββα 其中2121,,,ββαα都是3行1列矩阵，已知,3,2==B A 求B A +的值.7. 证明：如果方程组1122334112233411223341122334a ab bc cd d a x x x a b x x x b c x x x c d x x x d ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩有解，则行列式12341234123412340a a a a b b b b c c c c d d d d =.8. 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求伴随矩阵*A 的逆矩阵.9. 已知实矩阵33()ij A a ⨯=，满足条件(1)(,1,2,3)ij ij a A i j ==,其中ij A 是ij a 的代数余子式. (2) 0ij a ≠.计算行列式||A .10. 设矩阵210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，其中*A 为A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，求B .11. 试讨论当λ为何值时，方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一零解？有非零解？12. 设线性方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩的系数矩阵为A ，三阶矩阵0B ≠，且0AB =，求λ的值.13. 讨论a 取什么值时，线性方程组12312321231ax x x x ax x a x x ax a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解，并求解.数学史与数学家简介[3]行列式小记“行列式”这一名词首先是由高斯(Gauss ，1777-1855)在1801引入的，当然指的不是现代行列式的含义，而是用以表示二次式的判别式.柯西(Caucy ，1789-1857) 于1812年给出了现代意义下的行列式这个词， 1841年凯莱则引入了两条竖线,到此为止标准的行列式出现了.行列式最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具.行列式出现于线性方程组的求解,1683年日本数学家关孝和著作《解伏题之法》，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.1693 年 4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件.因此,我们认为行列式是由关孝和和莱布尼茨发明的.1750 年，瑞士数学家克拉默 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则.稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解.第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) .范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来成为法兰西科学院院士.范德蒙给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则.1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法,得到了拉普拉斯展开定理.法国大数学家柯西在行列式的理论方面也做出了突出贡献.1815 年，柯西给出了行列式的乘法定理:ij ij ij a b c ⋅=,其中,ij ij a b 表示n 阶行列式,ij ij ijc ab =∑.并给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理.另外，他第一把行列式的元素排成方阵，采用双重足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等.1825年，舍尔克(H.F.Scherk ，1798-1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等.德国数学家雅可比(J.Jacobi,1804-1851)在行列式理论方面是最多产的人，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式.雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成.值得一提的是，在 19 世纪的半个多世纪中詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特(J.Sylvester,1814-18940)对行列式理论研究始终不渝，并做出一定成绩.由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展.整个 19 世纪都有行列式的新结果.除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到.克拉默小传克拉默 (G.Cramer,1704-1752)瑞士数学家，早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教.1727年进行为期两年的旅行访学，期间结识了约翰·伯努利、欧拉等一些大数学家，结为挚友.随后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家.回国后，与他们长期通信，交流学习，为数学宝库留下了最有价值的文献.1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授.他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学。
计算 n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法好多，除非零元素较少时可利用定义计算（①依据某一列或某一行睁开②完整睁开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特色，灵巧选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不一样的求解方法。
下边介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算0L0100L200例计算行列式 D n M M M Mn 1L0000L00n解D n中不为零的项用一般形式表示为a1n 1a2n 2 L a n 11a nn n!.该项列标摆列的逆序数(n 1)(n2)t（n－1 n－2 1n）等于，2(n 1)( n 2)故 D n( 1)2n!. 2．利用行列式的性质计算例：一个 n 阶行列式D n a ij的元素满足a ij aji,i , j1,2,L , n, 则称D n为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零 .证明：由 a ij aji 知a ii a ii，即 a ii0, i1,2,L ,na12a13La1na120a23La2n故行列式 D n可表示为D n a13a230L a3n，由行列式的性质A A ，L L L L La1 na2na3n L00a12a13La1n0a12a13La1na120a23La2 na120a23L a2n( 1)n D nD n a13a230L a3 n( 1)n a13a230L a3nL L L L L L L L L La1n a2 na3 n L0a1 na2na3 n L0当 n 为奇数时，得 D=－D ，因此得 D= 0.n n n13．化为三角形行列式若能把一个行列式经过合适变换化为三角形， 其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
所以化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
第三章 矩阵的秩与行列式1矩阵的秩（1）矩阵的定义第一章结论5所描述的不重复数量其实就是这里所讲解的矩阵秩。
用数学语言描述为：对n 阶矩阵A 进行多次初等变换后，最少不全为0的行或列的个数t ，则称t 为矩阵A 的秩，记为：()t A r =。
（2）向量前面我们已经知道用向量可以对矩阵简化表示，不仅如此，在对矩阵的性质进行分析时，用向量可以便于描述，分析过程自然也更加清晰。
○1线性表出与线性相关 （a ）线性表出如果n 维向量β能表示成向量s ααα,,,21 的线性组合，即：s s k k k αααβ+++= 2211，则称β可由向量组s ααα,,,21 线性表出,其中数sk k k ,,,21 称为关于β的组合系数.(b)向量组的等价 如果向量组s ααα,,,21 中的每个向量都可由向量组t βββ,,,21 线性表出，且向量组t βββ,,,21 中的每个向量也可以由向量组sααα,,,21 线性表出,那么就称这两个向量组等价.【例3.1】试判定向量 T )2,0,2,1(-=β 是否可由向量组T)0,1,1,1(1=α, T )1,0,1,1(2=α,T)1,1,0,1(3=α,T )1,1,1,0(4=α表出，解：设有βαααα=+++44332211x x x x ，此线性方程组是否有解就代表是否可表出。
根据解线性方程组的思路，可以将上述的列向量写成如下矩阵形式，并实施行初等变换，变为左边区域可用单位矩阵代替的新矩阵，最右边一列的值便是方程的解。
{}⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=321000350100310010370001~21110011012101110111,,,,4321初等行变换βαααα则此方程有唯一解：321351311371,,,--====x x x x ，故向量可线性表出。
○2向量组的线性相关 （a ）向量组的线性相关的定义 对于n 维向量组s ααα,,,21 ，若存在一组不全为0的数s k k k ,,,21 ，使得：02211=+++s s k k k ααα ，则称n 维向量组s ααα,,,21 线性相关.(b)用向量描述矩阵的秩矩阵A 的每一列或行构成的向量都可以称为矩阵A 的列向量或矩阵A 的行向量。
第三章 行列式在第一章中，我们用矩阵的初等行变换解决了线性方程组是否有解及求解的问题. 但这种方法，早已把方程组的系数和常数项变得面目全非了，无法给出解与方程组的系数和常数项之间的关系，本章就利用行列式来解决这一问题. 行列式不仅是研究线性代数的重要工具，在其它领域也有广泛应用. 本章介绍行列式的概念、性质、计算及应用.3. 1行列式的概念一、二阶和三阶行列式首先我们通过解二元、三元线性方程组引入二阶和三阶行列式的定义. 对于二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩，利用消元法知，当112212210a a a a -≠时，求得其解为122212211121121122122111221221,b a b a b a b ax x a a a a a a a a --==--. （3. 1）上式作为二元线性方程组解的公式，给出了解与方程组的系数和常数项之间的关系，但不好记忆. 为便于应用这个公式，我们引入二阶行列式的定义.我们把四个数11122122,,,a a a a 排成两行两列构成的二阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭所确定的算式11221221a a a a -称为二阶行列式. 记为11122122a a a a 或A 或D ，即 1112112212212122===-a a D A a a a a a a .二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆，把11a 到22a 所在的连线称为主对角线，把12a 到21a 所在的连线称为副对角线，则二阶行列式等于主对角线上两元素乘积减去副对角线上两元素乘积.利用二阶行列式的定义，（3. 1）式中1x ，2x 的分母可记为1112112212212122a a a a a a D a a -==，称为线性方程组的系数行列式.分子可记为1121222121222b a b a b a D b a -==，1112111212212a b b a b a D a b -==，其中1D 是用常数项12,b b 替换系数行列式D 的第一列得到的行列式，2D 是用常数项12,b b 替换系数行列式D 的第二列得到的行列式.于是，利用二阶行列式的定义，（3. 1）式可表示为11211122221212121112111221222122,b a a b b a a b D Dx x a a a a D D a a a a ====. 例3. 1 求解二元线性方程组121232421x x x x -=⎧⎨+=⎩.解 由于 ()32347021D -==--=≠，()14242611D -==--=，23438521D ==-=-，因此 121265,77D D x x D D -====. 类似地，在解三元线性方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的过程中引入三阶行列式的定义.把三阶方阵111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所确定的算式 112233122331132132a a a a a a a a a ++132231122133112332a a a a a a a a a ---称为三阶行列式，记为111213212223313233a a a a a a a a a 或A 或D . 即111213212223313233a a a A a a a a a a = 112233122331132132a a a a a a a a a =++132231122133112332a a a a a a a a a ---.由三阶行列式的定义，我们注意到：注1三阶行列式是6项的代数和，并且正负各占一半； 注2它的每一项是不同行、不同列的三个元素的乘积.三阶行列式的算式很难记忆，下面我们考察三阶行列式与二阶行列式之间的关系. 事实上111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132a a a a a a a a a =++132231122133112332a a a a a a a a a --- ()()()112233233212213323311321322231a a a a a a a a a a a a a a a =---+- ()()()111213222321232122111213323331333132111a a a a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-其中22233233a a a a 是划掉三阶方阵A 中元素11a 所在的第一行和第一列，剩下元素构成的二阶行列式，该行列式称为元素11a 的余子式，记为11M .记()1111111A M +=-，称为元素11a 的代数余子式. 相应的有()1221231231331a a A a a +=-，称为元素12a 的代数余子式.()1321221331321a a A a a +=-，称为元素13a 的代数余子式.于是111213212223111112121313313233a a a a a a a A a A a A a a a =++. 这说明三阶行列式可转化为二阶行列式来计算.例3. 2计算三阶行列式11321131-.解 11321131-()()()()111213210102111131311113+++=⨯-⨯+-⨯-+⨯- ()()11328=-+-+⨯-=-.二、n 阶行列式把二阶、三阶行列式推广到一般情形，便得到n 阶行列式的定义. n 阶行列式有几种等价的定义方法，在这里我们用归纳法定义.定义3. 1 n 阶方阵()ij A a =所确定的算式称为n 阶行列式，记为111212122212n n n n nna a a a a a A a a a =，并且该算式满足：当1n =时，1111A a a ==；当2n =时，1112112212212122a a A a a a a a a ==-；当2n >时，1112121222111112121112n n n n n n nna a a a a a A a A a A a A a a a ==+++111nj j j a A ==∑.其中()1i jij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式；ij M 为A 中划去第i 行和第j 列后剩下元素所构成的1n -阶行列式，即111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1j j n i i j i j in iji i j i j i n n n j n j nna a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=称ij M 为ij a 的余子式.n 阶行列式A 也可以简记为D 或det A 或ij a .由n 阶行列式定义，我们同样可以得到类似于三阶行列式的结论： 注1 n 阶行列式是!n 项的代数和，并且正负各占一半； 注2 它的每一项是不同行、不同列的n 个元素的乘积. 此外还要注意n 阶行列式和n 阶矩阵的区别：注3 它们本质不同. 行列式是一个算式，其结果是一个数值，而矩阵是一个数表； 注4 它们记法和形状不同. 行列式记号是两条竖杠，矩阵则是圆括号；行列式的行数和列数必需相等，而矩阵的行数和列数不一定相等.例3. 3计算4阶行列式1102101010310100D -=.解 1111121213131414D a A a A a A a A =+++()()23010110110311113110000-=⨯-+⨯-()()45100101011012110301010--+⨯-+⨯- ()()()()()1201311111111100000+=-+-⨯-+-⨯-()()403102111001⎡⎤-⨯-+-⎢⎥⎣⎦1247=-⨯=-.例3. 4证明对角行列式（指主对角线以外的元素都为零）和副对角行列式（指副对角线以外的元素都为零）12120000n nλλλλλλ=，()()112212000100nn n nλλλλλλ-=-.证明 由n阶行列式定义12000nλλλ=111Aλ()22110nλλλ=-312nλλλλ===12n λλλ.120000nλλλ=()211010nnλλλ+-()()3111120110nn nλλλλ++-=--==()()()11113112201110nn n n nλλλλλ++-+-----()()()()111131212211111nn n n n λλλλλ++-++--=----()()()()122112211111n n n n n λλλλλ----=----()()12121n n n λλλ-=-. 例3. 5证明下三角行列式112122112212000nn n n nna a a a a a a a a=.证明 由n 阶行列式定义11212212000nn nna a a a a a =22112n nna a a a==1,111222,2,10n n n n n n nna a a a a a -----=1122nn a a a .我们注意到，在例3. 3中行列式第四行的零元素比第一行的零元素还要多，如果能够按第四行展开，计算岂不是更简单. 事实上，行列式不但可以按第一行元素展开，还可以按任一行或任一列元素展开，结果都是一样的. 因此有下面按行（或按列）展开定理: 定理3. 1 n 阶行列式ij D a =等于它的任一行（或任一列）的每个元素与其所对应的代数余子式乘积之和，即11221ni i i i in in ik ik k D a A a A a A a A ==+++=∑ ()1,2,,i n =或11221nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A ==+++=∑ ()1,2,,j n =证明略例3. 6计算n 阶行列式11121,1121222,11,11,21n n n n n n n a a a a a a a D a a a ----=解 将行列式按最后一列展开，n D()212,111110n nnn a a a a -+=-()()313,211112,11110n nn n n n a a a a a -++--=--=()()()()14312,111111n nn n n a a a +----- ()()()()122112,111111n n n n n a a a ---=----=()()1212,111n n n n n a a a ---.类似地，可得到12,121,1000n n n n n n nna a a a a a --()()1212,111n n n n n a a a --=-.习题3. 11. 计算行列式.(1)xy x y y x y x x y xy+++； (2)111230254-；(3) 01000102009834567； (4)1213002003401200101132-----. 2. 计算n 阶行列式.(1)010000200010n n -； (2)001002001000000n n-.3. 求x 的值使 14131232x x x+ 21311132x x x-=0.3. 2行列式的性质利用定义计算n 阶行列式，当n 很大时，计算量会很大. 本节将研究行列式的性质，借此来简化行列式的计算.设n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D A a a a ==，将其行与对应的列互换后得到的行列式称为D 的转置行列式，记为T D 或TA ，即112111222212n n T T nnnna a a a a a D A a a a ==.性质1 行列式与其转置行列式相等，即TD D =. 证明 用数学归纳法. 当2n =时，1112112212212122a a D a a a a a a ==-，1121112212211222T aa D a a a a a a ==-， 所以 TD D =.假设()13n k k =-≥时结论成立. 下面证明当n k =时结论也成立.为此，将D 和T D 分别按第一行和第一列展开，记1t A 为D 中第一行第t 列元素1t a 的代数余子式；1t B 为T D 中第一列第t 行元素1t a 的代数余子式. 则有111111,n nTt t t t t t D a A D a B ====∑∑因为1t A 与1t B 都是1k -阶行列式，且11Tt t A B =，由归纳假设知，11t t A B =()1,2,,t n =，所以 T D D =.性质1表明，在行列式中行与列的地位是相同的，因此，凡对行成立的性质，对列也都成立. 性质1还可以用方阵的行列式形式表达：T A A =.性质2 互换行列式的两行（或两列），行列式变号.证明 用数学归纳法.易验证当2n =时，结论成立.假设对1n -阶行列式结论成立，现在考察n 阶行列式11121121212ni iin j j jnn n nna a a a a a i D a a a j a a a ←=←第行第行记交换D 的第i 行和第j 行所得到的行列式为1D .因为3n ≥，所以D 和1D 中必存在第k 行(),k i j ≠，现在把D 和1D 分别按第k 行展开，得到111,n nkt kt kt kt t t D a A D a B ====∑∑其中kt A ，kt B 分别为行列式D 和1D 中元素kt a 所对应的代数余子式()1,2,,t n =.因为kt A 和kt B 都是1n -阶行列式，且交换kt A 的两行后得到kt B ，由归纳假设得1kt kt A B =-()1,2,,t n =所以 1D D =- ， 故结论成立.推论1 若行列式中两行（或两列）对应元素相同，则行列式的值为零.性质3 用数k 乘以行列式的某一行（或列）所有元素，等于用数k 乘此行列式. 即11111n iin n nna a ka ka a a =11111n iin n nna a k a a a a . 证明 将行列式按第i 行展开便得.性质3还告诉我们，若行列式的某一行（或列）所有元素有公因数，则此公因数可以提到行列式的外面.推论1 若行列式中某行（或列）的元素全为零，则行列式的值为零.推论2 若行列式中有两行（或两列）的元素对应成比例，则行列式的值为零.性质4 若行列式中某一行（或列）的元素都是两数之和，则此行列式可表示为下面两个行列式之和：111111n ii inin n nna a ab a b a a ++1111111111nn i in iin n nnn nna a a a a ab b a a a a =+. 证明将行列式按第i 行展开，便得111111n i i in in n nna a ab a b a a ++ ()111nnnik ik ik ik ik ik ik k k k a b A a A b A ====+=+∑∑∑1111111111n n i in i inn nnn nna a a a a ab b a a a a =+. 性质5把行列式的某一行（或列）的各个元素乘以同一数k ，然后加到另外一行（或列）对应元素上去，行列式值不变. 即11121121212n i i inj j jnn n nna a a a a a a a a a a a 1112112112212n i i inj i ji jninn n nna a a a a a a ka a ka a ka a a a =+++证明由性质4及性质3便得.性质2、性质3、性质5涉及到对行列式的行（或列）的三种变换恰好与矩阵的三种初等变换相对应，因此我们通常也把行列式的这三种变换分别记为i j r r ↔，表示互换行列式的第i 行和第j 行；i kr ，表示用非零常数k 乘行列式第i 行所有元素；j i r kr +，表示用一个非零常数k 乘行列式第i 行所有元素后加到第j 行对应元素上.若 “行”换成“列”，相应地记为i j c c ↔，i kc 和j i c kc +. 例3.7已知1abcd =，证明222222221111011111111a b c d a b c d ab c d a b c d ++++=.证明 行列式的第一行都是两项之和，且每一列有相同的变量，利用性质4和性质3得22222222111111111111a b c d a b c d a b c d a b c d ++++2222222211111111111111111111a b c d a b c d a b c da b c d a b c da b c d =+12D D =+.而 1D 222211111111a b c d ab c da b c d=2222111111111111a b c d abcd ab c d a b c d = 13342222111111111111r r r r a b c d a b c d a b cd↔↔=242222111111111111r r a b c d a b c d a b c d ↔=-2D =-.所以 左边12D D =+0=.性质6行列式的某一行（或列）的元素与另外一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即112210ni j i j in jn ik jk k a A a A a A a A =+++==∑ ()i j ≠，112210ni j i j ni nj ki kj k a A a A a A a A =+++==∑ ()i j ≠.证明 作行列式111111niin iin n nna a a a i D a a j a a ←'=←第行第行由D '中第i 行和第j 行元素相同，所以0D '=. 再将D '按第j 行展开，得11220i j i j in jn D a A a A a A '=+++=.综合定理3. 1和性质6，我们可以把这两个结论用下面表达式表示：1,0,nik jkk D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当时，当时.（3. 2） 1,0,nki kjk D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当时，当时.（3. 3） 例 3.8 设行列式9302555565066610D =，求（1）41424344A A A A +++，（2）216A222495A A ++.解（1）根据（3. 2）式，在分析行列式的特点，我们作第二行元素与第四行元素对应的代数余子式乘积之和，则有4142434455550A A A A +++=，所以 414243440A A A A +++=.（2）由题意，把行列式的第二行元素换为6,9,0,5，其它不变，便有212224695A A A ++=9302690565066610而9302932690569565066566610=-231333212432953041256256r rr r ----=---= 3121244130413195914914r r ------=-=-=所以 212224695195A A A ++=-.性质7 若A 为n 阶方阵，k 是数，则nkA k A =. 证明 由性质3及数与矩阵乘法便得.性质8 设分块矩阵0,0A A C P Q C B B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中A ，B 分别为n 阶和m 阶方阵，则P A B =，Q A B =.证明 设1111n n nn a a A a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，1111m m mm b b B b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 对行列式A 作若干次i j r r ↔或i j r kr +初等行变换，可将其化为下三角行列式，即()()11112211ssnn nnq A q q q q =-=-*其中s 表示所作行变换i j r r ↔的次数.在对行列式B 作若干次i j c c ↔或i j c kc +初等列变换，可将其化为下三角行列式，即()()11112211ttmm mmp B p p p p =-=-*其中t 表示所作列变换i j c c ↔的次数.对行列式P 的前n 行实施上述相应的行变换，对行列式P 的后m 列实施上述相应的列变换，便有()111110s tnnmm q Oq P p Cp +*=-*()112211221s tnn mm q q q p p p +=-A B =.又因为 TT TT A O Q CB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以 TTT TTT A O Q Q A B CB===A B =. 性质9 若n 阶分块矩阵100t A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，其中()1,2,,i A i t =是方阵，则1t A A A =.请读者自证.性质10若,A B 均为n 阶方阵，则AB A B =.证明 设()(),ij ij A a B b ==都是n 阶方阵，下面作2n 阶辅助行列式1111111111nn nnn n nna a Oa a A O Db b EBb b ==---由性质8得D A B =.现在证明D AB =. 为此用1j b 乘第一列，2j b 乘第二列，，nj b 乘第n 列，都加到第n j +列上()1,2,,j n =，得A CD E O=-，其中()ij C C =，1nij ik kjk C ab==∑(),1,2,,i j n =，由矩阵乘法知C AB =.再将A CD E O =-中第i 行与第n i +行依次作交换()1,2,,i n =，得()1nE O D AC-=-()1n E C =--()()11nnC =--AB =所以 AB A B =.例3. 9 计算行列式3393234000580006562166000D =解 化为分块三角矩阵. 再由性质8，有1533932660003400034000580005800065621656216600033932r r D ↔=-=0006666621003434932=-=-⨯=.例3. 10 证明奇数阶反对称矩阵的行列式的值等于零.证明设A为n（为奇数）阶反对称矩阵，则有T A A=-，由性质1及性质7，得()1nTA A A A A==-=-=-，因此有0A=.习题3. 21. 计算行列式.(1) 110112198232032-；(2)1122331001100110011bb bb bb------；(3)1234234134124123； (4)5010011200225005731442658.2. 计算n阶行列式1112221212(2)12nn n nx x x nx x x nD nx x x n++++++=≥+++.3. 设3400430000200022A⎛⎫⎪-⎪=⎪⎪⎝⎭，求8||A.4. 已知1326，2743，5005，3874都能被13整除，不计算行列式的值，试证1326 2743 5005 3874能被13整除．5. 已知1012110311101254D -=-，求：（1）12223242A A A A -+-；（2）41424344A A A A +++．3. 3行列式的计算下面介绍行列式计算的几种常用方法.一、 化三角行列式法性质2、性质3和性质5对行列式做的三种变换对应着矩阵的三种初等变换，我们知道矩阵总可以通过初等变换化为阶梯形矩阵，所以利用性质2、性质3和性质5总可以把行列式化成三角行列式，之后求出其值，这种方法称为化三角行列式法.例3. 11 计算3112513*********D ---=---.解 D 121312153402115133c c ↔---=----2141513120846021101627r r r r -+---=---2313120211084601627r r ↔--=---433242544813121312021102114000810008105001015002r r r r r r ++-----===---. 例3. 12计算n 阶行列式a b bb b a bb bb ab b b ba. 解 a b bb b a bb bb ab b b ba()()()()121111nr r r a nb a n b a n ba n bb a b bb b abbbba++++-+-+-+-=()11111b a bb a n b b b ab b b b a =+-⎡⎤⎣⎦ ()21311111100100n r br r br r br a b a n b a b a b----=+-⎡⎤-⎣⎦-()()11n a n b a b -=+--⎡⎤⎣⎦.二、降价法所谓降价法就是利用定理3. 1把n 阶行列式展开成n 个1n -阶行列式，反复使用此方法，最后求出行列式的值. 显然当行列式的某行（或列）有很多零元素时，该方法比较适用.例3. 13计算1012213101011342----.解 观察行列式，注意到第三行零较多，利用性质使第三行除一个元素是非零的，其余都为零.4210121012213121320101010013421341c c +----=--2131211211223201614151r r r r +---=--=--按第三行展开163151=-=-.例3. 14计算1n +阶行列式112231111111n n nn a a a a a D a a a +----=-解111211122231110111111121n n n nc c c cn n n c c nn n a a a a a a a D a a a a a n nn +-+++--+---==-+-()()122111n n na a n a a +-=-+按第一列展开()()111nni i n a ==-+∏.三、数学归纳法当n 阶行列式的结果是已知的，往往可以用数学归纳法来证明.例 3. 15证明n 阶范德蒙德行列式()1232222123111111231111n n n ijj i nn n n n nx x x x D x x x x x x x x x x ≤<≤----==-∏其中记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证明 用数学归纳法. 当2n =时，()221121211i j j i x D x x x x x ≤<≤===--∏， 结论成立.假设对1n -阶范德蒙德行列式结论成立，下面证明对n 阶范德蒙德行列式结论也成立.将n D 从最后一行开始，自下而上每一行减去上一行的1x 倍，得到()()()()()()21311221331122222133111111000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x xx x x x x x D x x x x x ------------=将其按第一列展开，之后把每一列的公因式提出来，就得到()()()232131122223111nn n n n nn x x x x x x x D x x x x x ------=上式右端是一个1n -阶范德蒙德行列式，由假设知，它等于()2ijj i nx x ≤<≤-∏，因此()()()()213112n i j n j i nx x x x xx x Dx ≤<≤----=∏()1ijj i nx x ≤<≤=-∏.综上，结论得证.从该例可知，当12,,,n x x x 各不相同时，范德蒙德行列式不等于零.四、递推法所谓递推法就是利用行列式的性质和展开定理，建立n 阶行列式与同结构的1n -阶行行列式之间的递推关系，找到递推公式，求出行列式的值.例3. 16计算2n 阶行列式2n a baba b D c dc d cd=.解 2nD ()210010n ababa b ab a bcdcdc dcd dc++-=按第一行展开()()()221211nn n adD bcD ----=分别按最后一列和第一列展开()()21=n ad bc D --()()()()21222n nn ad bc D ad bc D ad bc --=-==-=-.上面我们简要的介绍了计算行列式的常用方法.在具体计算之前，应注意观察所给行列式是否具有某些特点，然后考虑能否利用这些特点采取相应的方法以达到简化计算的目的.在计算以字母作元素的行列式时，更要注意简化.习题3. 31. 计算行列式.(1)214131211232562-； (2)1234123412341234x x x x++++； (3)222233331111586258625862.2. 计算行列式211222233020010400301011D x x x a x b x c x d =. 3. 计算行列式na a a a D 01001001111210=. 4. 证明))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c ba+++------=.5．证明1221100001000001nn n x x x a a a a x a ---⎛⎫ ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭=111n n n n x a x a x a --++++.3. 4 行列式的应用行列式有十分广泛的应用，本节介绍行列式在矩阵和一类特殊线性方程组中的应用.一、行列式与矩阵可逆设()ij A a =为n 阶方阵，把A 中元素ij a 都换成它的代数余子式ij A ，在转置，所得到的矩阵()112111222212n Tn ij nnnn A A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭称为A 的伴随矩阵.由（3. 2），（3. 3）式得AA A A **=000000AA A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A E =. 由上式我们可以得到矩阵可逆的充要条件：定理3. 2 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，且1A A A*-=.证明 必要性 若A 可逆，则存在n 阶方阵B ，使AB E =，由性质10得1A B E ==，所以 0A ≠.充分性 若0A ≠，由AA A A **=A E =，有11AA A A E A A**==. 由逆矩阵的定义，于是有A 可逆，且1A A A*-=.当0A ≠时，称A 为非奇异矩阵，当0A =时，称A 为奇异矩阵. 推论 若AB E =（或BA E =），则A 可逆，且1A B -=.证明 因为AB E =，所以1A B E ==，故0A ≠，因此A 可逆. 于是()()1111B EB A A B A AB A E A ----=====.关于矩阵A 的逆矩阵和伴随矩阵的行列式有下面性质： 性质1 1n A A-*=（A 为()2n n ≥阶方阵）证明 （1）若A 可逆，则0A ≠. 由AA A A **=A E =，得n A A A A A E A **===，所以1n A A-*=.（2）若A 不可逆，则0A =. 因此 AA *0A E ==. 假设0A *≠，则A *可逆，因而()10AAA A -**==.若0A =，A *一定为零矩阵，这与0A *≠矛盾，所以0A *=. 故1n A A -*=.性质2 111AAA--==证明 设A 是n 阶方阵，由1A A A*-=，有11111n n n A AA A A A A A*--*====. 例3. 17利用伴随矩阵求方阵123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.解 求得20A =≠，所以A 可逆. 计算A 中每个元素的代数余子式：()211211243A =-=，()321231643A =-=，314A =-，123A =-，226A =-，325A =， 132A =，232A =，332A =-.求得 264365222A *-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以 1A A A *-==26413652222-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 例3. 18 求矩阵000100001000aa Pb b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭的逆矩阵（其中0,0a b ≠≠）.解 对P 进行分块00010*******00a a A P b B b ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭， 又,A B 都可逆，所以11100A PB ---⎛⎫=⎪⎝⎭. 而 12011a A a a -⎛⎫=⎪-⎝⎭， 12110b B b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故 212100011001100100a a a Pb b b -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、行列式与矩阵的秩下面我们研究矩阵的秩与行列式的关系. 为此，引入矩阵k 阶子式的概念.定义3. 2 设A 是一个m n ⨯矩阵，在A 中任取k 行、k 列，由位于这些行与列的交点上的2k 个元素按原来次序构成的k 阶行列式，称为k 阶子式.m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kk mn C C ⋅个. 定义3. 3 设在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式r D ，且所有1r +阶子式（如果存在的话）全等于0，则称r D 为矩阵A 的最高阶非零子式.例如，123001212460A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，取A 中第一、二行和第三、四列交点上的元素构成的2阶子式303021=≠取A 中第一、二、三行和第一、三、四列交点上的元素构成的3阶子式1300210260= 可以验证，A 中所有3阶子式均为0，所以A 的最高阶非零子式的阶数是2. 通过初等变换方法可求出A 的秩也是2. 我们注意到，矩阵A 的秩就等于矩阵A 的最高阶非零子式的阶数. 事实上，这个结论对任意矩阵都成立，下面给出证明.引理 若矩阵A 与B 等价，则A 中存在r 阶非零子式的充分必要条件是B 中也存在r 阶非零子式. 也可以表述为：A 中所有r 阶子式全为0的充分必要条件是B 中所有r 阶子式全为0.证明 由矩阵等价具有对称性，仅需证明必要性.设0r A ≠是A 中r 阶非零子式，r B 是B 中r 阶子式，当A 经过一次初等行变换变成B ，相应的r A 变成r B .（1）若是互换A 中的两行，则有0r r B A =±≠.（2）若是用非零常数k 乘以A 中某一行，则有0r r B k A =≠.（3）若是用数k 乘A 中第i 行所有元素后加到第j 行对应元素上，则有下面两种情况:1 若r A 中不含A 中第j 行，或是既含A 中第i 行又含A 中第j 行，则0r r B A =≠.2 若r A 中只含A 中第j 行但不含A 中第i 行，则r j i j i r r B r kr r k r A k A =+=+=+如果0r A ≠，就已经证明B 中有r 阶非零子式；如果0r A =，由上式有0r r B A =≠. 综上B 中也存在r 阶非零子式.定理3. 3 矩阵的秩等于矩阵的最高阶非零子式的阶数.证明 首先，设()R A r =，下面分两种情况讨论： （1）当{}m i n ,r m n <时，则矩阵A 与它的标准形000rm nE F ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭等价，因F 中有r 阶非零子式r E ，且所有1r +阶子式全为零，所以A 中最高阶非零子式的阶数是r .（2）当(){}min ,R A m n =时，即r m =或r n =，则有矩阵A 与它的标准形()0rE 或0r E ⎛⎫⎪⎝⎭等价，因而A 中有r 阶非零子式，但不存在1r +阶子式，所以A 中最高阶非零子式的阶数是r .反之，设A 中最高阶非零子式的阶数是r ，下面证明()R A r =.设()R A k =，由上述结论知k r ≥（否则A 中所有r 阶子式全为零，与已知矛盾），同时k r ≤（否则A 中一定有k ()1k r ≥+阶子式不为零，这也与已知矛盾）， 因此k r =，即()R A r =.例3. 19设1221248024233606A --⎛⎫⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭，求A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式. 解 对A 进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，1221248024233606A --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭2131412231221004200210063r r r r r r -+---⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭23242231221002100000000r r r r r ÷-+--⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭所以()2R A =.由定理3. 3知A 中有2阶非零子式.1202是阶梯形矩阵的一个2阶非零子式，由引理，A 中对应有2阶非零子式12028≠，所以1228便是A 的一个最高阶非零子式.三、行列式与线性方程组对于方程个数等于未知量个数的特殊线性方程组，我们给出其解与方程组的系数和常数项的关系.定理3. 4（克拉默法则）设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （3. 4）若其系数行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =0≠，则方程组有唯一解，且其解可表示为j j D x D=()1,2,,j n = （ 3. 5）其中j D 是把D 中的第j 列换成常数项12,,,n b b b 所得的行列式，即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j nn j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=()1,2,,j n =.证明 记1122,n x b x b B x X bn ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，D A =，则线性方程组的矩阵表示为AX B =.由0D A =≠知，A 可逆，所以方程组有唯一解1X A B -=.又由1A A D*-=，所以1X A B -=可表示为11121112122222121n n n nnnn x A A A b x A A A b D x A A A bn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故有 ()11221j j j n nj x b A b A b A D =+++111,111,11212,122,121,1,11j j nj j n n n j nn j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+==j D D. ()1,2,,j n =推论1 如果非齐次线性方程组（3. 4）无解或有无穷解，则它的系数行列式必为零.推论2 如果齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式0D ≠，则它只有零解.推论 3 齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0D =.例3. 20 解线性方程组1234123412341234224432485341233226x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪+-+=⎩解 系数行列式2211431285343322D --=--20=≠，由克拉默法则，方程组有唯一解.而 1421143124125346322D --==--，2241144120812343622D --==--，3224143428851243362D ==-，4221443148853123326D --==---. 所以 11422D x D ===，22002D x D ===， 33842D x D -===-，44842D x D -===-.例3. 21 当k 取何值时，方程组1232123123424x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩有唯一解、无解、有无穷多解？在有解的情况下，求出方程组的全部解.解 系数行列式 ()()111114112kA kk k =-=+--，由克拉默法则，当0A ≠时，即1k ≠-且4k ≠时，方程组有唯一解，用公式（3. 5）求得唯一解为212232124121k k k x k k x k x k k ⎛⎫+ ⎪+ ⎪⎛⎫ ⎪++ ⎪= ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪+⎝⎭. 当1k =-时，111411111124A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭213123111402380005r r r r r r +-↔-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭.由()()23R A R A =≠=，方程组无解.当4k =时，1144141161124A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭21311144055200228r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪---⎝⎭()233252114401140000r r r r ÷÷--⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭12103001140000r r -⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭.由()()23R A R A ==<，方程组有无穷解，通解为1234x cx c =-⎧⎨=-+⎩（c 为任意常数）， 通解也可以用矩阵形式表达，即123301410x x c x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例3. 22 当,λμ取何值时，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解？并求解.解 系数行列式1111121A λμμ=()1111011210λλμμλλμ=--=---，由推论3，当0A =时有非零解，即0μ=或1λ=.当0μ=时，11101101A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1232011101000r r r r λλ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ 12101011000r r λ↔⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪⎝⎭，通解为()121x k x k λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即123111x x k x λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当1λ=时，32211111111101012100r r r r A μμμμ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23123221111101010010000000r r r r r r r μ--+⨯-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭通解为120x k x =-⎧⎨=⎩， 即123101x x k x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.习题3. 41. 已知矩阵=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011012111，问A 是否可逆，若可逆，求出逆矩阵. 2. (1) A 是3阶矩阵，||2A =，A 的伴随矩阵为*A ，求*|2|A .(2)设111121113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，求***(1,1,1)(1,2,1)(1,1,3)T T T A A A ++.3. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.（1）321312131370518---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭； （2）01112022200111111011-⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪-⎝⎭. 4. 问λ 取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(z x yx z y xλλλ有非零解？5. 用克拉默法则解方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+--=++-=++-4333235233362324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .练习三1. 填空与选择.(1)设100220345A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()_____A -=.(2) 方程2212341334034123415x x -=-的根为_________.(3) A 是n 阶可逆矩阵，A a =，且A 的各行元素之和均为b ，则A 的代数余子式之和12____.j j nj A A A +++=(4) 设A 为n 阶方阵，则||0A =的必要条件是( ) .(A) A 的两行元素对应成比例 (B) A 中必有一行为其余行的线性组合 (C) A 中有一行元素全为零 (D) A 中任一行为其余行的线性组合(5) 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵，则10(3)0T A B -⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ）.(A) 1(3)AB -- (B) 1(3)n A B --(C) (3)n A B - (D) 19nAB -（6） 设A 为n 阶方阵,*A 是其伴随矩阵,下列说法不正确的是（ ）.(A) 若0A ≠，则*0A ≠ (B) 若()1R A n =-，则*0A = (C) 若10A =，则*110n A -= (D) *A A AE =（其中E 为n 阶单位矩阵） 2. 计算下列n 阶行列式.(1)111111111x x x；(2)121111111111(0,1,2,,)11111i na a a i n a ++≠=+ .3. 计算n 阶行列式0001011n x y xy x y xy D x y x y++=++.4. 设,,a b c 是三角形的三条边，证明：00000a bc a c b bc a c b a <.5. 矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120017，求10A ，1-A . 6. =A ()211ββα，=B (),212ββα 其中2121,,,ββαα都是3行1列矩阵，已知,3,2==B A 求B A +的值.7. 证明：如果方程组1122334112233411223341122334a ab bc cd d a x x x a b x x x b c x x x c d x x x d ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩有解，则行列式12341234123412340a a a a b b b b c c c c d d d d =.8. 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求伴随矩阵*A 的逆矩阵.9. 已知实矩阵33()ij A a ⨯=，满足条件(1)(,1,2,3)ij ij a A i j ==,其中ij A 是ij a 的代数余子式. (2) 0ij a ≠.计算行列式||A .10. 设矩阵210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，其中*A 为A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，求B .11. 试讨论当λ为何值时，方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一零解？有非零解？12. 设线性方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩的系数矩阵为A ，三阶矩阵0B ≠，且0AB =，求λ的值.13. 讨论a 取什么值时，线性方程组12312321231ax x x x ax x a x x ax a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解，并求解.数学史与数学家简介[3]行列式小记“行列式”这一名词首先是由高斯(Gauss ，1777-1855)在1801引入的，当然指的不是现代行列式的含义，而是用以表示二次式的判别式.柯西(Caucy ，1789-1857) 于1812年给出了现代意义下的行列式这个词， 1841年凯莱则引入了两条竖线,到此为止标准的行列式出现了.行列式最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具.行列式出现于线性方程组的求解,1683年日本数学家关孝和著作《解伏题之法》，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.1693 年 4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件.因此,我们认为行列式是由关孝和和莱布尼茨发明的.1750 年，瑞士数学家克拉默 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则.稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解.第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) .范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来成为法兰西科学院院士.范德蒙给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则.1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法,得到了拉普拉斯展开定理.法国大数学家柯西在行列式的理论方面也做出了突出贡献.1815 年，柯西给出了行列式的乘法定理:ij ij ij a b c ⋅=,其中,ij ij a b 表示n 阶行列式,ij ij ijc ab =∑.并给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理.另外，他第一把行列式的元素排成方阵，采用双重足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等.1825年，舍尔克(H.F.Scherk ，1798-1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等.德国数学家雅可比(J.Jacobi,1804-1851)在行列式理论方面是最多产的人，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式.雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成.值得一提的是，在 19 世纪的半个多世纪中詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特(J.Sylvester,1814-18940)对行列式理论研究始终不渝，并做出一定成绩.由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展.整个 19 世纪都有行列式的新结果.除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到.克拉默小传克拉默 (G.Cramer,1704-1752)瑞士数学家，早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教.1727年进行为期两年的旅行访学，期间结识了约翰·伯努利、欧拉等一些大数学家，结为挚友.随后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家.回国后，与他们长期通信，交流学习，为数学宝库留下了最有价值的文献.1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授.他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学。
