第十二章 正交编码与伪随机序列
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12-1、设3级线性反馈移位寄存器的特征方程为:2
3
()1f x x x =++,试验证它为本原多 项式。
解:由题意n=3,所以217n
m =-=。
而7
3
2
4
3
2
11(1)(1)m
x x x x x x x +=+=+++++
上式说明()f x 可整除7
1x +,且()f x 既约,除不尽6
5
4
1,1,1x x x +++所以f (x)为
本原多项式。
12-2、己知三级移位寄存器的原始状态为111,试写出两种m 序列的输出序列。 解:因为反馈移存器能产生m 序列的充要条件为:反馈移位寄存器的特征多项式为本原多项
式。当n=3时,有2个3阶本原多项式:
31()1f x x x =++,322()1f x x x =++
1()f x 和2()f x 为互逆的本原多项式,都可以产生m 序列。
根据第5题,由3
1()1f x x x =++产生的m 序列为11101000, 同理,由32
2()1f x x x =++产生的m 序列为11100100。
12-3、设4级线性反馈移存器的特征方程为:2
3
4
()1f x x x x x =++++,试证明此移位寄 存器产生的不是m 序列。
证明:方法一:由题意n =4,得2115n
m =-=。因为 4
3
2
5
(1)(1)1x x x x x x +++++=+
()f x 可整除5
1x +,故()f x 不是本原多项式,它所产生的序列不是m 序列。 方法二:由特征多项式2
3
4
()1f x x x x x =++++构成的4级线性反馈移位寄存器如图9-4所示。
假设初始状态为:1 1 1 1 状态转换位: 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
可见输出序列的周期为4
62115≠-=,故不是m 序列。
图 12-1
12-4、己知一个由9级移位寄存器所产生的m 序列,写出在每一周期内所有可能的游程长度的个数。
解:该m 序列中共有8
2256=个游程。
根据m 序列游程分布的性质,长度为k 的游程数目占游程总数的2,1(1)k
k n -≤≤-。
而且在长度为k 的游程中[其中1(2)k n ≤≤-],连“1”和连“0”的游程各占一半。所以:
长度为1的游程有128个,“1”和“0"各为64个, 长度为2的游程有64个,“11”和“00”各为32个, 长度为3的游程有32个,“111”和“000”各为16个, 长度为4的游程有16个,“1111”和“0000”各为8个, 长度为5的游程有8个,“11111”和“00000”各为4个, 长度为6的游程有4个,“111111”和“000000”各为2个, 长度为7的游程有2个,“”和“”各为1个, 长度为8的游程有1个,即“”,
长度为9的游程有1个,即“111111111”。
12-5、有一个9级线性反馈移存器所组成的m 序列产生器,其第3、6和9级移存器的输出分别为369,,Q Q Q ,试说明:
(1)将它们通过“或”门后得到一个新的序列,得到序列的周期仍为921-,并且“1”的符号出现率约为7/8。
(2)将它们通过“与”门后得到一个新的序列,得到序列的周期仍为921-,并且“1”的符号出现率约为1/8。
解:设九级移存器所组成的序列为9{},1,
21i a i =-,则其周期为921T =-
则369,,Q Q Q 的输出序列分别为369{},{},{}i i i a a a +++ (1)设它们通过“或”门后得到的新序列为*
{}i a ,
则*
369i i i i a a a a +++=∨∨
因为{}i a 的周期为T ,
所以369{},{},{}i i i a a a +++的周期也为T ,
所以**
369369i T i T i T i T i i i i a a a a a a a a ++++++++++=∨∨=∨∨=
所以*
{}i a 的周期仍为T ,
九级移存器的状态共有921-种,并且一个周期内各种状态出现1次,即等概率出现,所以369{},{},{}i i i a a a +++在一个周期内000,001,010,…,111八种状态等概率出现,通过“或”门后,只有000输出为0,其余为1,所以为0的概率为1/8,为1 的概率为7/8。
(2)同理,经过“与”门后,*
369i i i i a a a a +++=
所以*
{}i a 的周期仍为T ,369{},{},{}i i i a a a +++通过“与”门后,只有111输出为1,其余为0,所以为1的概率为1/8,为0 的概率为7/8。
12-6、写出p=7和p=11的二次剩余序列。
考点分析:考察二次剩余式的概念和求解方法。如果能找到一个整数x ,它使2
1(mod )x p ≡。若方程成立,认为方程有解,满足此方程的i 就是模p 的二次剩余;否则i 就是模p 的非二次剩余。当规定01a =-时,有
1,1,i i a i ⎧=⎨-⎩若是模p 的二次剩余若是模p 的非二次剩余
解:(1)当p=7时,有
2222
2
2
11(mod 7),24(mod 7),32(mod 7)42(mod 7),54(mod 7),61(mod 7)
======
所以1,2,4为模7的二次剩余,3,5,6为模7的非二次剩余。因此得到p=7的
二次剩余序列:-111-11-1-1
(2)当p=7时,有
222222
2
2
2
2
11(mod11),24(mod11),39(mod11),45(mod11),53(mod11)63(mod11),75(mod11),89(mod11),94(mod11),101(mod11)
==========
所以1,3,4,5,9为模11的二次剩余,2,6,7,8,10为模11的非二次剩余。
因此得到p=11的二次剩余序列:-11-1111-1-1-11-1。
12-7、试验证p=3和p=7的二次剩余序列为m 序列。
解:(1)p=3,二次剩余序列:一+一,用二进制表示即101。因为2
213-=,所以为两级
移存器。由序列可看出状态转换为100111→→,无重复,所以该序列为m 序列。