第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化 5.1 矩阵的特征值与特征向量 一 引例与定义1122222||||||2a a a a A αα⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⋅⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠=⋅ 1121210212a a a a a ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠⎝⎠1000122||||||2a a Aαα⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠=⋅定义1: 设A 为n 阶实矩阵. 若存在实数λ以及非零n 维向量α, 使得A αλα=⋅则称λ是矩阵A 的特征值, α为矩阵A 属于λ的特征向量.解说: 对于零向量, 有00A k =⋅对于任何的k 成立. 因此, 为保证特征向量对应的特征值的唯一性, 在谈到特征向量时, 始终都是非零向量, 这一点很重要!!!定义2: 设A 为n 阶实矩阵. 称关于λ的n 次多项式111212122212||n n n n nna a a a a a I A a a a λλλλ−−−−−−−=−−−""##%#"为矩阵A 的特征多项式,||0I A λ−=为矩阵A 的特征方程.例 设2002A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 则A 的特征多项式为220||(2).02I A λλλλ⎛⎞⎛⎞−=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠由A αλα=⋅可知, 0A λαα−=, 即()0I A λα−=. 由于α为非零向量,…………………………………………………………………………特殊情形 …………………………………………………………………………特殊情形齐次线性方程组()0I A X λ−=有非零解. 因此, 秩()R I A n λ−<, 从而 ||0I A λ−=. 这就是说, 特征值满足方程||0I A λ−=. 另一方面, 易知, 满足||0I A λ−=的λ都是矩阵A 的特征值. 综上, 矩阵A 的特征值恰为A 的特征方程||0I A λ−=的根.数学经典赏析: *当5n ≥时, 一般情形下, 方程||0I A λ−=没有根式解(阿贝尔)*. 所以遇到的特征值问题基本上是4n ≤的情形, 其中3n =最为普遍.例求511311421A −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠的特征值与特征向量.解 令 511311||311311421321I A λλλλλλλλλ−−−=−−=−−−−−−=111(3)111121λλλ−−−− =2(3)(2)λλ−−0=得矩阵A 的特征值为1233,2λλλ===.设A 的属于特征值13λ=的特征向量为123x x x α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则(3)0I A α−=, 而211211110101(3)321321321011,422000000000I A −−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−→−→−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 从而313200x x x x −=⎧⎨−=⎩, 得基础解系111α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 因此, 1k α为A 的属于特征值13λ=的所有特征向量, 其中1k 为任意的非零常数.再设A 的属于特征值232λλ==的特征向量为123y y y β⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则(2)0I A β−=, 而11023113111101101231100042142101,2421421000000000I A ⎛⎞−⎜⎟−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−→→−→−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠从而1332102102y y y y ⎧−=⎪⎨⎪−=⎩, 得基础解系112β⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 因此, 2k β为A 的属于特征值232λλ==的所有特征向量, 其中2k 为任意的非零常数.练习 1. 求A 的特征值与特征向量.(1) 211020413A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠, (2) 110430102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠.二 特征值与特征向量的性质 (1) 特征值的性质定理1 矩阵A 的特征值不为零⇔||0A ≠.定理2 矩阵T A 与A 的特征值相同.定理3设n 阶矩阵()ij n n A a ×= 有n 个特征值12,,,n λλλ"(可以相同), 则(1)11n ni iii i aλ===∑∑, 即A 的所有特征值之和等于主对角线元素之和;(2)12||n A λλλ=", 即A 的所有特征值之积等于A 的行列式值.定理4 设λ为矩阵A 的特征值, 则(1) k λ⋅为k A ⋅的特征值 (k 为任意常数);(2) m λ为m A 的特征值 (m 为正整数); 特别地, 2λ为2A 的特征值. (3) 当矩阵A 可逆时, 1λ−为1A −的特征值；1||A λ−为*A 的特征值. (4) 设 矩阵A 可逆,11211012()k k l k k l f A a A a A a A a I b A b A b A −−−−−=++++++++"",则 11211012()kk l k k l f a a a a b b b λλλλλλλ−−−−−=++++++++""为()f A 的特征值.问题: 在上定理中, 若α为矩阵A 的属于λ的特征向量. (1),(2),(3)对应的特征向量是什么?例: 设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2,− 求*2322A A A I +−−的特征值.解 本题的关键是找()f A ! 易知,*212322||322A A A I A A A A I −+−−=+−−, 而||2A =−, 因此*2322A A A I +−−的特征值为23223−+−−=−, 23225++−=, 111124222−+−−=.(2) 特征向量的性质定理 5 (属于不同特征值的特征向量线性无关)设12,ββ分别为A 的属于不同特征值12,λλ的特征向量, 则12,ββ线性无关. 一般地, 若12,,,s βββ"为A 的分别属于两两不同的特征值12,,,s λλλ"的特征向量, 则 12,,,s βββ"线性无关.定理6 (1) (属于相同特征值的特征向量的非零线性组合还是特征向量)设12,αα都是A 的属于同一特征值0λ的特征向量, 12,k k 为使得11220k k αα+≠的任意常数, 则1122k k αα+也是A 的属于特征值0λ的特征向量.(2) (属于不同特征值的特征向量的系数都不为零的线性组合不是特征向量)设12,ββ分别为A 的属于不同特征值12,λλ的特征向量, 12,k k 为非零任意常数, 则1122k k ββ+不是A 的特征向量. 特别地, 12ββ+不是A 的特征向量.命题1 设A 为n 阶矩阵使得1212||()()()s n n n s I A λλλλλλλ−=−−−", 其中12,,,s λλλ"两两不同, 0(1,2,,)i n i s >="且1ni i n n ==∑, 则秩()i i R I A n n λ−≥−.(也即A 的属于特征值i λ的线性无关的特征向量个数i n ≤.)解说:比如, 11012A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则2||(1)(2),I A λλλ−=−− 此时,11222,1,1,2,1,s n n λλ===== 且 ()2321R I A −=>−=, (2)23 1.R I A −==−5.2 相似矩阵与矩阵的对角化 一 相似矩阵的定义与性质定义 设A ,B 为n 阶矩阵. 若有可逆矩阵P 使得1P AP B −=, 则称A 与B 相似(或称B 为A 的相似矩阵).解说: 注意区别A 与B 相似1P AP B−=B 与A 相似 1Q BQ A −=性质1. (i) 方阵A 与其自身相似, 即A 与A 相似; (ii) 若A 与B 相似, 则B 与A 也相似;(iii) 若A 与B 相似, B 与C 相似, 则A 与C 相似.问题: 对于以上三种情形, 相应的P 是什么? 试给出性质1 的证明.性质2. 相似矩阵的特征值相同.证明: 设A 与B 相似, 则存在可逆矩阵P 使得1,P AP B −= 从而1||||I B I P AP λλ−−=−1|()|P I A P λ−=−1||||||P I A P λ−=− ||I A λ=−故A 与B 有相同的特征多项式, 从而它们的特征值相同.注: 特征值相同的不一定相似.例: 令1001I ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 1101A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 则A 与I 的特征值都为1, 但I 不与A 相似, 这是因为对于任意的可逆矩阵P , 都有1A P IP I −≠=.性质3 相似矩阵的迹相同. 例设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则k = .二 矩阵可对角化的条件在复数域下, 可以证明: 任何n 阶方阵都与某一上三角形方阵相似. 对角阵作为其中的特殊的情形, 在矩阵相似的理论中, 它具有相对完整的理论体系.矩阵A 可对角化指的是存在可逆矩阵P 使得1P AP −为对角阵, 即A 与对角阵相似.定理1: n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 感觉上像“每重特征值对应一个线性无关的特征向量”.证明: 必要性. 设n 阶矩阵A 可对角化, 则存在可逆矩阵P 与对角阵1n λλ⎛⎞⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎝⎠%使得1P AP −=Λ,从而AP P =Λ. 令12(,,)n P ααα=", 其中i α为P 的第i 列构成的列向量(1,2,,)i n =". 于是AP =12(,,)n A ααα"12(,,)n A A A ααα="1122(,,)n n P λαλαλαΛ="故i i i A αλα=, 1,2,,i n =". 由P 可逆可知, 一方面, 对于所有的1,2,,i n =", 有0i α≠, 从而i α为A 的特征向量; 另一方面, 12,,n ααα"线性无关.故A 有n 个线性无关的特征向量.充分性: 必要性倒过来即可. □说明: 理解上述证明过程可以进一步熟悉矩阵乘法与数学语言.前面已经证明: 属于不同特征值的特征向量线性无关. 因此可得推论1: 设A 为n 阶方阵. 若A 有n 个两两不等的特征值, 则A 可对角化(即A 与对角阵相似).例: 设00111100A x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 问x 为何值时, 矩阵A 能对角化?解: 令 01||1110I A x λλλλ−−=−−−−1(1)1λλλ−=−− (按第2列展开)2(1)(1)0λλ=−+= 得A 的特征值1231,1λλλ=−==,因为10110110001,101000I A x x −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−=−−→−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠ 所以1x =−时, ()1R I A −=. 此时A有两个线性无关的属于特征值1的特征向量. 又A 有一个线性无关的属于特征值1−的特征向量. 因此, A 共有三个线性无关的特征向量. 根据定理1, A 与对角阵相似. 故1x =−时, A 可对角化.命题1: 设A 为n 阶方阵使得1212||()()()s n n n s I A λλλλλλλ−=−−−", 其中12,,,s λλλ"两两不同, 0(1,2,,)i n i s >="且1ni i n n ==∑, 则A 可对角化 ⇔对所有的1,2,,,i s =" ()i i R I A n n λ−=−.解说: 若A 为3阶方阵且212||()()I A λλλλλ−=−−, 其中12λλ≠, 则A 可对角化⇔2()321R I A λ−=−=.例: 设A 为n 阶方阵. 若2A A =, 则A 的特征值为0或1, 且A 可对角化.解: 设α为A 的属于λ的特征向量, 则A αλα=,22()A A αλαλα==. 又由2A A =可得,2.A A ααλα== 由此2λαλα=,即(1)0λλα−=, 从而(1)0λλ−=, 因此A 的特征值为0 或1.下面我们首先证明()().R A R I A n +−= 事实上, 由2A A = 可得()0A I A −=, 从而I A −的每一列都是其次线性方程组1230x x A x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠#的解, 而所有解向量构成的向量组的秩(),n R A − 故()(),R I A n R A −≤− 即()().R A R I A n +−≤又(旁白:矩阵的和的秩小于或等于秩的和)()()(),R A R I A R A I A n +−≥+−= 故()().R A R I A n +−=令||(0)(1),n s s I A λλλ−−=−− 则()(0)(),R A R A n n s s =−≥−−=(),R I A n s −≥− 从而(),R A s =()R I A n s −=−.若0,s = 则()0,R A = 从而0A =, 显然A 可对角化; 若0,n s −= 则()0R I A −=,从而0I A −=, 即A I =, 同样A 可对角化.下设0s n <<. 根据命题1, A 可对角化. (事实上, A 与111000⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠%%相似, 其中Λ中r 有个1. 这里r 为A 的秩.)三 实对称矩阵可对角化定理2 对称阵的特征值为实数.自我训练 已知A 为 , 特征向量为 .定理4: 设A 为n 阶实对称阵, 则存在正交矩阵T 使得1T AT −为对角阵.提示: 正交阵的好处‐‐‐‐求它的逆转置即可!!!例: 设011101110A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 求一正交阵T , 使1T AT −为对角阵解: 由 12221111111||11110111111011rr r I A λλλλλλλλλλλλ↔−×−−−−=−=−=−−+−−−−−+ 221111(1)1111λλλλλλ−−==−−−−+2(1)(2)λλ=−+, 可知A 的特征值 为1232,1λλλ=−==.设A 的属于特征值12λ=−的特征向量为123x x x α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,则(2)0I A α−−=, 即(2)0,I A α+= 而211112(2)121121112112I A −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟+=−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠102033000⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠101011,000⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠从而313200x x x x +=⎧⎨+=⎩, 得基础解系111α−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 将α单位化,得1ξ⎛⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 再设A 的属于特征值231λλ==的特征向量为123y y y β⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则()0I A β−=, 而111111111I A −⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠111000000−⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 从而1230y y y ++=. 令1210y y ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠,01⎛⎞⎜⎟⎝⎠得基础解系1110β−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,2101β⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 对1β,2β实行施密特正交化. 令11110ηβ−⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠,21221111211(,)1101,(,)22101βηηβηηη⎛⎞⎜⎟−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−=+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠再将1,η2η单位化得2,0ξ⎛⎜⎜⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠3ξ=令 123(,,)T ξξξ=0⎛⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎜⎝, 则1211T AT −−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 注意: 211−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠中的顺序千万不要随意改动! 这些数有内在的对应关系.例 设 2112A −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠, 求n A . 解 因为A 对称, 所以A 可对角化, 从而存在可逆矩阵P 以及对角阵Λ使得1P AP −=Λ. 于是1A P P −=Λ从而11()n n n A P P P P −−=Λ=Λ. 令21||(1)(3)012I A λλλλλ−−==−−=−得A 的特征值121, 3.λλ== 再设A 的属于特征值11λ=的特征向量为12x x α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 则()0I A α−=, 而 1111(),1100I A −−⎛⎞⎛⎞−=→⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠从而120x x −=. 由此得基础解系111ξ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠. 再设A 的属于特征值23λ=的特征向量为12y y β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 则(3)0I A β−=, 而 1111(3),1100I A ⎛⎞⎛⎞−=→⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 从而120y y +=. 由此得基础解系211ξ−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠.令12P ⎞=⎟⎠（正交阵）, 13⎛⎞Λ=⎜⎟⎝⎠, 则 1TA P P P P −=Λ=Λ=13131.21313n n n n ⎛⎞+−⎜⎟−+⎝⎠或者Array。
