数值分析第五版全答案

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。

解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字；*57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****2442*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =-9897Y Y =……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

= (N + 1) − N 1 + N (N + 1)
=
N2
1， + N +1
∫N +1
因此
1
dx = α − β = arctan
1
。
N 1+ x2
N2 + N +1
9、正方形的边长大约为 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 cm2 ?
[ 解 ] 由 ε * ((l * )2 ) = [(l * )2 ]′ ε * (l * ) = 2l *ε * (l * ) 可 知 ， 若 要 求 ε * ((l * )2 ) = 1 ， 则
∆s = 2
2
2
s 所以
1 ab sin c
。
2
= ∆c + ∆b + ∆c ≤ ∆c + ∆b + ∆c c b tan c c b c
第二章 插值法（40-42）
1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令
1
Vn
(x0
,
x1 ,,
xn−1 ,
x)
=
1
x0 xn−1
x02
x
2 n−1
2
2
2
= 0.59768 ×10−3 + 212.48488 ×10−3 + 0.01708255 ×10−3
= 213.09964255 ×10−3 = 0.21309964255
（3）
x
* 2
/
x4*
。
∑ e* (x2*
/
x
* 4
)
=
n k =1

∂f ∂xk

*
1 u * 4 2
故
6
y *
u * * u
1 gu * 0.0167 3
若改用等价公式
ln( x x 2 1) ln( x x 2 1)
则 f (30) ln(30 899) 此时，
* * * (1) ( x1 x2 x4 ) * * * ( x1 ) ( x2 ) ( x4 )
1 1 1 104 103 103 2 2 2 3 1.05 10
* * * x2 x3 ) (2) ( x1 * * * * * * * * * x2 ( x3 x3 ( x1 x3 ( x2 ) x2 ) x1 ) x1
1 1 1 1.1021 0.031 101 0.031 385.6 104 1.1021 385.6 103 2 2 2 0.215
* * (3) ( x2 / x4 )

* * * * x2 ( x4 ) x4 ( x2 ) * x4 2
* * * * * * * *
其中 x1 , x2 , x3 , x4 均为第 3 题所给的数。 解：
*
*
*
*
1
1 ( x1* ) 104 2 1 * ) 103 ( x2 2 1 * ( x3 ) 101 2 1 * ( x4 ) 103 2 1 * ( x5 ) 101 2
2 1.41 （三位有效数字） ，计算到 y10 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 2 1.41
解：Q y0
1 ( y0 *) 102 2
又Q yn 10 yn1 1
y1 10 y0 1 ( y1*) 10 ( y0 *)

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*11.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 1012101211212(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()[(1)2()3()]/3;(4)()[(0)()]/2[(0)()];h h h h hf x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-⎰⎰⎰⎰解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

（1）若101(1)()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1012h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则3221123h h A h A -=+从而解得 011431313A h A h A h -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则3()0h h hhf x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。

令4()f x x =，则4551012()52()(0)()3h h hhf x dx x dx hA f h A f A f h h---==-++=⎰⎰故此时，101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≠-++⎰故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=-9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

根是ｘ，，２…，ｘ－，且Ｖ。ｘ，ｘ…·，ｘ）＝Ｖ，Ｃｘ６，ｘ…·）（ｘ－ｘ）…（ｘ－ｘ）。
Ｖ，（ｘｏ，ｘ，…ｘ－ｘ）＝１１】 －ｘ，）用ａ－ｘ，）
［证明］由
可得求证。
＝Ｖ，（Ｃｘ８，ｘ，…，ｘＸ））１１（ｘ－ｘ）
２、当ｘ＝１－１，２时，ｆ（ｘ）＝０，－３．４，求ｆ（ｘ）的二次插值多项式。
Ｌ，（ｘ）＝ｙ％（（ｘｘ６－－ｘｘ，）（（ｘｘ－２ｘ－ｘ２２））
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｆ０．５）＝－０．６９３１４７，ｙ２＝ｆ（ｘ）＝ｆ（０．６）＝－０．５１０８２６，则
Ｌ２（ｘ）＝ｙ。 （ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ６－ｘ）ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ－ｘｏ）（ｘ－ｘ） （ｘ２－ｘｏ）（ｘ２－ｘ）
＝－０．９１６２９１×．（０（．ｘ４－０－．０５．）５（）ｘ（－００．．６４）－０．６－．
３０—＋２—９．ｘ９５８３ｘ３１￣０２＇＝０．８３３６×１０４
１４、试用消元法解方程ｘ组１＋１０＂ｘ＝１００
ｘ＋ｘ２＝２
，假定只有三位数计算，问结果是否
可靠？
［解］精确解为ｘ１＝０１００－＊１ １０＂－２ ，当使用三位数运 算时，得到
ｘ ＝１，ｘ２＝１，结果可靠。
１５、已知三角形面积ｓ＝ｓ去＝ ａｂｓｉｎｃ，其中ｃ为弧度，０＜ｃ＜ 且测量ａ，ｂ，ｃ
位有效数字；ｘ＝５６．４３０有５位有效数字；ｘ＝７×１０有２位有效数字。 ４、利用公式（３．３）求下列各近似值的误差限，其中ｘ，ｘ；，ｘ，ｘ；均为第３题所给
的数。
（１）ｘ＋ｘ２＋ｘ：
ｅ（ｘ＋ｘ写＋ｘ）＝＞
［解］
Ｅ（ｘ）＝Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ；）
３＋ｔｘ１０＝１．０５×１０３
（２）ｘｘｘ；

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

数值分析第五版-李庆扬--课后习题答案第一章绪论1．设某0,某的相对误差为，求ln某的误差。

e某某某某某解：近似值某某的相对误差为=er某某某某1e某而ln 某的误差为eln某某ln某某ln某某某进而有(ln某某)2．设某的相对误差为2%，求某n的相对误差。

解：设f(某)某n，则函数的条件数为Cp|某n某n1|n,Cp|n某f'(某)|f(某)又f'(某)n某n1又r((某某)n)Cpr(某某)且er(某某)为2r((某某)n)0.02n3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个某某某单位，试指出它们是几位有效数字：某11.1021,某20.031,某3385.6,某某某456.430,某571.0.某解：某11.1021是五位有效数字；某某20.031是二位有效数字；某某3385.6是四位有效数字；某某456.430是五位有效数字；某某571.0.是二位有效数字。

某某某某某某某某4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)某1,(2)某1.某2某4某2某3,(3)某2/某4某某某某其中某1均为第3题所给的数。

,某2,某3,某4解：121某(某2)10321某(某3)10121某(某4)10321某(某5)1012(某1某)104某某某(1)(某1某2某4)某某某(某1)(某2)(某4)1114331010102221.05103某某某(2)(某1某2某3)某某某某某某某某某某1某2(某3)某2某3(某1)某1某3(某2)1111.10210.0311010.031385.61041.1021385.61032220.215某某(3)(某2/某4)某某某某某2(某4)某4(某2)某某24110.03110356.4301032256.43056.4301055计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？4解：球体体积为VR33则何种函数的条件数为RV'R4R2Cp34VR33r(V某)Cpr(R某)3r(R某)又r(V某)121故度量半径R时允许的相对误差限为r(R某)10.3331783（n=1,2,…）6．设Y028，按递推公式YnYn1100计算到Y100。

数值分析第五版课后答案(ii )2/（x ） = Imr0.40.50.60.7 0.8 lar一 0.916 291 一 0.693 147 一 0・ 510826-0. 356 675-0.223 144用线性插值及二次插值计算InO. 54的近似值•解 依据插值误差估计式选距离0. 54较近的点为插值节点，并建立差商 表如下:一 0.693 147-0.510 826 - 0.916 291写出Newton 插值多项式M(H ) =- 0.693 147 + 1.823 210Q — 0.5)N2)= M (_r) + (—0.204 115〉(工一0. 5)匕一0・6)计算近似值Ni (0. 54) =一 0.693 147+ 1.823 210(0. 54 — 0. 5) =—0.620 218 6弘(0.54) = N 】(0.54) — 0.204 115(0. 54 - 0.5X0. 54-0.6) =-0.616 8394・设门为互异节点（j = 0.1 ■…山）.求证：A（I ）三卫（上=0, 1 ■…，Q;n（ii ）心一工）铅（门三o 仏=1. 2. •••■" 证明 （i ）令fS 』工X 若插值节点为X/7 - 0,1 则/<x ）的n次播值多项武为["（工）=工球丿3插值余项为R”（王〉=/（X ）— L n （X ）= /—（/）（n + 1）!/X—Ti-CkXVZ又因为k < 所以严）（0 = 0,R 心）二 0x 0 = 0. 5 X] = 0. 6工2 = 0. 4二＞ -0.204 1151.823 2102. 027 325所以丿・0 1 -n L'? /xsr ("卜；(_"“(/〉 r —0 丿•()L ' r / SCOg ( . ) (一 x)k -'x' =(彳一 Qi 三 05.设 /(x) 6 C 2[a, 6]且 /(a) = fib) = 0.求证： max | f(x) £(b —a)，max | /z (j) \ a^r^ib .O心疋6证明 令x = a 和工=人以此为插值节点•则插值多项式为Li (工)= /(a) -—； + f(b) Y —- 三 0<2—o b — a应用插值余项公式有y*7(^) (X — a)(.x — 6) Wmax | /(g) I max | (x — a)(x — b) | / Wb a<jfCZ> _（6 — a ）2 max | fXx ） | O aM 临 b6.在一 4<x<4上给出r （T ）= e 『的等距节点函数表，若用分段二次插值求e 「的近似值，要使截断误差不超过10一&,问使用函数表的步长h 应取多少？解 若插值节点为IT , r 和工沖则分段二次插值多项式的插值余项为式中Ml = Xi — h,工沖=$ +札\R ：(r) l^ye 1max | （文—刀_）） （_r —兀）〈工—J7°j ）丨 0插值点个数< W 6 得 A < 0.006 5&是奇数，故实际可采用的函数值表步长7•若必=2S 求及解 根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解£（：）（-】〉1巧” =£（：）（-1）-皿=孑y” = （F? — F~T ）°y” = （E"r ）*（E — IYy n =「2$% = L （%） = g = 2—8.如果fl 工、是刃次多项式，记= f （j--T-h ） —/（T ）.证明/（x ）的 &阶差分Nfa ）（0W 是rn-k 次多项式，并且A^7（T> = 0（/为正 蔓牧）.证明 对加次多项式/（才）应用Taylor 公式有A/（x ） = /（z + A ） —/（j ） = /（ J ）A H- rr/^x ） + ••• 4- Jf"' （x ）Z! 初！即△/（/）为m- 1次的多项式・= △（△/&）），对加一 1 > 0次多项式应用上述推理过程知 △（△/（工））=庄只工）是加一2次的多项式.依此过程递推，知A7<^X0<Xr<r«）为m-k 次多项武. 所以必工）为常数，故 s = 0（/为正整数）.9. 证明 A （/*g* ） = /* Ag* 4-A/*.证明 A/igJ = /n-ign-i ~ Ag* = /n-igHi - fkgkn 十/*gi - fkgk = gtrl （人+1 — 人> + fk（g^l 一创）=g 屮+ 介厶®15.证明两点三次Hermite 摘值余项是尺3（刃='‘4 ；目（工—九）'（H —）？， E €（N ，才屮）并由此求出分段三次Henniw 猶值的课差限・证明 若工W ［工―文屮］・且插值多项式满足条件円3 ｛竝）=/（竝几 H3（X H -1）=产（工屮）H ； （ Z* ） = f （x> ） * H3' （J T H -I ）=（.r*41）1 4-(- 4) 十 0. 006 581 268 冬 1 217 旦 N4 —(—4) F T8T2162 0. 006 579知插值余项RQ） = /（文）一耳（工> 有二重零点g和文卄故设R（攵）=以文）0 —比）？（文一攵申〃确定函数恥才几当JC = X*或工屮时來工）取任何有限值均可I当才H忑，J•屮时“&（仏°文屮），构造关于变量t的函数g（r） == /（［）—丹3（『）一总（才）（〔一=*）2（（— X*+l ）2 显然有g（文▲）= 0. g（i?） = 0. ） = og'（r*.〉= 0, £心屮）=0在S ,工］和Dr, z*+l J上对g（T）使用Rolle定理，存在® €（无，才〉及少W （w, x*-ti）使得&'（》）=0, g'（%）= 0在a ,巾），Cyl *罪），<72« x*+i）上对g'（=）使用Rolle定理，存在供| € 5，巾），巾？€（6，%）和阻屮6（%，XHI）使得g"（知）=g"（?!2）= g"（少.屮）=0再依次对g（0和g"（“使用Rolle定理，知至少存在（比，工屮）使得gW（E）=而g⑷⑺=一虹小4!,将"弋入•得到£€5 •工屮）推导过程表明W依赖于工点，及=•综合以上过程可知R（T）= “（&（a■一忑）2（工一卫^）2下面建立分段三次Hermite插值的谋差限.记h （小为/Cr）在［a,刃上的基于等距节点的分段三次Hermite插值函数.x k = a+kh 4 = 0, !••• ♦ n）, h = b — a■n在小区间［去，/小］上有I /（x）— /A<x）| —右 | 严（£）|（X— X*）-（X— XH-1）2 <7f max \尸4）（力））max （_r —业）？（工一z屮尸而最值0 才=十妙 ]max （工一及）■（工一 z>+! 「L l 「• , maxs"（5 ― l ）2h 4 = r k n<<<! 16进而得误差估计1 /（文）-越空简|八(如】6・求一个次数不离于4次的多项式PCr 〉•使它满足P(0) = P(0) = 0, P(l) =P71) = HP(2) = 1.解法一 利用Hermite 插值可得到次数不高于4的多项式几== 1；为==打 W f > = 0 •加I = 1H 3（X ）=（才）+ /（文）◎（才）=（1 一 2 三「卫■）（才二空）2 =（1 + 2刃1）2氐—XI 竝一 4G&） = （1-2 J ~-r| ）（ - ）2 = （3 — 2&）疋Jj —竝 XI — To仇（工）=兀（工一 1）?向=（工一 1）JT 2所以Hj （2） = （3 — 2x ）x 2 + （1* — 1 ）J -? =— T 3 + 2z~设 = H 3（X ）4-A （T -^）2（J —T ））2,其中・A 为待定常数，令 F （2）=1得于是P3十一尸这样可写岀Newton 插值公式P （x ） = 0 + 0（乂一0）十 1（工一0）? — 1（広一0）?（工一 1） +— 0）'（$ — l ）? =— 1） + 4-工?（&一 1）?=解法二(带重节点的Newton 插值法)建立如下差商表:-124 4J-x 2 （r ~ 3）: 417 •设f （.C 二厂丄g 在一 5€工€5上取"=10•按等矩节点求分施线1 f JT性插值函数ha ）・计算各节点间中点处Z A （J -）与/（x ＞的值，并佑计课差.解 若 = 5,r lc = 5,则步长 A = ------------- ---- -- -- = I =— 5+ ih = — 5 +n2（ow?w 10）.在区间Cx-上•分段线性插值瓯数为/1°(X )= /(X,)工汁】一広+工一 rTT7T F+不分段线性插值函数定义如下:各节点间中点处函数值及插值函数值如下所示：估计谋差：在区间[乙，刀+门上lf （jr ）—击厂（。

第一章 绪论
1．设 x 0 , x 的相对误差为 ，求 ln x 的误差。
解：近似值
*
x 的相对误差为
* e* x * x
= er
x*
x*
而 ln x 的误差为 e ln x *
ln x * ln x
1 e*
x*
进而有 (ln x*)
2．设 x 的相对误差为 2%，求 xn 的相对误差。
解：设 f ( x )
cos x 的近似
值时，采用的线性插值法插值余项不为 0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综
合以上两方面的因素。
当 0 x 90 时，
令 f ( x ) cos x
1 取 x0 0, h ( )
60
1 60 180
令 xi x 0 ih , i 0,1,..., 5400
10800
则 x5400
3
2．给出 f ( x ) ln x 的数值表
X
0.4
lnx
-0.916291
用线性插值及二次插值计算
解：由表格知，
0.5
0.6
-0.693147
-0.510826
ln 0.54 的近似值。
x0 0.4, x1 0.5, x 2 0.6, x3 0.7, x4 0.8; f ( x 0 ) 0.916291, f ( x1 ) 0.693147 f ( x 2 ) 0.510826, f ( x3 ) 0.356675 f ( x 4 ) 0.223144
2 1.41
( y 0 *)
1
2
10
2
又 y n 10 yn 1 1
y1 10 y0 1
( y1*) 10 ( y 0 *) 又 y 2 10 y1 1

*
[解] = (0.031 × 385.6) 1 × 10 − 4 + (1.1021 × 385.6) 1 × 10 −3 + (1.1021 × 0.031) 1 × 10 −3 ； 2 2 2 −3 −3 −3 = 0.59768 × 10 + 212.48488 × 10 + 0.01708255 × 10 = 213.09964255 × 10 −3 = 0.21309964255
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ，
n
ε * (ln x)
(x* ) n
= 2n% 。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单 位，试指出它们是几位有效数字：
* * * * * x1 = 1.1021 ， x 2 = 385.6 ， x 4 = 56.430 ， x5 = 0.031 ， x3 = 7 × 1.0 。 * * * [解] x1 = 1.1021 有 5 位有效数字； x 2 = 0.0031 有 2 位有效数字； x3 = 385.6 有 4 * * 位有效数字； x 4 = 7 × 1.0 有 2 位有效数字。 = 56.430 有 5 位有效数字； x5 * * * * 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中 x1 均为第 3 题所给 , x2 , x3 , x4
1 6 1 有一位有效数 × × 10 −1 = 2.65 × 10 −3 < × 10 − 2 ， 4 2 2 (3 + 2 × 1.4)
′ e * ( f 3 ) = f 3 e * (1.4) =

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。