【专题复习】最新部编本高中数学 课时分层作业4 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)新人教A版选

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课时分层作业(四) 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
(二)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列函数不是复合函数的是( )

A. y＝－x3－1x＋1 B．y＝cosx＋π4

C．y＝1ln x D．y＝(2x＋3)4
A [A不是复合函数，B、C、D均是复合函数，其中B是由y＝cos u，u＝x＋π4复合而
成；C是由y＝1u，u＝ln x复合而成；D是由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．]
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
【导学号：31062032】

A．ln(2x＋5)－x2x＋5 B．ln(2x＋5)＋2x2x＋5

C．2xln(2x＋5) D．x2x＋5
B [∵y＝xln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋2x2x＋5.]
3．函数y＝12(ex＋e－x)的导数是( )
A．12(ex－e－x) B．12(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
A [y′＝12(ex＋e－x)′＝12(ex－e－x)．]

4．当函数y＝x2＋a2x(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于( )
A．a B．±a
C．－a D．a2

B [y′＝x2＋a2x′＝2x·x－x2＋a2x2＝x2－a2x2，
由x20－a2＝0得x0＝±a.]
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
2

A．1 B．2
C．－1 D．－2
B [设切点坐标是(x0，x0＋1)，

依题意有 1x0＋a＝1，x0＋1＝x0＋a，
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.]
二、填空题
6．f(x)＝ax2－1且f′(1)＝2，则a的值为________.
【导学号：31062033】
[解析] ∵f(x)＝(ax2－1)，

∴f′(x)＝12(ax2－1) (ax2－1)′＝axax2－1.
又f′(1)＝2，∴aa－1＝2，∴a＝2.
[答案] 2
7．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
(e，e) [设P(x0，y0)．∵y＝xln x，

∴y′＝ln x＋x·1x＝1＋ln x.
∴k＝1＋ln x0.又k＝2，
∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln e＝e.
∴点P的坐标是(e，e)．]
8．点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________．
[解析] 与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设
切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，

∴x0＝12，y0＝14.即P12，14到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝12－14－112＋12＝328.
[答案] 328
三、解答题
9．求下列函数的导数.
【导学号：31062034】
3

(1)y＝ln(ex＋x2)；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cos4x.
[解] (1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.

∴y′x＝y′u·u′x＝1u·(ex＋x2)′＝1ex＋x2·(ex＋2x)＝ex＋2xex＋x2.
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln
10.

(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2 x·cos2 x＝1－12sin2 2x＝1－14(1－cos

4x)＝34＋14cos 4x.
∴y′＝－sin 4x.
10．曲线y＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方
程．
[解] ∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x，
∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin x在(0,1)处的切线方程为
y－1＝x，即x－y
＋1＝0.

又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设为x－y＋m＝0.

由|m－1|1＋－2＝2得m＝－1或3.
∴直线l的方程为：x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
[能力提升练]
1．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为
( )

A．13 B．12

C．23 D．1
A [依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝
－2e－2×0＝－2.
曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即
y
＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图

象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是23，23，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐
4

标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.]
2．已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范
围是( )
A.0，π4 B.π4，π2

C.π2，3π4 D.3π4，π
D [因为y＝4ex＋1，
所以y′＝－4exx＋2＝－4exe2x＋2ex＋1＝－4ex＋1ex＋2.

因为ex>0，所以ex＋1ex≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，
所以α∈3π4，π.]

3．函数y＝ln ex1＋ex在x＝0处的导数为________.
【导学号：31062035】
[解析] y＝ln ex1＋ex＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，

则y′＝1－ex1＋ex.当x＝0时，y′＝1－11＋1＝12.
[答案] 12
4．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－
3)处的切线方程是________．
[解析] (1)设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln
x

－3x，f′(x)＝1x－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.
[答案] y＝－2x－1
5．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′12；

(2)在曲线y＝11＋x2上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
[解] (1)∵f(x)＝eπxsin πx，
5

∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcos πx
＝πeπx(sin πx＋cos πx)．

∴f′12＝πesinπ2＋cos π2
＝πe.
(2)设切点的坐标为P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝0.

又y′＝－2x＋x22，
∴y′|x＝x0＝－2x0＋x202＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即该点的坐标为(0,1)，切线方程为y－1＝0.