空间直角坐标系练习一
班级 ______________ 姓名 ___________________________
、基础知识、
1将空间直角坐标系画在纸上时，
x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成 _______________ ，而z 轴垂直于y 轴，，y 轴和z
轴的长度单位 ____________ ，x 轴上的单位长度为 y 轴(或z 轴)的长度的
2、坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点:
x 轴上的点P 的坐标的特点： P(,,
),纵坐标和竖坐标都为零. y 轴上的点的坐标的特点： P(,, )，横坐标和竖坐标都为零. z 轴上的点的坐标的特点： P(,,
)，横坐标和纵坐标都为零. xOy 坐标平面内的点的特点： P( ,, ),竖坐标为零. xOz 坐标平面内的点的特点： P( ,, ),纵坐标为零.
yOz 坐标平面内的点的特点： P( ,,
)，横坐标为零.
3、已知空间两点A
(洛,y i ,
N ), B (
2 , 2 )，贝U ___________________________________ AB 中点的坐标为( _____ ,
)
4、一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标:
点P ( x , y ,z)关于坐标原点的对称点为 点P (x , y,z)关于坐标横轴(x 轴)的对称点为 点P (x , y ,z)关于坐标纵轴(y 轴)的对称点为 点P (x , y,z)关于坐标竖轴(z 轴)的对称点为 点P (x , y ,z)关于xOy 坐标平面的对称点为 点P (x , y ,z)关于yOz 坐标平面的对称点为 点P (x , y ,z)关于zOx 坐标平面的对称点为 、选择题
1有下列叙述:
其中正确的个数是(
A 、 1
4、点(2 , 3 , 4)关于xoz 平面的对称点为(
5、以正方体 ABCD-A 1B1CD 的棱AB AD AA 所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长 为一个单位长
度，则棱 CC 中点坐标为()
P (亠, _____________ )；
巳(亠, _____________ )； 巳(亠, _____________ )； 巳(_
, ________ )； F 5 (_ , ________ )； R (一 , _________ ) P
(一 , __________ ).
①在空间直角坐标系中，在 ox 轴上的点的坐标一定是 0, b , c ); ②在空间直角坐标系中, yoz 平面上的点的坐标一定是 0, b , c ); ③在空间直角坐标系中, 0Z 轴上的点的坐标可记作( 0, 0, c )；
④在空间直角坐标系中,
xoz 平面上的点的坐标是(a , 0 ,
2、已知点A
(-3 , 1, 4), 则点A 关于原点的对称点的坐标为( A (1,
-3 , -4) B 、(-4 , 1, -3 ) C 、( 3 , -1 , 、(4, -1 , 3)
3、已知点A
(-3 , 1 ,
-4 ),点A 关于x 轴的对称点的坐标为( A (-3 , -1 , 4)
B 、(-3 , -1 , -4 )
C 、(3 , 1 , 4)
、(3 , -1 , -4 ) A (2 , 3 , -4 ) B 、(-2 , 3 , 4) C 、(2 , -3, 4)
、(-2, -3, 4)
A 、( 1 , 1, 1)
B 、( 1, - , 1)
2 2
6、点（1, 1, 1）关于z 轴的对称点为（
三、填空题
面AAB 1B 对角线交点的坐标为
10、P （X 0, y o , Z 0）关于y 轴的对称点为
四、解答题
答案: 、选择题
1、C ;
2、C;
3、A ;
4、C;
5、C ;
6、A
二、填空题
7、 （-2 , 3, 4）
1
1 、(-,-,1)
2
2
A 、( -1 , -1 , 1)
B 、( 1, -1 ,
-1 )
、(-1 ,1,-1 ) (-1 , -1 , -1 )
7、 点（2, 3, 4）关于yoz 平面的对称点为
设z 为任意实数，相应的所有点 P （ 1 , 2, z )
的集合图形为
9、 以棱长为 1的正方体 ABC[— ABCD 的棱 AB
AD AA 所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则
11、在空间直角坐标系中，与
x 轴垂直的是
坐标平面; 与y 轴垂直的是
坐标平面; 与z 轴垂直的是
坐标平面;
12、在空间直角坐标系中，落在
x 轴上的点的坐标的特点是
。试写出三个点的坐标
落在xoy 坐标平面内的点的坐标特点是
。试写出三个点
13、 (1) 写出点 P (2, 3,
(2) 写出点 P (2, 3,
14、 (1) 写出点 P (1, 3,
(2) 写出点 P (1, 3,
-5 ）关于原点成中心对称的点的坐标是 15、如下图，在空间直角坐标系中
BC=2,原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（—3
2
1 -,0），点D 在平
2
面yoz 上，且BDC=90, DCB=30\求点 D 的坐标。
的坐标
4）在三个坐标平面内的射影的坐标是 4）在三条坐标轴上的射影的坐标是 -5 ）关于ox 轴对称的点的坐标是
8、过点（1, 2, 0）且平行于z轴的一条直线。
9、
10、（-x o，y o，-z o）
三、解答题
11、解：在空间直角坐标系中，yoz坐标平面与x轴垂直，xoz坐标平面与y轴垂直，xoy坐标平面与z轴垂直。
12、解：在空间直角坐标系中，落在x轴上的点的纵坐标和竖坐标都是0，即（x，y，0）的形式，如（2，
1
0，0）,（-3，0，0）, （ _, 0, 0 ）。
2
13、解：（1）点P（2，3，4）在xoy坐标平面内的射影为（2，3, 0）;在yoz坐标平面内的射影为（0，3，4）;在xoz 坐标平面内的射影为（2, 0, 4）
（2）P（2, 3, 4）在x轴上的射影是（2, 0, 0）;在y轴上的射影是（0, 3, 0）;在z轴上的射影为（0, 0, 4）。
14、解：（1）点P（1, 3, -5 ）关于原点成中心对称的点的坐标为（-1 , -3 , 5）;
（2）点P（1, 3, -5）关于ox轴对称的点的坐标（1, -3 , 5）。
15、解：过D作DEBC 垂足为E,在RBDC中，BDC=9（f, DCB=3（f, BC=2 得BD=1, CD=/3
??? DE=Cdsin30°= —3 , OE=OB-BE
2
1 1
=OB-BDcos60=1-=
2 2
一 1 逅
D点坐标为（0,—, ）。
2 2
空间直角坐标系练习二
A 直角三角形
B 、钝角三角形
C 、锐角三角形 D
二、填空题
8、在空间直角坐标系中，点
P 的坐标为(1,
3 ),过点P 作yoz 平面的垂线PQ 则垂足Q 的坐标
是 ----------
9、 若点A(2,1,4)与点P(x,y,z)的距离为5 ,则x,y,z 满足的关系式是 ________________________________________ . 10、 已知点 A 在x 轴上，点B (1, 2 , 0),且|AB|=
5 ,贝廿点A 的坐标是_________________________ ,
三、解答题
11、在直角坐标系 O —xyz 中作出以下各点的 P (1, 1 , 1 )、Q (-1, 1 , -1)。
1、 2、 3、 班级
姓名
、选择题
在空间直角坐标系中，点
设yR ，则点 A 、垂直于 C 垂直于
-2，-3)
P (1, y ，
A (1，2,-3 )关于x 轴的对称点为(
B 、( 1, -2，3) 2)的集合为()
xoz 平面的一条直线 y 轴的一个平面
在空间直角坐标系中, 方程 、(1, 2，3) D 、(-1 , 2, -3 )
平行于xoz 平面的一条直线 平行于y 轴的一个平面
x 2-4 ( y-1 ) 2=0表示的图形是( )
A 、两个点 两条直线 C 、两个平面 D 、一条直线和一个平面 4、 在空间直角坐标系中, 占
八
P (3 , 4 , 5)关于yoz 平面的对称点的坐标为( )
A (-3 , 4, 5)
(-3, -4 , 5) C 、( 3 , -4 , -5 ) D 、(-3 , 4 , -5 ) 5、 在空间直角坐标系中,
(2 , 3 , 4)、Q( -2 , -3 , -4 )两点的位置关系是
6、 7、 A 、关于x 轴对称
、关于yoz 平面对称
C 、关于坐标原点对称 点P(a,b,c)到坐标平面xOy 的距离是(
)
、
a 2
b 2
B 、|a| C
、|b|
、|c|
D 、以上都不对
A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)
为三角形的三个顶点，则
ABC 是 (
、等腰三角形
12、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F、G 是DD1、BD、BB1 之中点，且正方体棱长为1。请建立适当坐标
系，写出正方体各顶点及E、F、G 的坐标。
13、求点A (1, 2, -1)关于坐标平面xoy及x轴对称点的坐标。
14、四面体P—ABC中，PA PB、PC两两垂直，PA=PB=2 PC=1, E为AB的中点。建立空间直角坐标系并写出P、A、
B、C、E 的坐标。
X
7丸
15、试写出三个点使得它们分别满足下列条件（答案不唯一）
（1） 三点连线平行于x 轴；
（2） 三点所在平面平行于 xoy 坐标平面；
在空间任取两点，类比直线方程的两点式写出所在直线方程
答案： 一、 选择题
I 、 B ； 2、A 3、C ; 4、A ； 5、C ; 6、D; 7、A
二、 填空题
8、 （ 0， -、2，、、3）
2 2 2
9、 （x -2）2 （y -1）2 （z-4）2 =25
10、 （0,0,0）或（2，0，0）
三、 解答题
II 、 解：在直角坐标系 O —xyz 中，在坐标轴上分别作出点 F X 、P y 、P z ,使它们在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标 分别是1，1, 1;再分别通过这些点作平面平行于平面 yoz 、xoz 、xoy ，这三个平面的交点即为所求的点 P 。
（图略）
12、 解：如右图，建立空间直角坐标系，则 A （ 1，0，0），
B （ 1，1，0），
C （ 0，1，0），
D （ 0，0，0），A 1（ 1，0，1），
1
B 1（ 1，1，1），G （0, 1，1），D 1（0, 0，1），E （0，0，—），
2
1 1
1
F （ —，—，0），
G （1， 1，—）
Ci
2 2 2
13、解:
C
过A作AM丄xoy交平面于M，并延长到C,使AM=CM，则A与C关于坐标平面xoy对称且C (1, 2, 1)。过A作AN丄x 轴于N并延长到点B,使AN=NB,则A与B关于x轴对称且B( 1，-2，1 )。
??? A (1,-2, 1)关于坐标平面xoy对称的点C (1, 2, 1);
A (1 , -2, 1)关于x 轴对称点
B (1 , -2, 1)。
思维启示：(1) P (x, y, z)关于坐标平面xoy的对称点为R ( x, y, -z);
P (x, y, z)关于坐标平面yoz的对称点为F2 (-x, y, z); P (x, y, z)关于坐标平面xoz的对称点为P3 (x, -y, z)；
(2) P (x, y, z)关于x轴的对称点为P4 (x, -y, -z); P (x, y, z)关于y轴的对称点为P5 (-x, y, z); P (x, y, z)关于z轴的对称点为P6 (-x, -y, z)。
14、解：如图，建立空间直角坐标系，则P ( 0 , 0 , 0),
A (2, 0, 0),
B (0 , 2 , 0),
C ( 0 , 0 , 1), E (1, 1 , 0 )。
15、解:(1) (1, 2 , 3), (-2 , 1, 3), (1,-1 , 3) (只要写出的三点的纵坐标和竖坐标相等即可)
(2) (1, 2 , 3), (-2 , 1, 3), (1, -1 , 3)(只要写出的三点的竖坐标相等即可) 。
(2)若两点坐标分别为(X1 , y1 ,乙)和(X2 , y2 , Z2),则过这两点的直线方程为
Z2 -乙(X2 X1 且y2 y1 且z Z1)。
X
7丸
第九讲 空间直角坐标系 时间： 年 月 日 刘老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试 要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系 考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。 2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。 考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。 2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。 例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =， 90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。 【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。 【规范解答】 E F B C D H G X Y Z
,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥Q Q I I 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 H HB GH HF u u u r u u u r u u u r 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则 (1) (0,0,1), (0,0,1),////HF HF GE HF HF ∴==∴??∴u u r u u u r u u r u u u r Q 设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB (2) (2,2,0),(0,0,1),0,. AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥u u u r u u r u u u r u u r Q g I GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD. (3) 1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0). 010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--?=--+=??=-=??--==? ??∴=-u u r u u u r u u u r Q u u u r u u r g u u u r u u r g u u r 1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1). 00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-?==??==-??-+==? ??∴=u u r u u u r u u u r Q u u u r u u r g u u u r u u r g u u r 2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 121212121 cos ,,2||||,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=o o u r u u r u r u u r g u r u u r u r u u r 即二面角B-DE-C 为60。 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行； 2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直； 3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。 4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问
4.3 空间直角坐标系 重点难点 教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标. 教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用. 新知探究: ①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示. ②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y). ③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来. ④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx 平面. 由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长. 图1 图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x 轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.
空间直角坐标系（11月21日） 一、选择题 1、有下列叙述： ①在空间直角坐标系中，在ox轴上的点的坐标一定是（0，b，c）； ②在空间直角坐标系中，在yoz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）； ③在空间直角坐标系中，在oz轴上的点的坐标可记作（0，0，c）； ④在空间直角坐标系中，在xoz平面上的点的坐标是（a，0，c）。 其中正确的个数是（C ） A、1 B、2 C、3 D、4 2、已知点A（-3，1，4），则点A关于原点的对称点的坐标为（C ） A、（1，-3，-4） B、（-4，1，-3） C、（3，-1，4） D、（4，-1，3） 3、已知点A（-3，1，-4），点A关于x轴的对称点的坐标为（A ） A、（-3，-1，4） B、（-3，-1，-4） C、（3，1，4） D、（3，-1，-4） 4、点（1，1，1）关于z轴的对称点为（A ） A、（-1，-1，1） B、（1，-1，-1） C、（-1，1，-1） D、（-1，-1，-1） 5、点（2，3，4）关于xoz平面的对称点为（C ） A、（2，3，-4） B、（-2，3，4） C、（2，-3，4） D、（-2，-3，4） 6、点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在(C) A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．x轴上 7、以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为（C ） A、（1 2 ，1，1）B、（1， 1 2 ，1）C、（1，1， 1 2 ）D、（ 1 2 ， 1 2 ，1） 8、点P( 2 2， 3 3，－ 6 6)到原点的距离是(B) A.30 6B．1 C. 33 6 D. 35 6 9、点M(4，－3,5)到x轴的距离为(B) A．4 B.34 C．5 2 D.41 10、在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，则Q的坐标为(D) A．(0，2，0) B．(0，2，3) C．(1,0，3) D．(1，2，0) 11、点M(－2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(B) A．(－2,0,2) B．(－2,0,0) C．(0,1,2) D．(－2,1,0) 12、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为(B) A．9 B.29 C．5 D．2 6 二、填空题 1、在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, 3 2，),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q 的坐标是________________． 2、已知A(x, 5-x, 2x-1)、B（1，x+2，2-x），当|AB|取最小值时x的值为_______________． 3、已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B（2，4，1）、C（p，3，q+2），若A、B、C三点共线，则p =_________，q=__________． 4、已知点A(-2, 3, 4), 在y轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为________________．
2．3．1 空间直角坐标系 一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。 2、右手直角坐标系及其画法： （1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方 向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。教材上所指的都是右手直角坐标系。 （2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。 3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数组（x ， y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。 二、题型解析： 题型1、在空间直角坐标系下作点。 例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)， 可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐 标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到 点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上 移动5个单位，就可以得到点M （如图）。 法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三 条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。 法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2 的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。 【技巧总结】：（1）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可 直接在坐标轴上作出此点； （2）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐 标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。 （3）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三 种方法：①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ；再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左（00y <）或向右（00y >）平移0||y 个单位，得到点2M ；再将2M 沿与z 轴平
第九讲空间直角坐标系 时间：年月日刘老师学生签名： 一、兴趣导入 二、学前测试 要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系 考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。 2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。 考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。 2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。 例1：如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF FB ⊥，2 AB EF =，90 BFC ∠=?，BF FC =，H为BC的中点。 (1)求证：FH∥平面EDB； (2)求证：AC⊥平面EDB； (3)求二面角B DE C --的大小。 【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。 【规范解答】 E F B C D H G X Y Z
,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥Q Q I I 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 H HB GH HF u u u r u u u r u u u r 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则 (1) (0,0,1), (0,0,1),////HF HF GE HF HF ∴==∴??∴u u r u u u r u u r u u u r Q 设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB (2) (2,2,0),(0,0,1),0,. AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥u u u r u u r u u u r u u r Q g I GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD. (3) 1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0). 010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--?=--+=??=-=??--==? ??∴=-u u r u u u r u u u r Q u u u r u u r g u u u r u u r g u u r 1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1). 00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-?==??==-??-+==? ??∴=u u r u u u r u u u r Q u u u r u u r g u u u r u u r g u u r 2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 121212121 cos ,,2||||,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=o o u r u u r u r u u r g u r u u r u r u u r 即二面角B-DE-C 为60。 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行； 2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直； 3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。 4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问
1 第九讲 空间直角坐标系 时间： 年 月 日 刘老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试 要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系 考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。 2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。 考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。 2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。 例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =， 90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。 【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。 【规范解答】 A E F B C D H G X Y Z
2 ,,//,,,,,,, . ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥四边形为正方形，又且， 平面又为中点，且平面 H HB GH HF 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则 (1) (0,0,1),(0,0,1),////HF HF GE HF HF ∴==∴??∴设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又 GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB (2) (2,2,0),(0,0,1),0,.AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD. (3) 1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0). 010,10, 220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--?=--+=??=-=??--==???∴=-1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1). 00,01, 10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-?==? ?==-??-+==???∴=2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 12 12121211 cos ,,2|||| 22,60,n n n n n n n n ∴<>= = =∴<>=即二面角B-DE-C 为60。 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行； 2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直； 3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。 A E F B C D H G X Y Z
空间直角坐标系 一、选择题 1．在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(-1,2,3) B ．(1,-2,-3) C ．(-1, -2, 3) D ．(-1 ,2, -3) 2．在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为（ ） A ．(-3,4,5) B ．(-3,- 4,5) C ．(3,-4,-5) D ．(-3,4,-5) 3．在空间直角坐标系中, 点A(1, 0, 1)与点B(2, 1, -1)之间的距离为（ ） A ．6 B ．6 C ．3 D ．2 4．点P( 1,0, -2)关于原点的对称点P /的坐标为（ ） A ．(-1, 0, 2) B ．(-1,0, 2) C ．(1 , 0 ,2) D ．(-2,0,1) 5．点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（ ） A ．( 4, 2, 2) B ．(2, -1, 2) C ．(2, 1 , 1) D ． 4, -1, 2) 6．若向量a 在y 轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量a 平行的坐标平面是（ ） A ． xOy 平面 B ． xOz 平面 C ．yOz 平面 D ．以上都有可能 7．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 8．已知点A 的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B 的坐标是(2 , t, t), 则A 与B 两点间距离的最小值为（ ） A ．55 B ．555 C ．553 D ． 5 11 9．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于（ ） A ．14 B ．13 C ．32 D ．11 10．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为 （ ） A ．（ 2 7，4，－1） B ．（2，3，1） C ．（－3，1，5） D ．（5，13，－3） 11．点),,(c b a P 到坐标平面xOy 的距离是（ ） A ．22b a + B ．c C ．c D ．b a + 12．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是（ ） A ．21，4 B ．1，8 C ．2 1-，－4 D ．－1，－8 13．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ ） A ．26 B ．3 C ．23 D ．3 6 二、填空题 14．在空间直角坐标系中, 点P 的坐标为(1, 3,2),过点P 作yOz 平面的垂线PQ, 则垂足Q 的坐标是________________． 15．已知A(x, 5-x, 2x-1)、B （1，x+2，2-x ），当|AB|取最小值时x 的值为_______________． 16．已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B （2，4，1）、C （p ，3，q+2），若A 、B 、C 三点共线，则p =_________，q=__________． 17．已知点A(-2, 3, 4), 在y 轴上求一点 B , 使|AB|=7 , 则点B 的坐标为________________．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），给出下列4条叙述： ①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ） 其中正确的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2．若已知A （1，1，1），B （－3，－3，－3），则线段AB 的长为 （ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知A （1，2，3），B （3，3，m ），C （0，－1，0），D （2，―1，―1），则 （ ） A ．||A B >||CD B ．||AB <||CD C ．||AB ≤||CD D ．||AB ≥||CD 4．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则||CM （ ） A ． 4 B ． 532 C ． 2 D ． 2 5．如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =BC =1，
CD =2，点E 为CD 的中点，则AE 的长为（ ） A B C ．2 D 6．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于 （ ） A ．14 B ．13 C ．32 D ．11 7．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为 （ ） A ．（2 7 ，4，－1） B ．（2，3，1） C ．（－ 3，1，5） D ．（5，13，－3） 8．点),,(c b a P 到坐标平面xOy 的距离是 （ ） A ．22b a + B ．c C ．c D ．b a + 9．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是 （ ） A ．2 1 ，4 B ．1，8 C ．2 1-，－4 D ．－1，－8 10．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ ） A ． 2 6 B ．3 C ． 2 3 D ． 3 6
空间直角坐标系、空间向量及其运算专题 [基础训练组] 1．O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC → ，则A ，B ，C ，P 四点( ) A ．一定不共面 B ．一定共面 C ．不一定共面 D ．无法判断
2．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC → ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．不确定 3．如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE → 〉＝ 3 3 ，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( ) A ．(1,1,1) B.? ????1，1，12 C.? ????1，1，32 D ．(1,1,2) 4．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF → ＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269 5．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3 ，则cos 〈OA →，BC → 〉
的值为( ) A ．0 B.12 C.32 D.22 6．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE → ＝ ________ .(用a ，b ，c 表示)． 7．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为8 9，则λ＝ ________ . 8．如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ? ?? ?? θ∈? ????0， π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为 ________ . 9．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的各个面都是平行四边形，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1， DF ＝2 3 DD 1.
空间直角坐标系 【学习目标】 通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式. 【要点梳理】 要点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.右手直角坐标系 — 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z . ） 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有 点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---； 点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --； 点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --； 点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --； 点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -； . 点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -； 点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -.
第5讲空间直角坐标系 ★知识梳理★ 1。右手直角坐标系 ①右手直角坐标系的建立规则：x 轴、y 轴、z 轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； ②已知点的坐标),,(z y x P 作点的方法与步骤（路径法）： 沿x 轴正方向（0>x 时)或负方向（0 点),,(c b a P 关于坐标平面xOz 的对称点为； 点),,(c b a P 关于坐标平面yOz 的对称点为； 点),,(c b a P 关于原点的对称点为。 4。已知空间两点),,(),,(222111z y x Q z y x P ，则线段PQ 的中点坐标为 5．空间两点间的距离公式 已知空间两点),,(),,(222111z y x Q z y x P ， 则两点的距离为， 特殊地,点),,(z y x A 到原点O 的距离为; 5．以),,(000z y x C 为球心,r 为半径的球面方程为 特殊地，以原点为球心,r 为半径的球面方程为 ★重难点突破★ 重点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式 难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比,认识空间点的对称及坐标间的关系 重难点:在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用 1．借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系 问题1：点),,(c b a P 到y 轴的距离为 2．将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系 问题2：对于任意实数,,x y z , 3．利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题 (1）判断两条相交直线是否垂直 （2)判断空间三点是否共线 (3）得到一些简单的空间轨迹方程 ★热点考点题型探析★ 考点1：空间直角坐标系 题型1:认识空间直角坐标系 ［例1](1）在空间直角坐标系中,y a =表示（） A ．y 轴上的点 B ．过y 轴的平面 C ．垂直于y 轴的平面 D ．平行于y 轴的直线 （2)在空间直角坐标系中，方程x y =表示 A ．在坐标平面xOy 中，1,3象限的平分线 B ．平行于z 轴的一条直线 必修2 第二章 平面解析几何初步 2.4空间直角坐标系专题训练 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1.在空间直角坐标系中, 点()3,4,5P 与点(3,4,5)Q --的位置关系是（ ） A.关于x 轴对称 B.关于xOy 平面对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不对 2.在空间直角坐标系中,点M 的坐标是()4,7,6,则点M 关于y 轴对称的点在 xOy 平面上的射影的 坐标为( ) A. (4,0,6) B. (4,7,6)-- C. (4,0,6)-- D. (4,7,0)- 3.点(1,2,3)P 为空间直角坐标系中的点,过点P 作平面 xOy 的垂线,垂足为 Q ,则点 Q 的坐标为( ) A. (0,0,3) B. (0,2,3) C. (1,0,3) D. (1,2,0) 4.如图,三棱锥A BCD -中, AB ⊥底面BCD ,BC CD ⊥,且1AB BC ==,2CD =,点E 为CD 的中点,则AE 的长为( ) A.2 B.3 C. 2 D.55.在空间直角坐标系中,已知点(),,P x y z 的坐标满足方程()()()2222131,x y z -+++-=则点P 的轨迹是( ) A.圆 B.直线 C.球面 D.线段 6.若点()4,2,3P --关于xOy 平面及y 轴对称的点的坐标分别是()(),,,,,,a b c e f d 则c 与e 的和为( ) A.7 B.-7 C.-1 D.1 7.以正方体1111ABCD A B C D -的棱1,,AB AD AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,且正方体的棱长为1,则棱1CC 的中点的坐标为( ) 《空间直角坐标系》典型例题解析 例1：在空间直角坐标系中，作出点M(6， －2, 4)。 M 的位置可按如下步骤作出：先在x 轴上作出横坐标是6的点1M ，再将1M 沿与y 轴平行的方向向左移动2个单位得到点2M ，然 后将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动4个单位 即得点M 。 点的位置如图所示。 给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目， 要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力。 在空间直角坐标系中，作出下列各点：A(-2,3，3)；B(3，-4,2)；C(4,0，-3)。 答案：略 例2：已知正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4 ，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。 四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系。 正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4，侧 棱长为10， ∴正四棱锥的高为232。 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(-2,2，0)、D(-2，-2,0)、P(0,0 ，232)。 关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标。 M 在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=12，AD=8，1AA =5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。 答案：以A 为原点，射线AB 、AD 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、1A (0,0， 5)、1B (12,0，5)、1C (12,8，5)、1D (0,8，5)。 例3：在空间直角坐标系中，求出经过A(2,3，1)且平行于坐标平面yOz 的平面α的方程。 yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz 平行的平面内的点的特点来求解。 坐标平面yOz ⊥x 轴，而平面α与坐标平面yOz 平行， ∴平面α也与x 轴垂直， ∴平面α内的所有点在x 轴上的射影都是同一点，即平面α与x 轴的交点， ∴平面α内的所有点的横坐标都相等。 Θ平面α过点A(2,3，1)，∴平面α内的所有点的横坐标都是2， ∴平面α的方程为x=2。 可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x 轴(或y 轴)平行的直线的方程。 在空间直角坐标系中，求出经过B(2,3，0)且垂直于坐标平面xOy 的直线方程。 答案：所求直线的方程为x=2,y=3.必修2 第二章 平面解析几何初步 2.4空间直角坐标系专题训练
空间直角坐标系典型例题解析
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