空间直角坐标系一、主讲知识【知识点讲解1】空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立，O 叫做，i ，j ，k 都叫做。
对于空间任意一个向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作。
【讲透例题1】例1、已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求向量MN →的坐标．【相似题练习1】如图在边长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取D 点为原点建立空间直角坐标系，O ，M 分别是AC ，DD 1的中点，写出下列向量的坐标.AM →＝________，OB 1→＝________.向量运【小结】建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．【知识点梳理2】空间向量坐标运算1、空间向量的坐标运算空间向量a ，b ，其坐标形式为a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).算向量表示坐标表示加法a ＋b a ＋b ＝减法a －b a －b ＝数乘λa λa ＝数量积a ·ba ·b ＝2、空间向量的平行、垂直及模、夹角设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示坐标表示加法a ＋b (a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)减法a －b (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线a ＝λb (b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a2＝λb 2，a 3＝λb 3垂直a·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23【讲透例题2】例1、已知()1,2,1a =- ，()1,2,1a b +=-- ，则b = （）A ．(2，－4，2)B ．(－2，4，－2)C ．(－2，0，－2)D ．(2，1，－3)【相似题练习2】1、已知空间三点()1,0,3A ，()1,1,4B -，()2,1,3C -，若//AP BC，且AP =uu u v P 的坐标为（）A ．()4,2,2-B ．()2,2,4-C ．()4,2,2-或()2,2,4-D ．()4,2,2--或()2,2,4-2、(1)设a ＝(1，－1，3)，b ＝(－2，1，2)，则a ＋2b ＝________.(2)设a ＝(1，－1，1)，b ＝(－2，0，1)，则cos 〈a ，b 〉＝________.(3)已知点A (－1，2，0)，B (－1，0，2)，则|AB →|＝________.3、已知四点()1,2,1A -，()1,1,3B -，12,,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),,0D x y ，且//AB CD ，则x ，y 的值分别为（）A ．3，1B ．4，52-C ．3，-1D ．1，14、与向量()1,3,2a =-平行的一个向量的坐标是()A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(-1,-3,2)C ．13-,,-122⎛⎫⎪⎝⎭D ．)5、已知点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），若A ，B ，C 三点共线，则λ=__．6、已知向量(1,2,1),(1,1,1)a b =-=-- ，则a 与b的夹角为（）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30°7、下列向量中与向量()010a =，，平行的向量是（）A ．()100b =，，B ．()010c =-，，C ．()111d =--，，D ．()001e =-，，8、已知向量()1,0,1a =r，()2,0,2b =- ，若()()2ka b a kb +⋅+= ，则k 的值等于（）A ．1B ．35C ．25D ．159、在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是()A ．（2,1,3）B ．（﹣2,﹣1,3）C ．（2,1,﹣3）D ．（2,﹣1,﹣3）10、若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，且满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.11、已知(1,1,2),(6,21,2)a b m λλ=+=-.（1）若//a b，分别求λ与m 的值；（2）若||a =(2,2,)c λλ=--垂直，求a.二、课堂练习1.已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为()A.0°B.45°C.90°D.180°2.设O 为坐标原点，M (5，－1，2)，A (4，2，－1)，若OM →＝AB →，则点B 应为()A.(－1，3，－3)B.(9，1，1)C.(1，－3，3)D.(－9，－1，－1)3．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是()A．(1,1,1)B．(－4,6，－2)C．(2，－3,5)D．(－2，－3,5)5．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且k a＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．1 B.15C.35D.756.已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为()A.5 5B.555C.355D.1157.已知A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形．空间向量研究立体几何距离、夹角一、主讲知识【知识点讲解1】距离问题空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A 、B 为空间中的任意两点，则d ＝|AB |点线距设直线l 的单位方向向量为u ，A ∈l ，P ∉l ，设AP →＝a ，则点P 到直线l 的距离d ＝|a |2－(a ·u )2点面距已知平面α的法向量为n ，A ∈α，P ∉α，则点P 到平面α的距离为d ＝|AP →·n ||n |【讲透例题1】例1、如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝2 3.求点A 到平面MBC 的距离．【相似题练习1】1、在长方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，求O 1到直线AC 的距离．2、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，则点1A 到平面MBD 的距离是（）A ．66a B ．36a C ．34a D ．63a 3、如图所示，ABCD -EFGH 为边长等于1的正方体，若P 点在正方体的内部且满足312423AP AB AD AE =++ ，则P 点到直线AB 的距离为________．4、四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AA 1＝3，底面是边长为4且∠DAB ＝60°的菱形，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，E 是O 1A 的中点，则点E 到平面O 1BC 的距离为（）A ．2B ．1C ．32D ．35、如图，已知四边形ABCD 为矩形，四边形ABEF 为直角梯形，FA AB ⊥，1AD AF FE ===，2AB =，AD BE ⊥.（1）求证：BE DE ⊥；（2）求点F 到平面CBE 的距离.【知识点讲解2】求两条异面直线所成的角空间角的向量求法【讲透例题2】例1、如图，在三棱柱OAB -O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大小．【相似题练习2】1、已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．105B ．155C ．32D ．332、在直三棱柱111ABC A B C -中，190,2∠=︒==ACB CA CC CB ，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（）AB ．53CD ．353、在正四棱锥P ABCD -中，侧棱PA =，底面边长AB =，O 是P 在平面ABCD 内的射影，M 是PC 的中点，则异面直线OP 与BM 所成角为（）A ．30B ．45C ．60D ．904、如图，在三棱锥P ABC -中，已知12PA PB AC ===2AB BC ==，平面PAB ⊥平面ABC ，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为（）A ．66B ．53C ．33D ．63【知识点讲解3】直线与平面所成的角空间角的向量求法【讲透例题3】例1、如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．【相似题练习3】1、在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若F ，G 分别是棱AB ，CC 1的中点，则直线FG 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值等于()A．23B ．54C ．33D ．362、在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，1AB AC ==，2PA =，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为（）A ．255B ．55C ．35D ．2353、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，//AB DC ，2DCPD AB AD ===，Q 为PC 的中点，则直线PC 与平面BDQ 所成角的正弦值为__________．4、如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====．（1）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：//CF 平面PAB ；（2）求直线PA 与平面BPD 所成角的正弦值．5、如图四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA PC =，点E 在棱PB 上，O 为AC 与BD的交点．（1）求证：平面AEC ⊥平面PDB ；（2）当E 为PB 的中点时，求证：//OE 平面PDA ；（3）当APD △是正三角形时，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PBC 所成的角的正弦值．【知识点讲解4】平面与平面的夹角空间角的向量求法例1、如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求平面C 1OB 1与平面DOB 1的夹角的余弦值．【相似题练习4】1、（多选）三棱锥A BCD -中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为12,n n ，若12,3n n π<>= ，则二面角A BD C --的大小可能为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π2、如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 为棱AA 1的中点，AB ＝1，AA 1＝2．（1）求点B 到平面B 1C 1E 的距离；（2）求二面角B 1﹣EC 1﹣C 的正弦值．3、如图：直角梯形ABCD 中，AD //BC ，∠ABC =90°，E ，F 分别为边AD 和BC 上的点，且EF //AB ，AD =2AE =2AB =4FC =4，将四边形EFCD 沿EF 折起成如图的位置，使AD =AE .（1）求证：BC //平面DAE ；（2）求四棱锥D ﹣AEFB 的体积；（3）求面CBD 与面DAE 所成锐二面角的余弦值.4、如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1// 22AD BC AB AD AB AD AA BC ⊥====，，（1）求二面角111C B C D --的余弦值；（2）若点P 为棱AD 的中点，点Q 在棱AB 上，且直线1B C 与平面1B PQ 所成角的正弦值为515，求AQ 的长．1．如图，在三棱锥V ABC -中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且2AC BC ==，当60VDC ∠=︒时，异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．2．在正四棱锥S ABCD -中，O 为顶点S 在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO OD =，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．3．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,2,0)A -，6)B ，则向量AB与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________.4．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、11C D 的中点，则异面直线1A E 、CF 所成角的大小为_______；平面1A EF 与平面1111D C B A 所成锐二面角的余弦值为__________.5．如图，在直三棱柱中111A B C -A BC 中，AB ⊥AC ，AB=AC=2，1AA =4，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值．6．如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，ABC BAD 90∠∠== ，SA ⊥平面ABCD ，SA AB BC 2===，AD 1=．()1求SC 与平面ASD 所成的角余弦值；()2求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦值．7、如图，在三棱锥V -ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝3π，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．空间向量在立体几何中的应用一、主讲知识【知识点讲解1】求平面的法向量平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量．【讲透例题1】例1、四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系A -xyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．【相似题练习1】1、已知三点A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量．2、若直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，平面α的法向量为()2,0,4n =--，则（）A ．//l αB ．l α⊥C ．l α⊂D ．l 与α斜交3、（多选）已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列说法正确的是（）A ．AB 与AC是共线向量B ．与AB同向的单位向量是,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．AB 和BC 夹角的余弦值是5511D ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【知识点讲解2】利用空间向量证明线线平行、线面、面面平行线线平行设两条不重合的直线l 1，l 2的方向向量分别为u 1＝(a 1，b 1，c 1)，u 2＝(a 2，b 2，c 2)，则l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝λ(a 2，b 2，c 2)线面平行设l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔u·n ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0面面平行设α，β的法向量分别为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝λ(a 2，b 2，c 2)【讲透例题2】例1、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .例2、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .【相似题练习2】1、如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．2、若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n，则能使//l α的是（）A ．()1,2,1m =，()1,0,1n = B ．()0,1,0m =，()0,3,0n = C ．()1,2,3m =- ，()2,2,2n =-D ．()0,2,1m = ，()1,0,1n =--4、已知两个不同的平面α，β的法向量分别是()11,2,2n = 和()23,6,6n =，则平面α，β的位置关系是________.5、已知()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -.（1）求平面ABC 的一个法向量；（2）证明:向量()3,4,1a =-与平面ABC 平行.6、如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD，1AB =平面1OCB 的法向量n =________.【知识点讲解3】利用空间向量证明线线垂直、线面垂直、面面垂直线线垂直设直线l 1的方向向量为u ＝(a 1，a 2，a 3)，直线l 2的方向向量为v ＝(b 1，b 2，b 3)，则l 1⊥l 2⇔u ·v ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0线面垂直设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量是n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥n ⇔u ＝λn ⇔(a 1，b 1，c 1)＝λ(a 2，b 2，c 2)(λ∈R )面面垂直设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0【讲透例题3】例1、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1E 为AC 的中点．求证：(1)BD 1⊥AC ；(2)BD 1⊥EB 1.例2、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .例3、如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .【相似题练习3】1、若平面αβ⊥，且平面α的一个法向量为12,1,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则平面β的法向量可以是（）A ．111,,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(2,1,0)-C ．(1,2,0)D ．1,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2、已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =-- ，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =-- .对于结论：①||6AD = ；②AP AD ⊥；③AP是平面ABCD 的法向量；④AP//BD .其中正确的是（）A ．②④B ．②③C ．①③D ．①②3、（多选题）已知v为直线l 的方向向量，→→21,n n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（）A ．→1n ∥→2n ⇔α∥βB ．→1n ⊥→2n ⇔α⊥βC ．v∥→1n ⇔l ∥αD ．v⊥→1n ⇔l ∥α4、（多选题）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =-- ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l α-中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知5、如图，在四棱锥P ABCDPA=．2AB=，2⊥；（Ⅰ）求证：AE PD（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC．。
