高二数学 两个平面平行的判定和性质测试题

第1页 共8页 高二数学同步检测四

两个平面平行的判定和性质

说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项）

1设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的是…( )

A.lα,mα,且l∥β,m∥β

B.lα,mα,且l∥m

C.l⊥α,m⊥β,且l∥m

D.l∥α,m∥β,且l∥m

答案:C

解析:

如左上图,A错;如右上图,D错;B显然错.故选C.

2下列命题中正确的是( )

①平行于同一直线的两个平面平行 ②平行于同一平面的两个平面平行 ③垂直于同一直线的两个平面平行 ④与同一直线成等角的两个平面平行

A.①② B.②③ C.③④ D.②③④

答案:B

解析:如图(1),①错;如图(2),④错.故选B.

3给出下列四个命题:①夹在两个平行平面间的线段中,较长的线段与平面所成的角较小;②夹在两个平行平面间的线段相等,则它们与两个平面所成的角相等;③夹在两个平行平面间的线段相等,则这两线段必平行;④夹在两个平行平面间的平行线段必相等.

其中正确的命题有( )

A.①②④ B.②③④ C.①③ D.④

第2页 共8页 答案:A

解析:由于两个平行平面间的距离是定值，所以①②显然正确;如图,a,b相等,但ab,故③错;④正确.故选A.

4设α,β表示平面,a表示直线,且直线a不在平面α或β内,并有①α∥β;②a⊥α;③a⊥β.以其中任意两个为条件,另一个为结论,可构造出三个命题.其中正确命题的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.0

答案:C

解析:a//a⊥β,即①②③.aaα∥β,即②③①.

a//a⊥α,即①③②.故选C.

5已知平面α∥平面β,α,β之间的距离等于d,直线aα,则β内( )

A.有且只有一条直线与a的距离等于d

B.有无数条直线与a的距离等于d

C.所有直线与a的距离都等于d

D.仅有两条直线与a的距离等于d

答案:B

解析:过直线a上任一点作平面β的垂线,垂足为A,过点A在平面β内作直线b∥a,此时a与b间的距离为d;在平面β内所有与a异面的直线间的距离也都是d.

6如果平面α∥平面β,直线a平面α,点B∈β,则平面β内过点B的所有直线中,下列结论成立的是( )

A.不一定存在与a平行的直线

B.不存在与a平行的直线

C.存在唯一一条与a平行的直线

D.存在无数条与a平行的直线

答案:C

解析:如图所示.

过直线a与点B所确定的平面γ,且γ∩β=b,直线b∥直线a,且唯一.故选C.

7已知m,n是不同的直线,α,β是不重合的平面,给出下列命题:

①若m∥α,则m平行于平面α内的任意一条直线;

②若α∥β,mα,nβ,则m∥n;

③若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;

④若α∥β,mα,则m∥β.

其中正确的命题是( )

A.①②③ B.③④

C.②③ D.④

第3页 共8页 答案:B

解析:若m∥α,则m平行于过m所作平面与α相交的交线,并非α内任一条直线,故①错;

若α∥β,mα,nβ,则可能m∥n,也可能m,n异面,故②错;

nnnmm//α∥β,③正确;m//m∥β,④正确.

8已知平面α∥平面β,C、A∈α,B、D∈β,AB⊥CD,且AB=2，直线AB与平面α所成的角为30°，则线段CD长的取值范围为( )

A.［1，+∞) B.(1,332]

C.(332,334)

D.［332,+∞)

答案:D

解析:如图，

过D作DA′∥AB交平面α于A′，由α∥β,故DA′=AB=2.DA′与α成30°角，由已知DC⊥AB,可得DC⊥DA′,所以DC在过DC且与DA′垂直的平面γ内.令γ∩α=l,在γ内DC0⊥l时最短，此时DC0=DA′·tan30°=332,故CD≥332.

9已知平面α∥平面β，其间夹一垂线段AB=4，另一斜线段CD=6，且AC=BD=3.E、F分别是AB、CD的中点，则EF的长为( )

A.1

B.2

C.2 D.5

答案:C

解析:如图，过F作AB的平行线，交α、β于P、Q两点，则四边形ABQP为矩形.

∵E、F分别为AB、CD的中点，故EF⊥PQ.

由Rt△EAC≌Rt△EBDEC=ED,

则△APC为直角三角形.

在Rt△CPF中，CP2=CF2-PF2=5CP=5.

在Rt△CPA中，AP2=AC2-CP2=32-(.)2=4.

第4页 共8页 ∴AP=2.而AP=EF，∴EF=2.

10一间民房的屋顶有如下图的三种盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法的屋顶面积分别为P1,P2,P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则( )

A.P1

C.P1

答案:D

解析:由S底=S侧cosθ可得P1=P2,

而P3=2cos)(2)coscos(2121SSSS

又∵2(S1+S2)=S底,∴P1=P2=P3.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题,答案需填在题中横线上）

11如下图,点P是一光源,将一投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化.

答案:平行

解析:当α∥β时,易证△ABC∽△A′B′C′,从而形状不会发生变化.

12设直线a在平面M内,则平面M平行于平面N是直线a平行于平面N的__________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”）

答案:充分不必要

解析:设p:平面M∥平面N，q:直线a∥平面N.

MaNMNM平面平面//a∩N=a∥N,

∴pq.

MaNa平面//平面N与平面M不一定平行,

∴qp.

13如图，已知平面α∥平面β，线段AB、CD夹在α、β之间，AB=13，CD=55，且它们在β内的射影之差为2，则α和β之间的距离是____________.

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答案:5

解析:设A、C在平面β上的射影为A′、C′，则α、β之间的距离AA′=CC′=a,且BA′、DC′分别为AB、CD在β内的射影.

在Rt△ABA′中，AB=13，

则BA′=222'213aAAAB.

在Rt△CDC′中，CD=55，

则C′D=22'2125aCCCD.

又∵C′D与A′B相差为2，

即A′B-C′D=2，22212513aa=2.

∴a=5.∴平面α、β的距离为5.

14设P表示点,m,n,l表示两两不重合的三条直线,以α,β表示两个不重合的平面,那么下列四个命题:①m⊥α,若n⊥α,则m∥n;②mα,n∩α=P,l是n在α内的射影.若m⊥l,则m⊥n;③m⊥α,若n∥a,l∥α,则m⊥n,m⊥l;④m⊥α,若m⊥β,则α∥β中逆命题能成立的序号是________.

答案:①②④

解析:命题③的逆命题是:m⊥α,若m⊥n,m⊥l,则n∥α,l∥α,错误的原因在于满足条件的直线n和l可能在平面α内,故①②④能成立.

三、解答题（本大题共5小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

15已知平面α∥β,AB、CD为夹在α、β间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点.求证:EF∥α,EF∥β.

分析:要证EF∥α，根据线面平行的判定定理，只需在α内找一条直线与EF平行；或过EF作一平面，使该平面与α平行，据面面平行的性质定理即可证得.

证法一:

连结AF并延长交β于G.

∵AG∩CD=F,

∴AG、CD确定平面γ，且γ∩α=AC,γ∩β=DG.

∵α∥β,∴AC∥DG.∴∠ACF=∠GDF.

又∠AFC=∠DFG，CF=DF,

∴△ACF≌△GDF.∴AF=FG.

第6页 共8页 又AE=BE,∴EF∥BG.

∵BGβ,∴EF∥β.

同理,FE∥α.

证法二:∵AB与CD为异面直线,∴ACD.

在A、C、D确定的平面内过点A作AG∥CD交β于点G，取AG的中点H，连结AC、HF.

∵α∥β,∴AC∥DG∥FH.

∵DGβ,∴HF∥β.

又∵E为AB的中点,

∴EH∥BG.∴EH∥β.

又EH∩HF=H,∴平面EHF∥β.

∵EF平面EHF,∴EF∥β.同理,EF∥α.

16如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.

答案:已知:α∥β,γ∥β,

求证:α∥γ.

证明:如图,作两个相交平面分别与α,β,γ交于a,c,e和b,d,f.

////////////////////bfbaeafdecdbcaα∥γ.

17如图所示,A,B,C,D四点在平面M和N之外,它们在M内的射影A1,B1,C1,D1成一直线,在N内的射影A2,B2,C2,D2组成一个平行四边形,求证:ABCD是平行四边形.

证明:∵A,B,C,D四点在平面M内的射影是一条直线,

∴ABCD为平面四边形.

又AA2⊥平面N,DD2⊥平面N,

∴AA2∥DD2.

∵A2B2∥C2D2,