2.2.2平面与平面平行的判定同步练习

平面与平面平行的判定与性质一、选择题1．平面α∥平面β，点A 、C ∈α，点B 、D ∈β，则直线AC ∥直线B D 的充要条件是（ ）A ．AB ∥CD B ．AD ∥CBC ．AB 与CD 相交 D ．A 、B 、C 、D 四点共面2．“α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．平面α∥平面β，直线a ⊂α，P ∈β，则过点P 的直线中（ ）A ．不存在与α平行的直线B ．不一定存在与α平行的直线C ．有且只有—条直线与a 平行D ．有无数条与a 平行的直线4．下列命题中为真命题的是（ ）A ．平行于同一条直线的两个平面平行B ．垂直于同一条直线的两个平面平行C ．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D ．若三直线a 、b 、c 两两平行，则在过直线a 的平面中，有且只有—个平面与b ，c 均平行．5．已知平面α∥平面β,且α、β间的距离为d ，l ⊂α，l ′⊂β,则l 与l ′之间的距离的取值范围为（ ）A ．（d ，∞）B ．（d ，＋∞）C ．{d}D ．（0，∞）6．已知直线a 、b 、c ⊂α，且a ∥β、b ∥β、c ∥β，则“a 、b 、c 到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件7．给出以下命题：①夹在两个平行平面间的线段，较长的与平面所成的角较小；②夹在两个平行平面间的线段，如果它们的长度相等，则它们必平行；③夹在两个平行平面间的线段，如果它的长度相等，则它们与平面所成的角也相等； ④在过定点P 的直线中，被两平行平面所截得的线段长为d 的直线有且只有一条，则两平行平面间的距离也为d其中假命题共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．设α∥β，P ∈α，Q ∈β当P 、Q 分别在平面α、β内运动时，线段PQ 的中点X 也随着运动，则所有的动点X （ ）A ．不共面B ．当且仅当P 、Q 分别在两条平行直线上移动时才共面C ．当且仅当P 、Q 分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面D ．无论P 、Q 如何运动都共面二、填空题9．已知α∥β且α与β间的距离为d ，直线a 与α相交于点A 与β相交于B ，若d AB 332=，则直线a 与α所成的角＝___________．10．过两平行平面α、β外的点P 两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若P A ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则ＢD 的长为__________．11．已知点A 、B 到平面α的距离分别为d 与3d ，则A 、B 的中点到平面α的距离为________．12．已知平面α内存在着n 个点，它们任何三点不共线，若“这n 个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n 的最小值为_________．三、解答题13．已知平面α∥平面β直线a ∥α，a β，求证：a ∥β．14．如图，平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，点E 、F 分别在线段A Ｂ、CD 上，且FD CF EB AE ＝，求证：EF ∥平面β．15．P 是△A ＢC 所在平面外一点，A ′，B ′，C ′分别是△P ＢC 、△PCA 、△P A Ｂ的重心，（1）求证：平面A ′Ｂ′C ′∥平面A ＢC ；（2）求S △A ′Ｂ′C ′∶S △A ＢC ．16．如图已知平面α∥平面β，线段A Ｂ分别交α、β于M 、N ，线段AD 分别交α、β于C 、D ，线段ＢF 分别交α，β于F 、E ，若AM ＝m ，ＢN ＝n ，MN ＝P ，求△END 与△FMC 的面积之比．17．如图，已知：平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，AC 与ＢD 为异面直线，AC ＝6，ＢD ＝8，A Ｂ＝CD ＝10，A Ｂ与CD 成60°的角，求AC 与ＢD 所成的角．参考答案一、选择题1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D二、填空题9．60° 10．12 11．d 或2d 12．5三、解答题13．证明：取平面α内一定点A ，则直线a 与点A 确定平面γ，设γ∩α＝b ，γ∩β＝c ， 则由a ∥α得a ∥b ，由α∥β得b ∥c ，于是a ∥c ．又∵a ⊄β，∴a ∥β．14．证明：（1）若直线AB 和CD 共面，∵α∥β，平面ABDC 与α、β分别交于AC 、BC 两直线，∴AC ∥BD ．又∵EB AE ＝FD CF，∴EF ∥AC ∥BD ，∴EF ∥平面β．（2）若AB 与CD 异面，连接BC 并在BC 上取一点G ，使得EB AE ＝GB CG，则在△BAC 中，EG ∥AC ，AC ⊂平面α，∴EG ∥α．又∵α∥β，∴EG ∥β；同理可得：GF ∥BD ，而BD ⊂β，又∵GF ∥β．∵EG ∩GF ＝G ，∴平面EGF ∥β，又∵EF ⊂平面EGF ，∴EF ∥β．综合（1）（2）得EF ∥β．15．证明：（1）连接P A ′、PB ′、PC ′，分别交BC 、CA 、AB 于K 、G 、H ，连接GH 、KG 、HK ．∵B ′、C ′均为相应三角形的重心，∴G 、H 分别为AC 、AB 的中点，且PG B P '＝PH C P '＝32，∴B ′C ′∥GH ，同理A ′B ′∥KG ，A ′B ′∩B ′C ′＝B ′且GH ∩KG ＝G ，从而平面A ′B ′C ′∥平面ABC ．（2）由（1）知△A ′B ′C ′∽△KGH ， ∴KGH C B A S S ∆'''∆＝2）（GH C B ''＝94，又∵S △KGH ＝41S △ABC ，∴S △A ′B ′C ′＝91S △ABC ，∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝1∶9．16．证明：∵α∥β，平面AND 分别交α，β于MC 、ND ，∴由面面平行的性质定理知，MC ∥ND ，同理MF ∥NE ；又由等角定理：“一个角的两边分别平行于另一角的两边且方向相同，则两角相等”知：∠END ＝∠FMC ，从而ND MC ＝AN AM ，MF NE ＝BM BN，∴ND ＝AM AN ·MC ＝m p m ＋·MC ，NE ＝BM BN·MF ＝p n n ＋·MF ．∴S △END ＝21ND ·NE ·sin ∠END＝21·m pm ＋·p n n ＋·MC ·MF ·sin ∠FMC＝）＋（）＋（p n m p m n ·S △FMC ．∴FMC END S S ∆∆＝）＋（）＋（p n m p m n ．即：△END 与△FMC 的面积之比为）＋（）＋（p n m p m n ．17．由α∥β作BE ∥＝AC ，连结CE ，则ABEC 是平行四边形．∠DBE 是AC 与BD 所成的角．∠DCE 是AB 、CD 所成的角，故∠DCE ＝60°．由AB ＝CD ＝10，知CE ＝10，于是△CDE 为等边三角形， ∴DE ＝10．又∵BE ＝AC ＝6，BD ＝8，∴∠DBE ＝90°．∴AC 与BD 所成的角为90°．。

2.2.2 平面与平面平行的判定【选题明细表】知识点、方法题号面面平行判定定理的理解1,2,3,4面面平行的判定6,7,9平行关系的综合应用5,8,101.经过平面外两点与这个平面平行的平面( C )(A)只有一个 (B)至少有一个(C)可能没有 (D)有无数个解析:当这两点的连线与平面相交时,则没有平面与这个平面平行;当这两点的连线与平面平行时,有且只有一个平面与这个平面平行,所以选C.2.设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有( D )①l⊂α,m⊂α,且l∥β,m∥β②l⊂α,m⊂β,且l∥m ③l∥α,m∥β,且l∥m(A)1个(B)2个(C)3个(D)0个解析:由两平面平行的判定定理可知,得出α∥β的个数为零.3.已知两个不重合的平面α,β,给定以下条件:①α内不共线的三点到β的距离相等;②l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β;③l,m是两条异面直线,且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.其中可以判定α∥β的是( D )(A)① (B)② (C)①③ (D)③解析:①中,若三点在平面β的两侧,则α与β相交,故不正确.②中,α与β也可能相交.③中,若把两异面直线l,m平移到一个平面内,即为两相交直线,由判定定理知正确.4.(2018·武汉月考)a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,现给出六个命题:①⇒a∥b;②⇒a∥b;③⇒α∥β;④⇒α∥β;⑤⇒a∥α;⑥⇒a∥α.其中正确的命题是( C )(A)②③ (B)①④⑤(C)①④ (D)①③④解析:由空间平行线的传递性,知①正确;②错误,a,b还可能相交或异面;③错误,α与β可能相交;由面面平行的传递性,知④正确;⑤⑥错误,a可能在α内.故选C.5.如图所示,已知四棱锥P ABCD底面ABCD为平行四边形,E,F分别为AB,PD的中点.求证:AF∥平面PCE.证明:如图所示.取CD中点M,连接MF,MA,则在△PCD中,MF∥PC,又MF⊄平面PCE,PC⊂平面PCE,所以MF∥平面PCE.又因为ABCD为平行四边形,E,M分别为AB,CD中点,所以AE CM.所以四边形EAMC为平行四边形,所以MA∥CE,又MA⊄平面PCE,CE⊂平面PCE.所以MA∥平面PCE.又MA∩MF=M,所以平面MAF∥平面PCE.又因为AF⊂平面MAF,所以AF∥平面PCE.6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零,则α与β的位置关系为( C )(A)平行 (B)相交(C)平行或相交(D)可能重合解析:若三点分布于平面β的同侧,则α与β平行,若三点分布于平面β的两侧,则α与β相交.故选C.7.(2018·江西九江一模)在正方体ABCD A1B1C1D1中,AB=4,M,N分别为棱A1D1,A1B1的中点,过点B的平面α∥平面AMN,则平面α截该正方体所得截面的面积为.解析:如图所示,截面为等腰梯形BDPQ,故截面的面积为×(2+4)×3=18.答案:188.如图所示的是正方体的平面展开图.有下列四个命题:①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.其中,正确命题的序号是.解析:展开图可以折成如图(1)所示的正方体.在正方体中,连接AN,如图(2)所示,因为AB∥MN,且AB=MN,所以四边形ABMN是平行四边形.所以BM∥AN.因为AN ⊂平面DE,BM⊄平面DE,所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,所以①②正确;如图(3)所示,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,进而得到平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.答案:①②③④9.在正方体ABCD A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点.求证:(1)直线EG∥平面BDD1B1;(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明:(1)如图,连接SB,因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1.所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点,所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,所以FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B1.10.如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?解:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.因为Q为CC1的中点,P为D1D的中点,所以PQ∥DC.又DC∥AB,所以PQ∥AB且PQ=AB,所以四边形ABQP为平行四边形, 所以QB∥PA.又PA⊂平面PAO,QB⊄平面PAO,所以BQ∥平面PAO.连接BD,则O∈BD,又O为DB的中点,P为D1D的中点, 所以PO∥D1B.PO⊂平面PAO,D1B⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO.又D1B∩BQ=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.。

对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面
平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么
第十六页，编辑于星期一：点 五十一分。
这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在． 对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面
平行，同①.
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行， 则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义． 对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平 面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判
2.反过来,如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平 行,那么这两个平面平行.
启示
线面平行
转化
面面平行
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课堂探究1
1.三角板ABC的一条边BC与桌面平行，如图①三角板 ABC所在的平面与桌面α平行吗？
①
解析：不平行
第六页，编辑于星期一：点 五十一分。
2.当三角板ABC的两条边BC，AB都平行桌面α时，
(4)过平面外一点，只可作1个平面与已知平面平行 （ ）√
第二十三页，编辑于星期一：点 五十一分。
（5）设a，b为异面直线，则存在平面α，β，使
a a,b ，且a / / .
（ √）
α
a
b β
Hale Waihona Puke 第二十四页，编辑于星期一：点 五十一分。
【提升总结】 1.应用定理时，“内”、“交”、“平行”三个条件
2.2.2 平面与平面平行的判定
第一页，编辑于星期一：点 五十一分。
活动板房各个面是怎样拼在一 起的，它们都有什么关系呢？
第二页，编辑于星期一：点 五十一分。
木工师傅用气泡式水准仪在桌面上交叉放两次，如 果水准仪的气泡都是居中的，就可以判定这个桌面 和水平面平行，这是什么道理？

人教B 版 数学 必修2：平面与平面平行的判定与性质 同步练习一、选择题1. 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 ( )A.都平行．B. 都相交．C.在这两个平面内．D.至少与其中一个平面平行．2. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面 ( )A.平行．B.相交．C.重合．D.平行或相交．3. ,αβ是两个不重合的平面,在下列条件中, 可判定α∥β的是 ( )A.,αβ都垂直于平面γB.α内有不共线的三点到平面β的距离相等C.,l m 是平面α内的直线, 且l ∥β, m ∥βD.,l m 是两条异面直线, 且均与平面,αβ平行A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //二、填空题7.若α∥β,α⊂a ,β⊂b 则a ,b 的位置关系是 .8. a 、b 为异面直线，a ⊥平面α，b ⊥平面β，则α与β的位置关系是 .三、解答题9. 已知：a 、b 是两条异面直线，平面α过a 且与b 平行，平面β过b 且与a 平行．求证：平面α∥平面β.10. 已知：A 为平面BCD 外一点，M 、N 、G 分别是△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心． 求证：平面MNG ∥平面ACD ．11.已知线段AB、CD异面，CD⊂平面α，AB∥α，M、N分别是线段AC和BD的中点，求证MN∥平面α.12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD 1上的点，且BP= QC，求证PQ∥平面A1D1DA .【课时37答案】1.D2.D3. D4.B5.C6.2个7.平行或异面8. 相交9.10.11.连结AD，取AD的中点P，连结MP、NP，由三角形中位线性质，得MP∥CD，NP∥CD∴平面MNP∥平面α, ∵MN⊂平面MNP, MN∥平面α．12.。

一、选择题:
1. 平面与平面平行的条件可以是（）.
A. 内有无穷多条直线都与平行
B.直线与都平行，且不在内
C.直线,直线,且,
D. 内的任何直线都与平行
2. 下列说法正确的是（）
A. 垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 平行于同一个平面的两条直线平行
C. 平行于同一条直线的两个平面平行
D. 平行于同一个平面的两个平面平行
3．下列说法正确的是（）
A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行
B. 平行于同一平面的两条直线平行
C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行
4. 经过平面外的一条直线且与平面平行的平面（）.
A.有且只有一个
B.不存在
C.至多有一个
D.至少有一个
二、填空题:
5.已知，过点作与平面平行的平面可以作________个.
6.不在同一直线上的三点到平面的距离相等，且，则所在平面与平面的关系是________________________________.
三、解答题：
7.如图，正方体中，分别是的中点.
求证:
8.如图,已知是平行四边形所在平面外一点,分别是的中点，是AC的中点.
(1)求证: 平面；
(2)若，求异面直线所成角的大小.
23600 5C30 尰035933 8C5D 豝37272 9198 醘 22623 585F 塟~35486 8A9E 語-28512 6F60 潠
z。

2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定●知识梳理1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β => a∥αa∥b●知能训练一．选择题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN∥面APC；（2）C1Q∥面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）A．12条B．18条C．21条D．24条6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）A．1/2B．1 C．2 D．310．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB 1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定A级基础巩固一、选择题1．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥β”的是()解析：A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β；D正确．答案：D2．能保证直线与平面平行的条件是()A．直线与平面内的一条直线平行B．直线与平面内的所有直线平行C．直线与平面内的无数条直线平行D．直线与平面内的所有直线不相交解析：A不正确，因为直线可能在平面内；B不正确；C不正确，直线也可能在平面内；D正确，因为直线与平面内所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行．答案：D3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析：MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.答案：B4．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α，β还有可能相交，所以选B.答案：B5.平面α与△ABC 的两边AB ，AC 分别交于D ，E ，且AD DB ＝AE EC，如图所示，则BC 与平面α的关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．BC ⊂α解析：因为AD DB ＝AE EC，所以ED ∥BC ，又DE ⊂α，BC ⊄α， 所以BC ∥α.答案：A二、填空题6．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，则对角线AC 与平面DEF 的位置关系是________．解析：因为AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，所以EF ∥AC .又因为AC ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .答案：平行7．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8，12，过AB 的中点E 且平行于BD ，AC 的截面四边形的周长为________．解析：设所求截面四边形为EFGH ，且F ，G ，H 分别是BC ，CD ，DA 的中点，所以EF ＝GH ＝4，FG ＝HE ＝6.所以截面四边形EFGH的周长为2×(4＋6)＝20.答案：208．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个命题都是正确的．答案：①②③④三、解答题9.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为BC，B1C的中点，求证：MN∥面ACC1A1.证明：因为M，N分别为BC，B1C的中点，所以MN∥BB1，又BB1∥AA1，所以MN∥AA1，又MN⊄面ACC1A1，AA1⊂面ACC1A1，所以MN∥面ACC1A1.10.如图所示，在已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ＝Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.B级能力提升1．如图所示，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP 的图形的序号是()①②③④A．①③B．①④C．②③D．②④答案：B2．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．解析：在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ⊂β＝l，则l⊂β，因为a∥β，所以a与l无公共点，所以a∥l，所以l∥α.又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.答案：平行3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是AB，CD，A1B1，C1D1的中点．求证：平面EFD1A1∥平面BCF1E1.证明：因为E，F分别是AB，DC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCF1E1，BC⊂平面BCF1E1，所以EF∥平面BCF1E1.因为E，E1分别是AB，A1B1的中点，所以A1E1∥BE且A1E1＝BE.所以四边形A1EBE1为平行四边形．所以A1E∥BE1.因为A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，所以A1E∥平面BCF1E1.又A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFD1A1，所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.。

2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定一、课标解读1、通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理2、理解并掌握两平面平行的判定定理，让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定3、培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力4、让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感二、自学导引问题1：如果你手里拿着一支笔（看作一条直线），如何保证笔与桌面平行呢？有哪些方法？直线和平面平行的判定定理符号表示问题2：空间两个不同平面的位置关系有哪几种情况？问题3：两个平面平行的基本特征是什么？有什么简单办法判定两个平面平行呢？平面与平面平行的判定定理三、合作探究1.根据定义，判定平面与平面平行的关键是什么？2.若一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系怎样？若一个平面内有一条直线与另一个平面有公共点，那么这两个平面的位置关系又会怎样呢？3.三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？4.三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，三角板所在平面与桌面平行吗？四、典例精析例1 如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,M是线段EF的中点,求证:AM∥平面BDE.变式训练1 三棱柱111C B A ABC -中,E 为1AC 中点,F 为1CB 的中点.求证:EF ∥平面ABC例2 如图所示,在正方体1111D C B A ABCD -中.求证:平面11D AB ∥平面BD C 1变式训练2 在正方体1111D C B A ABCD -中,P N M ,,分别是11111,,D C C B C C 的中点,求证:平面MNP ∥平面BD A 1例3 如图所示,B 为ACD ∆所在平面外的一点,G N M ,,分别为BCD ABC ∆∆,的重心.(1) 求证:平面MNG ∥平面ACD(2) 求AD G MNG S S ∆∆:变式训练3 如图所示,a ∥α,αα∈D C B A ,,的另一侧的点，是,线段AC AB ,,AD 分别交α于G F E ,,,若5,4,4===AF CF BD ,则=EG ＿＿＿＿＿＿五、自主反馈1、判断下列说法是否正确？(1) 如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行 ( )(2) 若一条直线a 和一个平面内的一条直线b 平行，则直线a 和这个平面平行( )(3) 若平面α外一直线a 与内α一直线b 平行，则a 与 α 平行 ( )2.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明： （1）已知平面α，β和直线m ，n ，若α⊂m ,α⊂n ,β//m ,β//n ,则βα//；（2）一个平面α内两条不平行的直线都是平行与另一个平面β，则βα//.3.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）（A ）α内有无穷多条直线都与β平行（B ）直线α//a ，β//a ，且直线a 不在α内，也不在β内（C ）直线α⊂a ，直线β⊂b ，且β//a ，α//b（D ）α内的任何直线都与β平行4.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，(1)与AB 平行的平面是 (2)与1AA 平行的平面是(3)与AD 平行的平面是5.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点.求证：平面AMN //平面EFDB .答案2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定例1 证明：OE O BD AC 连接设,=是矩形的中点，分别为ACEF EF AC M O ,, OE AM AOEM //∴∴是平行四边形，四边形 BDE AM BDE OE 平面平面⊄⊂,BDE AM 平面//∴例2 证明：设11111,O C A D B O AC BD == 为平行四边形四边形由1111,//B BDD DD BB ∴= BD C D B D B BD 11111//,//平面∴∴AO O C AO O C AO O C 111111//四边形，，且又∴= BD C AO OC AO 1111//,//平面为平行四边形，∴∴ BD C D AB 111//平面平面∴例3 证明：（1）连接BG BN BM ,,H F P CD AD AC ,,,,于并延长交的重心分别为BCD ABD ABC G N M ∆∆∆,,,, 则有2===GH BGNF BNMP BM连接PF MN PH FH PF //,,,有ACD MN ACD PF 平面，平面又⊄⊂ACD MG ACD MN 平面同理平面//,//∴ACD MNG M MN MG 平面平面//,∴=(2)9:1:=∆∆AD C MNG S S变式训练1. 略2.证明：连接11D B111111//,,D B PN C B C D N P ∴的中点分别是 BD PN BD D B //,//11∴又BD A BD BD A PN 11,⊂⊄平面BD A MN BD A PN 11//,//平面同理平面∴BD A PMN N PN MN 1//,平面平面又∴= 3.920自主反馈答案1.（1）错 （2）错 （3）对2.（1）错误 （2）正确3.D4.略5.略。

【成才之路】2021-2021学年高中数学平面与平面平行的判定练习新人教A版必修2根底稳固一、选择题1．在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，以下正确的选项是( )A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′[答案] D2．两个平面平行的条件是 ( )A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面[答案] D[解析] 任意一条直线平行于另一个平面，即平面内所有的直线都平行于另一个平面．3．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，以下结论一定成立的是( )A．这两个角相等B．这两个角互补C．这两个角所在的两个平面平行D．这两个角所在的两个平面平行或重合[答案] D[解析]这两个角相等或互补；这两个角所在的两个平面平行或重合．4．如下列图，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，那么平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定[答案] A[解析]∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，A1D1∥E1F1，又A1D1?平面BCF1E1，E1F1?平面BCF1E1，A1D1∥平面BCF1E1.又E1和E分别是A1B1和AB的中点，A1E1綊BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，A1E∥BE1，又A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1，又A1E?平面EFD1A1，A1D1?平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1. 5．直线 l，m，平面α，β，以下命题正确的选项是( )A．l∥β，l?α?α∥βB ．，∥，，?βmβmαC．l∥m，l?α，m?β?α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β[答案]D[解析]如右图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，那么直线AB∥平面DC1，直线AB?平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取B B1的中点E，CC1的中点F，那么可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC．又EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．6．假设平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，那么在平面β内过点B的所有直线中( ) A．不一定存在与 a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与 a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线[答案]A[解析]当直线a?β，B∈a上时满足条件，此时过B不存在与a平行的直线，应选A．二、填空题7．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是____ ____.[答案]平行8．平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，那么α与β的位置关系是________(填“平行〞或“相交〞)．[答案]平行[解析]假假设α∩β＝l，那么在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l ＝A，对于β内的任意直线b，假设b过点A，那么a与b相交，假设b不过点A，那么a与b 异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.三、解答题(2021·福建厦门六中月考)如下列图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.[证明] 因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.由FH?平面AFH，AF?平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.如图，F，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1H.∵[证明] 取DD1中点E，连AE、EF.∵E、F为DD1、CC1的中点，EF綊CD．EF綊AB，∴四边形EFBA为平行四边形．AE∥BF.又∵E、H分别为D1D、A1A的中点，D1E綊HA，∴四边形HAED1为平行四边形．HD1∥AE，∴HD1∥BF，由正方体的性质易知B1D1∥BD，且已证BF∥D1H.B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.HD1?平面BDF，BF?平面BDF，HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.能力提升一、选择题1．以下说法正确的选项是 ( )A．平面α内有一条直线与平面β平行，那么平面α与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行，那么平面α与平面β平行C．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么平面α与平面β平行D．平面α内所有直线都与平面β平行，那么平面α与平面β平行[答案]D[解析]两个平面平行?两个平面没有公共点?平面α内的所有直线与平面β没有公共点?平面α内的所有直线都与β平行．2．经过平面α外两点，作与α平行的平面，可以作()A ．1个B ．2个C．0个或1个D．无数个[答案]C[解析]当两个点在平面α同侧且连线平行于平面α时，可作一个平面与α平行；当两个点在平面α异侧或同侧且连线与平面α不平行时，不能作出平面与α平行．3．以下结论中：过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．正确的序号为()A．(1)(2)B．(3)(4)C．(1)(3)D．(2)(4)[答案]C4．过平行六面体 ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )A ．4条B．6条C ．8条D．1 2条[答案]D[解析]如右图所示，以为例，易证，∥平面11.EHEMDBBD与处于同等地位的点还有8×2、、、、、、，故有符合题意的直线＝8条．以FGHMNPQE为例，易证QE∥平面DBBD，与E处于同等地位的点还有H、M、G、F、N、P，故有符合题11意的直线4条．∴共有8＋4＝12(条)．二、填空题5．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，分别为，ABCD EFGPAPD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB．其中正确的有________.(填序号)[答案]①②③[解析]把平面展开图复原为四棱锥如下列图，那么EH∥AB，所以EH∥平面ABCD．同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，那么它们两两相交．∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB．同理平面PAD∥BC．6．如以下列图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，那么M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.[答案] 点M在FH上[解析] ∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，∴平面FHN∥平面B1BDD1，又平面FHN∩平面EFGH＝FH，∴当M∈FH时，MN?平面FHN，MN∥平面B1BDD1.三、解答题7．如以下列图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.[分析]证明平面与平面平行转化为证明线面平行，即转化为证明直线FG∥平面BDD1B1，EG∥平面BDD1B1.[证明] 如以下列图所示，连接SB，SD．∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1.同BDD1B1.理可证EG∥平面又∵直线EG?平面EFG，直线FG?平面EFG，直线EG∩直线FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.8．点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．[分析1]观察图形容易看出SG∥平面DEF.要证明此结论成立，只须证明SG与平面DEF内的一条直线平行．考虑到题设条件中众多的中点，可应用三角形中位线性质．观察图形可以看出：连接CG与DE相交于H，连接FH，FH就是适合题意的直线．怎样证明SG∥FH？只需证明H是CG的中点．[证法1]连接CG交DE于点H，DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB．在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点．FH是△SCG的中位线，FH∥SG.又SG?平面DEF，FH?平面DEF，∴SG∥平面DEF.[分析2]由题设条件中，D、E、F都是棱的中点，不难得出DE∥AB，DF∥SA，从而平面DEF∥平面SAB，又SG?平面SAB，从而得出SG∥平面DEF.[证法2]∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB．EF?平面SAB，SB?平面SAB，∴EF∥平面SAB．同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，∴平面SAB∥平面DEF，又∵SG?平面SAB，∴SG∥平面DEF.[点评] 要证面面平行，应先证线线或线面平行，面面平行也可以得出线面平行，它们之间可以相互转化．。

2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定一、选择题1.下列说法中正确的是 ( )A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行C.如果一个平面内任意一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行D.若果两个平面平行于同一条直线,那么这两个平面平行2.下列命题中,正确的个数为 ( )①若a ∥b ,α⊂b ,则a ∥α②若a ∥α,b ∥α,则a ∥b③若a ∥b ,b ∥α,则a ∥α④若a ∥α,α⊂b ,则a ∥bA.0B.1C.2D.33.已知三条互相平行的直线c b a ,,中，,,βα⊂⊂c b a 、则两个平面βα,的位置关系是（ ）A.平行B.相交C.平行或相交D.重合4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（ ）A.都平行B.都相交C.在这两个平面内D.至少和其中一个平面平行5.下列说法正确的是 （ ）①若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点，则这两个平面平行②过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行③过平面外两点不能作平面与已知平面平行④若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行A. ①③B. ②④C. ①②D. ②③④二、填空题6.若直线b a =A ，a ∥α，则b 与α的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿7.若直线a b a 满足，与平面βα,∥b ,a ∥α,b ∥β,则平面α与平面β的位置关系是 ＿＿＿＿＿＿＿＿8.过平面外一点有＿＿＿条直线与已知平面平行,过平面外一点有且只有＿＿＿个平面与已知平面平行.9.正方体1111D C B A ABCD -中,的平面与过的中点，则为E C A BD DD E ,,11的位置关系是＿＿＿＿＿＿三、解答题10.正方体1111D C B A ABCD -中个，F E N M ,,,分别为棱11111111,,,D C C B D A B A 的中点。

A 1《平面与平面平行的判定》同步练习一、选择题； 班级 姓名 1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )①l ⊂α,m ⊂α,且l ∥β,m ∥β；②l ⊂α,m ⊂α,且l ∥m ；③l ∥α,m ∥β,且l ∥m A 1个 B 2个 C 3个 D 0个2． 已知：命题：P ：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q ：α∥β，则下面成立的是（ ）A P ⇒Q ，P ⇐Q BP ⇐Q ，P ⇒Q C P ⇔Q ， D P ⇒Q ， P ⇐Q 3．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）①α，β分别过两条平行直线；②a ，b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a ； A ① B ② C ①② D 无 4．下列命题中为真命题的是（ ）A 平行于同一条直线的两个平面平行B 垂直于同一条直线的两个平面平行C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D 若三条直线a 、b 、c 两两平行，则过直线a 的平面中，有且只有—个平面与b ，c 都平行． 5．下列命题中正确的是( )①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行； ③垂直于同一直线的两个平面平行； ④与同一直线成等角的两个平面平行A ①②B ②③C ③④D ②③④ 二、填空题；6． 下列命题中正确的是 （填序号）；①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ； 7． 若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是 ；8． 如右图,点P 是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化. 三、解答题；9. 如图：直三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 中，1==CB CA ，︒=∠90BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别为A 1B 1、AB 的中点求证：平面A 1NC ∥平面BMC 110．已知四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，P 为AC 上一点，且AP ：PC=2：1，求证：（1） BD ∥面CMN ；（2）平面MNP//平面BCD .11.如图，b a ,是异面直线，αββα//,,//,b b a a ⊂⊂，求证 ：βα//。

2.2.2平面与平面平行的判定1. 若平面α与平面β平行，则结论错误是（ ）. A. α内有无穷多条直线都与β平行B. 存在直线a 与,αβ都平行，且不在α和β内C. 直线a α⊂,直线b β⊂⇒a ∥bD. α内的任何直线都与β平行2. 经过直线a 且与平面α平行的平面（ ）. A. 有且只有一个 B. 不存在 C. 至多有一个 D. 至少有一个3. 设有不同的直线,a b ，及不同的平面α、β，给出的三个命题中正确命题的个数是（ ）.①若a ∥α,b ∥α,则a ∥b ②若a ∥α,α∥β,则a ∥β ③若,a αα⊂∥β,则a ∥β.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，则这两个平面的位置关系是__________.5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条,则这两平面的位置关系是___________.6.已知直线a//平面α，平面α//平面β，则a 与β的位置关系为 . 7．已知直线a ⊥直线b, a//平面β,则b 与β的位置关系为 8. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，求证：平面1A BD9. 如图，直线AA '，BB '，CC '相交于O ，AO AO ='，BO B O ='，CO C O ='． 求证：ABC //平面ABC '''．10. 如图所示，A '、B '、C '分别是PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的重心. 求证：面A B C '''∥ABC 面.参考答案1. 答案：C2. 答案：C3. 答案：B4. 答案：相交或平行5. 答案：平行6. 答案：平行或在平面内 7．答案：平行或在平面内或相交8. 答案：证明：111111B B A A B B D D A A D D ⎧⎪⇒⎨⎪⎩ ∥ ∥ ∥ ⇒ 四边形11BB D D 是平行四边形⇒ 111111D B DBDB A BD D B A BD⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩平面平面//⇒111111111D B A BDB C A BD D B B C B⎧⎪⎨⎪=⎩平面同理平面//// ⇒111B CD A BD 平面平面//．9. 答案：提示：容易证明AB AB //''，AC AC //''． 进而可证平面ABC //平面ABC '''． 10. 略。

平面与平面平行练习题含答案1. 下列条件中，能判断平面α与平面β平行的是（）A.α内有无穷多条直线都与β平行B.α与β同时平行于同一条直线C.α与β同时要垂直于同一条直线D.α与β同时垂直于同一个平面2. 设α，β为两个平面，则α // β的充要条件是（）A.α内有无数条直线与β平行B.α，β平行于同一条直线C.α内有两条相交直线与β平行D.α，β垂直于同一平面3. 如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是( )A.垂直B.相交不垂直C.平行D.重合4. a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题①a∥cb∥c}⇒a // b②a∥γb∥γ}⇒a // b③α∥cβ∥c}⇒α // β④α∥γβ∥γ}⇒α // β⑤α∥ca∥c}⇒α // a⑥a∥γα∥γ}⇒α // a其中正确的命题是（）A.①②③B.①④⑤C.①④D.①③④5. （5分）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的有()A.直线A1BB.直线BB1C.平面A1DC1D.平面A1BC16. 在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC＝BD＝2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为________．7. 在三棱锥S−ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，SA＝SB＝SC＝10，平面DEFH 分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB // 平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．8. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．9. 如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论正确的是________．①V A−A1DE :V A1−BCDE=1:3；②存在某个位置，使DE⊥A1C；③总有BM // 平面A1DE；④线段BM的长为定值．10. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P、Q分别是平面AA1D1D、平面A1B1C1D1的中心，证明：(Ⅰ)D1Q // 平面C1DB；(Ⅱ)平面D1PQ // 平面C1DB．11. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．(1)求证：EF // 平面BDD1B1；(2)在棱CD上是否存在一点G，使得平面GEF // 平面BDD1B1若存在，求出CG的值；GD若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析平面与平面平行练习题含答案一、选择题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）1.【答案】C【考点】平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定【解析】利用面面平行的判定直接判断即可．【解答】对于A，若α内有无穷多条平行的直线与β平行，则不能说明α平行β；对于B，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；对于C，垂直于同一条直线的两平面平行；对于D，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．综上，选项C正确．2.【答案】C【考点】平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】平面与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，分别取另三条棱的中点A，B，C,将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL,因为PQ//AL，PR//AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR//平面AMBNCL，即平面LMN//平面PQR.故选C.4.【答案】C【考点】平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定直线与平面平行【解析】根据平行公理可知①的真假，根据面面平行的判定定理可知④真假，对于②列举错的原因，错在a、b可能相交或异面，对于③错在α与β可能相交，对于⑤⑥错在a可能在α内，即可得到答案．【解答】根据平行公理可知①正确；根据面面平行的判定定理可知④正确；对于②错在a、b可能相交或异面．对于③错在α与β可能相交，对于⑤⑥错在a可能在α内．二、多选题（本题共计 1 小题，共计5分）5.【答案】A,D【考点】直线与平面平行两条直线平行的判定平面与平面平行的判定直线与平面平行的判定【解析】利用线线、线面、面面平行的判定定理逐项判断即可得解．【解答】解：对于A，由于A1B // D1C，且A1B⊄平面ACD1，可得直线A1B // 平面ACD1；对于B，由于B1B // D1D，且D1D∩平面ACD1=D1，可得直线B1B不平行平面ACD1；对于C，由于A1D与AD1相交，A1D⊂平面A1DC1，可得平面A1DC1不与平面ACD1平行；对于D，由于A1B // D1C，C1B // D1A，A1B，C1B⊂平面A1BC1，可得平面A1BC1 // 平面ACD1．故选AD.三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）6.【答案】1【考点】直线与平面平行【解析】利用中位线定理，AC⊥BD，可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．【解答】∵点E、H分别为四边形ABCD的边AB、AD的中点，∴EH // BD，且EH=12BD＝1．同理求得FG // BD，且FG＝1，∴EH // FG，EH＝FG又∵AC⊥BD，BD＝2∴EF⊥EH．∴四边形EFGH是正方形．∴四边形EFGH的面积＝EF⋅EH＝1．7.【答案】10【考点】直线与平面平行【解析】根据条件只要证明四边形DEFH是矩形即可得到结论．【解答】∵D、E、F、H分别是AB、BC、SA、SC的中点，∴DE // AC，FH // AC，DH // SB．EF // SB，则四边形DEFH是平行四边形，且HD=12SB=102=5，DE=12AC=42=2，取AC的中点O，连结OB，∵SA＝SC＝10，AB＝BC＝4，∴AC⊥SO，AC⊥OB，∵S0∩OB＝O，∴AO⊥平面SOB，∴AO⊥SB，则HD⊥DE，即四边形DEFH是矩形，∴四边形DEFH的面积S=102×42=10．8.【答案】③④【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：因为A, M,C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∈平面AD1C1B，所以直线AM 与CC1是异面直线，同理，AM与BN也是异面直线，AM与DD也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，N∉平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确.故答案为：③④9.【答案】①③④【考点】直线与平面平行【解析】在①中，V A−A1DE :V A1−BCDE=S△ADE:S梯形EBCD=1:3；在②中，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，从而DE与A1C不垂直；在③中，取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF // 平面A1DE，从而总有BM // 平面A1DE；在④中，∠MFB=∠A1DE，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2−2MF⋅FB⋅cos∠MFB是定值．【解答】在①中，设A1到平面EBCD的距离为ℎ，Dgc AB的距离为ℎ′，则V A−A1DE :V A1−BCDE=13×S△ADE×ℎ:13S梯形EBCD×ℎ=S△ADE:S梯形EBCD =12×AE×ℎ′:CD+BE2×ℎ′=1:3，故①正确；在②中，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴DE与A1C不垂直，故②错误；在③中，取CD中点F，连接MF，BF，则MF // A1D且MF=12A1D，FB // ED且FB= ED，由MF // A1D与FB // ED，可得平面MBF // 平面A1DE，∴总有BM // 平面A1DE，故③正确；∴∠MFB=∠A1DE，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2−2MF⋅FB⋅cos∠MFB是定值，故④正确．四、解答题（本题共计 2 小题，每题 5 分，共计10分）10.【答案】证明：(Ⅰ)由ABCD−A1B1C1D1是正方体，可知D1Q // DB，∵D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，∴D1Q // 平面C1DB．（2）由ABCD−A1B1C1D1是正方体，D1P // C1B，∵D1P⊄平面C1DB，C1B⊂平面C1DB，∴D1P // 平面C1DB，由(Ⅰ)知，D1Q // 平面C1DB，又D1Q∩D1P＝D1，∴平面D1PQ // 平面C1DB．【考点】直线与平面平行平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定【解析】(Ⅰ)推导出D1Q // DB，由此能证明D1Q // 平面C1DB．(Ⅱ)推导出D1P // C1B，得D1P // 平面C1DB，由D1Q // 平面C1DB，能证明平面D1PQ // 平面C1DB．【解答】证明：(Ⅰ)由ABCD−A1B1C1D1是正方体，可知D1Q // DB，∵D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，∴D1Q // 平面C1DB．（2）由ABCD−A1B1C1D1是正方体，D1P // C1B，∵D1P⊄平面C1DB，C1B⊂平面C1DB，∴D1P // 平面C1DB，由(Ⅰ)知，D1Q // 平面C1DB，又D1Q∩D1P＝D1，∴平面D1PQ // 平面C1DB．11.【答案】(1)证明：如图，连结BM.∵E，F分别是BC，CM的中点，∴EF // BM，又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，∴EF // 平面BDD1B1．(2)解：棱CD上存在一点G，使得平面GEF // 平面BDD1B1．理由如下：如图，连接GE，GF.∵平面GEF∩平面ABCD=EG，平面BDD1B1∩平面ABCD=BD，∴EG // BD，又∵E是BC中点，∴G是DC中点，∴棱CD上存在一点G，使得平面GEF // 平面BDD1B1，=1．且CGGD【考点】直线与平面平行平面与平面平行的判定【解析】（1）连结BM，推导出EF // BM，由此能证明EF // 平面BDD1B1．（2）推导出EG // BD，由E是BC中点，得G是DC中点，从而棱CD上存在一点G，使得=1．平面GEF // 平面BDD1B1，且CGGD【解答】(1)证明：如图，连结BM.∵E，F分别是BC，CM的中点，∴EF // BM，又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，∴EF // 平面BDD1B1．(2)解：棱CD上存在一点G，使得平面GEF // 平面BDD1B1．理由如下：如图，连接GE，GF.∵平面GEF∩平面ABCD=EG，平面BDD1B1∩平面ABCD=BD，∴EG // BD，又∵E是BC中点，∴G是DC中点，∴棱CD上存在一点G，使得平面GEF // 平面BDD1B1，=1．且CGGD。

贵州省人教A版高中数学必修二2.2.2平面与平面平行的判定同步训练姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知l∥α，m∥α，l∩m=P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是（）A . 相交B . 平行C . 相交或平行D . 不确定2. （2分） (2017高二上·汕头月考) 已知两直线、，两平面、，且 .则下面四个命题中正确的有（）个.①若，则有；②若，则有；③若，则有；④若，则有 .A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分）下列命题正确的是（）A . 若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B . 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面C . 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D . 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5. （2分）已知直线a和两个平面，给出下列两个命题：命题p：若a∥,a⊥，则⊥；命题q：若a∥,a∥,则∥。

那么下列判断正确的是（）A . p为假B . 为假C . p∧q为真D . p∨q为真6. （2分）已知是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则7. （2分）下列叙述中，正确的是（）A . 四边形是平面图形B . 有三个公共点的两个平面重合。

C . 两两相交的三条直线必在同一个平面内D . 三角形必是平面图形。

8. （2分）下列说法正确的是（）A . 空间三个点确定一个平面B . 两个平面一定将空间分成四部分C . 梯形一定是平面图形D . 两个平面有不在同一条直线上的三个交点9. （2分） (2018高二上·浙江期中) 在下列条件中，可判定平面与平面平行的是（）A . ，都平行于直线B . 内存不共线的三点到的距离相等C . ，是内的两条直线，且，D . ，是两条异面直线，且，，，10. （2分） (2018高二上·万州月考) 在空间中，两不同直线a、b，两不同平面、，下列命题为真命题的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________.12. （1分）已知平面α和β ，在平面α内任取一条直线a ，在β内总存在直线b∥a ，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”).13. （1分）正四面体的各条棱比为a，点P在棱AB上移动，点Q在棱CD上移动，则点P和点Q的最短距离是________．14. （1分）如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.三、解答题 (共4题；共25分)15. （5分） (2018高二上·万州月考) 如图，在三棱锥P—ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC、（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）证明：平面PAB//平面FGH16. （10分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，求证：（1）MN∥平面CC1D1D.（2）平面MNP∥平面CC1D1D.17. （5分） (2018高二上·万州月考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，E为PB中点，PB=4 ．（I）求证：PD∥面ACE；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积。

5．若正n边形的两条对角线分别与平 面α平行，则这个正n边形所在的平面 一定平行于平面α，那么n的取值可能 是( ) A．8 B．7 C．6 D．5
解析：正5边形的对角线相交． 答案：D
6．夹在两个平面间的三条平行 线段相等，那么这两个平面的位 置关系是______________．
答案：平行或相交
2.2.2平面与平面平行的判定习题课
变式训练1：已知m，n是两条不重合 的直线，α，β是两个不重合的平面，给 出下列三个命题： ①n⊂β(m∥β)⇒m∥n； ②n⊂α(m∥n)⇒m∥α； ③m∥β(m与n异面)⇒n与β相交
其中正确命题的个数是( A．0
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) D．3
新课标同步•A版•数学•必修2B．1来自C．2变式训练3：
如图，点P为△ABC所在平面外任 一点，点D、E、F分别在PA、PB、 PC上，并且PD/PA＝PE/PB=PF/PC. 求证：平面DEF//平面ABC。
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新课标同步•A版•数学•必修2
3．设三条互相平行的直线a、b、c 中，a⊂α，b⊂β，c⊂β，则α与β的 关系是( ) A．相交 B．平行 C．平行或相交 D．平行、相交 或重合 答案：C

《平面与平面平行的判定》同步训练题一、单选题1．设m 、n 是平面α内的两条不同直线，1l 、2l 是平面β内的两条相交直线，则以下能够推出//αβ的是（ ）A ．//m β且1//l αB ．1//m l 且2//n lC ．//m β且βn//D ．//m β且2//n l1．B 【解析】A 中，当//m β且1//l α时，α、β可相交（如m 、1l 同时平行于α、β的交线）；B 中，当1//m l 且2//n l 时，1//l α，2//l α，又1l 、2l 是平面β内的两条相交直线，所以//αβ；C 中，当//m β且βn//时，α、β可相交（如m 、n 同时平行于α、β的交线）；D 中，当//m β且2//n l 时，α、β可相交（如m 、n 同时平行于α、β的交线2l ）.故选B.2．在正方体1111F EFG E G H H -中，下列四对平面彼此平行的一对是（ ）A ．平面11E FG 与平面1EGHB ．平面1FHG 与平面11F H GC ．平面11F H H 与平面1FHED ．平面11E HG 与平面1EH G2．A 【解析】如图，正方体11111111,//,FG H EE GG E EFGH E E GG =-，所以四边形11EE G G 是平行四边形，1111//,E EG E G G ⊄平面1EGH ，EG ⊂面1EGH ，所以11//E G 平面1EGH ，同理1//G F 平面1EGH .因为1111111,,E G G F G E G G F ⋂=⊂平面11E FG ，所以平面11//E FG 平面1EGH .故选:A3．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是（ ）A ．两两相互平行B ．两两相交于一点C ．两两相交但不一定交于同一点D ．两两相互平行或交于同一点3．A 【解析】根据题意，作图如下：//αβ，m αγ=，n βγ=，根据平面平行的性质可得，如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.∴//m n .同理可得其它几条交线相互平行，故两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线两两平行.故选A.4．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出下列四个命题：①//////c c ααββ⎧⇒⎨⎩；②//////αγαββγ⎧⇒⎨⎩；③//////c a a c αα⎧⇒⎨⎩；④//////a a γααγ⎧⇒⎨⎩. 其中正确的命题是（ ）A ．①②③B ．②④C ．②D ．③4．C 【解析】对于命题①，//c α，//c β，则α与β平行或相交，命题①错误；对于命题②，//αγ，//βγ，由面面平行的性质知//αβ，命题②正确；对于命题③，//c α，//a c ，则//a α或a α⊂，命题③错误；对于命题④，a γ//，//αγ，则//a α或a α⊂，命题④错误.故选C.5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，设Q 是1CC 上的点，当点Q 在（ ）位置时，平面1//D BQ 平面PAO .A ．Q 与C 重合B ．Q 与1C 重合 C ．Q 为1CC 的三等分点D ．Q 为1CC 的中点5．D 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，因为O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，，所以1//PO BD ，设Q 是1CC 上的点，当点Q 在1CC 的中点位置时，//PQ AB ，所以四边形ABQP 是平行四边形，所以//AP BQ ，因为1,AP PO P BQ BD B ==，,AP PO ⊂平面1,,APO BQ BD ⊂平面1BQD ，所以平面1//D BQ 平面PAO ，故选：D.6．设//αβ，A α∈，B β∈，C 是线段AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个点C ，那么所有的动点C （ ）A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．都共面6．D 【解析】如图所示，设A '、B '分别是A 、B 在α、β上运动后的两点，此时A B ''的中点为C '，连接A B '，取A B '的中点E ，连接CE 、C E '、AA '、BB '、CC '.则//CE AA '，//C E BB ''，CE α⊄，C E β'⊄，//CE α∴，//C E β'.又//αβ，C E α'⊄，//C E α'∴.C E CE E '=，∴平面//CC E '平面α，∴不论A 、B 如何移动，所有的动点C 都在过点C 且与α、β平行的平面上.故选D.7．（多选）设a 、b 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线a ，//a α，//a βB ．存在一条直线a ，a α⊂，//a βC ．存在一个平面γ，满足//αγ，//βγD ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α7．CD 【解析】对于选项A ，若存在一条直线a ，//a α，//a β，则//αβ或α与β相交.若//αβ，则存在一条直线a ，使得//a α，//a β，所以选项A 的内容是//αβ的一个必要条件而不是充分条件； 对于选项B ，存在一条直线a ，a α⊂，//a β，则//αβ或α与β相交.若//αβ，则存在一条直线a ，a α⊂，//a β，所以，选项B 的内容是//αβ的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C ，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C 的内容是//αβ的一个充分条件； 对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面γ中，成为相交直线，由面面平行的判定定理可知//γα，//γβ，则//αβ，所以选项D 的内容是//αβ的一个充分条件.故选CD.二、填空题8．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，G 是A 1C 1的中点，过点G 的截面与侧面ABB 1A 1平行，若侧面ABB 1A 1是边长为4的正方形，则截面周长为________．8．12【解析】如图，取11B C 的中点,M BC 的中点,N AC 的中点H ，连接,,GM MN HN ，则////GM HN AB ，1////MN GH AA ，所以有//GM 平面11ABB A ，//MN 平面11ABB A .又GM MN M ⋂=，所以平面//GMNH 平面11ABB A ，即平面GMNH 为过点G 且与平面11ABB A 平行的截面,易得此截面的周长为442212+++=.9．过两平行平面α、β外的点P 两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则ＢD 的长为_______．9．12【解析】当两个平面在点P 的同侧时如图（1）所示，当点P 在两个面的中间时如图（2）所示由面面平行的性质定理可得AC 与BD 平行，PA AC PB BD=,所以12BD =．10．如图，过正方体1111ABCD A B C D -的顶点1B 、1D 与棱AB 的中点P 的平面与底面ABCD 所在平面的交线记为l ，则l 与11B D 的位置关系为_________.10．11//l B D 【解析】如图所示，连接1D P 、1B P ，在正方体1111ABCD A B C D -中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，且平面11B D P 平面111111A B C D B D =，平面11B D P 平面ABCD l =，所以11//l B D .11．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________.11．平行四边形【解析】∵平面ABFE ∥平面CDHG ，平面EFGH∩平面ABFE ＝EF ，平面EFGH∩平面CDHG ＝HG ，∴EF ∥HG .同理，EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．12．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM ∥平面DE ；②CN ∥平面AF ；③平面BDM ∥平面AFN ；④平面BDE ∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．12．①②③④【解析】展开图可以折成如图（1）所示的正方体．在正方体中，连接AN ，如图（2）所示，因为AB∥MN，且AB ＝MN ，所以四边形ABMN 是平行四边形．所以BM∥AN．因为AN ⊂平面DE ，BM ⊄平面DE ，所以BM∥平面DE ．同理可证CN∥平面AF ，所以①②正确；如图（3）所示，可以证明BM∥平面AFN ，BD∥平面AFN ，进而得到平面BDM∥平面AFN ，同理可证平面BDE∥平面NCF ，所以③④正确．13．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 为棱AD 中点，现有一只蚂蚁从点1B 出发，在正方体1111ABCD A B C D -表面上行走一周后再回到点1B ，这只蚂蚁在行走过程中与平面1A BE 的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为__________．13．26【解析】由题可知，蚂蚁在正方体1111ABCD A B C D -表面上行走一周的路线构成与平面1A BE 平行的平面，设F 、G 分别为BC 、11A D 中点，连接1B G ，GD ，FD 和1FB ，则11B G GD DF FB ---为蚂蚁的行走轨迹.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，易得115GD DF F B G B ====，123B D =，22GF =，∴四边形1B GDF 为菱形，111262B GDF S B D GF =⋅=三、解答题14．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，2CD AB =，P 、Q分别是1CC 、11C D 的中点，求证：平面1//AD C 平面BPQ .14．【解析】在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//CC DD ，11CC DD =，则四边形11CDD C 为平行四边形，11//C D CD ∴，11C D CD =，//AB CD ，11//AB C D ∴，即1//D Q AB ， Q 为11C D 的中点，1111122D Q C D CD AB ∴===，∴四边形1D QBA 为平行四边形， 1//AD BQ ∴，1AD ⊂平面1ACD ，⊄BQ 平面1AD C ，//BQ ∴平面1AD C . P 、Q 分别为1CC 、11C D 的中点，1//PQ CD ∴，PQ ⊄平面1ACD ，1CD ⊂平面1ACD ，//PQ ∴平面1ACD ，BQ PQ Q =，∴平面1//AD C 平面BPQ .15．如图，四边形ABCD 为平行四边形，四边形ADEF 是正方形，G 是AE 、DF 的交点，H 、R 分别是BE 、AD 的中点.求证：平面//GHR 平面CDE .15．【解析】G 是AE 、DF 的交点，四边形ADEF 是正方形，G ∴是AE 、DF 的中点，又H 是BE 的中点，//GH AB ∴，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，则//GH CD ，又CD ⊂平面CDE ，GH ⊄平面CDE ，//GH ∴平面CDE .又R 为AD 的中点，//GR DE ∴.又GR ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，//GR ∴平面CDE ，GH GR G =，GH ⊂平面GHR ，GR ⊂平面GHR ，∴平面//GHR 平面CDE . 16．如图甲，在直角梯形ABED 中，//AB DE ，AB BE ⊥，AB CD ⊥，F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点，现将ACD ∆沿CD 折起，如图乙.求证：平面//FHG 平面ABE .16．【解析】翻折前，在图甲中，AB CD ⊥，AB BE ⊥，//CD BE ∴，翻折后，在图乙中，仍有//CD BE ， F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点，//FH CD ∴，//HG AE ，//FH BE ∴， BE ⊂平面ABE ，FH ⊄平面ABE ，//FH ∴平面ABE .AE ⊂平面ABE ，HG ⊄平面ABE ，HG ∴//平面ABE .又FH HG H ⋂=，∴平面//FHG 平面ABE .17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G 分别为11B C ，11A B ，AB 的中点．（1）求证：平面11//AC G 平面BEF ；（2）若平面11AC G BC H ⋂=，求证：H 为BC 的中点．17．【解析】（1）如图，E ，F 分别为11B C ，11A B 的中点，11//EF AC ∴，11AC ⊂平面11ACG ，EF ⊄平面11AC G ，//EF ∴平面11AC G ，又F ，G 分别为11A B ，AB 的中点，1A F BG ∴=，又1//A F BG ，∴四边形1AGBF 为平行四边形，则1//BF AG ， 1AG ⊂平面11AC G ，BF ⊄平面11AC G ，//BF ∴平面11AC G ， 又EF BF F ⋂=，∴平面11//AC G 平面BEF ；（2）∵平面//ABC 平面111A B C ，平面11AC G ⋂平面11111A B C AC =，平面11AC G 与平面ABC 有公共点G ，则有经过G 的直线，设交BC H =，则11//AC GH ，得//GH AC ， G 为AB 的中点，H ∴为BC 的中点．18．在如图所示的五面体 ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，//EF 平面ABCD ，2EA ED AB EF ===，M 为BC 的中点.求证：//FM 平面BDE .18．【解析】取CD 的中点N ，连接MN 、FN .因为N 、M 分别为CD 、BC 的中点，所以//MN BD .又BD ⊂平面BDE ，且MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ，因为//EF 平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，所以//EF AB . 又22AB CD DN EF ===，//AB CD ，所以//EF DN ，EF DN =，所以四边形EFND 为平行四边形，所以//FN ED .又ED ⊂平面BDE ，且FN ⊄平面BDE ，以//FN 平面BDE .又FN MN N ⋂=，所以平面//MNF 平面BDE .又FM ⊂平面MFN ，所以//FM 平面BDE .19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、11A B 、11AC 的中点.（1）求证：B 、C 、H 、G 四点共面； （2）求证：平面1//EFA 平面BCHG ； （3）若1D 、D 分别为11B C 、BC 的中点，求证：平面11//A BD 平面1AC D . 19．【解析】（1）GH 是111A B C ∆的中位线，11//GH B C ∴.在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形， 11//B C BC ∴，//GH BC ∴，因此，B 、C 、H 、G 四点共面； （2）E 、F 分别为AB 、AC 的中点，//EF BC ∴. EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，//EF ∴平面BCHG . 在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB 且11AA BB =，则四边形11AA B B 为平行四边形， 11//AB A B ∴且11AB A B =， E 、G 分别为AB 、11A B 的中点，1//AG BE ∴且1AG BE =， ∴四边形1A EBG 是平行四边形，则1//A E BG ， 1A E ⊄平面BCHG ，BG ⊂平面BCHG ，1//A E ∴平面BCHG . 1A E EF E ∴⋂=，且1A E ⊂平面1EFA ，EF ⊂平面1EFA ，∴平面1//EFA 平面BCHG ；（3）如图所示，连接1AC ，设1AC 与1AC 的交点为M ，连接DM ，四边形11A ACC 是平行四边形，M ∴是1AC 的中点， D 为BC 的中点，1//A B DM ∴.DM ⊄平面11BD A ，1A B ⊂平面11BD A ，//DM ∴平面11BD A .由（1）知，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =， D 、1D 分别为BC 、11B C 的中点，所以，11//BD C D 且11BD C D =，∴四边形11BDC D 为平行四边形，11//C D BD ∴，又1DC ⊄平面11BD A ，1BD ⊂平面11BD A ，1//DC ∴平面11BD A .又1DC DM D ⋂=，1DC ⊂平面1AC D ，DM ⊂平面1AC D ，∴平面11//A BD 平面1AC D .20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 在PC 上，3PC PE =，=3PD .（1）证明：//CD 平面ABE ；（2）若M 是BC 中点，点N 在PD 上，//MN 平面ABE ，求线段PN 的长.20．【解析】（1）∵底面ABCD 是平行四边形，∴//CD AB ，∵CD ⊄平面ABE ，AC ⊂平面ABE ，∴//CD 平面ABE ；（2）∵//MN 平面ABE ，∴可设过MN 与平面ABE 平行的平面与PC 交于点F ，与AD 交于点G ，则//MF BE ，//MG AB ，又ABCD 是平行四边形，//CD AB ，∴//MG CD ，∴//CD 平面MFNG ，∴//CD FN ， ∵M 是BC 中点，∴F 是CE 中点，∵3PC PE =，∴23PF PC =，∴223PN PD ==. 21．已知点P 是ABC 所在平面外一点，点A '，B '，C '分别是PBC ，PAC ，PAB △的重心.（1）求证：平面//A B C '''平面ABC ；（2）求:A B AB ''的值.21．【解析】（1）证明：如图,连接PA ',并延长交BC 于点M ,连接PB ',并延长交AC 于点N ,连接PC ',并延长交AB 于点Q ,连接MN ,NQ .A ',B ',C '分别是PBC ,PAC ,PAB △的重心,M ∴,N ,Q分别是BC ,AC ,AB 的中点,且2PA PB A M B N''=='',//A B MN ''∴.同理,可得//B C NQ ''. MN ⊂平面ABC ,A B ''⊄平面ABC ,//A B ''∴平面ABC .同理,可证//B C ''平面ABC .又A B B C B '''''=,A B ''⊂平面A B C ''',B C ''⊂平面A B C ''',∴平面//A B C '''平面ABC .（2）由（1）知//A B MN '',且23A B PA MN PM '''==,即23A B MN ''=.M ,N 分别是BC ,AC 的中点,12MN AB ∴=.22113323A B MN AB AB ''⨯=∴==,13A B AB ∴'=',即:A B AB ''的值为13. 22．如图，多面体ABCGDEF 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，平面//ABC 平面DEFG ，平面//BEF 平面ADGC ，2AB AD DG ===，1AC EF ==.（1）证明：四边形ABED 是正方形；（2）判断点B 、C 、F 、G 是否共面，并说明理由.22．【解析】（1）因为平面//ABC 平面DEFG ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，平面ABED ⋂平面DEFG DE =，由面面平行的性质定理，得//AB DE ，同理//AD BE .所以四边形ABED 为平行四边形.又AB AD ⊥，AB AD =，所以平行四边形ABED 是正方形；（2）如图，取DG 的中点P ，连接PA 、PF .因为平面//BEF 平面ADGC ，平面EFGD ⋂平面BEF EF =，平面EFGD ⋂平面ADGC DG =，由面面平行的性质定理，得//EF DG ，同理//AC DG ，在梯形EFGD 中，//EF DG ，且P 为DG 的中点，1EF =，2DG =， //EF PD ∴，EF PD =，则四边形EFPD 为平行四边形，//DE PF ∴且DE PF =. 又//AB DE ，AB DE =，所以//AB PF 且AB PF =，所以四边形ABFP 为平行四边形，所以//AP BF . P 为DG 的中点，112PG DG AC ∴===， 又//AC PG ，∴四边形ACGP 为平行四边形，//∴AP CG ，//BF CG ∴. 故B 、C 、F 、G 四点共面.。

2、2、2平面与平面平行的判定练习二一、选择题1、a、B是两个不重合的平面，在下列条件屮，可判定平而a与B平行的是（）A. a、B都垂直平面Y ;B • a内不共线的三点到B的距离都相等；C.1、m是a内两条直线，且1〃B, m/7 3 ；D.1、m是两条异面直线，且1 〃a , m // a , 1〃B, m〃B.2、若两个平而内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的位置关系是（）A、平行B、相交C、平行或相交D、无法确定3、设且,bu平面a , a// B , b// B卜面命题正确的是（）A、若8与b相交，则a与B相交B、若&与b相交，则a // 3C、若M/b,则a与B相交D、若a//b,贝lj a // 04、平面a与平面B平行，ao a , bu B ,则3与b两直线一定是（）A、平行直线B、异面直线C、相交直线D、无公共点的直线5、两个平面平行的条件是（）A、一个平面内的一条直线平行于另一个平面B、一个平面内有两条直线平行于另一个平面C、一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D、一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面6、下列命题中不正确的是（）A、平面a内任何一条直线都与平面B平行，则a // 3平面a内无穷多条直线与平面B平行，则C、平面a内三条两两相交的直线平行于平而则a〃BD、平面a内一个三角形的三边与平面B内一个三角形的三边对应平行，则a〃B7、若正n边形的两条对角线分别与平面a平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面a ,那么n的取值可能是（）A、8B、7C、6D、5二、判断题8、若一个平面内有一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。

9、若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。

（）10、若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。

（）11、若一个平面内的任何一条直线都平行丁另一个平面，则这两个平面平行。

（）三、解答题12、己知：Q丄AA',卩丄AA',求证：Q〃B・13、已知：在平面P内，有两条相交直线a、b和平面Q平行.求证：B〃Q・14、如图2-23：已知正方体ABCD—ABCD,求证：平面ABD//平面BDG。