2.2.2平面与平面平行的判定同步练习

平面与平面平行的判定与性质一、选择题1．平面α∥平面β，点A 、C ∈α，点B 、D ∈β，则直线AC ∥直线B D 的充要条件是（ ）A ．AB ∥CD B ．AD ∥CBC ．AB 与CD 相交 D ．A 、B 、C 、D 四点共面2．“α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．平面α∥平面β，直线a ⊂α，P ∈β，则过点P 的直线中（ ）A ．不存在与α平行的直线B ．不一定存在与α平行的直线C ．有且只有—条直线与a 平行D ．有无数条与a 平行的直线4．下列命题中为真命题的是（ ）A ．平行于同一条直线的两个平面平行B ．垂直于同一条直线的两个平面平行C ．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D ．若三直线a 、b 、c 两两平行，则在过直线a 的平面中，有且只有—个平面与b ，c 均平行．5．已知平面α∥平面β,且α、β间的距离为d ，l ⊂α，l ′⊂β,则l 与l ′之间的距离的取值范围为（ ）A ．（d ，∞）B ．（d ，＋∞）C ．{d}D ．（0，∞）6．已知直线a 、b 、c ⊂α，且a ∥β、b ∥β、c ∥β，则“a 、b 、c 到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件7．给出以下命题：①夹在两个平行平面间的线段，较长的与平面所成的角较小；②夹在两个平行平面间的线段，如果它们的长度相等，则它们必平行；③夹在两个平行平面间的线段，如果它的长度相等，则它们与平面所成的角也相等； ④在过定点P 的直线中，被两平行平面所截得的线段长为d 的直线有且只有一条，则两平行平面间的距离也为d其中假命题共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．设α∥β，P ∈α，Q ∈β当P 、Q 分别在平面α、β内运动时，线段PQ 的中点X 也随着运动，则所有的动点X （ ）A ．不共面B ．当且仅当P 、Q 分别在两条平行直线上移动时才共面C ．当且仅当P 、Q 分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面D ．无论P 、Q 如何运动都共面二、填空题9．已知α∥β且α与β间的距离为d ，直线a 与α相交于点A 与β相交于B ，若d AB 332=，则直线a 与α所成的角＝___________．10．过两平行平面α、β外的点P 两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若P A ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则ＢD 的长为__________．11．已知点A 、B 到平面α的距离分别为d 与3d ，则A 、B 的中点到平面α的距离为________．12．已知平面α内存在着n 个点，它们任何三点不共线，若“这n 个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n 的最小值为_________．三、解答题13．已知平面α∥平面β直线a ∥α，a β，求证：a ∥β．14．如图，平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，点E 、F 分别在线段A Ｂ、CD 上，且FD CF EB AE ＝，求证：EF ∥平面β．15．P 是△A ＢC 所在平面外一点，A ′，B ′，C ′分别是△P ＢC 、△PCA 、△P A Ｂ的重心，（1）求证：平面A ′Ｂ′C ′∥平面A ＢC ；（2）求S △A ′Ｂ′C ′∶S △A ＢC ．16．如图已知平面α∥平面β，线段A Ｂ分别交α、β于M 、N ，线段AD 分别交α、β于C 、D ，线段ＢF 分别交α，β于F 、E ，若AM ＝m ，ＢN ＝n ，MN ＝P ，求△END 与△FMC 的面积之比．17．如图，已知：平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，AC 与ＢD 为异面直线，AC ＝6，ＢD ＝8，A Ｂ＝CD ＝10，A Ｂ与CD 成60°的角，求AC 与ＢD 所成的角．参考答案一、选择题1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D二、填空题9．60° 10．12 11．d 或2d 12．5三、解答题13．证明：取平面α内一定点A ，则直线a 与点A 确定平面γ，设γ∩α＝b ，γ∩β＝c ， 则由a ∥α得a ∥b ，由α∥β得b ∥c ，于是a ∥c ．又∵a ⊄β，∴a ∥β．14．证明：（1）若直线AB 和CD 共面，∵α∥β，平面ABDC 与α、β分别交于AC 、BC 两直线，∴AC ∥BD ．又∵EB AE ＝FD CF，∴EF ∥AC ∥BD ，∴EF ∥平面β．（2）若AB 与CD 异面，连接BC 并在BC 上取一点G ，使得EB AE ＝GB CG，则在△BAC 中，EG ∥AC ，AC ⊂平面α，∴EG ∥α．又∵α∥β，∴EG ∥β；同理可得：GF ∥BD ，而BD ⊂β，又∵GF ∥β．∵EG ∩GF ＝G ，∴平面EGF ∥β，又∵EF ⊂平面EGF ，∴EF ∥β．综合（1）（2）得EF ∥β．15．证明：（1）连接P A ′、PB ′、PC ′，分别交BC 、CA 、AB 于K 、G 、H ，连接GH 、KG 、HK ．∵B ′、C ′均为相应三角形的重心，∴G 、H 分别为AC 、AB 的中点，且PG B P '＝PH C P '＝32，∴B ′C ′∥GH ，同理A ′B ′∥KG ，A ′B ′∩B ′C ′＝B ′且GH ∩KG ＝G ，从而平面A ′B ′C ′∥平面ABC ．（2）由（1）知△A ′B ′C ′∽△KGH ， ∴KGH C B A S S ∆'''∆＝2）（GH C B ''＝94，又∵S △KGH ＝41S △ABC ，∴S △A ′B ′C ′＝91S △ABC ，∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝1∶9．16．证明：∵α∥β，平面AND 分别交α，β于MC 、ND ，∴由面面平行的性质定理知，MC ∥ND ，同理MF ∥NE ；又由等角定理：“一个角的两边分别平行于另一角的两边且方向相同，则两角相等”知：∠END ＝∠FMC ，从而ND MC ＝AN AM ，MF NE ＝BM BN，∴ND ＝AM AN ·MC ＝m p m ＋·MC ，NE ＝BM BN·MF ＝p n n ＋·MF ．∴S △END ＝21ND ·NE ·sin ∠END＝21·m pm ＋·p n n ＋·MC ·MF ·sin ∠FMC＝）＋（）＋（p n m p m n ·S △FMC ．∴FMC END S S ∆∆＝）＋（）＋（p n m p m n ．即：△END 与△FMC 的面积之比为）＋（）＋（p n m p m n ．17．由α∥β作BE ∥＝AC ，连结CE ，则ABEC 是平行四边形．∠DBE 是AC 与BD 所成的角．∠DCE 是AB 、CD 所成的角，故∠DCE ＝60°．由AB ＝CD ＝10，知CE ＝10，于是△CDE 为等边三角形， ∴DE ＝10．又∵BE ＝AC ＝6，BD ＝8，∴∠DBE ＝90°．∴AC 与BD 所成的角为90°．。

2.2.2 平面与平面平行的判定【选题明细表】知识点、方法题号面面平行判定定理的理解1,2,3,4面面平行的判定6,7,9平行关系的综合应用5,8,101.经过平面外两点与这个平面平行的平面( C )(A)只有一个 (B)至少有一个(C)可能没有 (D)有无数个解析:当这两点的连线与平面相交时,则没有平面与这个平面平行;当这两点的连线与平面平行时,有且只有一个平面与这个平面平行,所以选C.2.设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有( D )①l⊂α,m⊂α,且l∥β,m∥β②l⊂α,m⊂β,且l∥m ③l∥α,m∥β,且l∥m(A)1个(B)2个(C)3个(D)0个解析:由两平面平行的判定定理可知,得出α∥β的个数为零.3.已知两个不重合的平面α,β,给定以下条件:①α内不共线的三点到β的距离相等;②l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β;③l,m是两条异面直线,且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.其中可以判定α∥β的是( D )(A)① (B)② (C)①③ (D)③解析:①中,若三点在平面β的两侧,则α与β相交,故不正确.②中,α与β也可能相交.③中,若把两异面直线l,m平移到一个平面内,即为两相交直线,由判定定理知正确.4.(2018·武汉月考)a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,现给出六个命题:①⇒a∥b;②⇒a∥b;③⇒α∥β;④⇒α∥β;⑤⇒a∥α;⑥⇒a∥α.其中正确的命题是( C )(A)②③ (B)①④⑤(C)①④ (D)①③④解析:由空间平行线的传递性,知①正确;②错误,a,b还可能相交或异面;③错误,α与β可能相交;由面面平行的传递性,知④正确;⑤⑥错误,a可能在α内.故选C.5.如图所示,已知四棱锥P ABCD底面ABCD为平行四边形,E,F分别为AB,PD的中点.求证:AF∥平面PCE.证明:如图所示.取CD中点M,连接MF,MA,则在△PCD中,MF∥PC,又MF⊄平面PCE,PC⊂平面PCE,所以MF∥平面PCE.又因为ABCD为平行四边形,E,M分别为AB,CD中点,所以AE CM.所以四边形EAMC为平行四边形,所以MA∥CE,又MA⊄平面PCE,CE⊂平面PCE.所以MA∥平面PCE.又MA∩MF=M,所以平面MAF∥平面PCE.又因为AF⊂平面MAF,所以AF∥平面PCE.6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零,则α与β的位置关系为( C )(A)平行 (B)相交(C)平行或相交(D)可能重合解析:若三点分布于平面β的同侧,则α与β平行,若三点分布于平面β的两侧,则α与β相交.故选C.7.(2018·江西九江一模)在正方体ABCD A1B1C1D1中,AB=4,M,N分别为棱A1D1,A1B1的中点,过点B的平面α∥平面AMN,则平面α截该正方体所得截面的面积为.解析:如图所示,截面为等腰梯形BDPQ,故截面的面积为×(2+4)×3=18.答案:188.如图所示的是正方体的平面展开图.有下列四个命题:①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.其中,正确命题的序号是.解析:展开图可以折成如图(1)所示的正方体.在正方体中,连接AN,如图(2)所示,因为AB∥MN,且AB=MN,所以四边形ABMN是平行四边形.所以BM∥AN.因为AN ⊂平面DE,BM⊄平面DE,所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,所以①②正确;如图(3)所示,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,进而得到平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.答案:①②③④9.在正方体ABCD A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点.求证:(1)直线EG∥平面BDD1B1;(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明:(1)如图,连接SB,因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1.所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点,所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,所以FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B1.10.如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?解:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.因为Q为CC1的中点,P为D1D的中点,所以PQ∥DC.又DC∥AB,所以PQ∥AB且PQ=AB,所以四边形ABQP为平行四边形, 所以QB∥PA.又PA⊂平面PAO,QB⊄平面PAO,所以BQ∥平面PAO.连接BD,则O∈BD,又O为DB的中点,P为D1D的中点, 所以PO∥D1B.PO⊂平面PAO,D1B⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO.又D1B∩BQ=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.。

人教B 版 数学 必修2：平面与平面平行的判定与性质 同步练习一、选择题1. 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 ( )A.都平行．B. 都相交．C.在这两个平面内．D.至少与其中一个平面平行．2. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面 ( )A.平行．B.相交．C.重合．D.平行或相交．3. ,αβ是两个不重合的平面,在下列条件中, 可判定α∥β的是 ( )A.,αβ都垂直于平面γB.α内有不共线的三点到平面β的距离相等C.,l m 是平面α内的直线, 且l ∥β, m ∥βD.,l m 是两条异面直线, 且均与平面,αβ平行A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //二、填空题7.若α∥β,α⊂a ,β⊂b 则a ,b 的位置关系是 .8. a 、b 为异面直线，a ⊥平面α，b ⊥平面β，则α与β的位置关系是 .三、解答题9. 已知：a 、b 是两条异面直线，平面α过a 且与b 平行，平面β过b 且与a 平行．求证：平面α∥平面β.10. 已知：A 为平面BCD 外一点，M 、N 、G 分别是△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心． 求证：平面MNG ∥平面ACD ．11.已知线段AB、CD异面，CD⊂平面α，AB∥α，M、N分别是线段AC和BD的中点，求证MN∥平面α.12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD 1上的点，且BP= QC，求证PQ∥平面A1D1DA .【课时37答案】1.D2.D3. D4.B5.C6.2个7.平行或异面8. 相交9.10.11.连结AD，取AD的中点P，连结MP、NP，由三角形中位线性质，得MP∥CD，NP∥CD∴平面MNP∥平面α, ∵MN⊂平面MNP, MN∥平面α．12.。

一、选择题:
1. 平面与平面平行的条件可以是（）.
A. 内有无穷多条直线都与平行
B.直线与都平行，且不在内
C.直线,直线,且,
D. 内的任何直线都与平行
2. 下列说法正确的是（）
A. 垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 平行于同一个平面的两条直线平行
C. 平行于同一条直线的两个平面平行
D. 平行于同一个平面的两个平面平行
3．下列说法正确的是（）
A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行
B. 平行于同一平面的两条直线平行
C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行
4. 经过平面外的一条直线且与平面平行的平面（）.
A.有且只有一个
B.不存在
C.至多有一个
D.至少有一个
二、填空题:
5.已知，过点作与平面平行的平面可以作________个.
6.不在同一直线上的三点到平面的距离相等，且，则所在平面与平面的关系是________________________________.
三、解答题：
7.如图，正方体中，分别是的中点.
求证:
8.如图,已知是平行四边形所在平面外一点,分别是的中点，是AC的中点.
(1)求证: 平面；
(2)若，求异面直线所成角的大小.
23600 5C30 尰035933 8C5D 豝37272 9198 醘 22623 585F 塟~35486 8A9E 語-28512 6F60 潠
z。

2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定●知识梳理1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β => a∥αa∥b●知能训练一．选择题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN∥面APC；（2）C1Q∥面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）A．12条B．18条C．21条D．24条6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）A．1/2B．1 C．2 D．310．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB 1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定A级基础巩固一、选择题1．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥β”的是()解析：A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β；D正确．答案：D2．能保证直线与平面平行的条件是()A．直线与平面内的一条直线平行B．直线与平面内的所有直线平行C．直线与平面内的无数条直线平行D．直线与平面内的所有直线不相交解析：A不正确，因为直线可能在平面内；B不正确；C不正确，直线也可能在平面内；D正确，因为直线与平面内所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行．答案：D3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析：MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.答案：B4．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α，β还有可能相交，所以选B.答案：B5.平面α与△ABC 的两边AB ，AC 分别交于D ，E ，且AD DB ＝AE EC，如图所示，则BC 与平面α的关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．BC ⊂α解析：因为AD DB ＝AE EC，所以ED ∥BC ，又DE ⊂α，BC ⊄α， 所以BC ∥α.答案：A二、填空题6．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，则对角线AC 与平面DEF 的位置关系是________．解析：因为AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，所以EF ∥AC .又因为AC ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .答案：平行7．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8，12，过AB 的中点E 且平行于BD ，AC 的截面四边形的周长为________．解析：设所求截面四边形为EFGH ，且F ，G ，H 分别是BC ，CD ，DA 的中点，所以EF ＝GH ＝4，FG ＝HE ＝6.所以截面四边形EFGH的周长为2×(4＋6)＝20.答案：208．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个命题都是正确的．答案：①②③④三、解答题9.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为BC，B1C的中点，求证：MN∥面ACC1A1.证明：因为M，N分别为BC，B1C的中点，所以MN∥BB1，又BB1∥AA1，所以MN∥AA1，又MN⊄面ACC1A1，AA1⊂面ACC1A1，所以MN∥面ACC1A1.10.如图所示，在已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ＝Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.B级能力提升1．如图所示，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP 的图形的序号是()①②③④A．①③B．①④C．②③D．②④答案：B2．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．解析：在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ⊂β＝l，则l⊂β，因为a∥β，所以a与l无公共点，所以a∥l，所以l∥α.又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.答案：平行3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是AB，CD，A1B1，C1D1的中点．求证：平面EFD1A1∥平面BCF1E1.证明：因为E，F分别是AB，DC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCF1E1，BC⊂平面BCF1E1，所以EF∥平面BCF1E1.因为E，E1分别是AB，A1B1的中点，所以A1E1∥BE且A1E1＝BE.所以四边形A1EBE1为平行四边形．所以A1E∥BE1.因为A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，所以A1E∥平面BCF1E1.又A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFD1A1，所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.。

2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定一、课标解读1、通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理2、理解并掌握两平面平行的判定定理，让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定3、培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力4、让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感二、自学导引问题1：如果你手里拿着一支笔（看作一条直线），如何保证笔与桌面平行呢？有哪些方法？直线和平面平行的判定定理符号表示问题2：空间两个不同平面的位置关系有哪几种情况？问题3：两个平面平行的基本特征是什么？有什么简单办法判定两个平面平行呢？平面与平面平行的判定定理三、合作探究1.根据定义，判定平面与平面平行的关键是什么？2.若一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系怎样？若一个平面内有一条直线与另一个平面有公共点，那么这两个平面的位置关系又会怎样呢？3.三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？4.三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，三角板所在平面与桌面平行吗？四、典例精析例1 如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,M是线段EF的中点,求证:AM∥平面BDE.变式训练1 三棱柱111C B A ABC -中,E 为1AC 中点,F 为1CB 的中点.求证:EF ∥平面ABC例2 如图所示,在正方体1111D C B A ABCD -中.求证:平面11D AB ∥平面BD C 1变式训练2 在正方体1111D C B A ABCD -中,P N M ,,分别是11111,,D C C B C C 的中点,求证:平面MNP ∥平面BD A 1例3 如图所示,B 为ACD ∆所在平面外的一点,G N M ,,分别为BCD ABC ∆∆,的重心.(1) 求证:平面MNG ∥平面ACD(2) 求AD G MNG S S ∆∆:变式训练3 如图所示,a ∥α,αα∈D C B A ,,的另一侧的点，是,线段AC AB ,,AD 分别交α于G F E ,,,若5,4,4===AF CF BD ,则=EG ＿＿＿＿＿＿五、自主反馈1、判断下列说法是否正确？(1) 如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行 ( )(2) 若一条直线a 和一个平面内的一条直线b 平行，则直线a 和这个平面平行( )(3) 若平面α外一直线a 与内α一直线b 平行，则a 与 α 平行 ( )2.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明： （1）已知平面α，β和直线m ，n ，若α⊂m ,α⊂n ,β//m ,β//n ,则βα//；（2）一个平面α内两条不平行的直线都是平行与另一个平面β，则βα//.3.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）（A ）α内有无穷多条直线都与β平行（B ）直线α//a ，β//a ，且直线a 不在α内，也不在β内（C ）直线α⊂a ，直线β⊂b ，且β//a ，α//b（D ）α内的任何直线都与β平行4.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，(1)与AB 平行的平面是 (2)与1AA 平行的平面是(3)与AD 平行的平面是5.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点.求证：平面AMN //平面EFDB .答案2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定例1 证明：OE O BD AC 连接设,=是矩形的中点，分别为ACEF EF AC M O ,, OE AM AOEM //∴∴是平行四边形，四边形 BDE AM BDE OE 平面平面⊄⊂,BDE AM 平面//∴例2 证明：设11111,O C A D B O AC BD == 为平行四边形四边形由1111,//B BDD DD BB ∴= BD C D B D B BD 11111//,//平面∴∴AO O C AO O C AO O C 111111//四边形，，且又∴= BD C AO OC AO 1111//,//平面为平行四边形，∴∴ BD C D AB 111//平面平面∴例3 证明：（1）连接BG BN BM ,,H F P CD AD AC ,,,,于并延长交的重心分别为BCD ABD ABC G N M ∆∆∆,,,, 则有2===GH BGNF BNMP BM连接PF MN PH FH PF //,,,有ACD MN ACD PF 平面，平面又⊄⊂ACD MG ACD MN 平面同理平面//,//∴ACD MNG M MN MG 平面平面//,∴=(2)9:1:=∆∆AD C MNG S S变式训练1. 略2.证明：连接11D B111111//,,D B PN C B C D N P ∴的中点分别是 BD PN BD D B //,//11∴又BD A BD BD A PN 11,⊂⊄平面BD A MN BD A PN 11//,//平面同理平面∴BD A PMN N PN MN 1//,平面平面又∴= 3.920自主反馈答案1.（1）错 （2）错 （3）对2.（1）错误 （2）正确3.D4.略5.略。

【成才之路】2021-2021学年高中数学平面与平面平行的判定练习新人教A版必修2根底稳固一、选择题1．在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，以下正确的选项是( )A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′[答案] D2．两个平面平行的条件是 ( )A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面[答案] D[解析] 任意一条直线平行于另一个平面，即平面内所有的直线都平行于另一个平面．3．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，以下结论一定成立的是( )A．这两个角相等B．这两个角互补C．这两个角所在的两个平面平行D．这两个角所在的两个平面平行或重合[答案] D[解析]这两个角相等或互补；这两个角所在的两个平面平行或重合．4．如下列图，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，那么平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定[答案] A[解析]∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，A1D1∥E1F1，又A1D1?平面BCF1E1，E1F1?平面BCF1E1，A1D1∥平面BCF1E1.又E1和E分别是A1B1和AB的中点，A1E1綊BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，A1E∥BE1，又A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1，又A1E?平面EFD1A1，A1D1?平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1. 5．直线 l，m，平面α，β，以下命题正确的选项是( )A．l∥β，l?α?α∥βB ．，∥，，?βmβmαC．l∥m，l?α，m?β?α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β[答案]D[解析]如右图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，那么直线AB∥平面DC1，直线AB?平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取B B1的中点E，CC1的中点F，那么可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC．又EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．6．假设平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，那么在平面β内过点B的所有直线中( ) A．不一定存在与 a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与 a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线[答案]A[解析]当直线a?β，B∈a上时满足条件，此时过B不存在与a平行的直线，应选A．二、填空题7．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是____ ____.[答案]平行8．平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，那么α与β的位置关系是________(填“平行〞或“相交〞)．[答案]平行[解析]假假设α∩β＝l，那么在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l ＝A，对于β内的任意直线b，假设b过点A，那么a与b相交，假设b不过点A，那么a与b 异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.三、解答题(2021·福建厦门六中月考)如下列图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.[证明] 因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.由FH?平面AFH，AF?平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.如图，F，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1H.∵[证明] 取DD1中点E，连AE、EF.∵E、F为DD1、CC1的中点，EF綊CD．EF綊AB，∴四边形EFBA为平行四边形．AE∥BF.又∵E、H分别为D1D、A1A的中点，D1E綊HA，∴四边形HAED1为平行四边形．HD1∥AE，∴HD1∥BF，由正方体的性质易知B1D1∥BD，且已证BF∥D1H.B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.HD1?平面BDF，BF?平面BDF，HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.能力提升一、选择题1．以下说法正确的选项是 ( )A．平面α内有一条直线与平面β平行，那么平面α与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行，那么平面α与平面β平行C．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么平面α与平面β平行D．平面α内所有直线都与平面β平行，那么平面α与平面β平行[答案]D[解析]两个平面平行?两个平面没有公共点?平面α内的所有直线与平面β没有公共点?平面α内的所有直线都与β平行．2．经过平面α外两点，作与α平行的平面，可以作()A ．1个B ．2个C．0个或1个D．无数个[答案]C[解析]当两个点在平面α同侧且连线平行于平面α时，可作一个平面与α平行；当两个点在平面α异侧或同侧且连线与平面α不平行时，不能作出平面与α平行．3．以下结论中：过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．正确的序号为()A．(1)(2)B．(3)(4)C．(1)(3)D．(2)(4)[答案]C4．过平行六面体 ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )A ．4条B．6条C ．8条D．1 2条[答案]D[解析]如右图所示，以为例，易证，∥平面11.EHEMDBBD与处于同等地位的点还有8×2、、、、、、，故有符合题意的直线＝8条．以FGHMNPQE为例，易证QE∥平面DBBD，与E处于同等地位的点还有H、M、G、F、N、P，故有符合题11意的直线4条．∴共有8＋4＝12(条)．二、填空题5．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，分别为，ABCD EFGPAPD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB．其中正确的有________.(填序号)[答案]①②③[解析]把平面展开图复原为四棱锥如下列图，那么EH∥AB，所以EH∥平面ABCD．同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，那么它们两两相交．∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB．同理平面PAD∥BC．6．如以下列图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，那么M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.[答案] 点M在FH上[解析] ∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，∴平面FHN∥平面B1BDD1，又平面FHN∩平面EFGH＝FH，∴当M∈FH时，MN?平面FHN，MN∥平面B1BDD1.三、解答题7．如以下列图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.[分析]证明平面与平面平行转化为证明线面平行，即转化为证明直线FG∥平面BDD1B1，EG∥平面BDD1B1.[证明] 如以下列图所示，连接SB，SD．∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1.同BDD1B1.理可证EG∥平面又∵直线EG?平面EFG，直线FG?平面EFG，直线EG∩直线FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.8．点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．[分析1]观察图形容易看出SG∥平面DEF.要证明此结论成立，只须证明SG与平面DEF内的一条直线平行．考虑到题设条件中众多的中点，可应用三角形中位线性质．观察图形可以看出：连接CG与DE相交于H，连接FH，FH就是适合题意的直线．怎样证明SG∥FH？只需证明H是CG的中点．[证法1]连接CG交DE于点H，DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB．在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点．FH是△SCG的中位线，FH∥SG.又SG?平面DEF，FH?平面DEF，∴SG∥平面DEF.[分析2]由题设条件中，D、E、F都是棱的中点，不难得出DE∥AB，DF∥SA，从而平面DEF∥平面SAB，又SG?平面SAB，从而得出SG∥平面DEF.[证法2]∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB．EF?平面SAB，SB?平面SAB，∴EF∥平面SAB．同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，∴平面SAB∥平面DEF，又∵SG?平面SAB，∴SG∥平面DEF.[点评] 要证面面平行，应先证线线或线面平行，面面平行也可以得出线面平行，它们之间可以相互转化．。

2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定一、选择题1.下列说法中正确的是 ( )A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行C.如果一个平面内任意一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行D.若果两个平面平行于同一条直线,那么这两个平面平行2.下列命题中,正确的个数为 ( )①若a ∥b ,α⊂b ,则a ∥α②若a ∥α,b ∥α,则a ∥b③若a ∥b ,b ∥α,则a ∥α④若a ∥α,α⊂b ,则a ∥bA.0B.1C.2D.33.已知三条互相平行的直线c b a ,,中，,,βα⊂⊂c b a 、则两个平面βα,的位置关系是（ ）A.平行B.相交C.平行或相交D.重合4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（ ）A.都平行B.都相交C.在这两个平面内D.至少和其中一个平面平行5.下列说法正确的是 （ ）①若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点，则这两个平面平行②过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行③过平面外两点不能作平面与已知平面平行④若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行A. ①③B. ②④C. ①②D. ②③④二、填空题6.若直线b a =A ，a ∥α，则b 与α的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿7.若直线a b a 满足，与平面βα,∥b ,a ∥α,b ∥β,则平面α与平面β的位置关系是 ＿＿＿＿＿＿＿＿8.过平面外一点有＿＿＿条直线与已知平面平行,过平面外一点有且只有＿＿＿个平面与已知平面平行.9.正方体1111D C B A ABCD -中,的平面与过的中点，则为E C A BD DD E ,,11的位置关系是＿＿＿＿＿＿三、解答题10.正方体1111D C B A ABCD -中个，F E N M ,,,分别为棱11111111,,,D C C B D A B A 的中点。

A 1《平面与平面平行的判定》同步练习一、选择题； 班级 姓名 1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )①l ⊂α,m ⊂α,且l ∥β,m ∥β；②l ⊂α,m ⊂α,且l ∥m ；③l ∥α,m ∥β,且l ∥m A 1个 B 2个 C 3个 D 0个2． 已知：命题：P ：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q ：α∥β，则下面成立的是（ ）A P ⇒Q ，P ⇐Q BP ⇐Q ，P ⇒Q C P ⇔Q ， D P ⇒Q ， P ⇐Q 3．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）①α，β分别过两条平行直线；②a ，b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a ； A ① B ② C ①② D 无 4．下列命题中为真命题的是（ ）A 平行于同一条直线的两个平面平行B 垂直于同一条直线的两个平面平行C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D 若三条直线a 、b 、c 两两平行，则过直线a 的平面中，有且只有—个平面与b ，c 都平行． 5．下列命题中正确的是( )①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行； ③垂直于同一直线的两个平面平行； ④与同一直线成等角的两个平面平行A ①②B ②③C ③④D ②③④ 二、填空题；6． 下列命题中正确的是 （填序号）；①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ； 7． 若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是 ；8． 如右图,点P 是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化. 三、解答题；9. 如图：直三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 中，1==CB CA ，︒=∠90BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别为A 1B 1、AB 的中点求证：平面A 1NC ∥平面BMC 110．已知四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，P 为AC 上一点，且AP ：PC=2：1，求证：（1） BD ∥面CMN ；（2）平面MNP//平面BCD .11.如图，b a ,是异面直线，αββα//,,//,b b a a ⊂⊂，求证 ：βα//。

2.2.2平面与平面平行的判定1. 若平面α与平面β平行，则结论错误是（ ）. A. α内有无穷多条直线都与β平行B. 存在直线a 与,αβ都平行，且不在α和β内C. 直线a α⊂,直线b β⊂⇒a ∥bD. α内的任何直线都与β平行2. 经过直线a 且与平面α平行的平面（ ）. A. 有且只有一个 B. 不存在 C. 至多有一个 D. 至少有一个3. 设有不同的直线,a b ，及不同的平面α、β，给出的三个命题中正确命题的个数是（ ）.①若a ∥α,b ∥α,则a ∥b ②若a ∥α,α∥β,则a ∥β ③若,a αα⊂∥β,则a ∥β.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，则这两个平面的位置关系是__________.5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条,则这两平面的位置关系是___________.6.已知直线a//平面α，平面α//平面β，则a 与β的位置关系为 . 7．已知直线a ⊥直线b, a//平面β,则b 与β的位置关系为 8. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，求证：平面1A BD9. 如图，直线AA '，BB '，CC '相交于O ，AO AO ='，BO B O ='，CO C O ='． 求证：ABC //平面ABC '''．10. 如图所示，A '、B '、C '分别是PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的重心. 求证：面A B C '''∥ABC 面.参考答案1. 答案：C2. 答案：C3. 答案：B4. 答案：相交或平行5. 答案：平行6. 答案：平行或在平面内 7．答案：平行或在平面内或相交8. 答案：证明：111111B B A A B B D D A A D D ⎧⎪⇒⎨⎪⎩ ∥ ∥ ∥ ⇒ 四边形11BB D D 是平行四边形⇒ 111111D B DBDB A BD D B A BD⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩平面平面//⇒111111111D B A BDB C A BD D B B C B⎧⎪⎨⎪=⎩平面同理平面//// ⇒111B CD A BD 平面平面//．9. 答案：提示：容易证明AB AB //''，AC AC //''． 进而可证平面ABC //平面ABC '''． 10. 略。

平面与平面平行练习题含答案1. 下列条件中，能判断平面α与平面β平行的是（）A.α内有无穷多条直线都与β平行B.α与β同时平行于同一条直线C.α与β同时要垂直于同一条直线D.α与β同时垂直于同一个平面2. 设α，β为两个平面，则α // β的充要条件是（）A.α内有无数条直线与β平行B.α，β平行于同一条直线C.α内有两条相交直线与β平行D.α，β垂直于同一平面3. 如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是( )A.垂直B.相交不垂直C.平行D.重合4. a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题①a∥cb∥c}⇒a // b②a∥γb∥γ}⇒a // b③α∥cβ∥c}⇒α // β④α∥γβ∥γ}⇒α // β⑤α∥ca∥c}⇒α // a⑥a∥γα∥γ}⇒α // a其中正确的命题是（）A.①②③B.①④⑤C.①④D.①③④5. （5分）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的有()A.直线A1BB.直线BB1C.平面A1DC1D.平面A1BC16. 在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC＝BD＝2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为________．7. 在三棱锥S−ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，SA＝SB＝SC＝10，平面DEFH 分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB // 平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．8. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．9. 如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论正确的是________．①V A−A1DE :V A1−BCDE=1:3；②存在某个位置，使DE⊥A1C；③总有BM // 平面A1DE；④线段BM的长为定值．10. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P、Q分别是平面AA1D1D、平面A1B1C1D1的中心，证明：(Ⅰ)D1Q // 平面C1DB；(Ⅱ)平面D1PQ // 平面C1DB．11. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．(1)求证：EF // 平面BDD1B1；(2)在棱CD上是否存在一点G，使得平面GEF // 平面BDD1B1若存在，求出CG的值；GD若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析平面与平面平行练习题含答案一、选择题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）1.【答案】C【考点】平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定【解析】利用面面平行的判定直接判断即可．【解答】对于A，若α内有无穷多条平行的直线与β平行，则不能说明α平行β；对于B，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；对于C，垂直于同一条直线的两平面平行；对于D，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．综上，选项C正确．2.【答案】C【考点】平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】平面与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，分别取另三条棱的中点A，B，C,将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL,因为PQ//AL，PR//AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR//平面AMBNCL，即平面LMN//平面PQR.故选C.4.【答案】C【考点】平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定直线与平面平行【解析】根据平行公理可知①的真假，根据面面平行的判定定理可知④真假，对于②列举错的原因，错在a、b可能相交或异面，对于③错在α与β可能相交，对于⑤⑥错在a可能在α内，即可得到答案．【解答】根据平行公理可知①正确；根据面面平行的判定定理可知④正确；对于②错在a、b可能相交或异面．对于③错在α与β可能相交，对于⑤⑥错在a可能在α内．二、多选题（本题共计 1 小题，共计5分）5.【答案】A,D【考点】直线与平面平行两条直线平行的判定平面与平面平行的判定直线与平面平行的判定【解析】利用线线、线面、面面平行的判定定理逐项判断即可得解．【解答】解：对于A，由于A1B // D1C，且A1B⊄平面ACD1，可得直线A1B // 平面ACD1；对于B，由于B1B // D1D，且D1D∩平面ACD1=D1，可得直线B1B不平行平面ACD1；对于C，由于A1D与AD1相交，A1D⊂平面A1DC1，可得平面A1DC1不与平面ACD1平行；对于D，由于A1B // D1C，C1B // D1A，A1B，C1B⊂平面A1BC1，可得平面A1BC1 // 平面ACD1．故选AD.三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）6.【答案】1【考点】直线与平面平行【解析】利用中位线定理，AC⊥BD，可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．【解答】∵点E、H分别为四边形ABCD的边AB、AD的中点，∴EH // BD，且EH=12BD＝1．同理求得FG // BD，且FG＝1，∴EH // FG，EH＝FG又∵AC⊥BD，BD＝2∴EF⊥EH．∴四边形EFGH是正方形．∴四边形EFGH的面积＝EF⋅EH＝1．7.【答案】10【考点】直线与平面平行【解析】根据条件只要证明四边形DEFH是矩形即可得到结论．【解答】∵D、E、F、H分别是AB、BC、SA、SC的中点，∴DE // AC，FH // AC，DH // SB．EF // SB，则四边形DEFH是平行四边形，且HD=12SB=102=5，DE=12AC=42=2，取AC的中点O，连结OB，∵SA＝SC＝10，AB＝BC＝4，∴AC⊥SO，AC⊥OB，∵S0∩OB＝O，∴AO⊥平面SOB，∴AO⊥SB，则HD⊥DE，即四边形DEFH是矩形，∴四边形DEFH的面积S=102×42=10．8.【答案】③④【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：因为A, M,C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∈平面AD1C1B，所以直线AM 与CC1是异面直线，同理，AM与BN也是异面直线，AM与DD也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，N∉平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确.故答案为：③④9.【答案】①③④【考点】直线与平面平行【解析】在①中，V A−A1DE :V A1−BCDE=S△ADE:S梯形EBCD=1:3；在②中，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，从而DE与A1C不垂直；在③中，取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF // 平面A1DE，从而总有BM // 平面A1DE；在④中，∠MFB=∠A1DE，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2−2MF⋅FB⋅cos∠MFB是定值．【解答】在①中，设A1到平面EBCD的距离为ℎ，Dgc AB的距离为ℎ′，则V A−A1DE :V A1−BCDE=13×S△ADE×ℎ:13S梯形EBCD×ℎ=S△ADE:S梯形EBCD =12×AE×ℎ′:CD+BE2×ℎ′=1:3，故①正确；在②中，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴DE与A1C不垂直，故②错误；在③中，取CD中点F，连接MF，BF，则MF // A1D且MF=12A1D，FB // ED且FB= ED，由MF // A1D与FB // ED，可得平面MBF // 平面A1DE，∴总有BM // 平面A1DE，故③正确；∴∠MFB=∠A1DE，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2−2MF⋅FB⋅cos∠MFB是定值，故④正确．四、解答题（本题共计 2 小题，每题 5 分，共计10分）10.【答案】证明：(Ⅰ)由ABCD−A1B1C1D1是正方体，可知D1Q // DB，∵D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，∴D1Q // 平面C1DB．（2）由ABCD−A1B1C1D1是正方体，D1P // C1B，∵D1P⊄平面C1DB，C1B⊂平面C1DB，∴D1P // 平面C1DB，由(Ⅰ)知，D1Q // 平面C1DB，又D1Q∩D1P＝D1，∴平面D1PQ // 平面C1DB．【考点】直线与平面平行平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定【解析】(Ⅰ)推导出D1Q // DB，由此能证明D1Q // 平面C1DB．(Ⅱ)推导出D1P // C1B，得D1P // 平面C1DB，由D1Q // 平面C1DB，能证明平面D1PQ // 平面C1DB．【解答】证明：(Ⅰ)由ABCD−A1B1C1D1是正方体，可知D1Q // DB，∵D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，∴D1Q // 平面C1DB．（2）由ABCD−A1B1C1D1是正方体，D1P // C1B，∵D1P⊄平面C1DB，C1B⊂平面C1DB，∴D1P // 平面C1DB，由(Ⅰ)知，D1Q // 平面C1DB，又D1Q∩D1P＝D1，∴平面D1PQ // 平面C1DB．11.【答案】(1)证明：如图，连结BM.∵E，F分别是BC，CM的中点，∴EF // BM，又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，∴EF // 平面BDD1B1．(2)解：棱CD上存在一点G，使得平面GEF // 平面BDD1B1．理由如下：如图，连接GE，GF.∵平面GEF∩平面ABCD=EG，平面BDD1B1∩平面ABCD=BD，∴EG // BD，又∵E是BC中点，∴G是DC中点，∴棱CD上存在一点G，使得平面GEF // 平面BDD1B1，=1．且CGGD【考点】直线与平面平行平面与平面平行的判定【解析】（1）连结BM，推导出EF // BM，由此能证明EF // 平面BDD1B1．（2）推导出EG // BD，由E是BC中点，得G是DC中点，从而棱CD上存在一点G，使得=1．平面GEF // 平面BDD1B1，且CGGD【解答】(1)证明：如图，连结BM.∵E，F分别是BC，CM的中点，∴EF // BM，又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，∴EF // 平面BDD1B1．(2)解：棱CD上存在一点G，使得平面GEF // 平面BDD1B1．理由如下：如图，连接GE，GF.∵平面GEF∩平面ABCD=EG，平面BDD1B1∩平面ABCD=BD，∴EG // BD，又∵E是BC中点，∴G是DC中点，∴棱CD上存在一点G，使得平面GEF // 平面BDD1B1，=1．且CGGD。

贵州省人教A版高中数学必修二2.2.2平面与平面平行的判定同步训练姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知l∥α，m∥α，l∩m=P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是（）A . 相交B . 平行C . 相交或平行D . 不确定2. （2分） (2017高二上·汕头月考) 已知两直线、，两平面、，且 .则下面四个命题中正确的有（）个.①若，则有；②若，则有；③若，则有；④若，则有 .A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分）下列命题正确的是（）A . 若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B . 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面C . 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D . 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5. （2分）已知直线a和两个平面，给出下列两个命题：命题p：若a∥,a⊥，则⊥；命题q：若a∥,a∥,则∥。

那么下列判断正确的是（）A . p为假B . 为假C . p∧q为真D . p∨q为真6. （2分）已知是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则7. （2分）下列叙述中，正确的是（）A . 四边形是平面图形B . 有三个公共点的两个平面重合。

C . 两两相交的三条直线必在同一个平面内D . 三角形必是平面图形。

8. （2分）下列说法正确的是（）A . 空间三个点确定一个平面B . 两个平面一定将空间分成四部分C . 梯形一定是平面图形D . 两个平面有不在同一条直线上的三个交点9. （2分） (2018高二上·浙江期中) 在下列条件中，可判定平面与平面平行的是（）A . ，都平行于直线B . 内存不共线的三点到的距离相等C . ，是内的两条直线，且，D . ，是两条异面直线，且，，，10. （2分） (2018高二上·万州月考) 在空间中，两不同直线a、b，两不同平面、，下列命题为真命题的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________.12. （1分）已知平面α和β ，在平面α内任取一条直线a ，在β内总存在直线b∥a ，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”).13. （1分）正四面体的各条棱比为a，点P在棱AB上移动，点Q在棱CD上移动，则点P和点Q的最短距离是________．14. （1分）如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.三、解答题 (共4题；共25分)15. （5分） (2018高二上·万州月考) 如图，在三棱锥P—ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC、（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）证明：平面PAB//平面FGH16. （10分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，求证：（1）MN∥平面CC1D1D.（2）平面MNP∥平面CC1D1D.17. （5分） (2018高二上·万州月考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，E为PB中点，PB=4 ．（I）求证：PD∥面ACE；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积。

《平面与平面平行的判定》同步训练题一、单选题1．设m 、n 是平面α内的两条不同直线，1l 、2l 是平面β内的两条相交直线，则以下能够推出//αβ的是（ ）A ．//m β且1//l αB ．1//m l 且2//n lC ．//m β且βn//D ．//m β且2//n l1．B 【解析】A 中，当//m β且1//l α时，α、β可相交（如m 、1l 同时平行于α、β的交线）；B 中，当1//m l 且2//n l 时，1//l α，2//l α，又1l 、2l 是平面β内的两条相交直线，所以//αβ；C 中，当//m β且βn//时，α、β可相交（如m 、n 同时平行于α、β的交线）；D 中，当//m β且2//n l 时，α、β可相交（如m 、n 同时平行于α、β的交线2l ）.故选B.2．在正方体1111F EFG E G H H -中，下列四对平面彼此平行的一对是（ ）A ．平面11E FG 与平面1EGHB ．平面1FHG 与平面11F H GC ．平面11F H H 与平面1FHED ．平面11E HG 与平面1EH G2．A 【解析】如图，正方体11111111,//,FG H EE GG E EFGH E E GG =-，所以四边形11EE G G 是平行四边形，1111//,E EG E G G ⊄平面1EGH ，EG ⊂面1EGH ，所以11//E G 平面1EGH ，同理1//G F 平面1EGH .因为1111111,,E G G F G E G G F ⋂=⊂平面11E FG ，所以平面11//E FG 平面1EGH .故选:A3．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是（ ）A ．两两相互平行B ．两两相交于一点C ．两两相交但不一定交于同一点D ．两两相互平行或交于同一点3．A 【解析】根据题意，作图如下：//αβ，m αγ=，n βγ=，根据平面平行的性质可得，如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.∴//m n .同理可得其它几条交线相互平行，故两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线两两平行.故选A.4．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出下列四个命题：①//////c c ααββ⎧⇒⎨⎩；②//////αγαββγ⎧⇒⎨⎩；③//////c a a c αα⎧⇒⎨⎩；④//////a a γααγ⎧⇒⎨⎩. 其中正确的命题是（ ）A ．①②③B ．②④C ．②D ．③4．C 【解析】对于命题①，//c α，//c β，则α与β平行或相交，命题①错误；对于命题②，//αγ，//βγ，由面面平行的性质知//αβ，命题②正确；对于命题③，//c α，//a c ，则//a α或a α⊂，命题③错误；对于命题④，a γ//，//αγ，则//a α或a α⊂，命题④错误.故选C.5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，设Q 是1CC 上的点，当点Q 在（ ）位置时，平面1//D BQ 平面PAO .A ．Q 与C 重合B ．Q 与1C 重合 C ．Q 为1CC 的三等分点D ．Q 为1CC 的中点5．D 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，因为O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，，所以1//PO BD ，设Q 是1CC 上的点，当点Q 在1CC 的中点位置时，//PQ AB ，所以四边形ABQP 是平行四边形，所以//AP BQ ，因为1,AP PO P BQ BD B ==，,AP PO ⊂平面1,,APO BQ BD ⊂平面1BQD ，所以平面1//D BQ 平面PAO ，故选：D.6．设//αβ，A α∈，B β∈，C 是线段AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个点C ，那么所有的动点C （ ）A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．都共面6．D 【解析】如图所示，设A '、B '分别是A 、B 在α、β上运动后的两点，此时A B ''的中点为C '，连接A B '，取A B '的中点E ，连接CE 、C E '、AA '、BB '、CC '.则//CE AA '，//C E BB ''，CE α⊄，C E β'⊄，//CE α∴，//C E β'.又//αβ，C E α'⊄，//C E α'∴.C E CE E '=，∴平面//CC E '平面α，∴不论A 、B 如何移动，所有的动点C 都在过点C 且与α、β平行的平面上.故选D.7．（多选）设a 、b 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线a ，//a α，//a βB ．存在一条直线a ，a α⊂，//a βC ．存在一个平面γ，满足//αγ，//βγD ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α7．CD 【解析】对于选项A ，若存在一条直线a ，//a α，//a β，则//αβ或α与β相交.若//αβ，则存在一条直线a ，使得//a α，//a β，所以选项A 的内容是//αβ的一个必要条件而不是充分条件； 对于选项B ，存在一条直线a ，a α⊂，//a β，则//αβ或α与β相交.若//αβ，则存在一条直线a ，a α⊂，//a β，所以，选项B 的内容是//αβ的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C ，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C 的内容是//αβ的一个充分条件； 对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面γ中，成为相交直线，由面面平行的判定定理可知//γα，//γβ，则//αβ，所以选项D 的内容是//αβ的一个充分条件.故选CD.二、填空题8．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，G 是A 1C 1的中点，过点G 的截面与侧面ABB 1A 1平行，若侧面ABB 1A 1是边长为4的正方形，则截面周长为________．8．12【解析】如图，取11B C 的中点,M BC 的中点,N AC 的中点H ，连接,,GM MN HN ，则////GM HN AB ，1////MN GH AA ，所以有//GM 平面11ABB A ，//MN 平面11ABB A .又GM MN M ⋂=，所以平面//GMNH 平面11ABB A ，即平面GMNH 为过点G 且与平面11ABB A 平行的截面,易得此截面的周长为442212+++=.9．过两平行平面α、β外的点P 两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则ＢD 的长为_______．9．12【解析】当两个平面在点P 的同侧时如图（1）所示，当点P 在两个面的中间时如图（2）所示由面面平行的性质定理可得AC 与BD 平行，PA AC PB BD=,所以12BD =．10．如图，过正方体1111ABCD A B C D -的顶点1B 、1D 与棱AB 的中点P 的平面与底面ABCD 所在平面的交线记为l ，则l 与11B D 的位置关系为_________.10．11//l B D 【解析】如图所示，连接1D P 、1B P ，在正方体1111ABCD A B C D -中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，且平面11B D P 平面111111A B C D B D =，平面11B D P 平面ABCD l =，所以11//l B D .11．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________.11．平行四边形【解析】∵平面ABFE ∥平面CDHG ，平面EFGH∩平面ABFE ＝EF ，平面EFGH∩平面CDHG ＝HG ，∴EF ∥HG .同理，EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．12．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM ∥平面DE ；②CN ∥平面AF ；③平面BDM ∥平面AFN ；④平面BDE ∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．12．①②③④【解析】展开图可以折成如图（1）所示的正方体．在正方体中，连接AN ，如图（2）所示，因为AB∥MN，且AB ＝MN ，所以四边形ABMN 是平行四边形．所以BM∥AN．因为AN ⊂平面DE ，BM ⊄平面DE ，所以BM∥平面DE ．同理可证CN∥平面AF ，所以①②正确；如图（3）所示，可以证明BM∥平面AFN ，BD∥平面AFN ，进而得到平面BDM∥平面AFN ，同理可证平面BDE∥平面NCF ，所以③④正确．13．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 为棱AD 中点，现有一只蚂蚁从点1B 出发，在正方体1111ABCD A B C D -表面上行走一周后再回到点1B ，这只蚂蚁在行走过程中与平面1A BE 的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为__________．13．26【解析】由题可知，蚂蚁在正方体1111ABCD A B C D -表面上行走一周的路线构成与平面1A BE 平行的平面，设F 、G 分别为BC 、11A D 中点，连接1B G ，GD ，FD 和1FB ，则11B G GD DF FB ---为蚂蚁的行走轨迹.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，易得115GD DF F B G B ====，123B D =，22GF =，∴四边形1B GDF 为菱形，111262B GDF S B D GF =⋅=三、解答题14．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，2CD AB =，P 、Q分别是1CC 、11C D 的中点，求证：平面1//AD C 平面BPQ .14．【解析】在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//CC DD ，11CC DD =，则四边形11CDD C 为平行四边形，11//C D CD ∴，11C D CD =，//AB CD ，11//AB C D ∴，即1//D Q AB ， Q 为11C D 的中点，1111122D Q C D CD AB ∴===，∴四边形1D QBA 为平行四边形， 1//AD BQ ∴，1AD ⊂平面1ACD ，⊄BQ 平面1AD C ，//BQ ∴平面1AD C . P 、Q 分别为1CC 、11C D 的中点，1//PQ CD ∴，PQ ⊄平面1ACD ，1CD ⊂平面1ACD ，//PQ ∴平面1ACD ，BQ PQ Q =，∴平面1//AD C 平面BPQ .15．如图，四边形ABCD 为平行四边形，四边形ADEF 是正方形，G 是AE 、DF 的交点，H 、R 分别是BE 、AD 的中点.求证：平面//GHR 平面CDE .15．【解析】G 是AE 、DF 的交点，四边形ADEF 是正方形，G ∴是AE 、DF 的中点，又H 是BE 的中点，//GH AB ∴，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，则//GH CD ，又CD ⊂平面CDE ，GH ⊄平面CDE ，//GH ∴平面CDE .又R 为AD 的中点，//GR DE ∴.又GR ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，//GR ∴平面CDE ，GH GR G =，GH ⊂平面GHR ，GR ⊂平面GHR ，∴平面//GHR 平面CDE . 16．如图甲，在直角梯形ABED 中，//AB DE ，AB BE ⊥，AB CD ⊥，F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点，现将ACD ∆沿CD 折起，如图乙.求证：平面//FHG 平面ABE .16．【解析】翻折前，在图甲中，AB CD ⊥，AB BE ⊥，//CD BE ∴，翻折后，在图乙中，仍有//CD BE ， F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点，//FH CD ∴，//HG AE ，//FH BE ∴， BE ⊂平面ABE ，FH ⊄平面ABE ，//FH ∴平面ABE .AE ⊂平面ABE ，HG ⊄平面ABE ，HG ∴//平面ABE .又FH HG H ⋂=，∴平面//FHG 平面ABE .17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G 分别为11B C ，11A B ，AB 的中点．（1）求证：平面11//AC G 平面BEF ；（2）若平面11AC G BC H ⋂=，求证：H 为BC 的中点．17．【解析】（1）如图，E ，F 分别为11B C ，11A B 的中点，11//EF AC ∴，11AC ⊂平面11ACG ，EF ⊄平面11AC G ，//EF ∴平面11AC G ，又F ，G 分别为11A B ，AB 的中点，1A F BG ∴=，又1//A F BG ，∴四边形1AGBF 为平行四边形，则1//BF AG ， 1AG ⊂平面11AC G ，BF ⊄平面11AC G ，//BF ∴平面11AC G ， 又EF BF F ⋂=，∴平面11//AC G 平面BEF ；（2）∵平面//ABC 平面111A B C ，平面11AC G ⋂平面11111A B C AC =，平面11AC G 与平面ABC 有公共点G ，则有经过G 的直线，设交BC H =，则11//AC GH ，得//GH AC ， G 为AB 的中点，H ∴为BC 的中点．18．在如图所示的五面体 ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，//EF 平面ABCD ，2EA ED AB EF ===，M 为BC 的中点.求证：//FM 平面BDE .18．【解析】取CD 的中点N ，连接MN 、FN .因为N 、M 分别为CD 、BC 的中点，所以//MN BD .又BD ⊂平面BDE ，且MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ，因为//EF 平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，所以//EF AB . 又22AB CD DN EF ===，//AB CD ，所以//EF DN ，EF DN =，所以四边形EFND 为平行四边形，所以//FN ED .又ED ⊂平面BDE ，且FN ⊄平面BDE ，以//FN 平面BDE .又FN MN N ⋂=，所以平面//MNF 平面BDE .又FM ⊂平面MFN ，所以//FM 平面BDE .19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、11A B 、11AC 的中点.（1）求证：B 、C 、H 、G 四点共面； （2）求证：平面1//EFA 平面BCHG ； （3）若1D 、D 分别为11B C 、BC 的中点，求证：平面11//A BD 平面1AC D . 19．【解析】（1）GH 是111A B C ∆的中位线，11//GH B C ∴.在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形， 11//B C BC ∴，//GH BC ∴，因此，B 、C 、H 、G 四点共面； （2）E 、F 分别为AB 、AC 的中点，//EF BC ∴. EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，//EF ∴平面BCHG . 在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB 且11AA BB =，则四边形11AA B B 为平行四边形， 11//AB A B ∴且11AB A B =， E 、G 分别为AB 、11A B 的中点，1//AG BE ∴且1AG BE =， ∴四边形1A EBG 是平行四边形，则1//A E BG ， 1A E ⊄平面BCHG ，BG ⊂平面BCHG ，1//A E ∴平面BCHG . 1A E EF E ∴⋂=，且1A E ⊂平面1EFA ，EF ⊂平面1EFA ，∴平面1//EFA 平面BCHG ；（3）如图所示，连接1AC ，设1AC 与1AC 的交点为M ，连接DM ，四边形11A ACC 是平行四边形，M ∴是1AC 的中点， D 为BC 的中点，1//A B DM ∴.DM ⊄平面11BD A ，1A B ⊂平面11BD A ，//DM ∴平面11BD A .由（1）知，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =， D 、1D 分别为BC 、11B C 的中点，所以，11//BD C D 且11BD C D =，∴四边形11BDC D 为平行四边形，11//C D BD ∴，又1DC ⊄平面11BD A ，1BD ⊂平面11BD A ，1//DC ∴平面11BD A .又1DC DM D ⋂=，1DC ⊂平面1AC D ，DM ⊂平面1AC D ，∴平面11//A BD 平面1AC D .20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 在PC 上，3PC PE =，=3PD .（1）证明：//CD 平面ABE ；（2）若M 是BC 中点，点N 在PD 上，//MN 平面ABE ，求线段PN 的长.20．【解析】（1）∵底面ABCD 是平行四边形，∴//CD AB ，∵CD ⊄平面ABE ，AC ⊂平面ABE ，∴//CD 平面ABE ；（2）∵//MN 平面ABE ，∴可设过MN 与平面ABE 平行的平面与PC 交于点F ，与AD 交于点G ，则//MF BE ，//MG AB ，又ABCD 是平行四边形，//CD AB ，∴//MG CD ，∴//CD 平面MFNG ，∴//CD FN ， ∵M 是BC 中点，∴F 是CE 中点，∵3PC PE =，∴23PF PC =，∴223PN PD ==. 21．已知点P 是ABC 所在平面外一点，点A '，B '，C '分别是PBC ，PAC ，PAB △的重心.（1）求证：平面//A B C '''平面ABC ；（2）求:A B AB ''的值.21．【解析】（1）证明：如图,连接PA ',并延长交BC 于点M ,连接PB ',并延长交AC 于点N ,连接PC ',并延长交AB 于点Q ,连接MN ,NQ .A ',B ',C '分别是PBC ,PAC ,PAB △的重心,M ∴,N ,Q分别是BC ,AC ,AB 的中点,且2PA PB A M B N''=='',//A B MN ''∴.同理,可得//B C NQ ''. MN ⊂平面ABC ,A B ''⊄平面ABC ,//A B ''∴平面ABC .同理,可证//B C ''平面ABC .又A B B C B '''''=,A B ''⊂平面A B C ''',B C ''⊂平面A B C ''',∴平面//A B C '''平面ABC .（2）由（1）知//A B MN '',且23A B PA MN PM '''==,即23A B MN ''=.M ,N 分别是BC ,AC 的中点,12MN AB ∴=.22113323A B MN AB AB ''⨯=∴==,13A B AB ∴'=',即:A B AB ''的值为13. 22．如图，多面体ABCGDEF 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，平面//ABC 平面DEFG ，平面//BEF 平面ADGC ，2AB AD DG ===，1AC EF ==.（1）证明：四边形ABED 是正方形；（2）判断点B 、C 、F 、G 是否共面，并说明理由.22．【解析】（1）因为平面//ABC 平面DEFG ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，平面ABED ⋂平面DEFG DE =，由面面平行的性质定理，得//AB DE ，同理//AD BE .所以四边形ABED 为平行四边形.又AB AD ⊥，AB AD =，所以平行四边形ABED 是正方形；（2）如图，取DG 的中点P ，连接PA 、PF .因为平面//BEF 平面ADGC ，平面EFGD ⋂平面BEF EF =，平面EFGD ⋂平面ADGC DG =，由面面平行的性质定理，得//EF DG ，同理//AC DG ，在梯形EFGD 中，//EF DG ，且P 为DG 的中点，1EF =，2DG =， //EF PD ∴，EF PD =，则四边形EFPD 为平行四边形，//DE PF ∴且DE PF =. 又//AB DE ，AB DE =，所以//AB PF 且AB PF =，所以四边形ABFP 为平行四边形，所以//AP BF . P 为DG 的中点，112PG DG AC ∴===， 又//AC PG ，∴四边形ACGP 为平行四边形，//∴AP CG ，//BF CG ∴. 故B 、C 、F 、G 四点共面.。

2、2、2平面与平面平行的判定练习二一、选择题1、a、B是两个不重合的平面，在下列条件屮，可判定平而a与B平行的是（）A. a、B都垂直平面Y ;B • a内不共线的三点到B的距离都相等；C.1、m是a内两条直线，且1〃B, m/7 3 ；D.1、m是两条异面直线，且1 〃a , m // a , 1〃B, m〃B.2、若两个平而内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的位置关系是（）A、平行B、相交C、平行或相交D、无法确定3、设且,bu平面a , a// B , b// B卜面命题正确的是（）A、若8与b相交，则a与B相交B、若&与b相交，则a // 3C、若M/b,则a与B相交D、若a//b,贝lj a // 04、平面a与平面B平行，ao a , bu B ,则3与b两直线一定是（）A、平行直线B、异面直线C、相交直线D、无公共点的直线5、两个平面平行的条件是（）A、一个平面内的一条直线平行于另一个平面B、一个平面内有两条直线平行于另一个平面C、一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D、一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面6、下列命题中不正确的是（）A、平面a内任何一条直线都与平面B平行，则a // 3平面a内无穷多条直线与平面B平行，则C、平面a内三条两两相交的直线平行于平而则a〃BD、平面a内一个三角形的三边与平面B内一个三角形的三边对应平行，则a〃B7、若正n边形的两条对角线分别与平面a平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面a ,那么n的取值可能是（）A、8B、7C、6D、5二、判断题8、若一个平面内有一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。

9、若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。

（）10、若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。

（）11、若一个平面内的任何一条直线都平行丁另一个平面，则这两个平面平行。

（）三、解答题12、己知：Q丄AA',卩丄AA',求证：Q〃B・13、已知：在平面P内，有两条相交直线a、b和平面Q平行.求证：B〃Q・14、如图2-23：已知正方体ABCD—ABCD,求证：平面ABD//平面BDG。

2.2.2平面与平面平行的判定一、选择题1．下列四个说法中正确的是()A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥βB．α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥βC．平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥βD．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 C解析由面面平行的判定定理知C正确．2．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 A解析∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.同理，A1D1∥平面BCF1E1.又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.3．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有()A．1对B．2对C．3对D．4对考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 D解析由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，点E，F 分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是()A．平面ABB1A1B．平面BCC1B1C．平面BCFE D．平面DCC1D1考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 C解析取AB，DC的中点分别为点E1和点F1，连接E1F1，则E1F1过点O，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1(如图)，故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.5．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 B解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．6．已知立方体ABCD－A′B′C′D′，点E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是()A．0 B．2C．4 D．6考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 D解析连接EG，EH，EF，FG，GH，∵EH∥FG且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴E，F，G，H四点共面．由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG，EH⊂平面EFGH，AB′，AD′⊂平面AB′D′，可得平面EFGH∥平面AB′D′.故平面EFGH内的每条直线都符合条件．故选D.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1. 其中推断正确的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 A解析∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；∵FG∥BC1，FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故③正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.8．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②BC∥平面P AD；③AB∥平面PCD；④平面P AD∥平面P AB.其中正确的有()A．①③B．①④C．①②③D．②③考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 C解析把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面P AD，平面PBC，平面P AB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD.同理BC∥平面P AD.二、填空题9．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________．考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案相交或平行解析b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．10．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案平行解析若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾．故α∥β.11．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．三、解答题12. 如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的证明解∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PBC.13．如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD 的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明(1)证明如图，连接AE，由F是线段BD的中点，四边形ABED为正方形得F为AE的中点，∴GF为△AEC的中位线，∴GF∥AC.又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)解平面GFP∥平面ABC，证明如下：连接FP，GP.∵点F，P分别为BD，CD的中点，∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC，∴FP∥平面ABC，又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，FP⊂平面GFP，GF⊂平面GFP，∴平面GFP∥平面ABC.四、探究与拓展14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足_____时，有MN∥平面B1BDD1.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案M在线段FH上解析连接HN，FH，FN.∵HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，HN，HF⊂平面FHN，DB，DD1⊂平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1.∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，∴M∈FH.15．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，是否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由．考点 平面与平面平行的判定 题点 平面与平面平行的证明解 如图，设N 是棱C 1C 上的一点，且C 1N ＝14C 1C ，则平面EMN 为符合要求的平面．证明如下：设H 为棱C 1C 的中点，连接B 1H ，D 1H . 因为C 1N ＝14C 1C ，所以C 1N ＝12C 1H .又点E 为B 1C 1的中点，所以EN ∥B 1H . 又CF ∥B 1H ， 所以EN ∥CF .又EN ⊄平面A 1FC ，CF ⊂平面A 1FC ， 所以EN ∥平面A 1FC . 同理MN ∥D 1H ，D 1H ∥A 1F ，所以MN ∥A 1F ，又MN ⊄平面A 1FC ，A 1F ⊂平面A 1FC ， 所以MN ∥平面A 1FC .又EN ∩MN ＝N ，EN ，MN ⊂平面EMN ，所以平面EMN ∥平面A 1FC .。

§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定一、基础过关1．直线m∥平面α，直线n∥m，则() A．n∥αB．n与α相交C．n⊂αD．n∥α或n⊂α2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是() A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______；(2)与直线AA1平行的平面是______；(3)与直线AD平行的平面是______．6．已知不重合的直线a，b和平面α.①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，其中正确命题的个数是________．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1∥平面AEC.8. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF.二、能力提升9．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝EF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定10．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面() A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能11．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.三、探究与拓展13. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)答案1．D 2.B 3.D 4.D5．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C1 6．17．证明如图，连接BD交AC于F，连接EF.因为F为正方形ABCD对角线的交点，所以F为AC、BD的中点．在三角形DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B.又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以BD1∥平面AEC.8．证明连接OF，∵O为正方形DBCE对角线的交点，∴BO＝OE，又AF＝FE，∴AB∥OF，⎭⎬⎫AB⊄平面DCFOF⊂平面DCFAB∥OF⇒AB∥平面DCF.9．A10．D11．1212．证明取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知FG∥CD，FG＝12CD，BE∥CD，BE＝12CD，所以FG∥BE，FG＝BE，故四边形BEGF为平行四边形，所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE，所以BF∥平面A′DE.13．证明如图所示，连接AQ并延长交BC于K，连接EK.∵KB∥AD，∴DQBQ＝AQQK.∵AP＝DQ，AE＝BD，∴BQ＝PE.∴DQBQ＝APPE.∴AQQK＝APPE.∴PQ∥EK.又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有( )A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′ B ．∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立． 上述结论中，正确的是( )A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角； (2)FO 与BD 所成的角． 二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角． 三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D 2．C 3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60° (2)45°7．(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解 如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， 若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)． 又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°， 即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、基础过关1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．直线l与平面α不平行，则() A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的() A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交4．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α5．直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b的位置关系是________．6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．8. 如图，直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，求证：a∥b.二、能力提升9．下列命题正确的是() A．若直线a在平面α外，则直线a∥αB．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥βD．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β10．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线() A．异面B．相交C．平行D．垂直11．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC 与面α的位置关系为________．12. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．三、探究与拓展13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．答案1．D2．C3．D4．C5.平行、相交或异面6．b⊂α，b∥α或b与α相交7．解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.8．证明∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α无公共点．∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.∴直线a与b无公共点．∵a⊂β，∴a∥b.9．D10.D11.平行或相交12．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.13．解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(1)图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．图(3)2.2.2平面与平面平行的判定一、基础过关1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．不确定2．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是() A．12 B．8 C．6 D．55．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．B 2．D 3．B 4.D 5．相交或平行 6．③7．证明 由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE .∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1. 同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是平行四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF . 又MN ⊄平面EFDB ， EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB .∴AN ∥平面EFDB . ∵AN 、MN 都在平面AMN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .13．(1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.2.2.3 直线与平面平行的性质一、基础过关1．a ，b 是两条异面直线，P 是空间一点，过P 作平面与a ，b 都平行，这样的平面( ) A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有D ．有无数个2. 如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°3. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G 、H ，则HG 与AB 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行和异面4．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A ．至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条D ．没有5．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.7. ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .8. 如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD∥平面EFGH.二、能力提升9.如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是()A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l310．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．10题图11题图11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________.12. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．三、探究与拓展13．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.答案1．C 2．C 3．A 4．B5．①②⇒③(或①③⇒②) 6.223a7．证明 如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理， 则有P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， 则有AP ∥GH .8．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH .又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD . ∴EF ∥平面BCD .而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF ⊂平面ACD ，∴EF ∥CD . 而EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH . 9．A 10.平行四边形 11．m ∶n12．(1)证明 因为BC ∥AD ，AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ，所以BC ∥平面P AD .又平面P AD ∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥l . (2)解 MN ∥平面P AD . 证明如下：如图所示，取PD 中点E . 连接EN 、AE .又∵N 为PC 中点，∴EN 綊12AB∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.13．证明连接A 1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED，∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，又∵C1D⊂平面AC1D，BD1⊄平面AC1D，∴BD1∥平面AC1D，又A1B∩BD1＝B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2.2.4 平面与平面平行的性质一、基础过关1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线b ，则a 、b 的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定2．已知a 、b 表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b3. 如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”) (1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系； (2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝______.7.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．二、能力提升9．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面10．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245 C ．14 D ．2011．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．三、探究与拓展13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB1.∵OB21＝OB2＋BB21＝32，PB21＝PD21＋B1D21＝94，OP2＝PD2＋DO2＝34，∴OB21＋OP2＝PB21.∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面P AC.13．解(1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ 3.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝2－13＝33.∴∠BAH＝30°.(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．∵△BCB1∽△ACA1，∴BB1AA1＝B1CCA1＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝3，∴B1C＝233.∴tan∠BCB1＝BB1B1C＝2233＝3，∴∠BCB1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面() A．有且只有一个B．有无数个C．一个或无数个D．可能不存在2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是() A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面经过另一个平面的一条垂线C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角A—BE—P的大小．二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .12．如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC .(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由． 三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝2，BC ＝ 6.(1)求证：PD ⊥平面ABC ； (2)求二面角P —AB —C 的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．＝3，则∠PBA＝60°.在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ， ∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ， 使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角． 13．(1)证明 连接BD ，∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5， ∴PD ⊥AC .∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A ．1 B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB ，a ∥α，a ⊥AB ，则a 与β的关系为________． 7. 如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC .求证：BC ⊥AB .8. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC . 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶310．设α－l －β是直二面角，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ，b 与l 都不垂直，那么( )A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直，也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行11．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号)①a 和b 垂直于正方体的同一个面； ②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面； ③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 12．如图所示，在多面体P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点， 求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积． 三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明 在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ， 且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 9．A 10．C 11．①②③12．(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ， ∴面MBD ⊥面P AD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ， ∵面P AD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高． 又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO 是二面角A 1－BD －C 的平面角，设AC ＝a ，则C 1O ＝22a ，C 1D ＝2a ＝2C 1O ⇒∠C 1DO ＝30°，故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.章末检测一、选择题1．下列推理错误的是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°3．下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则() A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是() A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()。