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新三维混沌系统的动力学分析及电路实验

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新三维混沌系统的动力学分析及电路实验

通过代数方法，构造出来一个具有复杂混沌吸引子的非线性混沌自治三维系统.从理论和数值两方面对吸引子进行了分析和仿真，得到了系统在平衡点处不稳定的参数范围。通过分岔图和Lyapunov指数谱进一步揭示了系统丰富的动力学行为.最后，对该混沌系统的一个混沌吸引子进行了实际电路的设计与实验验证。

标签 稳定性；分岔；Lyapunov指数；电路仿真

引言

1963年，Lorenz得到第一个混沌系统——Lorenz系统后，许多新的混沌系统也相继提出并得到了广泛的研究，并且这些系统的吸引子也被实验电路所验证[1-8]. 1999年，陈关荣利用反控制的方法发现了一个与Lorenz系统不同的混沌系统称为chen系统.2002年，吕金虎等发现了lü系统，实现了从Lorenz系统向Chen系统的过渡.2004年，刘崇新等又提出了一个含有非线性平方项的新的三维自治混沌系统 ——Liu系统.文献[9]和[10]提出并实现了两个特殊的吸引子，即多涡旋混沌吸引子和Lyapunov指数恒为常数的吸引子.

本文构造了一个新的混沌系统，通过理论推导和数值仿真对其基本动力学特征进行研究，利用分岔和Lyapunov指数揭示了系统丰富的动力学行为。最后设计了能实现这个系统的混沌吸引子的实验电路，并且进行了实际电路验证。

1、数学模型及动力学特性分析

（1）

其中 为系统状态变量， 为实参数且 。系统（1）中仅含有2个非线性项 和 .可以通过数学证明系统（1）与Lorenz系统族中的任何一个都不具有拓扑等价性，是一个新的混沌系统。

1.1基本性质

（1）对称性

注意到原系统在 的变换下保持不变，所以系统（1）关于 轴是对称的，即若 是系统的解，则 也是系统的解。显然， 轴本身也是系统的一条解轨线。因此，对于 ，轴上所有的解轨线都趋于原点。

（2）吸引子的存在性

系统（1）的向量场散度和Jacobian矩阵分别为

根据Liouville定理，变化率反映为Jacobian矩阵的迹，则

其中 为矩阵 的特征根， 为系统的3个 指数。

由于 ，所以系统（1）是耗散的，且以指数形式 收敛。因此，系统（1）的轨线都会被限制在一个体积为零的集合上，并且动力学行为会被固定在一个吸引子上，故吸引子是存在的。

1.2平衡点稳定性分析

可以计算得到系统（1）的三个平衡点分别为

其中对于后两个实根要求 。

由系统的Jacobian矩阵可得特征方程为

其中 为待定的特征根。

将平衡点 代入特征方程得

（2）

当 时，由Routh-Hurwitz定理知平衡点 是不稳定的。

由于 和 具有对称性，这里只对 进行讨论。将 代入特征方程中有：

可得平衡点 不稳定的参数条件为

（3）

1.3吸引子数值仿真

当参数 时，根据式（3）可求得系统（1）不稳定的参数条件为 ，不妨取参数 ，这时 ，系统（1）是耗散的，三个平衡点分别为

。由式（2）可得平衡点 的特征值分别为

。因此平衡点 是不稳定的。同理可知， 和 也是不稳定的。

2、动力学行为分析

参数 ，系统的分岔情况及Lyapunov指数随着 的增大，系统由不动点进入了一个较长的含有多个周期窗口的混沌区域，在每个周期窗口中都有逆倍周期分

差现象，都是周期到混沌的阵发过渡。由Kaplan-Yorke猜想公式确定的系统吸引子的分数维很低这与Lorenz系统比较类似。

3、电路实验

混沌系统的最直接最简单的物理实现是通过电路来完成的，许多混沌系统的动力学行为都是通过电路得到的验证[6].基于电子电路设计原理，设计了混沌系统（1）在 时的电路，电路中的运算放大器型号为TL084CN，乘法器型号为AD633（增益为1），电源电压值为12V。

对电路进行实验，分别在输出端口接入示波器，得Multisim10.0仿真这与其Matlab 数值仿真结果一致.

4、结语

本文构造了一个新的三维自治系统，根据Routh-Hurwitz定理得到了系统不稳定的参数取值范围，通过数值仿真得到了系统的混沌吸引子，并且由系统分岔情况和Lyapunov指数揭示了系统的丰富动力学行为。最后，对该系统的一个混沌吸引子设计了实际电路，进一步验证了吸引子的存在性。

参考文献：

[1]Liu CX，Liu T，Liu L.A new chaotic attractor[J]. Chaos Solitons and Fractals，2004， 5：1031.

[2]褚衍东，李险峰，张建刚，等.一个新自治混沌系统的计算机仿真与电路模拟[J].四川大学学报：自然科学版，2007，44（3）：596 -602.

[3]周平，危丽佳，程雪峰.只有一个非线性项的超混沌系统[J].物理学报，2009，58（8）：5201-5208.

[4]包伯成，刘中，许建平.一类超混沌系统电路实现及其动力学分析[J].四川大学学报：工程科学版，2010， 42（2）：182-187.

[5] Li， X.F. ，Chu， Y.D. ，Zhang， J.G. Nonlinear dynamics and circuit

implement tation for a new Lorenz-like attract-

or[J]. Chaos， Solitons and Fractals ，2009， 41：2360–2370.

[6]刘崇新.非线性电路理论及应用[M].西安交通大学出版社，2007：159.

[7]Lü， J.H.， Murali， K.， Sinha， S.， Leung， H.， Aziz-Alaoui，M.A. Generating multi-scroll chaotic attractors by thresh-olding[J]. Phys. Lett. A ，2008，372：3234–3239.

[8]Liu， Y.J.， Yang， Q.G. Dynamics of a new Lorenz-like chaotic system[J].

Nonlinear Anal.， Real World Appl. 2010，11：2563–2572 .

[9]Lü JH， Murali K， Sinha S，et al.Generating multi-scroll chaotic attractors

by thresholding[J]. Phys. Lett.A ，2008，372：3234– 3239.

[10]Li CB，Wang DC.An attractor with invariable Lyapunov exponent spectrum

and its Jerk circuit[J]. Acta Phys.Sin，2009，58，764– 770.

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一个混沌系统仿真研究及其电路分析

一个混沌系统仿真研究及其电路分析

一个混沌系统仿真研究及其电路分析

吴国增;段树民

【摘 要】分析了Liu混沌系统动力学特性,首先对系统的数值特性进行了分析和研究.通过数值分析可以得到系统是混沌的.给出了MultiSim 10.1软件实验系统的拓扑结构,并进行了硬件电路的设计和电路仿真研究.电脑仿真技术为研究非线性系统提供了可行的方案,此实验系统具有良好的实验效果,与传统的自治混沌系统相比,此系统具有参数调节方便、易实现、可靠性高,实时性好等优点.

【期刊名称】《电子测试》

【年(卷),期】2010(000)010

【总页数】4页(P43-46)

【关键词】混沌系统;MultiSim 10.1;自治混沌系统

【作 者】吴国增;段树民

【作者单位】聊城大学东昌学院,山东,聊城,252000;聊城大学东昌学院,山东,聊城,252000

【正文语种】中 文

【中图分类】TP332.2

0 引言

现代意义上的混沌概念，要从美国气象学家洛伦兹(Lorenz)发现的“蝴蝶效应”说起[1]。洛伦兹在针对热对流现象的简化模拟时首次从数值上观察到一个决定论系统可以呈现无规律的涨落，随机性无需从外界引入而可由系统内在的简单确定规律产生的现象[2]。洛伦兹教授也因其提出的洛伦兹系统而被誉为“混沌之父”。

自从1963 年,Lorenz 在三维自治系统中发现了第一个混沌吸引子以来[2] ,其混沌理论研究和实际应用得到了极大的关注,但供研究的混沌系统并不多。1999 年Chen等采用线性反馈控制方法控制Lorenz 混沌系统而发现了一种与Lorenz 混沌系统类似但不拓扑等价的Chen 混沌系统[3] ;2001 年和2002 年,吕金虎等人相继发现了Lü混沌系统和连接上述3个混沌系统的统一混沌系统[4] ;2003年, Liu

等发现了在三维连续自治混沌系统中能产生四螺旋混沌吸引子的混沌系统,并用实际的硬件电路证实了该混沌系统的存在[5] 。2005 年,Qi 等在Lorenz 混沌系统的第一个式子上,加上一个非线性项,发现了一类变形Lorenz 混沌系统,并对该混沌系统进行了详细的分析[6] 。2004 年,Liu 等提出了一类含有平方非线性项的三阶连续自治混沌系统[7 ],由于Liu 混沌系统是一个新的混沌系统,开展其动力学特性及电路实现的研究具有重要的理论意义和实际价值,便于作为混沌保密通信系统的信息载体,提高通信系统的安全性。

三维多涡卷Colpitts混沌系统及其数字硬件实现

三维多涡卷Colpitts混沌系统及其数字硬件实现

第１６卷第１期　２０１１年２月　电路与系统学报　Ｊ０１　ＩＲＮＡＬ　ＯＦ　ＣＩＲＣＵｌＴＳ　Ａ　ＳＹＳＴＥＭＳ　ＶＯ１．１６　Ｎｏ．１　Ｆｅｂｒｕａｒｙ，２０１　１　

文章编号：１００７－０２４９（２０１　１）０１・００６９－０５　

三维多涡卷Ｃｏ　ｔｔｓ混沌系统及其数字硬件实现　

包伯成　，　徐强２，　徐煜明２，　汪小锋　

（１．江苏技术师范学院电气信息工程学院，江苏常州２１３００１：２．常州工学院计算机信息工程学院，江苏常卅ｌ　２１３００２）　

摘要：基于混沌吸引子形成的机理，利用单位锯齿波函数改造混沌Ｃｏｌｐｉｔｔｓ振荡器模型，提出了一个新三维多涡　卷混沌系统，生成了（２Ｋ＋１）涡卷混沌吸引子。单位锯齿波函数的引入，增加了系统的指数２平衡点，从而形成多涡卷　吸引子。采用常规的动力学分析方法，研究了该多涡卷混沌系统的动力学特性，研究结果表明所提出的系统的Ｈｏｐｆ　分岔点仅与控制参数有关，而涡卷数量随着锯齿波函数的零点数量的增加而增加。此外，基于微控制器（ＭＣＵ）设计　了一个实现该多涡卷混沌系统的数字硬件电路，实验结果验证了数值仿真结果的正确性。　关键词。多涡卷混沌系统；锯齿波函数：Ｃｏｌｐｉｔｔｓ振荡器；微控制器（ＭＣＵ）　中图分类号ｔ　ＴＮ９１８　文献标识码：Ａ　

１　引言　

多涡卷混沌吸引子的生成模型和相应的电路实现是目前混沌研究领域的热点［１－１２１。从多涡卷混沌　

吸引子的生成模型研究角度来分析，主要是基于具有不同动力学特性的低维混沌系统，如归一化Ｃｈｕａ　电路方程［６，　，…、Ｊｅｒｋ方程［２￣４，１２】和类Ｌｏｒｅｎｚ系统族方程［７Ｉ等，以它们的系统方程为框架，通过引入分　

段线性或者非线性函数对原方程进行改进，从而延拓出各种新的多涡卷（或多翼）混沌系统。这里可　引入的分段线性或者非线性函数主要有阶梯函数【６］、饱和函数【　’３】、三角波函数【９］、滞后函数ｌ２　］和多段　

非线性偶函数Ｌ７　Ｊ等。这样形成的新系统就具有足够数量的指数２平衡点，并由此产生相应数量的混沌　

一个新四维自治超混沌系统及其电路实现[1]

一个新四维自治超混沌系统及其电路实现[1]

一个新四维自治超混沌系统及其电路实现

唐良瑞󰂍

　李　静　樊　冰

(华北电力大学电气与电子工程学院

,北京　

102206)

(

2008年

8月

5日收到

;2008年

11月

11日收到修改稿)

提出了一个新的四维超混沌系统

,并对该系统的基本动力学特性进行了深入研究

,得到该系统的

LE,LE维数

,

给出了

Poincare映射图、

LE谱、分岔图以及时域图和相图

.利用

Mutisim软件设计了该新混沌系统的振荡电路并进

行了仿真实验

.经过数值仿真和电路系统仿真证实该系统与以往发现的混沌吸引子并不拓扑等价

,属于新的混沌

系统

.

关键词

:超混沌系统

,Lyapunov指数

,Poincare截面图

,电路实现

PACC:0545

󰂍

E2

mail:tangliangrui@11引言

自

Lorenz于

1963年在数值实验中偶然发现第

一个混沌吸引子以来

,Lorenz系统作为第一个混沌

的物理和数学模型

,成为后人研究混沌理论的出发

点和基石[1,2]

.近年来

,国内外许多学者对混沌的特

性进行了深入地分析和研究

,发现了许多新的混沌

系统

,较为知名的系统如

Chen系统[3]

、

Lü系统[4,5]

、

Liu系统[6]

和

Qi系统[7]

.现在混沌动力学正由数学

和物理的基础理论研究逐步过渡到实际的工程应用

领域

,并得到了很大发展

.例如混沌理论可用在保密

通信、图像加密等数字信息领域[8—10]

,因而混沌动力

学具有广泛的应用前景

.

三维混沌系统都有个共同点就是结构较为简

单

,在物理上实现容易

.但是这样的混沌系统用于数

字信息加密工程领域的效果不是很好

,这主要是由

于三维混沌系统的带宽相对较窄

,容易导致混沌序

列被数字滤波器给滤掉

,失去加密的意义

.而对于一

个超混沌系统或者高频混沌系统而言

,其产生的混

沌序列信号有比较宽的带宽

,不容易被数字滤波器

过滤

,这对于数字加密领域有非常重要的研究意义

.

因此

,超混沌系统是非线性动力学一个重要的研究

方向

.

本文提出了一个新的四维混沌系统

.该系统含

有

学生混沌原理实验报告(3篇)

学生混沌原理实验报告(3篇)

第1篇

一、实验目的

1. 理解混沌现象的基本特征。

2. 掌握混沌系统的基本理论和方法。

3. 通过实验验证混沌现象的存在。

4. 培养学生的科学实验能力和分析问题能力。

二、实验原理

混沌现象是自然界、人类社会和科学技术中普遍存在的一种复杂现象。混沌系统具有以下基本特征：对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性、分岔和混沌吸引子等。本实验通过计算机模拟混沌现象，验证混沌系统的基本特征。

三、实验设备与材料

1. 计算机

2. 混沌原理实验软件

3. 数据记录表格

四、实验步骤

1. 打开混沌原理实验软件，选择合适的混沌模型（如洛伦兹系统、双摆系统等）。

2. 设置初始参数，如初始速度、初始位置等。

3. 运行实验，观察混沌现象的表现。

4. 记录实验数据，包括时间、初始参数、混沌现象等。

5. 分析实验数据，验证混沌现象的基本特征。

五、实验结果与分析

1. 实验结果显示，混沌现象在洛伦兹系统中表现得尤为明显。当系统参数达到一定范围时，系统表现出混沌行为，如分岔和混沌吸引子等。

2. 通过对实验数据的分析，得出以下结论： （1）混沌现象对初始条件具有敏感依赖性。在实验中，当初始参数发生微小变化时，系统行为会发生显著变化，从而验证了混沌现象的敏感性。

（2）混沌现象具有长期行为的不可预测性。在实验中，尽管系统参数保持不变，但随着时间的推移，系统行为逐渐变得复杂，最终进入混沌状态，验证了混沌现象的不可预测性。

（3）混沌现象存在分岔现象。在实验中，当系统参数逐渐变化时，系统状态会经历从有序到混沌的过程，验证了混沌现象的分岔特性。

（4）混沌现象具有混沌吸引子。在实验中，系统最终会收敛到一个稳定的混沌吸引子，验证了混沌现象的吸引子特性。

六、实验结论

1. 混沌现象是自然界、人类社会和科学技术中普遍存在的一种复杂现象，具有对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性、分岔和混沌吸引子等基本特征。