[中学联盟]河南省长垣县第十中学人教A版必修2第4章课件：411+++圆的标准方程[2]

变式一 圆心在C(8，-3),且经过点M(5,1)的 圆的方程？
尝试高考（2012重庆高考题）
变式二 以点（2，-1）为圆心且与直线 3x-4y+5=0相切的圆的方程为 （ ）
A (x – 2 )2+(y +1 )2=3 B (x + 2 )2+(y -1 )2=3 C (x – 2 )2+(y +1 )2=9 D (x + 2 )2+(y – 1)2=3
y
P={M||MC|=R}
M
R
C(a,b)
O
x
一.圆的标准方程
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标
(a,b) 表示，半径 r的大小等于圆上任意点M(x, y)与
圆心C (a,b) 的距离． 则 |MC|= R
y
M(x,y)
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = R }
OC x
(xa)2(yb)2R
讨论：一共有几种方法？
ห้องสมุดไป่ตู้
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，
且圆心C在直线 l：x －y +1=0上，求圆心为C的圆的标
准方程．
y A(1,1)
弦AB的垂 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l:xy10
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
(5a)2 (1b)2 r2 (7 a)2 (3b)2 r2 (2a)2 (8b)2 r2
a2

解析答案
(2)求y－x的最大值和最小值；
解 设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
|2－0＋b| 此时 2 ＝ 3.
即 b＝－2± 6.
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
解析答案
(3)求x2＋y2的最大值和最小值. 解 x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3， (x2＋y2)min＝(2－ 3)2＝7－4 3.
第四章 § 4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标 准方程.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 圆的标准方程
新知探究 点点落实
思考1 确定一个圆的基本要素是什么？ 答案 圆心和半径. 思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径 的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？ 答案 能. 1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标 准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
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练习
2、圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程为（ ） A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y – 3 )2=5
3、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标为____,半径r =____
a 2,
定
(7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
b 3, r 2 25.
系 数 法
所以，AB的C外接圆的方程 (x 2)2 ( y 3)2 2．5
解法二：
因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段AB
-15
-10
的中点的坐标为(6,-1)，直线
4、已知圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ，判断点 P (5,7)是否
在圆上？
1
5、已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆 心C在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准 方程．
例4、求以c(1,3）为圆心，并和直线
3x - 4y - 6 =0相切的圆的方程。
(2)求圆x2 y2 1, 斜率为1的切线方程 .
解: 设所求切线方程为 y x b.
则|b| 1
b 2
y x 2.
2
(3)求圆x2 y2 1,在y轴上的截距为 2的切线方程
解:当斜率不存在时不满足
则
2 设所求切线方程为 y kx 2.
1 k2 1
k 1, y x
2.
5、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m， 拱高为4m ，求该圆拱桥所在的圆的方程。

上，求圆心为C的圆的标准方程.
y
弦AB的垂
A(1,1) 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l : x y 1 0
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
解：A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
(3 , 2
1 2
),直线AB的斜率:
k AB
21 2 1
3
因此线段AB的垂直平分线 l ' 的方程是
点M在圆上 点M在圆内 点M在圆外
例1:已知圆心A(2, -3) ，半径等于5的圆 的方程，试判断点M(5, -7)、N(1，0)、 Q(7, 1)是在圆上，在圆内，在圆外？
(x-2)2+(y+3)2=25
例2:已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和
B(2,－2 )，圆心C在直线l: x－y＋1＝0
y 1 1(x 3) 23 2
即x 3y 3 0
x x
3y 3 0 y 10
xy
3 2
C(3,2)
r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x 3)2 ( y 2)2 25
例3:△ABC的三个顶点的坐标分别是
A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它
(2) (x+4)2+(y-2)2 = 7 (-4,2) r 7
(3) x2+(y+1)2 = 16
(0,-1) r=4
(4) 2x2+2y2=8
(0,0) r=2
练习2：写出下列圆的方程
(1)圆心在原点,半径是3.
x2+y2=9