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高中数学必修2直线与圆优质教案空间直角坐标系含解析

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1 【教学目标】 1.掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标.通过空间直角坐标系的建立,使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习,培养学生类比,迁移,化归的能力. 2.解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想,进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与,大胆探索的精神. 【重点难点】 教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标. 教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用. 【课时安排】 1课时 【教学过程】 导入新课 大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系. 推进新课 新知探究 提出问题 ①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示? ②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示? ③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？ ④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立. ⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？ 讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示. 2

②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y). ③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来. ④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面. 由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.

图1 图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系. 注意:在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差. ⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来表示了. 已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). 3

图2 反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示) 坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系. 注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征. 如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M在x轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0. 空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z). 应用示例 例1 如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.

图3 活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在y轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求. 解:D′在z轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C的坐标为(0,4,0).A′在xOz平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy平面上的射影是点B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同, 4

在xOy平面上,点B的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B′在z轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2). 点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,确定x,y和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征. 例2 讲解课本例2. 活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单?一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy平面,其他不变,来看这15个点的坐标. 解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(21,21,0);中层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与z轴交点的竖坐标是21,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,21)、(1,21,21)、(21,1,21)、(0,21,21);上层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与z轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(21,21,1). 思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy平面,结果会怎样呢？ 解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,0)、(1,21,0)、(21,1,0)、(0,21,0);上层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与轴交点的竖坐标是21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0, 21)、(0,1, 21)、(1,0, 21)、(1,1, 21)、(21,21,21);下层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与轴交点的竖坐标是-21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,-21)、(1,0,-21)、(1,1,-21)、(0,1,-21)、(21,21,-21). 点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系. 拓展提升 1.在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x轴);③纵轴(y轴);④竖轴(z轴);⑤xOy坐标平面;⑥yOz坐标平面;⑦zOx坐标平面的对称点的坐标是什么? 解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知: 点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P1(-x,-y,-z); 5

点P(x,y,z)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x,-y,-z); 点P(x,y,z)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(-x,y,-z); 点P(x,y,z)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(-x,-y,z); 点P(x,y,z)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x,y,-z); 点P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P6(-x,y,z); 点P(x,y,z)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x,-y,z). 点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标相反. 变式训练 在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述: ①点P(a,b,c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P4(-a,-b,-c). 其中正确叙述的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 分析：①②③错,④对. 答案：C 课堂小结 1.空间直角坐标系的建立. 2.空间直角坐标系中点的坐标的确定. 3.空间直角坐标系中点的位置的确定. 4.中点公式：

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高中数学必修2直线与圆优质教案圆的一般方程含解析

高中数学必修2直线与圆优质教案圆的一般方程含解析

【教学目标】1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件,通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.【重点难点】教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.【课时安排】1课时【教学过程】导入新课①说出圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.④能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师板书课题:圆的一般方程.推进新课新知探究提出问题①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?③给出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.④把式子(x－a)2＋(y－b)2=r2与x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.③把式子x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方得(x+2D )2+(y+2E )2=4422F E D -+. ④(x －a)2＋(y －b)2=r 2中,r ＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r ＜0时不表示任何图形.因此式子(x+2D )2+(y+2E )2=4422F E D -+. (ⅰ)当D 2+E 2-4F ＞0时,表示以(-2D ,-2E )为圆心,21F E D 422-+为半径的圆； (ⅱ)当D 2+E 2-4F=0时,方程只有实数解x=-2D ,y=-2E ,即只表示一个点(-2D ,-2E ); (ⅲ)当D 2+E 2-4F ＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.综上所述,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D 2+E 2-4F ＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D 2+E 2-4F ＞0.我们把形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.⑤圆的一般方程形式上的特点:x 2和y 2的系数相同,不等于0.没有xy 这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.应用示例例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x 2+4y 2-4x+12y+9=0;(2)4x 2+4y 2-4x+12y+11=0.解:(1)由4x 2+4y 2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=49,而D 2+E 2-4F=1+9-9=1＞0,所以方程4x 2+4y 2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(21,-23),半径为21； (2)由4x 2+4y 2-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=411,D 2+E 2-4F=1+9-11=-1＜0, 所以方程4x 2+4y 2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.点评:对于形如Ax 2+By 2+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件D 2+E 2-4F 与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.变式训练求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0;(2)x 2+y 2+2by=0.解:(1)把x 2+y 2-8x+6y=0配方,得(x －4)2＋(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5；(2)x 2+y 2+2by=0配方,得x 2＋(y+b)2=b 2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.例2 求过三点O(0,0)、M 1(1,1)、M 2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.解:方法一：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由O 、M 1、M 2在圆上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=.02024,02.0F E D F E D F 解得D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6y=0,即(x －4)2＋(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.方法二：先求出OM 1的中点E(21,21),M 1M 2的中点F(25,23), 再写出OM 1的垂直平分线PE 的直线方程y-21=-(x-21), ① AB 的垂直平分线PF 的直线方程y-23=-3(x-25), ② 联立①②得⎩⎨⎧=+=+,93,1y x y x 得⎩⎨⎧-==.3,4y x 则点P 的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,即x 2+y 2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5为半径.方法四：设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2=r 2,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a 、b 、r 的方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+=-+-.)2()4(,,)1()1(222222222r b a r b a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,4r b a 所以所求圆的方程为(x －4)2＋(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.例3 已知点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.图1解法一:如图1,作MN ∥OQ 交x 轴于N,则N 为OP 的中点,即N(5,0).因为|MN|=21|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即 (*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=16上,所以x 02+y 02=16.将(*)代入得(2x-10)2+(2y)2=16.故所求的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(002001y x f y y x f x (Ⅰ) ③从(Ⅰ)中解出⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(2010y x g y y x g x (Ⅱ) ④将(Ⅱ)代入主动点Q 的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用.变式训练已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)2+y 2=4上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 解:设点M 的坐标是(x,y),点A 的坐标是(x 0,y 0).由于点B 的坐标是(4,3)且M 是线段AB 的中点,所以x=240+x ,y=230+y .于是有x 0=2x-4,y 0=2y-3. ①因为点A 在圆(x+1)2+y 2=4上运动,所以点A 的坐标满足方程(x+1)2+y 2=4,即(x 0+1)2+y 02=4.②把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-23)2+(y-23)2=1. 所以点M 的轨迹是以(23,23)为圆心,半径长为1的圆. 拓展提升问题：已知圆x 2+y 2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P 、Q 两点,定点R(1,1),若PR ⊥QR,求实数m 的值. 解:设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+.062,0822y x m y x y x 消去y 得5x 2+4m-60=0. ① 由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m ＞0,m ＜15. 由韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧-==+.1254,02121m x x x x因为PR ⊥QR,所以k PR k QR =-1.所以11112211--∙--x y x y =-1,即(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-1)(y 2-1)=0, 即x 1x 2-(x 1+x 2)+y 1y 2-(y 1+y 2)+2=0. ②因为y 1=3-21x ,y 2=322x -,所以y 1y 2=(3-21x )(322x -)=9-23(x 1+x 2)+421x x =9+421x x , y 1+y 2=6,代入②得45x 1x 2+5=0,即45(54m-12)+5=0. 所以m=10,适合m ＜15.所以实数m 的值为10.课堂小结1.任何一个圆的方程都可以写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有D 2+E 2-4F ＞0时,方程表示圆心为(-2D ,-2E ),半径为r=21F E D 422-+的圆.2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.作业习题4.1 A 组1、6,B 组1、2、3.。

高中数学必修2直线与圆优质课件：直线与圆的位置关系(复习课)

高中数学必修2直线与圆优质课件：直线与圆的位置关系(复习课)

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
和直线l2之间运动才可，此时相应的m∈1，23 3.
∴m的取值范围是1，2 3 3.
[类题通法] 要注意结合图象，得出正确的答案，不能想当然．要 注意直线之间倾斜程度的比较，像在此例题中，我们要 注意比较直线 l 的斜率 k＝－ 33与直线 AB 的斜率 k＝－ 1，如果注意到它们的关系了，就不易出错．
[对点训练]
2．已知直线 l：y＝－ 33x＋m 与圆 x2＋y2＝1 在第一象限内 有交点，求 m 的取值范围． 解：∵l：y＝－ 33x＋m，圆x2＋y2＝1， ∴l可变形为： 3 x＋3y－3m＝0，圆的圆心为(0,0)， 半径长r＝1. 当直线和该圆相切时，应满足d＝|－33＋m9|＝1，解得m＝
又OP⊥OQ，∴KOP·KOQ＝－1即x1x2＋y1y2＝0. ∴x1·x2＋12(3－x1)·12(3－x2)＝0， 整理得5x1x2－3(x1＋x2)＋9＝0， ∴5×4m－5 27－3×(－2)＋9＝0. 解得m＝3满足① ∴实数m的值为3.
[类题通法] 此题设出 P，Q 两点的坐标，但在求解过程中又不 能刻意地求出来，只将它作为一个转化过程中的桥梁， 这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注 意认真体会并掌握．
[类题通法] 过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法： (1)设切线斜率，用判别式法； (2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长； (3)设切点(x0，y0)，用切线公式法．
[对点训练] 1．已知圆 C：(x－2)2＋(y－1)2＝1.求：
(1)过 A(3,4)的圆 C 的切线方程； (2)在两坐标轴上的截距相等的圆 C 的切线方程． 解：(1)当所求直线的斜率存在时，设过 A(3,4)的直线方程为 y －4＝k(x－3)，即 kx－y＋4－3k＝0， 由|2k－11＋＋4k－2 3k|＝1，得 k＝43. 所以切线方程为 y－4＝43(x－3)，即 4x－3y＝0. 当所求直线的斜率不存在时，直线方程为 x＝3，也符合题意． 故所求直线方程为 4x－3y＝0 或 x＝3.
人教A版高中数学必修2《四章 圆与方程 4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》优质课教案_7

人教A版高中数学必修2《四章 圆与方程 4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》优质课教案_7

4.3.2空间两点间的距离 教案教学目的：1. 理解空间内两点间距离公式的推导过程,会用空间两点间的距离公式解决问题。

2.能应用坐标法解决一些简单的立体几何问题。

3.探究空间两点间的距离公式, 通过猜想，培养学生类比、迁移和化归的能力。

教学重点：空间直角坐标下两点间距离公式及其应用。

教学难点：两点间距离公式的推导教材与学情分析：本节内容是在学生已经初步掌握空间直角坐标系中任一点的坐标求法基础上；利用平面两点间距离公式类比、迁移进行新知学习，部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑。

因此在教学中要关注不同层次的学生的学习和发展，并尽量降低难度以利于学生掌握基础知识。

教学过程 一、复习提问1、设平面上两个点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），如何求两点之间的距离21P P ？2、如图，OABC －D ’A ’B ’C ’是单位正方体，求点B ’ 关于x 轴对称点的坐标，关于y 轴对称点的坐标。

二、新课讲授1、求空间中两点间距离的引入距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？2、 空间中两点间距离公式的推导（1）先求点P （x ，y ，z ）到坐标原点的距离。

思考1: 在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A （x ，0，0），B （0，y ，0），C （0，0，z ），与坐标原点O 的距离分别是什么？ |OA|=|x| |OB|=|y| |OC|=|z|思考2: 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A （x ，y ，0），B （0，y ，z ），C （x ，0，z ），与坐标原点O 的距离分别是什么？思考3: 在空间直角坐标系中，设点 P （x ，y ，z ）在xOy 平面上的射影为M ，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM|的值分别是什么？M(x,y,0) |PM|=|z| 思考4: 基于上述分析，你能得到点 P （x，y ，zO 的距离公式吗？||OA =||OB =||OC =||OM =||OP =结合图形推导如下：设点P 在xOy 平面上的射影是B （PB 垂直平面xOy ），点B 坐标为（x ，y ，0）。

高中数学 第四章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系教学设计 新人教A版必修2

高中数学 第四章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系教学设计 新人教A版必修2

4.3 空间直角坐标系【教学目标】1.知识与技能：（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景。

（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示。

2.过程与方法：建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示3.情感态度价值观：通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.【重点难点】1.教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标.2.教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用.【教学策略与方法】1.教学方法：合作探究、启发诱导，学生动手尝试相结合.2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：问题：1、数轴上的点怎么表示？2、平面直角坐标系上的点怎么表示？3、怎样确切的表示室内灯泡的位置？引入课题。

回答问题让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系环节二：思考1:平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想：空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？三条交于一点且两两互相垂直的数轴思考2:在空间中，取三条交于一点且两两互相垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，组成空间直角坐标系Oxyz，在平面上如何画空间直角坐标系？总结：空间直角坐标系的画法：1.x轴与y轴、x轴与z轴均成135度, 学生思考，讨论，代表回答。

以旧引新激发学习兴趣.问题的引导可以使学生更好的把握空间直角坐标系的建立。

而z轴垂直于y轴．2.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半．练习:在空间直角坐标系中，对三条数轴的方向作如下约定：伸出右手，拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正方向，中指指向为z轴正方向，并称这样的坐标系为右手直角坐标系.那么下列空间直角坐标系中哪些是右手直角坐标系？思考3:空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示？注意：在建立了空间直角坐标系后，空间中任何一点P就与有序实数组(x,y,z)建立了一一对应关系，(x,y,z)就叫做P的空间直角坐标，简称为坐标，记P(x,y,z)。