2015朝阳一模 北京市朝阳区2015届高三第一次综合练习数学(理)试题及答案

2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U＝{a, b, c, d}，集合A＝{a, b}，B＝{b, c}，则∁U(A∪B)等于（）A {b}B {d}C {a, c, d}D {a, b, c}2. 命题p:∀x∈R，都有sinx≤1，则（）A ￢p:∃x0∈R，使得sinx0≥1B ￢p:∃x0∈R，使得sinx0>1C ￢p:∀x0∈R，使得sinx0≥1D ￢p:∀x0∈R，使得sinx0>13. 若抛物线y2=2px，p>0的焦点与双曲线x2−y2=2的右焦点重合，则p的值为()A √2B 2C 4D 2√24. 如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A 计算S＝1×2×3×4×5×6的值B 计算S＝1×2×3×4×5的值C 计算S＝1×2×3×4的值 D 计算S＝1×3×5×7的值5. 已知x1=log132，x2=2−12，x3满足(13)x3=log3x3，则（）A x1<x3<x2B x1<x2<x3C x2<x1<x3D x3<x1<x26. 函数f(x)＝2sin(x−π6)cos(x−π6)图象的一条对称轴方程是（）A x=π6 B x=π3C x=5π12D x=2π37. 已知实数x，y满足{2x+y≥02x−y≤00≤y≤t其中t>0．若z＝3x+y的最大值为5，则z的最小值为（）A 52B 1C 0D −18. 已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作MH // DE交CE于H，作MG // AD交BD于G，连结GH．设CM＝x(0< x<3)，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C−GHM的体积y与变量x变化关系的是（）A B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9. 若i 为虚数单位，则1+i 1−i =________．10. 若向量a ，b 满足|a →|＝|b →|＝1，a →,b →的夹角为60∘，则a →⋅a →+a →⋅b →=________．11. 圆C ：(x −2)2+(y −2)2＝8与y 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为________．12. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是________，四棱锥侧面中最大侧面的面积是________． 13. 稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额＝（每次收入额−800）×20%×(1−30%)（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额＝每次收入额×(1−20%)×20%×(1−30%)． 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为________元．14. 记x 2−x 1为区间[x 1, x 2]的长度．已知函数y ＝2|x|，x ∈[−2, a](a ≥0)，其值域为[m, n]，则区间[m, n]的长度的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 在△ABC 中，A =π3，cosB =√63，BC ＝6． (Ⅰ)求AC 的长；(Ⅱ)求△ABC 的面积．16. 某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：(Ⅰ)请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；(Ⅱ)若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．17. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．(Ⅰ)求证：BD⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：直线AB1 // 平面BC1D；(Ⅲ)设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．18. 设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝4，a n+1＝S n，n∈N∗．(Ⅰ)写出a2，a3，a4的值；(Ⅱ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅲ)已知等差数列{b n}中，有b2＝a2，b3＝a3，求数列{a n⋅b n}的前n项和T n．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−2, 0)，F2(2, 0)，离心率为√63．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．20. 已知函数f(x)＝(x+ax)e x，a∈R．(Ⅰ)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)当a＝−1时，求证：f(x)在(0, +∞)上为增函数；(Ⅲ)若f(x)在区间(0, 1)上有且只有一个极值点，求a的取值范围．2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）答案1. B2. B3. C4. B5. B6. C7. D8. A9. i10. 32 11. 90∘12. √36,√7413. 由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x 元，则280＝(x −800)×20%×(1−30%) 所以x ＝2800，280014. 315. （1）∵ cosB =√63，B ∈(0, π)，又sin 2B +cos 2B ＝1，解得sinB =√33． 由正弦定理得：AC sinB =BC sinA ，即√33=√32，∴ AC ＝4；（2）在△ABC 中，sinC ＝sin(B +60∘)＝sinBcos60∘+cosBsin60∘=12sinB +√32cosB =12×√33+√32×√63=√3+3√26． ∴ S △ABC =12AC ⋅BCsinC =12×4×6×√3+3√26=2√3+6√2．16. （1）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试的数学成绩平均分高于甲校10名学生的考试的数学成绩，故乙学校的数学成绩平均水平较高（2）设事件M 为分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩，由茎叶图可以看出，甲校数学成绩不低于90分的有2人，记为a 、b ，甲校数学成绩不低于90分的有5人，记为A 、B 、C ，D ，E ，其中a ＝92，b ＝93，A ＝90，B ＝91，B ＝95，D ＝96，E ＝98，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生其情况有(aA)、(aB)、(aC)、(aD)、(aE)、(bA)、(bB)、(bC)、(bD)、(bE)，共10种情况；甲校学生成绩高于乙校学生成绩共有(aA)、(aB)、(bA)、(bB)四种可能， 故P(M)=410=25 17. （1）证明：∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴ CC 1⊥BC ，CC 1⊥AC ，∴ CC 1⊥底面ABC ，∵ BD ⊂底面ABC ，∴ CC 1⊥BD ，又底面为等边三角形，D 为线段AC 的中点．∴ BD ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，∴ BD ⊥平面ACC 1A 1；（2）证明：连接B 1C 交BC 1于O ，连接OD ，如图则O 为B 1C 的中点，∵ D 是AC 的中点，∴ AB 1 // OD ，又OD ⊂平面BC 1D ，OD ⊄平面BC 1D∴ 直线AB 1 // 平面BC 1D ；(Ⅲ)在△BC 1D 内的平面区域（包括边界）存在点E ，使CE ⊥DM ，此时E 在线段C 1D 上； 证明如下：过C 作CE ⊥C 1D 交线段C 1D 与E ，由(Ⅰ)可知BD ⊥平面ACC 1A 1，而CE ⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥CE ，由CE ⊥C 1D ，BD ∩C 1D ＝D ，所以CE ⊥平面BC 1D ，DM ⊂平面BC 1D ，所以CE ⊥DM ．18. （1）∵ a 1＝4，a n+1＝S n ，∴ a 2＝S 1＝a 1＝4，a 3＝S 2＝a 1+a 2＝4+4＝8，a 4＝S 3＝a 1+a 2+a 3＝4+4+8＝16；（2）由a n+1＝S n ，得a n ＝S n−1(n ≥2)，两式作差得：a n+1−a n ＝a n ，即a n+1＝2a n (n ≥2)，∴ 数列{a n }从第二项起为公比是2的等比数列，当n ≥2时，a n =4⋅2n−2=2n ．∴ a n ={4,n =12n ,n ≥2； (Ⅲ)依题意，b 2＝a 2＝4，b 3＝a 3＝8，则{b 1+d =4b 1+2d =8 ，得{b 1=0d =4， ∴ b n ＝4(n −1)．∴ a n ⋅b n ={0,n =1(n −1)⋅2n+2,n ≥2， 则a n ⋅b n =(n −1)⋅2n+2(n ∈N ∗)，T n ＝a 1b 1+a 2b 2+...+a n−1b n−1+a n b n＝0+1×24+2×25+3×26+...+(n −2)×2n+1+(n −1)×2n+2， 2T n =1×25+2×26+3×27+⋯+(n −2)×2n+2+(n −1)×2n+3， 两式作差得：−T n =24+25+⋯+2n+2−(n −1)×2n+3=24(1−2n+1)1−2−(n −1)×2n+3=−16−(n −2)×2n+3．∴ T n =16+(n −2)×2n+3．19. （I ）由已知可得：{c =2c a =√63a 2=b 2+c 2 ，解得a 2＝6，b 2＝2，∴ 椭圆C 的方程为x 26+y 22=1；(II)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝k(x −2)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(x 3, y 3)，N(−x 3, −y 3)．联立{x 26+y 22=1y =k(x −2)，化为(1+3k 2)x 2−12k 2x +12k 2−6＝0， ∴ x 1+x 2=12k 21+3k 2，y 1+y 2＝k(x 1+x 2−4)=−4k 1+3k 2， ∴ 线段AB 的中点D(6k 21+3k 2,−2k 1+3k 2)，∴ 直线OD 的方程为：x +3ky ＝0(k ≠0)．联立{x +3ky =0x 2+3y 2=6，解得y 32=21+3k 2，x 3＝−3ky 3． ∵ 四边形MF 1NF 2为矩形，∴ F 2M →⋅F 2N →=0，∴ (x 3−2, y 3)⋅(−x 3−2, −y 3)＝0，∴ 4−x 32−y 32=0，∴ 4−2(9k 2+1)1+3k 2=0，解得k =±√33， 故直线方程为y =±√33(x −2)． 20. 函数f(x)＝(x +a x )e x 的定义域为{x|x ≠0}，f′(x)=x 3+x 2+ax−ax 2e x ；（1）当a ＝0时，f(x)＝xe x ，f′(x)＝(x +1)e x ，所以f(1)＝e ，f′(1)＝2e ；所以曲线y ＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程是y −e ＝2e(x −1)， 即2ex −y −e ＝0；（2）证明：当a ＝−1时，f′(x)=x 3+x 2−x+1x 2e x ，设g(x)＝x 3+x 2−x +1，则g′(x)＝3x 2+2x −1＝(3x −1)(x +1)， 故g(x)在(0, 13)上是减函数，在(13, +∞)上是增函数，所以g(x)≥g(13)=2227>0，所以当x ∈(0, +∞)时，f′(x)=x 3+x 2−x+1x 2e x >0恒成立，所以f(x)在(0, +∞)上为增函数．(Ⅲ)f′(x)=x 3+x 2+ax−ax 2e x ；设ℎ(x)＝x3+x2+ax−a，ℎ′(x)＝3x2+2x+a，（1）当a>0时，ℎ′(x)>0恒成立，故ℎ(x)在(0, +∞)上为增函数；而ℎ(0)＝−a<0，ℎ(1)＝2>0，故函数ℎ(x)在(0, 1)上有且只有一个零点，故这个零点为函数f(x)在区间(0, 1)上的唯一的极小值点；（2）当a＝0时，x∈(0, 1)时，ℎ′(x)＝3x2+2x>0，故ℎ(x)在(0, 1)上为增函数；又ℎ(0)＝0，故f(x)在(0, 1)上为增函数；故函数f(x)在区间(0, 1)上没有极值；（3）当a<0时，ℎ(x)＝x3+x2+a(x−1)，当x∈(0, 1)时，总有ℎ(x)>0成立，即f(x)在(0, 1)上为增函数；故函数f(x)在区间(0, 1)上没有极值；综上所述，a>0．。

文科保温练习一（文史类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}10A x x =->，{}21xB x =>，则A B =I （ ）A ．∅B ．{}01x x <<C ．{}0x x <D ．{}1x x > 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，63=S ，则10a 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．10 D ．55 3.若01x y <<<，则下列不等式正确的是（ ）A ．44y x< B ．33>x yC ．44log log x y <D ．11()()44x y <4.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为( )A ．91B ． 55C ．54D ．305.已知点)1,1(-A ，)2,1(B ，)1,2(--C ，)4,3(D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A ．2153-B ． 2153C ． 223-D ． 223 6.设0x 是方程x x -=4ln 的解，则0x 属于区间（ ）A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3(7． 为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 A.一类 B.二类 C.三类 D.无法判断 8．在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是其棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9．已知复数z 满足12i12i z+=-，则复数z =_____________． 10．已知双曲线14222=-y ax 的渐近线方程为3y x =±，则此双曲线的离心率为_______． 11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图有半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．A'B'C'D'A BCD12．在ABC ∆中，3π=A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为23，则边BC 的长为__________． 13．当实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥02,,0k y x x y x (k 为常数)时，y x z 3+=有最大值12，则实数k 的值是__________．14. 有排列成一行的四户人家．已知： 小王家在小李家的隔壁,小王家与小张家并不相邻.如果小张家与小赵家也不相邻，那么， 小赵家的隔壁是 家.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知328,48a S ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足24log n n b a =()n ∈*N ，试求数列{}nb 前n 项和nT 的最大值.16．（本题满分13分）设函数()cos(2)6f x x π=+sin 2x +.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设A ，B ，C 为∆ABC 的三个内角，若AB =1，sin B =31， 3()22C f =，求AC 的长.17．（本小题满分13分）某市为增强市民的环境保护意识,征召义 务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25， 第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[]40,45，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，该市决定从3，4组抽取的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率 18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED的值；若不存在，说明理由.19．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ+u u u r u u u r与AB u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2[,]a a 上的最大值．文科保温练习一答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．15. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q (0)q >，则有211181248a q q a a q ⎧=⇒=⎨+=⎩或13q =-（舍） ------------------3分.则12832a q ==，16132()22n n n a --=⋅=. ---------------------------------------6分 （Ⅱ）6224log 4log 2424nn n b a n -===-+，---------------------------------------------9分22(20244)111212222()222n n n T n n n +-==-+=--+-----------------------11分所以当5n =或6n =时数列{}n b 前n 项和n T 的最大值为60. -----------------13分 16. (本小题满分13分)解：()cos(2)6f x x π=+sin 2x +=π1πcos 2cossin 2sinsin 2cos 2sin 2sin(2)66223x x x x x x π-+=+=+......3分 （Ⅰ）令πππ2π22π,232k x k k Z -≤+≤+∈，则5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z . 所以函数的单调递增区间为5ππ[π,π]().1212k k k -+∈Z .............6分（Ⅱ）由已知π()sin()232Cf C +==， …………………………….8分 因为ππ4π0π,333C C <<∴<+< 所以π2π33C +=，π3C =，所以sin C=2. ……………………10分在∆ABC 中，由正弦定理，sin sin AC AB B C =，得1sin sin 2AB B AC C ⋅===. …..13分. 17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由频率直方图可知：第3组的人数为0.06510030⨯⨯= 第4组的人数为0.04510020⨯⨯= 第5的人数为0.02510010⨯⨯=所以用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组：306360⨯= 第4组：206260⨯= 第5组：106160⨯= 所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人 ……6分 （Ⅱ）记第3组的3名志愿者为123,,,A A A 第4组的2名志愿者为12,,B B 则5名志愿者中抽取的2名志愿者有：12(,),A A 13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B 共10种其中第4组的2名志愿者为12,,B B 至少有一名志愿者被抽中的有：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B 共有7种所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为710. ………….13分. 18. （本小题满分14分） （Ⅰ）解：在Rt ΔADE中，AE ==. ………………1分因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C ADE -的体积为Δ11332C ADE ADE AE DEV S CD CD -⋅==⋅⋅=⋅ ………………4分 （Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. ………………5分 又因为AE DE ⊥，CD DE D =I ,所以AE ⊥平面CDE . ………………7分 又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . …………………8分（Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且13EFED =，使//AF 平面BCE . ……………9分 解：设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =， …………10分过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1=3FM CD .因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以//CD AB . 又因为3CD AB =所以MF AB =，//FM AB ,所以四边形ABM F 是平行四边形，则//AF BM . ……………12分 又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE . ……………14分19. （本小题满分13分）解（Ⅰ）过点(0且斜率为k 的直线l方程为：y kx =+ABCED F M由2212y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 得22(12)20k x +++= ------------------------------2分22)8(12)0k ∆=-+> ------------------------------3分 即 212k >，即22k k ><------------------------------4分 所以 k的取值范围为(,()22-∞-+∞U ------------------------------5分（Ⅱ）由题意知，(0,1)A B，则(AB =u u u r-----------------------------6分设 11(,)P x y 22(,)Q x y由（Ⅰ）知，12212x x k+=-+ ------------------------------7分2121222()1212y y k x x k k +=++=-+=++ ---------------------8分121222(,)(,)1212OP OQ x x y y k k∴+=++=-++u u u r u u u r ------------------------------9分 若OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线，则= ------------------------------10分2k ∴=------------------------------11分这与(,)22k ∈-∞-+∞U 矛盾，故k 不存在．------------------------------13分 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞． ……………………1分且1()2(2)f x ax a x'=-+-． ……………………2分 因为()f x 在1x =处取得极值， 所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-． ……………………3分当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=， 当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为2a a <，所以01a <<．………………………………………………………………5分由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-．因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>．当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<．所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………7分①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增，所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-．……………………………………9分②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即12a <<()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以[]max 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．………………………11分③当212a ≤，即12a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-．…………………………………13分综上所述：当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当12a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；当12a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………14分。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷 2015.5学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界 平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资．将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为A ．0.8×1013B ．8×1012C ．8×1013D ．80×10112. 如图，下列关于数m 、n 的说法正确的是A ．m ＞nB ．m =nC ．m ＞－nD ．m =－n3．如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于 A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°4．下列计算正确的是A ．2a +3a =6a B. a 2+a 3=a 5 C. a 8÷a 2=a 6 D. (a 3)4= a 75．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是 A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差7为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为 A.16 B. 51C. 310D. 12 8. 若正方形的周长为40，则其对角线长为A ．100B ．C ．D ．10 9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河 垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．如果QS =60 m ， ST =120 m ，QR =80 m ，则河的宽度PQ 为A ．40 mB ．60 mC ．120 mD ．180 m10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的 时间t （秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是 A. 乙的速度是4米/秒B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C. 甲从起点到终点共用时83秒D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若分式21-x 有意义，则x 的取值范围是 ．12．分解因式：2236+3m mn n -= ．13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，则∠CDB 的度数为 ．14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－，2）的函数，所写的函数表达式是 ．15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 （填“一类、二类、三类”中的一个）．16．一组按规律排列的式子：a 2，25a -，310a，417a -，526a ，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．求证：AC =ED ．18．计算：1012sin 45(2015)3-⎛⎫+--︒+- ⎪⎝⎭π．19．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，20．已知250x x +-=，求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．21．已知关于x 的一元二次方程2630x x k -++=有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围；(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．22．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁 于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的2920倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市燃煤数量为万吨；（2）请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据；（3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表年份公共自行车投放数量（万辆）利用公共自行车出行人数（万人）2012 1.4 约9.92013 2.5 约17.62014 4 约27.62015 5 约根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果，精确到0.1）25.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，点D 在⊙O 上，过点D 作⊙O 切线与AC 的延长线交于点E ，ED ∥BC ，连接AD 交BC 于点F . （1）求证：∠BAD =∠DAE ；（2）若AB =6，AD =5，求DF 的长.26．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°， BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求APPD的值． 小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：APPD的值为 ．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ． （1）求APPD的值； （2）若CD=2，则BP = ．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.图1图2图328．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE . （1）如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系（直接写出结论）.29．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ；②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．图1 图2北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2015.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. 2≠x12. 2)(3n m -13. 20°14. 3+=x y （答案不惟一）15. 二类16. 750a ，n n an 1)1-(21+⋅+（第一个空1分，第二个空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=分分3-----------------------------------------------2-----------------------------------------------CD BC DCEB EC AB ∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分18. 解：原式 ＝122232+⨯--………………………………………………………4分 ＝2-.…………………………………………………………………………5分19. ⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，解：解不等式①，得2->x . ………………………………………………………………2分解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是x <-2＜1. …………………………………………………5分20. 解：)2)(2()3()1(2-++---x x x x x＝4312222-++-+-x x x x x …………………………………………………3分 ＝32-+x x . ……………………………………………………………………4分 ∵052=-+x x ， ∴52=+x x .∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分 21. 解：（1）)3(4)6(2+--=∆k ………………………………………………………1分① ②12436--=k 244+-=k∵原方程有两个不相等的实数根， ∴0244>+-k .解得 6<k . ………………………………………………………………2分（2）∵6<k 且k 为大于3的整数，∴=k 4或5. ………………………………………………………………………3分① 当=k 4时，方程0762=+-x x 的根不是整数.∴=k 4不符合题意. ………………………………………………………… 4分② 当=k 5时，方程0862=+-x x 根为21=x ，42=x 均为整数.∴=k 5符合题意. ……………………………………………………………5分 综上所述，k 的值是5.22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分由题意，得60182029174-174=x x . ……………………………………………2分 解得 180=x . ……………………………………………3分 经检验，180=x 是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=12AC . ∴DE=OC ． ∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分 ∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED 中，CE =………………4分 在Rt △ACE 中，=………………………………………………………5分24.（1）2300. ………………1分 （2）如图. …………… 3分（3）35.0±0.5. ……………5分25.解：（1）连接OD ，∵ED 为⊙O 的切线，∴OD ⊥ED ．……………………………………………………………………………1分 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. ………………………………………………………………………… 2分 ∵BC ∥ED ,∴∠ACB =∠E =∠EDO . ∴AE ∥OD . ∴∠DAE =∠ADO . ∵OA =OD , ∴∠BAD =∠ADO .∴∠BAD =∠DAE . ………………………………3分 （2）连接BD ， ∴∠ADB =90°. ∵AB =6，AD =5，∴BD =……………………………………………………………4分 ∵∠BAD =∠DAE =∠CBD ，∴tan ∠CBD = tan ∠BAD . 在Rt △BDF 中， ∴DF =BD ·tan ∠CBD =115. ……………………………………………………………5分 26. 解：PD AP 的值为23. …………………………………………………………………1分 解决问题：（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2， ∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k . ∵E 是AC 中点， ∴AE ＝CE . ∵AF ∥DB ， ∴∠F ＝∠1. 又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分 ∴AF ＝BC ＝2k . ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP . ∴DBAFPD AP =. ∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分（2） 6. ……………………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分 ∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) . ∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ， ∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分28.解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°.∵DF ⊥BC ， ∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分 ∵∠C =90°，AC =BC ， ∴∠ABC =∠DFB =90°. ∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分 ∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中， ∵AC =8，DF =3，∴AC=，DF=. ………………………………………………………………4分 AF =AB －BF=即BE=. …………………………………………………………………………5分 （2=BE +AB. ……………………………………………………………………7分29. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分图1∵P (1，2)， ∴ P ′ (1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=， 根据题意，有⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k .∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分 当0=y 时，解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴5''22=+=PQ PP Q P .∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分（3）Q （554，552）或Q （554-，552）. ………………………………8分东城区2014—2015学年中考数学一模试题 数学试题 2015.5学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．与2-的和为0的数是 A ．2- B ．12-C ．12D ．22．2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。

北京市朝阳区2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科）2015．5第一部分（选择题共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题 5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合，集合，则＝（）．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）．A．7 B．10 C．66 D．1663．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A，B，C，满足，则=（）．A．48 B．-48 C．100 D．-1005．已知函数，若对任意的实数x，总有，则的最小值是（）．A．2 B．4 C．D．26．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若，则双曲线的渐近线方程为（）．7．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（）．8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）．第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分．9．展开式中含项的系数是__________．10．已知圆C的圆心在直线x－y=0上，且圆C与两条直线x＋y=0和x＋y－12=0都相切，则圆C 的标准方程是__________．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，，则AD=__________．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．13．已知点在函数的图像上，则数列的通项公式为__________；设O为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．14．设集合，集合A中所有元素的个数为__________；集合 A 中满足条件“”的元素个数为__________．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共13分）在梯形ABCD中，（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．16．（本小题共13分）某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．17．（本小题共14分）如图，在直角梯形ABCD中，．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面平面ABCD．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线平面MNH，求MH的长．18．（本小题共13分）已知点M为椭圆的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．。