黑龙江省安达市第七中学2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题文[含答案]

数学试卷五一、选择题1.已知集合{},{|(1,0,1,21)(2)0}A B x x x =-=+-<，则A B ⋂=( ) A.{}0,1 B.{}1,0-C.{}1,0,1-D.{}0,1,22.若i1ia ++的实部与虚部相等，则实数a 的值为( ) A.0B.1C.2D.33.下列各点中，可以作为函数sin 3cos 1y x x =-+图象的对称中心的是( ) A.(,1)3πB.(,1)6πC.(,0)3πD.(,0)6π4.执行如图所示的程序框图，如果输入4N =，则输出p 为( )A.6B.24C.120D.7205.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,2a a ==，则6S =( ) A.0B.10C.15D.306.已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，可以作为//αβ的充分条件的是( ) A.//,,m n m n αβ⊂⊂ B.//,,m n m n αβ⊥⊥ C.,//,//m n m n αβ⊥D.,,m n m n αβ⊥⊥⊥7.已知12,e e u r u u r 是两个单位向量，且夹角为3π，R,t ∈则12e te +u r u u r 与12te e +u r u u r 数量积的最小值为( )A.3 2 -B.3- C.12D.38.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为6；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的个数为( )A.3B.2C.1D.09.已知抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点为F，过F且倾斜角为120︒的直线与抛物线C 交于,A B两点，若,AF BF的中点在y轴上的射影分别为,M N，且43MN=物线C的准线方程为( )A.32x=- B.2x=- C.3x=- D.4x=-10.已知函数1ln,1()11,122x xf xx x+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若12x x≠，且12))((2f x f x+=，则12x x+的取值范围是( )A.[)2,+∞ B.[)e1,-+∞ C.[)32ln2,-+∞ D.[)32ln3,-+∞11.已知偶函数()f x，当0x>时，满足2()'()6f x xf x+<，且(1)2f=，则21()3f xx>-的解集为（）A. {|22}x x x <->或B. {|11}x x -<<C. {|11}x x x <->或D.{|11}x x -<<12.如图，在ABC △中，点,D E 是线段,上两个动点,且AD AE x AB y AC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r，则14x y+的最小值为（ ）A ．92 B ．2 C ．52 D ．32二、填空题13.将函数()cos 3sin (R)f x x x x =-∈的图象向左平移(0)∝∝>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则∝的最小值是 .14.图中所示的矩形OABC 区域内任取一点(),,M x y 则点M 取自阴影部分的概率为 .15.设点P 为函数311()()2f x x x=-图象上任一点，且()f x 在点P 处的切线的倾斜角为∝，则∝的取值范围为________．16.函数11(1)()5ln (1)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x kx =恰有两个不同的实根时，实数k 范围是 . 三、解答题17.在ABC △中，设内角,,A B C 的对边为,,a b c ，向量31,44m ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ，(cos ,sin )n A A =-r，32m n +=u r r ． 1.判定ABC △的形状； 2.若2b =，2a c =，求ABC △的内切圆与外接圆的面积比．18.已知函数()ln f x x x x =+，证明：函数()f x 存在零点.19.已知数列与{}n b ,若13a =且对任意正整数n 满足12n n a a +-=,数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+1.求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;2.求数列11{}n n b b +的前n 项和n T . 20.平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为(131x t y t t =+=+⎧⎪⎨⎪⎩为参数),以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-. 1.写出直线l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程;2.已知与直线l 平行的直线l '过点()2,0M ,且与曲线 C 交于,?A B 两点,试求AB . 1.把直线l 的参数方程化为普通方程为)311y x =-+, ∵cos sin x y ρθρθ==⎧⎨⎩,∴直线l 3cos sin 310ρθρθ-=,由22cos 1cos θρθ=-,可得()221cos 2cos ρθρθ-=, ∴曲线 C 的直角坐标方程为22y x =.2.直线l 的倾斜角为π3, ∴直线l '的倾斜角也为π3,又直线l '过点()2,0M ,∴直线l '的参数方程为3(2'12x t t y t ⎧'⎪⎪⎨⎪'+=⎩=⎪为参数),将其代入曲线 C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=,设点,A B 对应的参数分别为12,t t ''. 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t =-'',1243t t '='+. ∴2121AB k t t =+⋅'-' ()22121214k t t t t '''=⋅-'++ 241648132333⨯⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 21.为了参加某数学竞赛,某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试,成绩(单位:分)记录如下 理科:79,81,81,79,94,92,85,89 文科:94,80,90,81,73,84,90,80 1.画出理科,文科两组同学成绩的茎叶图2.计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差,并从统计学的角度分析,哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好3.若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训,求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率(参考公式:样本数据12,,,n x x x ⋯的方差: ()()()2221212,n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦其中x 为样本平均数)1. 理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下:2.从平均数和方差的角度看,理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好. 理由如下:()1 798181799492858985,8x =⨯+++++++= (理)()19480908173849080848x =⨯+++++++= (文)2222221[(7985)(8185)(8185)(7985)(9485)8s =⨯-+-+-+-+-222(9285)(8585)(8985)]31.25+-+-+-= (理)()()()()222221[94848084908481848s =⨯-+-+-+-()()()()22227384848490848084]41.75+-+--+-=+ (文)由于x x >理文, 22S S <理文, 所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好3.设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为,A B , 文科组同学中成绩不低于90分的人分别为,,a b c 则从他们中随机抽出3人有以下10种可能:,,,,,,,,,ABa ABb ABc Aab Aac Abc Bab Bac Bbc abc .其中全是文科组同学的情况只有abc 一种,没有全是理科组同学的情况, 记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件M , 则()1911010P M =-= 22.已知函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+. 1.若函数()f x 在区间(2,)+∞内单调递增，求a 的取值范围；2.设1x ，2x （120x x <<）是函数()()g x f x x =+的两个极值点，证明：12()()ln 2ag x g x a -<-恒成立.参考答案1.答案：A解析：由B 中不等式解得：12x -<<，即12{|}B x x =-<<， ∵1,0,{,2}1A =-， ∴{,1}0A B ⋂=， 故选：A ． 2.答案：A 解析：∵i (i)(1i)11i 1i (1i)(1i)22a a a a++-+-==+++-的实部与虚部相等， ∴11a a +=-，即0a =． 故选：A ． 3.答案：A解析：解：∵函数sin 12sin()13y x x x π=+=-+，令3x k π-=π，可得3x k π=π+，k Z ∈， 故函数的图象的对称中心为(,1)3k ππ+， 故选：A ． 4.答案：B解析：由已知中4N =，第一次进入循环时，1p =，此时1k =不满足退出循环的条件，则2k = 第二次进入循环时，2p =，此时2k =不满足退出循环的条件，则3k = 第三次进入循环时，6p =，此时3k =不满足退出循环的条件，则4k = 第四次进入循环时，24p =，此时4k =满足退出循环的条件， 故输出的p 值是24 故选：B ． 5.答案：C解析：数列{}n a 是等差数列，21414,23a a d a a d ==+==+，所以15,1a d ==-，则61656(1)152S a ⨯=+-=． 故选：C ． 6.答案：B解析：由题意知，//m n ，且,m n αβ⊥⊥，则//αβ． 故选：B 7.答案：A解析：由12,e e u r u u r 是两个单位向量，且夹角为3π，所以121211,2e e e e ==⋅=u r u u r u r u u r ，则1212()()e te te e +⋅+u r u u r u r u u r 2221212(1)te te t e e =+++⋅u r u u r u r u u r 211222t t =++2133(2)222t =+-≥-，当且仅当2t =-时取等号，则12e te +u r u u r 与12te e +u r u u r 数量积的最小值为32-，故选：A ． 8.答案：A解析：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA ⊥底面,2ABCD PA =， 底面ABCD 为矩形，2,4AB BC ==， 则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC 22242226++=，故②正确；由已知可得，22,6,5PB PC PD ===则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为12PC =2424π⨯=π，故④正确．∴其中正确的个数为3． 故选：A ． 9.答案：C解析：抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2pF ，过F 且倾斜角为120︒的直线方程设为)2py x =-，2220py +-=，设A 的纵坐标为1y ，B 的纵坐标为2y ，,M N 的纵坐标为1211,22y y ， 可得21212y y y y p +==-，则1212y y -= 可得21212()4192y y y y +-=，即为22441923p p +=， 解得6p =，则抛物线的准线方程为3x =-． 故选：C ． 10.答案：C解析：根据题意，画出分段函数()f x 图象如下：由两个函数图象及题意，可知：12,x x 不可能同时1>． 因为当1x 和2x 都1>时，12()()2f x f x +>，不满足题意， ∴12,x x 不可能同时1>． 而12x x ≠， ∴121x x <<， ∴1212121113()()1ln ln 2222f x f x x x x x +=+++=++， ∵12()()2f x f x +=， ∴1213ln 222x x ++=， ∴112ln x x =-，∴122212ln ,(1)x x x x x +=+->． 构造函数()12ln ,(1)g x x x x =+-> 则2'()1g x x=-． ①令'()0g x =，即210x -=，解得2x =； ②令'()0g x <，即210x -<，解得2x <；③令'()0g x >，即210x->，解得2x >．∴()g x 在(1,2)上单调递减，在2x =处取得极小值，在(2,)+∞上单调递增．∴min ()(2)32ln 2g x g ==-．∴()32ln 2g x ≥-．∴1232ln 2x x +≥-．故选：C ．11.答案：B解析：12.答案：A解析：13.答案：π6 解析：14.答案：12 解析：15.答案：ππ[,)32解析：16.答案：11[,)5e解析： 17.答案：1.∵1cos ,sin 4m n A A ⎫+=+-⎪⎝⎭u r r且m n +=u r r ，∴2213cos sin 444A A ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223113cos sin sin 161624A A A A +++-+=，11sin 222A A -=-， 即π1cos 62A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∵A 为ABC △的内角，∴π2A =，故ABC △为直角三角形．2.由1知222b c a +=，又2b =，a =，∴2c =，a =∴ABC △外圆的半径12R a ==内切圆的半径22b c a r +-==-∴面积比为222(232r R ==- 解析：18.答案：由题意可得，函数的定义域为(0,+)∞'()1ln 1ln 2f x x x =++=+令'()0f x >，即21ln 20,()e x x f x +>>∴在21(,+)e ∞单调递增 令'()0f x <，即21ln 20,()e x x f x +<<∴在21(0,)e单调递减 min 2211()0e e f x f ∴=<（）=- 又(e)2e 0f =>Q∴存在021(,e)e x ∈，使得0()0f x = ()f x ∴存在零点解析：19.答案：1.由题意知数列{}n a 是公差为2的等差数列,又因为13a =,所以()32121n a n n =+-=+.数列{}n b 的前n 项和()222211n n S n a n n n =+=++=+, 当1n =时,114b S ==;当2n ≥时,()()()22121121121n n n b S S n n n n n -⎡⎤⎣=-=++--+-+=+⎦. 上式对14b =不成立.所以数列{}n b 的通项公式为4,121,2n n b n n =⎧=⎨+≥⎩2.1n =时,1121120T b b ==, 2n ≥时11111()(21)(23)22123n n b b n n n n +1==-++++, 所以6120(23)n n T n -=+. 1n =仍然适合上式.综上,6120(23)n n T n -=+. 解析：20.答案：解析：21.答案：解析：22.答案：1.()f x 的定义域为(0,)+∞，1'()(1)f x ax a x =+-+ 若满足题意，只要1'()(1)0f x ax a x=+-+≥在(2,)+∞恒成立即可， 即1(1)x a x x --≥恒成立，又(2,)x ∈+∞，所以12a ≥ 2.证明：2()()ln 2a g x f x x x x ax =+=+-， 则()g x 的定义域为(0,)+∞，211'()ax ax g x ax a x x-+=+-=， 若()g x 有两个极值点1212,(0)x x x x <<，则方程210ax ax -+=的判别式240a a ∆=->，且121211,0x x x x a+==> 得0a >又120x x <<，21121x x x a ∴<=，即10x <<所以2212111222111()()ln ln ln ln()222a a a g x g x x x ax x x ax x ax ax -=----+=++-，设()ln ln()2a h t t at at =++-，其中1t x =∈，由2'()0h t a t =-=得2t a =又220a a =<，所以()h t 在区间2(0,)a 内单调递增， 在区间2(a 内单调递减， 即()h t 的最大值为2()2ln 2ln 2ln 22a a h a a a=-+-<-， 从而12()()ln 2a g x g x a -<-恒成立 解析：。

2019高三第二次双周练数学文科卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题选择C选项.2. 若是函数图象的一个对称中心，则的一个取值是（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】，对称中心为，则，满足要求，选C.3. 函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∴最小正周期.本题选择C选项.4. 定义在R上的奇函数满足：对任意的，都有，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函数满足：对任意的，都有，说明函数在上为减函数，又函数为R上奇函数，则，且说明函数在R上为减函数，而，，，则，又三者均为正，所以，选C.5. 的内角所对的边分别是，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】，所以或，所以“”是“”的必要不充分条件，故选择B.6. 已知命题,命题，使，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为命题为假命题，命题为假命题，所以为真命题，选D．考点：命题的真假判定．7. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，则函数的定义域是：，选B.8. 函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由>0得(−∞,−2)∪(2,+∞)，令t=,由于函数t=的对称轴为y轴，开口向上，所以t=在(−∞,0)上递减,在(0,+∞)递增，又由函数y=是定义域内的减函数。

所以原函数在(−∞,−2)上递増。

故选：A.9. 给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②“若，则”的否命题是“若，则”；③是真命题，则命题一真一假；④“函数有零点”是“函数在上为减函数”的充要条件.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题意得，根据全程命题与存在性命题的否定关系，可知①是正确的；②中，命题的否命题为“若，则”，所以是错误的；③中，若“”或“”是真命题，则命题都是假命题；④中，由函数有零点，则，而函数为减函数，则，所以是错误的，故选A。

2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2﹣3x ﹣4≤0}，B ＝{x |0＜lnx ＜2}，则A ∩B 的真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．82．设z ∈C 且z ≠0，“z 是纯虚数”是“z 2∈R ”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是正态分布N （0，1）的正态曲线图，下面3个式子中，等于图中阴影部分面积的个数为（ ）注：Φ（a ）＝P （X ≤a ） ①12−Φ(−a)②Φ（1﹣a ）③Φ(a)−12A ．0B ．1C ．2D ．34．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于（ ） A ．1B ．2C ．12D ．−125．函数f （x ）＝|x |−ln|x|x 2的图象大致为（ ） A ． B ．C．D．6．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，点F在线段CD上，设AB→=a→，AC→=b→，AF→=xa→+y b→，则1x +4y+1的最小值为（）A．6+2√2B．6√3C．6+4√2D．3+2√2 7．执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出的S的值是（）A．910B．1011C．1112D．9228．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则cos∠APA1的最小值是（）A．√22B．√55C．13D．2√239．若变量x ，y 满足约束条件{x ≤3，x +y −3≥0，x −y +1≥0，则x ﹣2y 的最小值是（ ）A ．﹣3B ．﹣5C ．3D ．510．已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）与函数y =√x （x ≥0）的图象交于点P ，若函数y =√x 的图象与点P 处的切线过双曲线左焦点F （﹣4，0），则双曲线的离心率是（ ） A ．√17+44B ．√17+34C ．√17+24D ．√17+1411．如图所示，用一边长为√2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．√2−12B ．√2+12C ．√6−12D ．√3−1212．已知不等式x +alnx +1e x ≥x a 对x ∈（1，+∞）恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．−√eB ．−e2C ．﹣eD ．﹣2e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），(2，12)，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．14．已知向量a →=（4，2），b →=（λ，1），若a →+2b →与a →−b →的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为 ．15．若函数f （x ）={e x −a ，x ＜1(x −2a)(x −a 2)，x ≥1恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．16．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为 ．三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且sin （A +C ）=2√3Sa 2+c 2−b2．（1）若sinBcos(π2−C)=cos 2A2，求角C 的大小．（2）若AC 边上的中线BM 的长为2，求△ABC 面积的最大值．18．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，动点P 满足CP →=λCC 1→（λ＞0），当λ=12时，AB 1⊥BP ． （1）求棱CC 1的长；（2）若二面角B 1﹣AB ﹣P 的大小为π3，求λ的值．19．网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如表所示：年份201020112012201320142015201620172018 123456789时间代号x实体店2 2.3 2.5 2.93 2.5 2.1 1.7 1.2纯利润y（千万）根据这9年的数据，对x和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254；根据后5年的数据，对x和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985；（1）如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润，现有两个方案：方案一：选取这9年的数据，进行预测；方案二：选取后5年的数据进行预测；从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适．附：相关性检验的临界值表：n﹣2小概率0.050.0130.8780.95970.6660.798（2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的40%，既开网店又开实体店的占调查总人数的20%，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了5位，求只开实体店的人数的分布列及期望．20．已知点（1，e ），（e ，√32）在椭圆上C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 经过C 的上顶点且l 与抛物线M ：y 2＝4x 交于P ，Q 两点，F 为椭圆的左焦点，直线FP ，FQ 与M 分别交于点D （异于点P ），E （异于点Q ），证明：直线DE 的斜率为定值．21．设函数f （x ）＝ln （x ﹣1）+ax 2+x +1，g （x ）＝（x ﹣1）e x +ax 2． （1）若a ≥0，讨论g （x ）的零点个数； （2）证明：f （x ）≤g （x ）．选考题(共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则被所做的第一题计分） 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα（t 为参数，0＜α＜π），曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cosφy =1+√3sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 2的极坐标方程；（2）设曲线C 1与曲线C 2的交点分别为A ，B ，M （﹣2，0），求|MA |2+|MB |2的最大值及此时直线C 1的倾斜角． （选修4-5）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +1|． （1）求不等式f （x ）≤x +2的解集；（2）若函数y＝f（x）的最小值记为m，设a＞0，b＞0，且有a+b＝m．求1a+1+2b+2的最小值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|0＜lnx＜2}，则A∩B的真子集的个数为（）A．3B．4C．7D．8【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B的真子集的个数．解：∵集合A＝{x∈Z|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤4}＝{﹣1，0，1，2，3，4}，B＝{x|0＜lnx＜2}＝{x|1＜x＜e2}，∴A∩B＝{2，3，4}，∴A∩B的真子集的个数为：23﹣1＝7个．故选：C．【点评】本题考查交集中真子集个数的求法，考查交集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z2∈R”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z2∈R”，反之不成立，例如取z＝2．即可判断出结论．解：∵z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z2∈R”，反之不成立，例如取z＝2．∴“z是纯虚数”是“z2∈R”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如图是正态分布N （0，1）的正态曲线图，下面3个式子中，等于图中阴影部分面积的个数为（ ）注：Φ（a ）＝P （X ≤a ） ①12−Φ(−a)②Φ（1﹣a ）③Φ(a)−12A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据正态分布N ∽（0，1）的正态分布曲线图，知正态曲线的对称轴是x ＝0，欲求图中阴影部分面积，只须求12−P （X ≤﹣a ），再结合对称性进行代换即可求得答案．解：：∵Φ（﹣a ）＝P （X ≤﹣a ），∴图中阴影部分的面积为12−P （X ≤﹣a ）=12−Φ（﹣a ），根据对称性可知阴影部分的面积为P （X ≤a ）−12=Φ（a ）−12， ∴①③正确， 故选：C ．【点评】本题考查了正态曲线的性质，深刻理解其性质是解决问题的关键．4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于（ ） A ．1B ．2C ．12D ．−12【分析】由等差数列的中项性质可得2S 3＝S 1+S 2，再由等比数列的通项公式解方程可得q ．解：S1，S3，S2成等差数列，可得2S3＝S1+S2，即为2（a1+a2+a3）＝a1+a1+a2，即有2a1（1+q+q2）＝a1（2+q），化为2q2+q＝0，解得q=−12（q＝0舍去），故选：D．【点评】本题考查等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．函数f（x）＝|x|−ln|x|x2的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性可排除CD，利用导数研究可知当x＞0时，其在x＝1处取得极小值，可排除B，由此得解．解：因为f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是偶函数，排除C和D．当x＞0时，f(x)=x−lnxx2，f′(x)=x3+2lnx−1x3，令f'（x）＜0，得0＜x＜1；令f'（x）＞0，得x＞1．所以f（x）在x＝1处取得极小值，排除B，故选：A．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．6．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，点F在线段CD上，设AB→=a→，AC→=b→，AF→=xa→+y b→，则1x +4y+1的最小值为（）A．6+2√2B．6√3C．6+4√2D．3+2√2【分析】用AD→，AC→表示AF→，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到1x +4 y+1关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．解：AF→=xa→+yb→=2x AD→+y AC→．∵C，F，D三点共线，∴2x+y＝1．即y＝1﹣2x．由图可知x＞0．∴1x +4y+1=1x+21−x=x+1x−x2．令f（x）=x+12，得f′（x）=x2+2x−1(x−x2)2，令f′（x）＝0得x=√2−1或x=−√2−1（舍）．当0＜x＜√2−1时，f′（x）＜0，当x＞√2−1时，f′（x）＞0．∴当x=√2−1时，f（x）取得最小值f（√2−1）=√2(√2−1)−(√2−1)2=3+2√2．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．7．执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出的S的值是（）A．910B．1011C．1112D．922【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=11×2+12×3+⋯+110×11的值，可得：S=11×2+12×3+⋯+110×11=（1−12）+（12−13）+…+（110−111）＝1−111=1011．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则cos∠APA1的最小值是（）A．√22B．√55C．13D．2√23【分析】连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，则AO =∥PM ，从而A 1P ＝C 1M ，由此能求出cos ∠APA 1的值．解：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ， 设正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，∵在正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 点P 是底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面EFDB ， ∴AO =∥PM ，∴A 1P ＝C 1M =AC 4=√24，∴cos ∠APA 1=A 1PAP=√24√A1P+AA 1=√24√18+1=13，即cos ∠APA 1的最小值是13．故选：C ．【点评】本题考查角的余弦函数值的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．若变量x ，y 满足约束条件{x ≤3，x +y −3≥0，x −y +1≥0，则x ﹣2y 的最小值是（ ）A ．﹣3B ．﹣5C ．3D ．5【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可．解：画出满足条件的平面区域，如图示： ，由{x =3x −y +1=0，解得A （3，4）， 设z ＝x ﹣2y 得：y =12x −12z ，平移直线y =12x −12z ，结合图象直线过A 时，z 最小， z 的最小值是：﹣5， 故选：B ．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．10．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）与函数y =√x （x ≥0）的图象交于点P ，若函数y =√x 的图象与点P 处的切线过双曲线左焦点F （﹣4，0），则双曲线的离心率是（ ） A ．√17+44B ．√17+34C ．√17+24D ．√17+14【分析】设P 的坐标为（m ，√m ），求函数导数，利用导数的几何意义以及切线斜率公式建立方程关系求出m ＝4，根据双曲线的定义求出a ，c 即可． 解：设P 的坐标为（m ，√m ），左焦点F （﹣4，0）， 函数的导数f ′（x ）=12√x ，则在P 处的切线斜率k ＝f ′（m ）=2√m =√mm+4，即m +4＝2m ，得m ＝4，则P （4，2），设右焦点为A （4，0），则2a ＝|PF |﹣|PA |=√64+4−√0+4=2（√17−1）， 即a =√17−1， ∵c ＝4，∴双曲线的离心率e =c a =√17+14，故选：D ．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，根据导数的几何意义，建立切线斜率关系，求出a ，c 是解决本题的关键．考查运算能力．11．如图所示，用一边长为√2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．√2−12B ．√2+12C ．√6−12D ．√3−12【分析】由条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，再与球的半径相加即得答案． 解：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形， 故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1， 由于鸡蛋的体积为43π，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为√1−14=√32，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最低点与蛋巢底面的距离为√3−12， 故选：D ．【点评】本题主要考查球的截面的性质，图形的折叠问题，点、线、面间的位置关系，属于中档题．12．已知不等式x +alnx +1e x≥x a 对x ∈（1，+∞）恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．−√eB ．−e2C ．﹣eD ．﹣2e【分析】将原不等式化为 e ﹣x ﹣lne ﹣x ≥x a ﹣lnx a 对x ∈（1，+∞）恒成立；设函数 f （x ）＝x ﹣lnx ，即 f （e ﹣x ）≥f （x a ） 对x ∈（1，+∞）恒成立；讨论函数f （x ）的单调性；解：不等式x +alnx +1ex ≥x a 对x ∈（1，+∞）恒成立； 即 x +1e x≥x a −alnx =x a −lnx a 对x ∈（1，+∞）恒成立； 即 e ﹣x ﹣lne ﹣x ≥x a ﹣lnx a 对x ∈（1，+∞）恒成立；设函数f（x）＝x﹣lnx，则f′(x)=1−1x=x−1x；所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；即f（e﹣x）≥f（x a）对x∈（1，+∞）恒成立；∵x∈（1，+∞）时，e−x∈(0，1e)；根据选项，只需讨论a＜0的情况；当a＜0 时，y＝x a在x∈（1，+∞）上单调递减，则x a∈（0，1）；则e﹣x≤x a，两边取e为底的对数，得：﹣x≤alnx（x＞1）；即a≥−xlnx（x＞1）设函数h(x)=−xlnx，则h′(x)=1−lnx(lnx)2；所以h（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；则h（x）最大值＝h（e）＝﹣e，即a≥﹣e；故选：C．【点评】本题考查不等式恒成立求参数问题，利用导数讨论函数的单调性，构造函数的构造思想，对数的等价变形等，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），(2，12)，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．【分析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0），然后分类求解得答案．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p=1 2，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，12）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．14．已知向量a→=（4，2），b→=（λ，1），若a→+2b→与a→−b→的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为（1−√11，2）∪（2，1+√11）．【分析】先求出a→+2b→与a→−b→的坐标，再根据a→+2b→与a→−b→不共线，且它们乘积为正值，求出实数λ的取值范围．解：∵向量a→=（4，2），b→=（λ，1），∴a→+2b→=（4+2λ，4），a→−b→=（4﹣λ，1），若a→+2b→与a→−b→的夹角是锐角，则a→+2b→与a→−b→不共线，且它们乘积为正值，即4+2λ4−λ≠41，且（a→+2b→）•（a→−b→）＝（4+2λ，4）•（4﹣λ，1）＝20+4λ﹣2λ2＞0，求得1−√11＜λ＜1+√11，且λ≠2，故答案为：（1−√11，2）∪（2，1+√11）．【点评】本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．15．若函数f（x）={e x−a，x＜1(x−2a)(x−a2)，x≥1恰有2个零点，则实数a的取值范围是[12，1）∪{2}∪[e ，+∞） ．【分析】分四种情况讨论当a ≤0时，当0＜a ＜2时，当a ＝2时，当a ＞2时，图象使得符合函数f （x ）有两个零点． 解：当a ≤0时，不满足题意，当0＜a ＜2时，要使函数函数f （x ）恰有2个零点，即{e −a ＞0a 2＜1≤2a ⇒12≤a ＜1，当a ＝2时，满足题意，当a ＞2时，a 2＞2a ＞4，要使函数函数f （x ）恰有2个零点，即e ﹣a ≤0．所以a ≥e ，综上所述：实数a 的取值范围是[12，1）∪{2}∪[e ，+∞）．故答案为：[12，1）∪{2}∪[e ，+∞）．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．16．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为13．【分析】根据题意，由排列组合公式分析3名志愿者辅导4门学科的情况数目，在分析其中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科； 则有C 42A 33＝6×6＝36种情况，若甲辅导数学，有C 32A 22+C 31A 22＝12种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为13，故答案为：13．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且sin （A +C ）=2√3S a 2+c 2−b2．（1）若sinBcos(π2−C)=cos 2A2，求角C 的大小．（2）若AC 边上的中线BM 的长为2，求△ABC 面积的最大值．【分析】（1）由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求cos B =√32，结合范围B ∈（0，π），可得B =π6，利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin （C +π3）＝1，进而结合范围C ∈（0，π），可得C 的值．（2）延长BM 到D ，使得BM ＝MD ，连接AD ，在△ABD 中，由余弦定理，基本不等式可求得ac ≤32﹣16√3，进而根据三角形的面积公式即可求解． 解：（1）由于sin （A +C ）=2√3S a 2+c 2−b2，可得：sin B =2√3⋅12acsinBa 2+c 2−b2，所以a 2+c 2−b 22ac=√32，可得cos B =√32，所以由B ∈（0，π），可得B =π6，由sinBcos(π2−C)=cos 2A2，可得sin B sin C =1+cosA2，可得：12sin C =1+cosA2， 可得sin C ＝1+cos （5π6−C ），可得sin （C +π3）＝1，因为C ∈（0，π），可得C +π3∈（π3，4π3），可得C +π3=π2， 可得C =π6．（2）延长BM 到D ，使得BM ＝MD ，连接AD ，在△ABD 中，有AB ＝c ，AD ＝a ，∠BAD =5π6， 由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac •（−√32），即16＝a 2+c 2+√3ac ，可得16−√3ac ＝a 2+c 2≥2ac ，可得ac ≤32﹣16√3，当且仅当a ＝c ＝2√6−2√2时取等号， 可得△ABC 的面积S =12ac sin B =12×12×ac ≤8﹣4√3，当且仅当a ＝c ＝2√6−2√2时取等号，即△ABC 面积的最大值是8﹣4√3．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．18．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，动点P 满足CP →=λCC 1→（λ＞0），当λ=12时，AB 1⊥BP ． （1）求棱CC 1的长；（2）若二面角B 1﹣AB ﹣P 的大小为π3，求λ的值．【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱CC 1的长．（2）求出平面PAB 的一个法向量，和平面ABB 1的一个法向量，由已知条件利用向量法能求出λ的值．解：（1）以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，设CC 1＝m ，则B 1（3，0，m ）， B （3，0，0），P （0，4，λm ），所以AB 1→=(3，0，m)，PB →=(3，−4，−λm)，AB →=(3，0，0)，…2分当λ=12时，有AB 1→⋅PB →=(3，0，m)⋅(3，−4，−12m)=0解得m =3√2，即棱CC 1的长为3√2．…4分 （2）设平面PAB 的一个法向量为n 1→=（x ，y ，z ），则由{AB →⋅n 1→=0PB →⋅n 1→=0，得{3x =03x −4y −3√2λz =0，即{x =04y +3√2λz =0， 令z ＝1，则y =−3√2λ4，所以平面PAB 的一个法向量为n 1→=(0，−3√2λ4，1)，…6分又平面ABB 1与y 轴垂直，所以平面ABB 1的一个法向量为n 2→=(0，1，0)，因二面角B 1﹣AB ﹣P 的平面角的大小为π3，所以|cos ＜n 1→，n 2→＞|=12|−3√2λ4(3√2λ4)+1| 结合λ＞0，解得λ=2√69．…10分．【点评】本题考查线段长的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．19．网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如表所示： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 时间代号x 123456789实体店纯利润y （千万）22.32.52.932.52.11.71.2根据这9年的数据，对x 和y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254； 根据后5年的数据，对x 和y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985；（1）如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润，现有两个方案： 方案一：选取这9年的数据，进行预测； 方案二：选取后5年的数据进行预测；从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适． 附：相关性检验的临界值表：n ﹣2小概率 0.050.0130.8780.95970.6660.798（2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的40%，既开网店又开实体店的占调查总人数的20%，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了5位，求只开实体店的人数的分布列及期望．【分析】（1）选取方案二更合适，理由是①中介绍了，随差网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据．②中相关系数|r |越接近1，线性相关性越强， 根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.985＞0.959，从而有99%的把握认为y 与x 具有线性相关关系．（2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了1位，开网店的概率为35，开实体店的概率为25，设只开实体店的店主人数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，4，5，ξ～B（5，25），由此能求出ξ的分布列和E （ξ）．解：（1）选取方案二更合适，理由如下：①中介绍了，随差网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击， 从表格中可以看出从2014年开始，纯利润呈现逐年下降的趋势， 可以预见，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌， 前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据． ②相关系数|r |越接近1，线性相关性越强，∵根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.985＞0.959， ∴有99%的把握认为y 与x 具有线性相关关系．（2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了1位，开网店的概率为35，开实体店的概率为25，设只开实体店的店主人数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，4，5，ξ～B （5，25），P （ξ＝0）=C 50(25)0(35)5=2433125， P （ξ＝1）=C 51(25)(35)4=162625，P （ξ＝2）=C 52(25)2(35)3=216625，P （ξ＝3）=C 53(25)3(35)2=144625，P （ξ＝4）=C 54(25)4(35)=48625， P （ξ＝5）=C 55(25)5(35)0=323125，∴ξ的分布列为：ξ 012345P243312516262521662514462543625323125∵ξ～B （5，25），∴E （ξ）＝5×25=2． 【点评】本题考查方案的确定，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查线性回归方程、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．已知点（1，e ），（e ，√32）在椭圆上C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 经过C 的上顶点且l 与抛物线M ：y 2＝4x 交于P ，Q 两点，F 为椭圆的左焦点，直线FP ，FQ 与M 分别交于点D （异于点P ），E （异于点Q ），证明：直线DE 的斜率为定值．【分析】（1）由椭圆过两个点及e 与a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线PF 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得点D 的坐标，同理可得E 的坐标，求出直线DE 的斜率可得为定值．解：（1）由题意可得{ 1a 2+e 2b 2=1e 2a2+34b 2=1e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2解得：a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；（2）证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：y ＝kx +1，设P（x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线l 与抛物线的方程{y =kx +1y 2=4x ，整理可得：k4y 2﹣y +1＝0，△＝1﹣k ＞0即k ＜1，且k ≠0，y 1+y 2=4k，y 1y 2=4k，由（1）可得左焦点F （﹣1，0），所以直线FP 的方程为：y =y1x 1+1（x +1），联立直线PF 与抛物线的方程：{y 2=4x y =y 1x 1+1(x +1)整理可得：y 2−4(x 1+1)y 1y +4＝0，所以y 1y D ＝4，所以y D =4y 1，所以D 的坐标（4y 12，4y 1），同理可得：E 的坐标（4y 22，4y 2），所以k DE =4y 1−4y 24y 12−4y 22=y 1y2y 1+y 2=1，所以可证得直线DE 的斜率为定值1．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与抛物线的综合，属于中档题． 21．设函数f （x ）＝ln （x ﹣1）+ax 2+x +1，g （x ）＝（x ﹣1）e x +ax 2． （1）若a ≥0，讨论g （x ）的零点个数； （2）证明：f （x ）≤g （x ）．【分析】（1）求导可得g ′（x ）＝x （e x +2a ），然后分a ＝0及a ＞0讨论即可得出零点个数；（2）令H （x ）＝g （x ）﹣f （x ），连续求导后，可得H(x)min =H(x 0)=(x 0−1)e x 0−ln(x 0−1)−x 0−1，且e x 0=1x 0−1，结合H （x 0）＝1+x 0﹣x 0﹣1＝0，即可得证．解：（1）由题意，g′（x）＝xe x+2ax＝x（e x+2a），①当a＝0时，则函数g（x）＝（x﹣1）e x，此时函数g（x）有唯一的零点x＝1；②当a＞0时，令g′（x）＝0，易知当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）递减，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，∴g（x）min＝g（0）＝﹣1，故函数g（x）最多有两个零点，当x＜0时，可得e x＜e0＝1且x﹣1＜0，故（x﹣1）e x＞x﹣1，∴g（x）＞ax2+x﹣1，故x→﹣∞时，g（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）有一个零点；当x＞0时，g（1）＝a＞0，故g（x）在（0，+∞）上有一个零点；综上可知，当a＝0时，g（x）有唯一零点，当a＞0时，g（x）有两个零点；（2）证明：令H（x）＝g（x）﹣f（x）＝（x﹣1）e x﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1，x＞1，则H′(x)= xe x−1x−1−1=xe x−x x−1=x(e x−1x−1)，令t(x)=e x−1x−1，可得t（x）在（1，+∞）上是增函数，且t(1+e−2)=e1+e−2−e2＜0，t(2)=e2−1＞0，∴t（x）在（1，+∞）上有唯一零点x0∈（1，2），当x∈（1，x0）时，H′（x）＞0，H（x）递减，当x∈（x0，+∞）时，H′（x）＜0，H（x）递增，故H(x)min=H(x0)=(x0−1)e x0−ln(x0−1)−x0−1，且e x0=1x0−1，∴H（x0）＝1+x0﹣x0﹣1＝0，∴H（x）≥H（x0）＝0，即得证．【点评】本题考查利用导数研究函数的零点以及不等式的证明，考查分类与整合思想，转化思想等数学思想，考查运算求解，逻辑推理等数学能力，属于中档题．选考题(共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则被所做的第一题计分） 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα（t 为参数，0＜α＜π），曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cosφy =1+√3sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 2的极坐标方程；（2）设曲线C 1与曲线C 2的交点分别为A ，B ，M （﹣2，0），求|MA |2+|MB |2的最大值及此时直线C 1的倾斜角．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cosϕy =1+√3sinϕ（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝3．转换为极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣2ρsin θ﹣1＝0．（2）把直线C 1的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα（t 为参数，0＜α＜π），代入（x +1）2+（y ﹣1）2＝3，得到（﹣2+t cos α+1）2+（t sin α﹣1）2＝3， 整理得t 2﹣2（sin α+cos α）t ﹣1＝0， 所以t 1+t 2＝2（cos α+sin α），t 1•t 2＝﹣1，则：|MA |2+|MB |2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=4（1+2sin αcos α）+2＝4sin2α+6，当α=π4时，|MA |2+|MB |2的最大值10． 此时直线C 1的倾斜角为π4．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． （选修4-5）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +1|． （1）求不等式f （x ）≤x +2的解集；（2）若函数y ＝f （x ）的最小值记为m ，设a ＞0，b ＞0，且有a +b ＝m ．求1a+1+2b+2的最小值．【分析】（1）将函数f （x ）化为分段函数的形式，再作出函数f （x ）的图象及函数y ＝x +2的图象，观察图象即可得解；（2）易知(a +1)+(b +2)=92，再利用柯西不等式即可求得最小值． 解：（1）f(x)=|2x −1|+|x +1|={−3x ，x ＜−1−x +2，−1≤x ≤123x ，x ＞12，作出函数f （x ）的图象及函数y ＝x +2的图象如下，由图可知，不等式的解集为[0，1]；（2）由图可知，函数y ＝f （x ）的最小值为32，即m =32， ∴a +b =32，∴(a +1)+(b +2)=92，∴1a+1+2b+2=29[(a +1)+(b +2)](1a+1+2b+2)≥29(1+√2)2=6+4√29，当且仅当“b+2a+1=2(a+1)b+2”时取等号，∴1a+1+2b+2的最小值为6+4√29． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值，考查数形结合思想及计算能力，属于基础题．。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三数学10月第二次调研考试试题 文（含解析）一：选择题。

1.已知集合{}{}228023A x x x B x x =+-≥=-<<，，则AB =( ).A. ()23，B. [)23， C. []42-，D. ()43-，【答案】B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式的解集，化简集合A 的表示，最后运用集合交集的定义，结合数轴求出A B .【详解】因为{}{}228024A x x x A x x x =+-≥⇒=≥≤-或，所以23[2,3)B x A ≤<==，故本题选B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的运算，正确求解一元二次不等式的解集、运用数轴是解题的关键.2.若()()12z i i =+-，则复数z 的实部与虚部之和为（ ） A. 1 B. -1 C. -2 D. -4【答案】D 【解析】 【分析】利用复数相乘化简得3z i =--，得到复数z 的实部与虚部之和为4-.【详解】()()212223z i i i i i i =+-=-+-=--，所以复数z 实部为3-，虚部为1-，所以和为4-， 故选D.【点睛】本题考查复数的乘法运算、复数实部和虚部的概念，考查基本运算求解能力.3.下列函数中，与函数13x y =的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是（ ） A. 21y x =- B. 1y x=-C. 31y x =-D.2log y x =【答案】A 【解析】 【分析】 先从解析式13x y =得到函数为偶函数，且在(),0-∞上单调递增，与函数21y x =-奇偶性与单调性均相同. 【详解】因函数13x y =为偶函数，排除B,C ； 当0x <时，133x x y ==，所以函数在(),0-∞上单调递增，与函数21y x =-在(),0-∞单调性相同，故选A.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的性质，考查数形结合思想的应用，特别注意偶函数在y 轴两边的对称性相反.4.已知11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且114a =，41a =，则11a =（ ）A. -12B. -11C. -6D. -5【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第一项和第四项求得公差110d =-，再求出数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第11项，进而求出116a =-.【详解】因为数列11na⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，所以公差4111141254131101da a--+-=-+==，所以111114111010115105da a⎛⎫=+=+⋅-=-⎪++⎝⎭，解得：116a=-，故选C.【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查基本量法，求解过程中要注意整体思想的应用.5.已知菱形ABCD的边长为2，60BAD∠=︒,点E是BD上靠近D的三等分点，则AE AB⋅=（）A.83B.43C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】取,AB AD为基底，1233AE AB AD=+，再把AE AB⋅转化成基底运算.【详解】如图，作//NE AB，//EM AD，因为E是BD上靠近D的三等分点，所以,M N也都是三等分点，所以1233AE AM AN AB AD=+=+，AE AB⋅=22121218222333323AB AD AB+⋅=⋅+⋅⋅⋅=，故选A.【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用，考查数形结合思想，求解过程中要注意基底选择的合理性，即一般是选择模和夹角已知的两个向量作为基底.6.在ABC∆中，角A B C，，的对边分别是a b c，，，若sin3cos0b A a B-=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ）B.2C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值。