黑龙江省安达市第七中学2020届高三上学期期初考试试卷数学（理）试卷一、选择题1.若1i z =+,则22z z -=( ) A.0B.1C.2D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则a =( ) A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )51-51- 51+51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)(1,2,...,20)x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.21y x =--B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.设函数π()cos()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=( ) 5 B.23 C.135 10.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14π,AB BC AC OO ===,则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l xy，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++=12.若242log 42log a b a b +=+，则( )A.2a b >B.2a b <C.2a b >D.2a b <二、填空题13.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.14.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=___________.15.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.16.如图，在三棱锥–P ABC 的平面展开图中，1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠=______________.三、解答题17.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． (1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和.18.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ； (2)求二面角B PC E --的余弦值.19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率.20.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点. 21.已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=.(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标. 23.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--. (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.参考答案1.答案：D 解析：通解 221i 2(1i)2(1i)2i 2i 222z z z =+∴-=+-+=--=-=，.故选D.光速解21i 221i 2z z z z z =+∴-=--+=，.故选D.2.答案：B解析：解法一 易知{}|22,|2a A x x B x x ⎧⎫=-≤≤=≤-⎨⎬⎩⎭，因为{}|21A B x x ⋂=-≤≤，所以12a-=，解得2a =-.故选B. 解法二 由题意得{}|22A x x =-≤≤.若4a =-，则{}|2B x x =≤，又{}2|2A x x =-≤≤，所以{}|22A B x x ⋂=-≤≤，不满足题意，排除A ；若2a =-，则{}|1B x x =≤，又{}2|2A x x =-≤≤，所以{}|21A B x x ⋂=-≤≤，满足题意；若2a =，则{}|1B x x =≤-，又{}|22A x x =-≤≤，所以{}|21A B x x ⋂=-≤≤-，不满足题意，排除C ；若4a =，则{}|2B x x =≤-，又{}2|2A x x =-≤≤，所以{}|2A B x x ⋂==-，不满足题意.故选B. 3.答案：C解析：设正四棱锥的高为h ，底面正方形的边长为2a ，斜高为m ，依题意得2122h a m =⨯⨯，即2h am =①，易知222h a m +=②，由①②得m =，所以222m a a ==故选C. 4.答案：C解析：通解 因为点A 到y 轴的距离为9，所以可设点()9,A A y ，所以218Ay p =.又点 A 到焦点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离为1212，所以22918122p p ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2362520p p +-=，解得42p =-(舍去)或6p =.故选C. 光速解 根据抛物线的定义及题意得，点A 到C 的准线2px =-的距离为12，因为点A 到y 轴的距离为9，所以1292p=-，解得6p =.故选C. 5.答案：D解析：根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来(图略)，由图并结合选项可排除A ，B ，C ，故选D. 6.答案：B 解析：通解43()2f x x x =-，32()4'6f x x x ∴=-，(1')2f ∴=-，又(1)121f =-=-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+.故选B. 优解43()2f x x x =-，32()4'6f x x x ∴=-，2'(1)f =-，∴切线的斜率为2，排除C ，D.又(1)121f =-=-，∴切线过点(11)-，，排除A.故选B. 7.答案：C解析：通解 由题图知，4π09f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，4ππππ()962k k ω∴-+=+∈Z ，解得39()4k k ω+=-∈Z .设()f x 的最小正周期为T ，易知2π2T T <<， 2π4π2π||||ωω∴<<，1||2ω∴<<，当且仅当 1k =-时，符合题意，此时32ω=，2π4π3T ω∴==.故选C. 秒解 由题图知，4π09f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且(π)0f -<，(0)0f >，4πππ(0)962ωω∴-+=->，解得32ω=，()f x ∴的最小正周期2π4π3T ω==.故选C. 8.答案：C解析：因为5()x y +的展开式的第1r +项515C r rrr T xy -+=，所以25()y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中33x y 的系数为3155C C 15+=.故选C.9.答案：A 解析：3cos28cos 5αα-=，()232cos 18cos 5αα∴--=，26cos 8cos 80αα∴--=，23cos 4cos 40αα∴--=，解得cos 2α=(舍去)或2cos 3α=-.(0,π)α∈，sin α∴故选A. 10.答案：A解析：如图所示，设球O 的半径为R ，1O 的半径为r ，因为1O 的面积为4π，所以24π=πr ，解得2r =，又1AB BC AC OO ===，所以2sin 60ABr ︒=，解得AB =123OO =，所以222221(23)216R OO r =+=+=，所以球O 的表面积24π64πS R ==.故选A.11.答案：D解析：通解 由22:2220M x y x y +---=①，得22:(1)(1)4M x y -+-=，所以圆心(11)M ，.如图，连接AM ，BM ，易知四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，欲使||||PM AB ⋅最小，只需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM 的面积最小.因为||2AM =，所以只需||PA 最小.又222||||||||4PA PM AM PM =--220x y ++=上的动点P 到M 55=，此时PM l ⊥，易求出直线PM 的方程为210x y -+=.由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，，得10x y =-⎧⎨=⎩，，所以(10)P -，.易知P AM B ，，，四点共圆，所以以PM 为直径的圆的方程为222152x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，即2210x y y +--=②，由①②得，直线AB 的方程为210x y ++=，故选D.优解 因为22:(1)(1)4M x y -+-=，所以圆心(11)M ，.连接AM BM ，，易知四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，欲使||||PM AB ⋅最小，只需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM 的面积最小.因为||2AM =，所以只需||PA 最小. 又222||||||||4PA PM AM PM =-=-所以只需||PM 最小，此时PM l ⊥.因为PM AB ⊥，所以lAB ，所以2AB k =-，排除A ，C.易求出直线PM 的方程为210x y -+=，由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，，得10x y =-⎧⎨=⎩，，所以(10)P -，.因为点M 到直线1x =-的距离为2，所以直线1x =-过点P 且与M 相切，所以(11)A -，.因为点(11)A -，在直线AB 上，故排除B.故选D.12.答案：B解析：解法一 令2()2log x f x x =+，因为2x y =在(0)+∞，上单调递增，2log y x =在(0)+∞，上单调递增，所以2()2log x f x x =+在(0)+∞，上单调递增.又2224222log 42log 2log 2log (2)a b b b a b b b +=+=+<+，所以()(2)f a f b <，所以2a b <.故选B.解法二 （取特值法）由2422log 42log 4log a b b a b b +=+=+，取1b =，得22log 4a a +=，令2()2log 4x f x x =+-，则()f x 在(0)+∞，上单调递增，且(1)0f <，(2)0f >，所以(1)(2)0f f <，2()2log 4x f x x =+-在(0)+∞，上存在唯一的零点，所以12a <<，故22a b >=，2a b <都不成立，排除A ，D ；取2b =，得22log 17a a +=，令2 ()2log 17x g x x =+-，则()g x 在(0)+∞，上单调递增，且(3)0g <，(4)0g >，所以(3)(4)0g g <，2()2log 17x g x x =+-在(0)+∞，上存在唯一的零点，所以34a <<，故24a b >=不成立，排除C.故选B. 13.答案：1解析：通解 作出可行域，如图中阴影部分所示，由10220x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得10x y =⎧⎨=⎩，，故(10)A ，.作出直线70x y +=，数形结合可知，当直线7z x y =+过点A 时，7z x y =+取得最大值，为1.优解 作出可行域，如图中阴影部分所示，易得(10)A ，，(01)B -，，312C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，当直线7z x y =+过点A 时，1z =；当直线7z x y =+过点B 时，7z =-；当直线7z x y =+过点C 时，311722z =-=-.所以7z x y =+的最大值为1.14.答案：3 解析：解法一a b ，为单位向量，且||1+=a b ，2()1∴+=a b ，1211+=∴+⋅a b ，12∴⋅=-a b ，2221||211232⎛⎫∴-=+-⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭a b a b a b ，||3∴-=a b .解法二 如图，设OA =a ，OB =b ，利用平行四边形法则得OC =+a b ，||||||1==+=a b a b ，OAC ∴为正三角形，3||||2||3BA ∴=-=⨯⨯=a b a .15.答案：2解析：设(),B B c y ，因为 B 为双曲线2222:1x y C a b -=上的点，所以22221B y c a b -=，所以422B b y a=.因为AB 的斜率为3，所以2B b y a=，23b a c a =-，所以2233b ac a =-，所以22233c a ac a -=-，所以22320c ac a -+=，解得c a =(舍去)或2c a =，所以C 的离心率2ce a==. 16.答案：14-解析：依题意得，AE AD =AEC 中，1AC =，30CAE ∠=︒，由余弦定理得2222cos 311EC AE AC AE AC EAC =+-⋅∠=-︒+=，所以1EC =，所以1CF EC ==.又2BC ，BF BD ===所以在BCF中，由余弦定理得2221cos 24BC CF BF FCB BC CF +-∠===-⨯.17.答案：(1)2q =-；(2)1(31)(2)99nn n S +-=-.解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+. 所以220q q +-=，解得1q =(舍去)，2q =-. 故{}n a 的公比为2-.(2)记n S 为{}n na 的前n 项和.由(1)及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)(2)3nn n --=-⨯-.所以1(31)(2)99nn n S +-=-.18.答案：(1)见解析；解析：(1)设DO a =，由题设可得,,PO AO AB a =，PA PB PC ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .(2)以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得312(0,1,0),(0,1,0),,0,2E A C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 所以312,,0,0,22EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则 0,0,EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,310.2y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 可取32⎛= ⎝m . 由(1)知2AP ⎛= ⎝⎭是平面PCB 的一个法向量，记n AP =, 则25cos ,||||⋅==⋅n m n m n m 所以二面角B PC E --25. 19.答案：(1)116；(2)34；(3)716. 解析：(1)甲连胜四场的概率为116. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116； 乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为111,,1688. 因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=.20.答案：(1)2219x y +=；(2)见解析.解析：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++.代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.21.答案：(1)见解析；(2)27e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：(1)当1a =时，2()e x f x x x =+-，)e (1'2x f x x =+-.故当(,0)x ∈-∞时，)'(0f x <；当(0,)x ∈+∞时，)'(0f x >.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2)31()12f x x ≥+等价于3211e 12x x ax x -⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭. 设函数321()1e (0)2x g x x ax x x -⎛⎫=-++≥ ⎪⎝⎭，则32213()121'e 22x g x x ax x x ax -⎛⎫=--++-+- ⎪⎝⎭21(23)42e 2x x x a x a -⎡⎤=--+++⎣⎦ 1(21)(2)e 2x x x a x -=----.(i)若210a +≤，即12a ≤-，则当(0,2)x ∈时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,2)单调递增，而(0)1g =，故当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意.(ii)若0212a <+<，即1122a -<<，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，)'(0g x <；当(21,2)x a ∈+时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,21),(2,)a ++∞单调递减，在(21,2)a +单调递增.由于(0)1g =，所以()1g x ≤当且仅当2(2)(74)e 1g a -=-≤，即27e 4a -≥.所以当27e 142a -≤<时，()1g x ≤.(iii)若212a +≥，即12a ≥，则31()1e 2x g x x x -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.由于27e 10,42⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故由()ii 可得311e 12x x x -⎛⎫++ ⎪⎝≤⎭.故当12a ≥时，()1g x ≤. 综上，a的取值范围为27e [,)4-+∞.22.答案：(1)曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2)11,44⎛⎫⎪⎝⎭.解析：(1)当1k =时，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C 的直角坐标方程为1x y +=, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.23.答案：(1)见解析；(2)7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
