数学期中试卷-含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题6分） 1.已知全集U R ，集合{|1}A x x ，{|2}B x x ，则()U A B （ ）A. {|1}x xB. {|12}x xC. {|12}x xD. {|2}x x【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，全集U R ，根据集合{|1}A x x ，{|2}B x x ，求得A B ，再根据补集的运算，即可求解. 【详解】由题意，全集U R ，集合{|1}A x x ，{|2}B x x ，则{|1A B x x 或2}x，所以(){|12}UA B x x ，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.已知(,3)ax , (3,1)b , 且a b , 则x 等于 ( )A. 1B. －1C. 9D. －9 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的垂直的性质，利用向量的数量积等于零，即可求解. 【详解】由题意，向量(,3)a x ,(3,1)b ,因为ab , 所以3310a b x ，解得1x ，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的垂直的性质和向量的数量积的运算问题，其中解答中熟向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）12 D. 13【答案】B【解析】 【分析】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即2a b ，再根据椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即2a b ，则椭圆的离心率为222231()c a b eaa a ，故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的几何性质，合理应用,,abc 的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.双曲线22149x y 的渐近线方程是（ ）A. 94yx B. 49y x C. 23y x D. 32y x 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线方程直接求解双曲线的渐近线方程即可．【详解】双曲线22149x y 的渐近线方程为：y=±32x ．故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题． 5.下列说法错误．．的是 （ ） A. “1sin2”是“30”的充分不必要条件；B. 如果命题“p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题．C. 若命题p ：2,10x R x x ，则2:,10p xR x x ；D. 命题“若0a ，则0ab ”的否命题是：“若0a ，则0ab ”【答案】A 【解析】 【分析】对于A 中，“1sin2”是“030”的必要不充分条件；对于B 中，根据简单的复合命题的真假关系，可得是正确的；对于C 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得是正确额的；对于D 中，根据命题的否命题的定义，可得是正确； 【详解】对于A 中，“1sin2”是“030”的必要不充分条件，所以不正确；对于B 中，如果命题“p ”与命题“p 或q ”都是真命题，可得p 是假命题，q 一定是真命题，所以是正确的； 对于C 中，若命题2:,10p x R x x ，，根据全称命题与存在性命题的关系， 可得2:,10p xR x x 是正确的；对于D 中，根据命题的否命题的定义，可知命题“若0a ，则0ab ”的否命题是：“若0a ，则0ab ”是正确；故选A.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中熟记充要条件的判定方法、复合命题的真假判定、全称命题与存在性命题的关系，以及否命题的概念是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.要得到2sin(2)3yx的图像, 需要将函数sin 2y x 的图像( ) A. 向右平移3个单位 B. 向右平移23个单位 C. 向左平移3个单位 D. 向左平移23个单位【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，将函数sin 2yx 的图像向右平移3个单位，得2sin(2)3y x，得到答案. 【详解】由题意，将函数sin 2y x 的图像向右平移3个单位，得2sin[2()]sin(2)33y xx， 所以只需将函数sin 2y x 的图象向右平移3个单位，即可得到2sin(2)3yx，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答中熟记三角函数的图象变换的规则是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知P 是椭圆22+12516x y 上一点，F 1、F 2是焦点，∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积( )A. 10B. 12C. 14D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】 设12,PF m PF n ，在12Rt PF F 中，由勾股定理可得2222m n c ，利用椭圆的定义得122PF PF a ，即2m n a ，联立解答mn 即可.【详解】由椭圆22+12516x y ，可得2222225,16,9a b c a b ，所以5,4,3ab c ，所以12,PF m PF n ，在12Rt PF F 中，由勾股定理可得222236m n c，又122PF PF a ，所以10m n ，联立221036m n m n ，解得32mn ，所以12PF F 的面积1162S mn ，故选D. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，及其简单的几何性质的应用，同时椭圆的定义的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.等差数列n a 的前10项和为30,前20项和为100,则它的前30项和是 A. 210 B. 170 C. 130 D. 260 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列n a 的前n 项和的性质，232,,n nn n n S S S S S 成等差数列，即可得出.【详解】由等差数列n a 的前n 项和的性质，232,,n n n n n S S S S S 成等差数列，所以30301002(10030)S ，解得30210S ，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和及其性质，其中熟记等差数列通项公式和前n 项的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( )A.16 B. 23 C. 13D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由几何体的三视图可知，该三棱锥的底面是等腰直角三角形，高为2的三棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据几何体的三视图可知该三棱锥表示底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥， 所以其体积为11111123323VSh ，故选C. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解. 10.已知0.32a ，2log 0.3b ，20.3c ，则（ ）A. cb a B. b ac C. b c a D. c a b【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，直接求解即可. 【详解】由题意，可得0.30221a，22log 0.3log 10b ，200.30.31c ，即1a ，0b ，(0,1)c ，所以b c a ，故选C.【点睛】本题主要考查了指数幂与对数式的比较大小问题，其中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.极坐标方程cos 化为直角坐标方程为___________【答案】22x y x【解析】 【分析】由题意，根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y，代入即可求解.【详解】由题意，根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sinx y，则2coscos ，所以22x y x .【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12.直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线一般式方程：___________ 【答案】430x y 或10x y【解析】 【分析】根据题意，根据在坐标轴上的截距相等，分类讨论，即可求解所求直线的方程. 【详解】由题意，当直线过原点时，此时所求直线的斜率为43k，所以所求直线的方程为43yx ，即430x y ； 当直线不过原点时，设直线的方程为1(0)x ya aa，又由直线过点(3,4)，代入得3411a a a，即直线的方程为10x y ，所以直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距相等方程为430x y或10x y .【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中根据直线在坐标轴上的截距相等，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.13.椭圆221164x y 上的点到直线220x y 的最大距离是_______【解析】 【分析】 设与220x y平行且与椭圆221164x y 相切的直线方程为20x y c ，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得c 的值，把椭圆上的点到直线的最大距离转化为与椭圆的相切的的直线和其平行线间的距离.【详解】设直线20x y c 与椭圆221164x y 相切．由2220,1,164x y c x y 消去x 整理得2284160y cy c .由216320c 得42c.当42c时符合题意(42c 舍去)．即x+2y+与椭圆221164x y 相切,椭圆221164x y 上的点到直线220x y的最大距离即为两条平行线之间的距离:222421012d【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的关系，体现了数学转化思想方法，解答本题的关键是理解椭圆上的点到直线的最大距离，与这条直线和它平行且与椭圆的相切的直线间的距离的关系.14.在极坐标中，已知圆C 经过点)4P ，，圆心为直线3sin32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 【答案】解：∵圆C 圆心为直线3sin32与极轴的交点，∴在3sin32中令=0，得1。
黑龙江省牡丹江市 2019-2020 年度数学高二上学期文数期末考试试卷 D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 15 题；共 30 分)1. （2 分）(2019 高二下·富阳月考) 若抛物线 则实数 的值为（ ）上一点到其焦点 的距离为 ，A.4B.3C.2D.12. （2 分） (2018 高一下·珠海月考) 为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的 120 名年轻人、 80 名中年人、60 名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中老年人抽取了 3 名，则 n ＝（ ）A . 13B . 12C . 10D.93. （2 分） (2019 高二下·大庆月考) “a>1”是“ <1”的（ ）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2 分） (2017 高一下·红桥期末) 把黑、红、白各 1 张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）第 1 页 共 13 页A . 对立事件 B . 互斥但不对立事件 C . 不可能事件 D . 必然事件 5. （2 分） (2020·广东模拟) 我国古代数学名著《九章算术》里有一个这样的问题：“今有共买金，人出四 百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价几何？”为了解决这个问题，某人设计了如图所示的程序框图， 运行该程序框图，则输出的 ， 分别为（ ）A . 30，8900B . 31，9200C . 32，9500D . 33，98006.（2 分）已知命题 p：函数在（0，1）内恰有一个零点；命题 q：函数在上是减函数，若 p 且 为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A.B . a≤2C . 1<a≤2第 2 页 共 13 页D . a≤l 或 a>27. （2 分） (2018 高二下·临泽期末) 已知函数 取值范围为（ ），若恰有两个不同的零点，则 的A.B.C.D. 8. （2 分） (2018 高二上·承德期末) 直线 A.与曲线相切，则切点 的坐标为（ ）B.C.D.9. （2 分） (2018·龙泉驿模拟) 如图， 则该点落在阴影区域内的概率为（ ）是以正方形的边为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，A.B.第 3 页 共 13 页C.D.10. （2 分） 若抛物线 y2=x 上两点 A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）关于直线 y=x+b 对称，且 y1y2=﹣1，则实 数 b 的值为（ ）A . -3 B.3 C.2 D . -211. （2 分） 如果 A. B. C.表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是（ ）D.12. （2 分） 甲、乙两名同学在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图所示， ， 分别表示甲乙两名同学这 项测试成绩的平均数， 分别表示甲乙两名同学这项测试成绩的标准差，则有（ ）A. B. C. D.第 4 页 共 13 页13. （2 分） 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A.2 B.4 C.8 D . 1614. （2 分） (2018 高三上·信阳期中) 若函数 f（x）=﹣ 范围是（ ）A . [0，+∞） B . （﹣∞，0） C . （0，+∞） D . （﹣∞，0]+mx 有三个不同的单调区间，则实数 m 的取值15. （2 分） 已知函数 f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，F(x)＝ ＝－2x＋c，则函数 f(x)的最小值是（ ）A.2第 5 页 共 13 页，若 F(x)的图象在 x＝0 处的切线方程为 yB.1C.0D . －1二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)16. （ 1 分 ） (2018 高 一 下 · 南 阳 期 中 ) 已 知 样 本 数 据的方差，则样本数据的平均数为________．17. （1 分） (2019 高三上·安顺月考) 三个同学重新随机调换座位，则恰有一个坐在自己原来的位置上的概 率为________.18. （1 分） (2017 高二上·阜宁月考) 已知椭圆的焦点分别为率为 ，过 的直线交椭圆于 A、B 两点，则的周长为________.，离心19. （1 分） 对于回归方程 =4.75 +257．当 x=28 时，y 的估计值是________20. （1 分） (2019 高三上·城关期中) 一个车间为了规定工作原理，需要确定加工零件所花费的时间，为此 进行了 5 次试验，收集数据如下：零件数 x（个） 1020304050加工时间 y（分钟）6469758290由表中数据，求得线性回归方程 分钟．，根据回归方程，预测加工 70 个零件所花费的时间为________三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)21. （10 分） (2017 高二下·呼伦贝尔开学考) 已知命题 P：不等式 a2﹣4a+3＜0 的解集；命题 Q：使（a﹣2） x2+2（a﹣2）x﹣4＜0 对任意实数 x 恒成立的实数 a，若 P∨Q 是真命题，求实数 a 的取值范围．22. （10 分） 在某音乐唱片超市里，每张唱片售价 12 元，顾客如果购买 5 张以上（含 5 张）唱片，则按照九 折收费；如果购买 10 张以上（含 10 张）唱片，则按照八折收费．请将下面计费的程序框图补充完整．第 6 页 共 13 页23. （15 分） (2017·衡阳模拟) 据某市地产数据研究院的数据显示，2016 年该市新建住宅销售均价走势如 图所示，为抑制房价过快上涨，政府从 8 月份采取宏观调控措施，10 月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3 月至 7 月的各月均价 y（万元/平方米）与月份 x 之间具有较强的线性相关 关系，试建立 y 关于 x 的回归方程（系数精确到 0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第 12 月份该市新建住宅 销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在 2016 年的 12 个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份 的所属季度，记不同季度的个数为 X，求 X 的分布列和数学期望．参考数据：=25，=5.36，=0.64回归方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：第 7 页 共 13 页=，=﹣ ．24. （10 分） (2018 高二下·泸县期末) 省环保厅对 、 、 三个城市同时进行了多天的空气质量监 测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有 180 个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：城城城优（个）28良（个）3230已知在这 180 个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录 城市空气质量为优的数据的概率为 0.2.（I）现按城市用分层抽样的方法，从上述 180 个数据中抽取 30 个进行后续分析，求在 的个数；城中应抽取的数据（II）已知，，求在 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.25. （10 分） (2018·汉中模拟) 已知函数.（1） 求函数图象经过的定点坐标；（2） 当时，求曲线在点处的切线方程及函数单调区间；（3） 若对任意，恒成立，求实数 的取值范围.26. （10 分） (2019·恩施模拟) 已知抛物线 ：的焦点为 ，其准线 ：与轴的交点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于两点.（1） 求抛物线 的方程；（2） 点 关于 轴的对称点为 ，证明:存在实数，使得.第 8 页 共 13 页一、 单选题 (共 15 题；共 30 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)参考答案第 9 页 共 13 页16-1、 17-1、 18-1、 19-1、 20-1、三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)21-1、 22-1、第 10 页 共 13 页23-1、24-1、25-1、25-2、25-3、26-1、26-2、。
2019-2020学年度第一学期期末试题高二理科数学试卷考试时间:120分钟 分值:150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1 D ．－373．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．① D ．②③ 4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值5．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．(1，＋∞) 6．下列计算错误的是( ) A ．⎠⎛π－πsin x d x ＝0B ．⎠⎛1 0x d x ＝23C ．cos x d x ＝2cos x d xD ．⎠⎛π－πsin 2x d x ＝07．余弦函数是偶函数，f (x )＝cos(x ＋1)是余弦函数，因此f (x )＝cos(x ＋1)是偶函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确 8.设复数z 满足(z-2i)(2-i)=5,则z=( )A .2+3iB .2-3iC .3+2iD .3-2i9.若函数f (x )=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)10.在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．3OM OA OB OC =-- B ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++D ．=+++OM11．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)12．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知复数z ＝－1＋i1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________ 象限．14．垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程是________．15．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________．16．若Rt △ABC 中两直角边为a ，b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y ＝5x ，求： (1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线方程； (2)求过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程．18．(本小题满分12分) 已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，1f(x)d x＝－2，求a、b、c的值．⎠⎛19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象经过点(1，－3)且在x＝1处，f(x)取得极值．求：(1)函数f(x)的解析式；(2)f(x)的单调递增区间．20．(本小题满分12分) 如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BA⊥AC，SA⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AC⊥SB；（Ⅱ）若AB＝AC＝SA＝3，E为线段BC的中点，F为线段SB上靠近B的三等分点，求直线SC与平面AEF所成角的正弦值．21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，求证：；求直线AM与平面所成角的正弦值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(1+x) - ln(1-x),(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求证:当x ∈(0,1)时,f (x )>2;(3)设实数k 使得f (x )>k 对x ∈(0,1)恒成立,求k 的最大值.2019-2020学年度第一学期期末试题答案高二理科数学试卷考试时间:120分钟 分值:120分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： ∵z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )2(2＋i )(2－i )＝4－4i －15＝35－45i ，∴复数z 对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45，在第四象限． 答案： D2．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1D ．－37解析： f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10，y －10＝7(x －1)，y ＝0时，x ＝－37.答案： D3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．①D ．②③解析： 类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案： A4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析： y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1，x ＝3，当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0. 当x ＝－1时，y 极大值＝5，x 取不到3，无极小值． 答案： C5．函数y ＝4x 2＋1x 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析： 令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，即(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，且x ≠0，得x >12.答案： C6．下列计算错误的是( ) A ．⎠⎛π－πsin x d x ＝0B ．⎠⎛1 0x d x ＝23C ．cos x d x ＝2cos x d xD ．⎠⎛π－πsin 2x d x ＝0解析： 由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果． 答案： D7．余弦函数是偶函数，f (x )＝cos(x ＋1)是余弦函数，因此f (x )＝cos(x ＋1)是偶函数，以上推理(C )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误． 8.设复数z 满足(z-2i)(2-i)=5,则z=( A )A .2+3iB .2-3iC .3+2iD .3-2i9.若函数f (x )=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( D )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)10.在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （A ）A ．3OM OA OB OC =-- B ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++D ．=+++OM11．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析： 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)， 则m ′(x )＝f ′(x )－2>0， ∴m (x )在R 上是增函数． ∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0， ∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}， 即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)． 答案： B12．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(A )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－ 1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)解析：记函数g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，因为当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，故当x ＞0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减；又因为函数f (x )(x ∈R)是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(－∞，0)单调递减，且g (－1)＝g (1)＝0.当0＜x ＜1时，g (x )＞0，则f (x )＞0；当x ＜－1时，g (x )＜0，则f (x )＞0，综上所述，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知复数z ＝－1＋i1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________ 象限．解析： z ＝－1＋i1＋i－1＝－1＋i.答案： 二14．垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程是________． 解析： 设切点为P (a ，b )，函数y ＝x 3＋3x 2－5的导数为y ′＝3x 2＋6x ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2＋6a ＝－3，得a ＝－1，代入到y ＝x 3＋3x 2－5，得b ＝－3，即P (－1，－3)，y ＋3＝－3(x ＋1)，3x ＋y ＋6＝0.答案： 3x ＋y ＋6＝015．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________．解析： 由题意可知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(0)＝0 ∴b ＝0，∴f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－⎝⎛⎭⎫x 44＋ax 33| －a 0＝a 412，∴a ＝±3.又－a >0⇒a <0，得a ＝－3. 答案： －316．若Rt △ABC 中两直角边为a ，b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是________．解析： 在Rt △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ，∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2△P AC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12P A ·PB ·PC ， ∴S 2△ABC ·PO 2＝14P A 2·PB 2·PC 2④， ③÷④整理得M ＝N . 答案： M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y ＝5x ，求： (1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线方程；(2)求过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程． 解析： (1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝5x ， 得y ′|x ＝x 0＝52x 0.∵切线与y ＝2x －4平行， ∴52x 0＝2，∴x 0＝2516，∴y 0＝254，则所求切线方程为y －254＝2⎝⎛⎭⎫x －2516，即2x －y ＋258＝0. (2)∵点P (0,5)不在曲线y ＝5x 上，故需设切点坐标为M (x 1，y 1)，则切线斜率为52x 1.又∵切线斜率为y 1－5x 1，∴52x 1＝y 1－5x 1＝5x 1－5x 1，∴2x 1－2x 1＝x 1，得x 1＝4. ∴切点为M (4,10)，斜率为54，∴切线方程为y －10＝54(x －4)，即5x －4y ＋20＝0.18．(本小题满分12分) 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x＝－2，求a 、b 、c 的值．[解析] ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2.① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ，取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象经过点(1，－3)且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：(1)函数f (x )的解析式；(2)f (x )的单调递增区间．解析： (1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象过点(1，－3)得a ＋b ＋1＝－3， ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又f ′(1)＝3a ＋b ＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－43a ＋b ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－6，∴f (x )＝2x 3－6x ＋1. (2)∵f ′(x )＝6x 2－6，∴由f ′(x )>0得x >1或x <－1，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．20．(本小题满分12分) 如图所示，四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BA ⊥AC ，SA ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：AC ⊥SB ；（Ⅱ）若AB ＝AC ＝SA ＝3，E 为线段BC 的中点，F 为线段SB 上靠近B 的三等分点，求直线SC 与平面AEF 所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）∵SA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥AC ，又BA ⊥AC ，SA ∩BA ＝A ，∴AC ⊥平面SAB ， 又SB ⊂平面SAB ，∴AC ⊥SB ．（Ⅱ）以AB 、AC 、AS 为x 轴y 轴z 轴建立如图所示坐标系，则A （0，0，0），S （0，0，3），C （0，3，0），E （，，0），F （2，0，1）， ∴＝（，，0），＝（2，0，1），＝（0，﹣3，3），设＝（x，y，z）为平面AEF的法向量，，∴，∴，令x＝﹣1，得一个法向量＝（﹣1，1，2），cos＜，＞＝＝＝即直线SC与平面AEF所成角的正弦值为．21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，求证：；求直线AM与平面所成角的正弦值．【解析】如图，以B为原点，BA、所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则0，，2，，2，，，，，，即，；轴面，面的法向量取0，，设直线AM与平面所成角为，，直线AM与平面所成角的正弦值为．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(1+x) - ln(1-x),(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2;(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.解:(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以f'(x)=,f'(0)=2.又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)令g(x)=f(x)-2,则g'(x)=f'(x)-2(1+x2)=.因为g'(x)>0(0<x<1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),即当x∈(0,1)时,f(x)>2.(3)由(2)知,当k≤2时,f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h(x)=f(x)-k,则h'(x)=f'(x)-k(1+x2)=.所以当0<x<时,h'(x)<0,因此h(x)在区间上单调递减.当0<x<时,h(x)<h(0)=0,即f(x)<k.所以当k>2时,f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.。
