第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。
特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。
对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。
而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。
为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。
随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。
一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。
即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。
数学建模问题（席位公平分配问题）本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平树的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一个D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q值模型的结合，最终得出了一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
目录一、问题重述与分析：1.1问题重述：1.2问题分析：二、模型假设;：三、符号说明：四、模型建立：4.1公平的定义：4.2不公平程度的表示：4.3相对不公平数的定义：4.4模型一的建立：（比例分配模型）4.5模型二的建立：（汉丁顿模型和q值模型）五、模型求解：5.1模型一求解：5.2模型二求解：六、模型分析与检验：七、模型的评价：7.1优点：7.2缺点：7.3改进方向：八、模型优化：九、参考文献：一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10,6,4席。
现因学生转系，三系人数为103,63,34，问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解的最优的席位公平分配方案。
1.2问题分析：各系的人数将影响着各系所获得的席位名额。
人数越多的系获得的席位名额越多，人数越少的系获得的席位名额越少。
席位名额的分配是按照各系人数与各系总人数的比例来进行分配的。
各系名额的比例与各系人数的比例几乎相等。
这是一个分配问题，关键在找到最公平的席位分配方案。
