数学建模席位分配问题

席位分配问题是一个常见的实际问题，涉及到资源的分配和管理。

为了解决这个问题，我们可以使用数学建模的方法，通过建立数学模型来分析和优化席位的分配方案。

一、问题描述假设有一个大型会议，需要分配给不同的参与者席位。

每个参与者可能有不同的资格和需求，我们需要根据一定的规则来分配席位。

具体问题包括：1. 参与者数量和席位数量2. 参与者的资格和需求3. 席位分配的规则和标准二、数学建模为了解决席位分配问题，我们可以使用以下数学模型：1. 参与者集合P：表示所有的参与者。

2. 席位集合S：表示所有的席位。

3. 资格矩阵A：表示每个参与者的资格情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个资格类型（例如，专业、身份等）。

4. 需求矩阵D：表示每个参与者对席位的需求情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个席位类型（例如，地点、时间等）。

5. 分配规则R：表示席位的分配规则和标准，如按照资格优先、按照需求优先、按照公平分配等。

根据以上描述，我们可以建立如下的数学模型：目标函数：最小化席位浪费（即席位数与参与者需求之差）约束条件：1. 资格约束：每个参与者的资格必须满足分配规则的要求。

2. 需求约束：每个参与者所需席位类型必须得到满足。

3. 数量约束：总的席位数必须不超过总席位数量。

4. 可行性约束：分配的席位必须是有效的，即不存在冲突和重复的情况。

三、求解方法根据上述数学模型，我们可以使用以下方法进行求解：1. 枚举法：逐个尝试所有可能的席位分配方案，找到满足约束条件的方案。

这种方法需要大量的计算时间和空间，但在某些情况下可能找到最优解。

2. 优化算法：使用优化算法如遗传算法、粒子群算法等，通过不断迭代找到最优解。

这种方法需要一定的编程知识和技能，但通常能够快速找到满意的解。

3. 启发式算法：使用启发式算法如模拟退火、蚁群算法等，通过不断尝试找到满意解。

这种方法相对简单易行，但可能无法找到最优解。

4. 数学软件求解：使用专门的数学软件如Matlab、Python等，通过编程求解上述数学模型。

对公平的席位分配问题解法的一点补充222008314011010 刘欢08数统一班为叙述简单，仍然采用书中的例子如下一．提出问题：某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。

若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲、乙、丙三系分别应占有10，6，4个席位。

现在丙系有3名学生转入甲系， 3名学生转入乙系，仍按比例分配席位出现了小数，三系同意，在将取得整数的19席位分配完毕后，剩下的1席位参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4个席位。

按比例并参照惯例的席位分配。

由于20个席位的代表会议在表决时可能出现10∶10的局面，会议决定下一届增加1席，按照上述方法重新分配席位，计算结果是甲、乙、丙三系分别应占有11，7，3个席位。

显然这个结果对丙系太不公平了，因总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。

请问：如何分配才算是公平？二．书中模型 用Q 值法求解如下设A ，B 两方，人数分别为1p 和2p ，占有席位分别是1n 和2n ，当1122=p n p n 时席位的分配公平。

但人数为整数，通常1122≠p n p n 。

这时席位分配不公平，且/p n 较大的一方吃亏。

当1122>p n p n 时，定义11221222-=(,)A p n p n r n n p n （1）为对A 的相对不公平值。

当1122<p n p n 时，定义22111211-=(,)B p n p n r n n p n （2）为对B 的相对不公平值。

要使分配方案尽可能公平，制定席位分配方案的原则是使12(,)A r n n 和12(,)B r n n 都尽可能小. 假设，A B 两方分别占有1n 和2n 席，利用相对不公平值A r 和B r 讨论，当总席位增加1席时，应该分配给A 还是B 。

不妨设1122>p n p n ，即对A 不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况：(1) 当221>+11p pn n 时，说明即使给A 增加1席，仍然对A 不公平，所以这一席显然应给A 方. (2)当221<+11p pn n 时，说明给A 增加1席后，变为对B 不公平，此时对B 的相对不公平值为 21121211-1 ++=()(,)B p n r n n p n （3）(3)当221>+11p pn n 时，这说明给B 增加1席，将对A 不公平，此时对A 的相对不公平值为12122111-1 ++=()(,)A p n r n n p n （4）因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小，所以如果121211 +<+(,)(,)B A r n n r n n （5）则这1席给A 方，反之这1席给B 方.由(3)(4)可知，(5)等价于21222211<11++()()p p n n n n （6）不难证明上述的第(1)种情况221>+11p pn n 也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方。

数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。

我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。

首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。

其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。

同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。

最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。

关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。

若增加为21席，又如何分配。

因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。

席位分配问题例题：有一个学校要召开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。

如何分配最为恰当？问题：（1）问20席该如何分配，如果有三名学生转系该怎样分配？（2）若增加21席又如何分配？问题的分析：一、20席分配情况：系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200学生人数比例100/200 60/200 40/200席位分配10 6 4 20如果有三名学生转系，分配情况：系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配10 6 4 20二、21席位分配情况：系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200按比例分配席位10.815 6.615 3.57 21按惯例席位分配11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。

要怎样才能公平呢？模型的建立：假设由两个单位公平分配席位的情况，设单位人数席位数单位A p1 n1单位B p2 n2要公平，应该有p1/n1 = p2/n2，但这一般不成立。

注意到等式不成立时有若p1/n1 >p2/n2 ，则说明单位A吃亏(即对单位A不公平)若p1/n1 <p2/n2 ，则说明单位B 吃亏(即对单位B不公平)因此可以考虑用算式p=|p1/n1-p2/n2|来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如：某两个单位的人数和席位为n1 =n2 =10 ，p1 =120，p2=100，算得p=2另两个单位的人数和席位为n1 =n2 =10 ，p1 =1020，p2=1000, 算得p=2虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种公平。

【数学建模】公平席位的分配问题基础案列某展会，AB双⽅根据⼈数分配席位：衡量公平的数量指标： p1/n1=p2/n2。

此时对AB均公平。

p1/n1>p2/n2。

此时对A不公平，因为对A放来说，每个席位相对应的⼈数⽐率更⼤。

绝对不公平度定义： p1/n1-p2/n2 = 对A的绝对不公平度问题：/*情况1*/p1=150, n1=10, p1 /n1=15 p2=100, n2=10, p2 /n2=10/*情况2*/ p1=1050, n1=10, p1 /n1=105 p2=1000, n2=10, p2 /n2=100两者对A的不公平度相同，但是很明显后者对A的不公平成都已经⼤⼤降低。

相对不公平度定义：说明：由定义知对某⽅的不公平值越⼩，某⽅在席位分配中越有利，因此可以⽤使不公平值尽量⼩的分配⽅案来减少分配中的不公平使⽤不公平值的⼤⼩确定分配⽅案： 设A, B已分别有n1 , n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1 /n1> p2 /n2 ，即对A不公平。

分情况讨论： 1. 2.，说明此以⼀席给A后，对B不公平，则计算对B的不公平度。

rB(n1+1,n2). 3.，说明此⼀席给B后,对A不公平,不公平值为，rA(n1,n2+1). 4.p1/n1<p2/n2+1，这种情况不可能出现。

上⾯的分配⽅法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。

⽤不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有则应该增加给A⼀席，否则则应该增加给B⼀席。

提炼模型： ————>引⼊公式： 于是知道增加的席位分配可以由Qk的最⼤值决定，且它可以推⼴到多个组的⼀般情况。

⽤Qk的最⼤值决定席位分配的⽅法称为Q值法。

数学建模作业一学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用下列方法分配各宿舍的委员数：（1） 按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大的。

（2） Q 值方法：m 方席位分配方案：设第i 方人数为i p ，已经占有i n 个席位，i=1，2，…，m .当总席位增加1席时,计算2(1)i i i i p Q n n =+，i=1，2，…，m 把这一席分给Q 值大的一方。

（3） d ’Hondt 方法：将A ，B ，C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A,B,C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。

（试解释其道理。

）（4） 试提出其他的方法。

数学建模作业二假定人口的增长服从这样的规律:时刻t 的人口为)(t x ,t 到t+ t 时间内人口的增长与m x -)(t x 成正比例(其中m x 为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。

解：=r(x m -x),r 为比例系数，x(0)=x 0 解为：x(t)= x m -( x m - x 0),如下图粗线，当t →∞时，它与Logistic 模型相似。

数学建模作业三一容器内盛入盐水100L，含盐50g .然后将含有2g/L的盐水流如容器内，流量为3L/min.设流入盐水与原盐水搅拌而成均匀的混合物。

同时，此混合物又以2L/min的流量流出，试求在30min时，容器内所含的盐量。

若以同样流量放进的是淡水，则30min时，容器内还剩下多少盐？要求写出分析过程。

解：设x(t)为t时刻容器内剩余的盐的质量①x(t)=2(100+t)-1.5(100+t)-2X(t=30)=171.24② x(t)=(100+t)-2 X(t=30)=29.59数学建模作业四商业集团公司在123,,A A A 三地设有仓库，它们分别库存40，20，40个单位质量的货物，而其零售商店分布在地区,1,,5i B i ，它们需要的货物量分别是25，10，20，30，15个单位质量。

§1. 代表席位分配模型一、问题：代表大会的召开，如何分配各单位的代表各方是最公平，最合理？ 例1．分配席位为整数某学校200学生：甲方：100名，乙方：60名，丙方40名，学生代表设20席，公平又简单的办法：按人数比例分配。

1、模型1（比例模型）： 代表名额分配：ii ip n p ⨯=⨯∑∑各单位学生人数代表席位学生总数甲方：()1002002050%2010⨯=⨯=席 乙方：()602002030%206⨯=⨯=席 乙方：()402002020%204⨯=⨯=席 2、模型2（惯例模型）分配席位为小数时——剩余席位分配结余最大的单位： 如：学生总数200人（丙方有6名学生转入甲、乙方各3人）即 甲：103人 乙：63人 丙：34人代表总数仍为20人，则：仍按上述方案分配就出现小数。

按惯例将席位整数19席分配完毕之后，剩余一席按照惯例分配给比例余数最大的丙席，于是分配结果似乎合理，是否合理看下例。

但若总数变化时所出3．惯例模型的问题----增加一席代表后的分配情况 增加一席代表后的分配结果：若学生总人数200，分布同2（甲103，乙6，丙34）学生代表人数21人（避免出现表决提案成平面）分配办法：仍按比例和惯例分配：分配结果：使人吃惊，总席为增加1席，丙方反而减少1席，显然“不公平”。

为此，要寻找更加“公平”的分配办法：问题：寻求更好的分配模型，使得分配结果更合理，于是，要解决此问题必须要弄清楚，该问题中什麽是“合理”？或者说我们应在该问题中如何去理解和定义“合理”的 概念。

即有以下的分析。

二．建模分析：席位分配模型——Q 值分配方案1、公平的定义：定义1：设：A 方人数 1p 人，若分配给 1n 个席位，则每席代表人数11p n B 方人数 2p 人，若分配给 2n 个席位，则每席代表人数22p n 则公平的定义为：若：有1212p p n n =成立，则席位分配是公平的，否则是不公平的。

数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。

我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。

首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。

其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。

同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。

最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。

关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。

若增加为21席，又如何分配。

因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。

数学建模解决电影院座位安排问题介绍电影院座位安排问题是一个涉及数学建模的实际问题。

在繁忙的电影院中，如何高效地安排座位，以满足观众的需求，是一个重要的问题。

本文将利用数学建模的方法来解决这一问题。

问题描述电影院座位安排问题的目标是在给定的座位布局和观众的需求下，找到一种合适的座位安排方案。

观众通常会提供自己的座位偏好，例如靠近屏幕或靠近出口。

同时，电影院还需要考虑座位之间的空间要求，并保证每个座位都能被合理利用。

数学建模方法1. 座位分配算法为了高效地安排座位，我们可以使用贪心算法。

首先，根据观众的座位偏好进行排序，然后按照顺序分配座位。

如果观众的偏好相同，则可以考虑分配距离屏幕最近的座位。

2. 座位布局优化为了确保每个座位都能被合理利用，我们可以使用图论中的最大匹配算法。

将座位布局看作是一个二分图，观众和座位分别作为图的顶点，根据观众的座位偏好和座位之间的空间关系建立边。

然后，使用最大匹配算法找到最优的座位分配方案。

3. 座位调整策略在实际运行中，可能会出现观众需要调整座位的情况，例如不满意当前的座位。

为了避免频繁的座位调整，我们可以使用图的染色算法。

将每个观众看作是一个顶点，并根据他们的座位偏好和距离等因素，确定他们在座位中的位置。

然后，使用染色算法为每个观众分配一个颜色，表示他们的座位偏好。

这样，当观众需要调整座位时，我们只需要调整同一颜色的座位。

结论通过数学建模的方法，我们可以解决电影院座位安排问题。

通过合适的座位分配算法、座位布局优化和座位调整策略，我们能够提高观众的满意度，并在电影院的座位安排上实现高效和合理。

公平席位分配问题数学建模数学建模,公平席位问题所在系别:地球科学与资源系专业班级:10级土管6班姓名:刘强1一、摘要本文就是席位分配公平与否的问题。

需要联系生活想象。

它就是在达到所有系最公平的条件下寻求最好的方法，通过对各个合理的计算和研究，总结找出最佳方案。

首先用比例分配法求出本题的答案，然而考虑到实际的多重因素下，在假设一组数据进行检验，然后便发现了问题，即:很多时候根本没有公平的分配方法，我需要另寻其他方法。

找到了以下关于分配的方法:Hamilton (哈密顿)方法、d’Hondt 接着我(汉丁顿)方法、Q值方法、d’Hondt(汉丁顿)方法+Q值法。

将对这些方法进行逐一分析与检验，使得得出一套最佳的合理方案。

即:使得各系席位分配最公平。

关键词:公平分配、最佳方案、最公平二、问题的重述某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位,三、问题的提出与分析分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中。

它涉及的内容十分广泛。

此题一个自然的问题是如何分配席位名额才是公平的呢,反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。

即:mi / xi当各系每席位代表的人数相等时，则就是最公平的分配方法。

此题公平的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲、乙、丙三系分别占有10、6、4个席位。

但是比例分配在实际生活中的应用并不广泛，原因是当所得结果并非整数时，就难以解决了。

此时就需要另寻其他方法了。

Hamilton (哈密顿)方法、d’Hondt(汉丁顿)方法、Q值方法均是求如何分配所总结的方法。

那么什么方法使得能够更大的获得公平呢,四、符号的约定• N 表示总席位数• s 表示系数• ni(i=1.2.3……s) 表示第i个系• mi(i=1.2.3……s) 表示各系中的人数• xi(i=1.2.3……s) 表示各系所获得的席位数?、采用比例分配法xi=(mi/N)*总席数20个席位的分配结果如下表人数系别ni 所占比例分配方案席位数xi mi甲 100 100/200 (50/100)*20=10 102乙 60 60/200 (30/100)*20=6 6丙 40 40/200 (20/100)*20=4 4• 但是我发现实际生活中结果是整数的情况少之又少，• 所以对此我们假设下面这种情况作为参考。