整式讲义

m2 n , x 2 y 2 ，都只含有数字与字母（或它们的正整数指数幂）的积，这样的代数工叫做单 5
项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项.多项式中次数 最高的项的次数，就是这个多项式的次数. 单项式和多项式统称整式.
考点 2 代数式的值 例 2 下列各式：2、 a 、 x 1 、 3 、9>2、
1 x y 、 s ab .其中，代数式的个数是 2 x y
1
.
例 3 已知当 x=2 时，代数式 x mx 7 的值等于 5，求当 x=1 时这个代数式的值. 解：
2
[补例练习] 2、如果 x 4 y (2x 4)2 0 时，求代数式
. .
⑶把多项式 xy 2 x4 3x2 y 5 y3 2 按 x 的降幂排列为
三、巩固练习 整式的概念（课外练）
一、填空题 1.用代数式表示 a 的倒数与 b 的倒数的平方和 . ，多项式
2 2 ab 1 2 m 4 x xy y , xy , mn , (a b) , 2.在 中，单项式是 c 2 n 7
1 2 x y 的值. 4
3、若 ( 2 x)3 a0 a1x a2 x2 a3 x3 ，则 (a0 a2 )2 (a1 a3 )2 的值为 考点 3 整式的概念 例 3 ⑴单项式
.
2ab 2 的系数是 3
，次数是
.
⑵如果 2 x3 y 2n1 是六次单项式，则 n ＝
是
2 3 2
. 3.把多项式 5a b 4a 3ab 按字母 b 的升幂排列 4.代数式 . . .

整式的乘除与因式分解专题综合讲义一、学习目标：1.掌握与整式有关的概念；2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；3.掌握单项式、多项式的相关计算；4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。

5..掌握因式分解的常用方法。

二、知识点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x按y 的升幂排列：3223221y y x xy x --++-按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y5、同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：235()()()a b a b a b ++=+6、幂的乘方法则：mn n m aa =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==如：23326)4()4(4==7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。

第1课时整式的概念课时目标1．能够根据题意，用规范的格式正确列代数式；2. 掌握代数式的值的概念，能用具体数值代替代数式中字母，求出代数式的值；3. 能用代数式表示有规律的数列，体验特殊与一般的关系；4. 理解单项式、多项式和整式的定义，并能分辨出它们的不同；5. 掌握单项式的次数和系数的含义；6. 掌握多项式项和次数的含义，能对多项式进行降幂或升幂排列；7. 能根据整式系数和次数的关系求未知数的值；8. 掌握同类项的概念，并根据同类项的概念求未知数的值；知识精要一、字母表示数1、为什么要用字母代替数？因为字母可以简明地将_______关系表示出来.2、用字母表示数时：(1)数字与字母及字母与字母间的________省略，且________要写在________之前，当数字是带分数时，要写成________；(2)除法运算中的除号要用________来表示.二、代数式1、用运算符号和_________把数或___________连结而成的式子叫做代数式.(这里的运算符号一般指______________，以及以后要学的乘方，开方)2、单独一个________或者一个________也是代数式.3、因为________和________不是运算符号，所以等式和不等式不是代数式.4、用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做________________.三、整式1、单项式：(1)单项式的概念：像xy 、n 21 、m 4、3x 、y 等，它们都是_____与_______的积，这样的________叫做单项式.单独一个_______或一个_______也是单项式.(2)单项式的系数：单项式中的_______因数叫做单项式的系数.(3)单项式的次数：一个单项式中，______________和叫做这个单项式的次数.2、 多项式：(1)多项式的概念：______________叫做多项式.在多项式中，每个_______叫做多项式的项，其中_______的项叫做常数项.一个多项式有几项，这个多项式就叫做_______式.(2)多项式的次数：多项式中，_____________的次数，就是这个多项式的次数.(3)多项式的排列：① 把一个多项式按其一个字母的指数从_____到____的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列.② 把一个多项式按某一个字母的指数从_____到_____的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列.3、整式：_______和________统称为整式.四、同类项1、同类项的概念：_______________________________.几个常数项也是同类项（例如33和24是同类项）.2、合并同类项：①合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. ②合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.③合并同类项的步骤：____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________热身练习一、判断1. a -表示负数； ( )2. 多项式5322--x x 是由单项式2x 2、3x 、-5组成的； ( )3. 单项式m -没有系数 ( )4. 232-+x x 是二次三项式 ( )5. 22254x x x =+ ( )6. ab ab b a 47322-=- ( )二、选择1. 下列代数式中单项式是 ( )①32a ②b a 25+ ③y - ④y x 21π ⑤752x ⑥bca A. ①③⑤⑥ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④⑥2. 下列代数式的描述中，错误的是 ( )A. 125424-+x x 是四次三项式 B. x y xy +2 不是整式 C. b a b ab a 33332-++ 是三次四项式 D. ab a + 不是单项式 3．化简)2()2()2(++---x x x 的结果等于 （ ）A.63-xB.2-xC.23-xD.3-x4．一个长方形的一边长是b a 32+，另一边的长是b a +，则这个长方形的周长是 （ ）A.b a 1612+;B.b a 86+.C.b a 83+D.b a 46+.三、填空1. 把多项式723522343-+--y x xy y y x(1)按的升幂排列_____________________________________(2)按的降幂排列_____________________________________2.当a =4，b =12时，代数式ab a -2的值是____. 3.质量为m 千克的茶叶，售价是p 元，设单价是每千克d 元，则d =_____元.(用含有m 、p 的代数式表示)4.某商品按原价降低m 元之后又降20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为____________.5.你会唱“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿”吗？如果有n 只青蛙，那么有（ ）张嘴，（ ）只眼睛，（ ）条腿.6.观察下列等式：()()()⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+⨯=⨯++⨯=⨯++⨯=⨯+233323222222211121222则第n 个等式表示为_________7.研究下列算式，你会发现什么规律？222252516441615339142,24131==+⨯==+⨯==+⨯==+⨯…………请你将找出的规律用公式表示:____________________________四、简答1.一个长方形的周长是24，长为a ，用代数式表示这个长方形的面积，并求当a =7时，这个长方形的面积.2.一件商品以成本的30%作为利润定出售价，假设成本为每件m 元： ①请写出表示售价的代数式______________；②有人说，将这件商品的原售价先提高%x ，再下降%x ，一定还能获得成本的30%作为利润，你说此人说得对吗？请写出把原售价先提高%x ，再下降%x 后的售价，取m =200元，x =10进行验证.精解名题1. 下面各题的判断正确的有___________.①27xy -的系数是7； ②32y x -与3x 没有系数； ③23c ab -的次数是0＋3＋2；④3a -的系数是－1； ⑤2223y x -的次数是6； ⑥h r 231π的系数是31. 2. －23ab c 2π的系数是________，次数是________．3.某商品原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是________________元(结果用含m 的代数式表示).4.若a 、b 互为倒数，c ,d 互为相反数，e 是最小的自然数，则3)(2)(2e d c ab -++-的值是多少？5.如果b axy -是关于x ，y 的单项式，且系数为2，次数为3，那么a ，b 分别是多少？6.02)1(2=-++y x ，求代数式x +2y 的值.备选例题1.如果多项式13)2(52+---x xy m y x m的次数为4次，且有三项，那么m 为多少？2. 已知a xy x =+22，b xy y =+232，求22984y xy x ++的值.(结果用a ,b 表示)3.已知y x x b a +-2与5231b a 是同类项，求多项式323316121y xy x +-的值.4.已知012=++x x ，求201200199x x x ++的值方法提炼1.通过练习及例题，大家应注意以下几点：①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x 2，－a 2b 等； ③单项式次数只与字母指数有关.2.熟练掌握单项式、多项式、单项式系数和次数、多项式系数和次数的概念，并能很好的区分它们.*3.合并同类项，第一步要先找出同类项，第二步利用分配律，把同类项的系数加在一起.巩固练习一、选择1.一个五次多项式，它的任何一项的次数( )A ．都小于5B ．都小于5C ．都不小于5D ．都不大于52.在代数式：55+x , －1,－x 3, π, x 5，xx 1+ 整式的有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个3.百位数字是a ，十位数字是b ，个位数字是c 的三位数是( )A ．abcB ．c b a ++C ．c b a ++10100D ．a b c ++10100 4.y x 291和y x n 1+的次数相同，则n 1=( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空1.当a >0时，=a ；当a =0时，=a ；当a <0时，=a .2.如果a1是负数，那么a 是 数；如果a ≠0，那么a 的绝对值的倒数是 数. 3.当n =6时，代数式)1(2)2(--n n n 的值是 . 4.已知14+-n xy 与425y x m 同类项，则n m +2=_________.三、计算1.若x =y =1，a 、b 互为倒数，求代数式ab y x 3)(212-+的值.2.已知0)3(22=-++y x ，求222232924y xy x y xy x +--++的值.3. 若23122++-m n y x 与4135--m n y x 是同类项，求m n n m -+)(的值.4.合并同类项（1） 2235213x x x x -+--- （2）b a ab b a ab b a 22252.168.0++---（3）222432132b ab a ab a -++- （4）y x x y yx x y x xy y x 2222226457326-----+（5）41247842222-+-+-xy y x xy y x ； （6）2222222b ab a b ab a -+++-．四、找规律1.阶梯教室第一排有a 个座位，后面每排都比前一排多2个座位.（1）第2排、第3排各有几个座位？（2）以此类推第n 排有多少个座位？（3）如果用m 表示第n 排的座位数，那么当a =20,n =12时，m 的值是多少？2. 如图(1)是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图(2)，再分别连结图(2)中间的小三角形三边的中点，得到图(3)，按此继续下去，请你根据每个图形中的三角形个数的规律，完成下列问题.（1）将下表填写完整 图型编号12345……三角形个数159……（2）在第n 个图形中有_____个三角形（用含n 的式子表示）（1） （2） （3）自我测试一. 选择题1. 下列结论中正确的是( )A. 没有加减运算的代数式叫做单项式.B. 单项式273xy 的系数是3，次数是2. C. 单项式m 既没有系数也没有次数.D. 单项式z xy 2-的系数是－1，次数是4.2. 把多项式y x y x xy 52433725++-按x 降幂排列后，第三项是( )A. 35xyB. 242y x -C.D. y x 533. 二次三项式c bx ax ++2为一次单项式的条件是( )A. 0≠a ，0=b ，0=cB. 0=a ，0≠b ，0=cC. 0=a ，0=b ，0≠cD. 0=a ，0=b ，0=c二.填空题1.若13)12(+-b y x a 是关于x 、y 的系数为3的六次单项式，22b a -= .2. 32bca π-是 次单项式，它的系数是 ___________.3. 若()()063122=-+-++z y x ，求代数式z y x x +-2)(=_______.4. 若2)1(23++++x x m x 没有二次项，则_______.5. 如果222z y x m -的次数与单项式345.3b a 的次数相同，则m =_______.6. 当代数式632++t t 的值为5时，代数式3932-+t t = .三.计算题1.合并同类项（1）a a a a 3134232-+- （2）333323n m n m +--（3）2222211.015.012.0yx x y xy y x +-+ （4）121221243+++---n n n n n x y x y y x y x2.先化简再求值（1）当2-=a ，1=b 时，求222222243323ab ab b a b a ab b a +--++的值.（2）222214(32)(113)2,2a b ab a b ab a b ---=-=其中3.已知：22222224,253xy y x B xy y x A +-=-+= 求： 3B －2A。

第二章 《整式》有关整式运算口诀平方差公式：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆．完全平方公式：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央．因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚．1．代数式的有关概念（1）代数式：代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．列代数式时，要注意问题的语言叙述所直接或间接表示的运算顺序。

一般来说，先读的先写；要正确使用表明运算顺序的括号；列代数式时，出现乘法时，通常省略乘号，数与字母相乘，要将数写在字母前面；带分数要化成假分数，然后再与字母相乘；数字与数字相乘仍用“×”号：出现除法运算时，一般按分数的写法来写。

列代数式时，如果代数式后跟单位，应该将含有加减运算的代数式用括号括起来。

（2）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，并按代数式中的运算顺序计算后所得的结果叫做代数式的值．求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．如果代数式里省略乘号，那么字母用数值代替时要还原乘号，乘以负数，还要添上括号．（3）代数式的分类⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎨⎪⎪⎩⎪⎩单项式整式有理式多项式代数式分式无理式2．整式的有关概念单项式：数与字母的乘积的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

单独一个非零数的次数是0。

多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项， 多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，单项式和多项式统称为整式π是数，是一个具体的数，而不是一个字母。