培优专题讲义有理数及其运算教案.doc

-运算顺序的掌握：难点在于混合运算中，运算顺序容易混淆，导致计算错误。
-突破方法：通过具体案例，强调运算顺序的重要性，并引导学生用括号明确运算顺序。
-实际应用题的解决：难点在于如何将实际问题抽象成有理数运算问题，以及如何列式和计算。
-突破方法：提供多样化的实际应用题，引导学生逐步学会提取信息、建立数学模型并解决问题。
2.培养学生运用有理数进行逻辑推理，提高逻辑思维能力，增强数学抽象素养。
3.培养学生熟练掌握有理数的运算，提高运算速度和准确性，强化数学运算素养。
4.引导学生通过解决实际问题，培养数据分析素养，提高解决问题的能力。
5.激发学生主动探究有理数性质和运算规律的意识，培养数学探究素养，增强创新精神。
6.培养学生合作交流、分享学习心得的习惯，提高数学交流素养，增进团队合作意识。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解有理数的基本概念。有理数是可以表示为两个整数比的数，如分数、整数。它是数学运算的基础，广泛应用于各个领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了有理数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调有理数的分类和运算规则这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与有理数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示有理数运算的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“有理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

学而思八年级数学培优讲义学而思八年级数学培优讲义旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高数学素养，为初中阶段的学习打下坚实基础。

以下是八年级数学培优讲义的部分内容：一、有理数及其运算1. 有理数的分类：整数、分数、正有理数、负有理数、零。

2. 有理数的加法：同号相加，异号相减；绝对值相加，符号决定和的大小。

3. 有理数的减法：减法转化为加法，被减数、减数与差的的关系。

4. 有理数的乘法：符号规律，绝对值相乘。

5. 有理数的除法：除法转化为乘法，商的变化规律。

6. 有理数的乘方：乘方的意义，乘方运算规则。

二、几何知识1.点、线、面的基本概念：点的坐标，线段的平行、垂直，平面的性质。

2.三角形的基本概念：三角形的分类，三角形的边角关系，三角形的判定。

3. 四边形的基本概念：四边形的分类，四边形的对边、对角线、内角和。

4.平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，平行四边形的判定。

5.矩形、菱形、正方形的性质：矩形的对角线相等，菱形的对角线垂直，正方形的性质。

三、函数与方程1.函数的基本概念：函数的定义，函数的图像，函数的性质。

2.一次函数：一次函数的解析式，一次函数的图像，一次函数与直线。

3.方程的基本概念：方程的定义，方程的解法，方程的应用。

4. 一元一次方程：一元一次方程的解法，一元一次方程的应用。

5. 一元二次方程：一元二次方程的解法，一元二次方程的应用。

四、三角形和四边形的几何证明1.三角形的证明：全等三角形的判定，相似三角形的判定。

2. 四边形的证明：平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定。

3.几何证明的方法：综合法、分析法、反证法。

五、统计与概率1.统计的基本概念：数据的收集、整理、分析。

2.频数与频率：频数分布表，频率分布表，概率的基本概念。

3.事件的概率：等可能事件的概率，条件概率，独立事件的概率。

4.统计的应用：平均数、中位数、众数，概率的应用。

通过学习八年级数学培优讲义，学生可以系统地回顾和巩固课堂所学知识，提高自己的数学能力，为初中阶段的学习打下坚实基础。

教师： 科目：学生：上课时间： 授课内容：有理数及其运算 第二章 有理数及其运算第一节、有理数的意义1. 数怎么不够用了知识点：大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3，182，5.2也可写作+3，182+，+5.2；零既不是正数，也不是负数。

或巩固练习：选择题 1．关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 （ ）A. 0是整数B. 0是偶数C. 0是自然数D. 0既不是正数也不是负数2．–3.782 （ ）A. 是负数，不是分数B. 不是分数，是有理数C. 是分数，不是有理数D. 是分数，也是负数二、将下列各数填入相应的集合中。

17，-1，12，0，-3.01，0.62，-15，182-，180，-42，-45%，π，1 整数：______________________ 自然数：__________________________正数：______________________ 负数： __________________________偶数：______________________ 奇数： __________________________分数：______________________ 非负数：__________________________非负整数： _________________ 非正分数：________________________非负有理数：________________ 有理数： ________________________填空题1、一个数的绝对值是 6 ，这个数是 。

2、绝对值小于3的整数有 个。

3、119-的相反数的倒数是 。

4、计算：20022(1)(2)0-⨯-⨯= 。

5、如果216a =，那么 a= 。

6、如果规定上升8米记作8米，那么－7米表示 ______________。

第一节数怎么不够用了〖教学目的：〗〖知识与技能目标：〗借助生活中的实例，从扩充运算的角度引进负数，然后使用正负数表示现实生活中具有相反意义的量.〖过程与方法：〗经历从生活中发现数学问题，体会数学与现实生活的联系。

〖情感态度与价值观：〗培养自主探索能力并体验成功•〖教学重点、难点：〗理解正、负数及有理数的意义〖教学方法：〗引导发现法〖教具准备：〗尺、小黑板。

〖教学过程：〗I •创设现实情景，弓I入新课观察一组图片回答下列问题：某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣10分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分。

四个代表队答题情况如下表：第1题第2题第3题第4题第5题第一队第二队©©©第三队Q)L©第四队©o加10分得0分扣10分算一算：每个代表队的得分是多少？n.根据现实情景，讲授新课生活中你见过带有“ ”号的数吗？比0大的数叫做正数，如,5,1.2, ，…在正数前面加上“ ”号的数叫做负数，女口 -0, - 3,…0既不是正数，也不是负数•为了突出数的符号，可以在正数前面加“ +号，如+5,+1.2,+ 9,2. 讲解例题:例1 (1)在知识竞赛中，如果用+10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？(2)某人转动转盘，如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？(3)在某次乒乓球的质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02克，那么-0.03克表示什么？川.做一做将所有学过的数进行分类，并与同伴进行交流。

正数、负数与零统称为有理数通过这节课的学习，你学到了什么？感受到了什么？还想知道什么？比0大的数叫做正数，在正数前面加上“”号的数叫做负数，0即不是正数，也不是负数.为了突出数的符号，可以在正数前面加“ +”数、负数与零统称为有理数.W.课时小结根据课堂的实际情况作评价.并让小组成员叙述自己对有理数加减法的看法和掌握有困难的地方。

-有理数除法法则：理解除法是乘法的逆运算，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数。
-有理数混合运算：掌握混合运算的顺序和法则，解决实际问题。
举例解释：
-加法重点：强调两个正数或两个负数相加时，结果的符号不变，绝对值为两个数绝对值之和。如：3 + 4 = 7，-3 + (-4) = -7。
-减法重点：强调减法实际上是加上相反数，如：5 - 3 = 5 + (-3)。
第二章有理数及其运算第三讲有理数的运算法则（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章“有理数及其运算”的第三讲，主题为“有理数的运算法则”。教学内容主要包括以下几点：
1.有理数的加法法则：掌握同号相加、异号相加的规律，理解“正负相抵”的概念。
-同号相加：两个正数或两个负数相加，结果为同号的较大绝对值。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了有理数的运算法则这一章节。我尝试通过日常生活中的例子引入新课，希望这样能让学生感受到数学与生活的紧密联系。在理论讲解部分，我尽力将有理数的概念和运算法则阐述清楚，同时用具体的案例帮助学生理解这些抽象的规则。
课堂上，我发现学生在异号相加和乘法符号规律这两个部分有些吃力。我通过反复举例和对比分析，尽量让学生明白这些难点。在实践活动和小组讨论中，我鼓励学生积极思考，提出问题，并尝试解决问题。看到他们认真讨论、动手操作的样子，我觉得他们已经开始体会到数学学习的乐趣。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“有理数的运算法则”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算相反意义的量，比如温度上升和下降？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索有理数运算法则的奥秘。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第07讲---有理数的乘法和除法运算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握有理数的乘法法则以及运算律；②掌握除法运算法则；③提高学生的计算能力。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）有理数的乘法1、有理数乘法法则1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.2）任何数与0相乘，积仍为0.2、倒数：如果两个有理数的乘积为1，那么其中的一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数.3、乘法运算律1)乘法交换律：ab=ba.体系搭建2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)． 3)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac. （二）有理数的除法1、有理数的除法法则1）两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值 相除 ； 2）0除以任何一个非0的数都得 0 。

注意：0不能作除数2、除以一个数等于乘这个数的倒数.考点一：计算与定义新运算 例1、15515512277227⎛⎫⎛⎫⨯--⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（用简便方法计算） 【解析】分析：提取57，逆运用乘法分配律进行计算即可得解。

解：15515512277227⎛⎫⎛⎫⨯--⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =1551551+2277227⎛⎫⨯⨯+-⨯ ⎪⎝⎭ 例2、若“!”是一种数学运算符号，并且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…， 则5!=______=______，的值=______．【解析】 根据运算的定义，可以把写成的形式，然后即可求解．解：5!=5×4×3×2×1=120，==99×100=9900，故答案为：5×4×3×2×1，120，9900． 例3、阅读理解： 计算×﹣×时，若把与（分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：解：设为A ，为B ，典例分析则原式=B（1+A）﹣A（1+B）=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=．请用上面方法计算：①②．【解析】（1）根据题意设（++++）为A，（+++++）为B，原式变形后计算即可求出值；（2）根据题意设（+++++…+）为A，（++++++…+）为B，原式变形后计算即可求出值．解：（1）设（++++）为A，（+++++）为B，原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=；（2）设（+++++…+）为A，（++++++…+）为B，原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=．例4、要使为整数，a只需为（）【解析】A．奇数B．偶数 C．5的倍数D．个位是5的数如果为整数，则（a﹣5）2为4的倍数，可确定a的取值．解：∵为整数，∴（a﹣5）2为4的倍数，∴a﹣5是偶数，则a可取任意奇数．故选A．考点二：倒数例1、若a与b互为倒数，则3﹣5ab= ﹣2 ．【解析】分析：根据互为倒数的两个数的积为1，直接求出ab的值，从而得到3﹣5ab的值．解：∵ab=1，∴3﹣5ab=3﹣5×1=﹣2．故答案为﹣2．例2、当a= 时的倒数仍是．【解析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数列出计算即可得解． 解：∵的倒数仍是，∴×=1，解得a=1或a=﹣3． 故答案为：1或﹣3．例3、a ，b 是两个有理数，完成下面的填空： （1）如果a ﹣b=0，那么a 与b 的关系是 相同 （2）如果a+b=0，那么a 与b 的关系是 互为相反数 （3）如果a×b=1，那么a 与b 的关系是 互为倒数 （4）如果1ab= ，那么a 与b 的关系是 相等，均不为0 （5）已知a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，|m|=2，则式子+m a bcd m+- 的值为 1或﹣3 ． 【解析】分析：（1）（2）（3）根据相反数和倒数的定义求解即可；（4）两数的比值为1，则两数一定相等，又因为是分数，所以分母不等于0； （5）根据题意先求出a+b 、cd 以及m 的值，然后把它们的值分别代入式子即可． 解答：（1）相同，故答案为相同； （2）互为相反数，故答案为互为相反数； （3）互为倒数，故答案为互为倒数；（4）相等，均不为0，故答案为相等且均不等于0；（5）∵和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，|m|=2，∴a+b=0，cd=1，m=±2，当m=2时，则式子+m a bcd m+-=0﹣1+2=1；当m=﹣2时，则式子+m a bcd m+-=0﹣1﹣2=﹣3；故答案为1或﹣3． 例4、a 是不为1的有理数，我们把称为a 的差倒数．如：2的差倒数是=﹣1，﹣1的差倒数是=．已知a 1=，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，则a 2011=______．【解析】根据定义求得a1，a 2，a 3，a 4…的值，观察规律，即可猜想结果． 解：a 1=﹣ a 2==；a 3==4；a 4==﹣，因而一下三个一次循环，故a 2011=﹣,故答案是：﹣考点三：与绝对值综合例1、ab ＜0，a ＞0，|a|＞|b|，则a+b （ ） A ．大于0B ．小于0C ．小于或等于0D ．无法确定【解析】分析：首先根据ab ＜0，可判断a 、b 为异号，再根据a ＞0，可得b ＜0，因为|a|＞|b|，也就是正数的绝对值大，根据有理数的加法法则：绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，可得a+b ＞0．解：∵ab ＜0，∴a 、b 为异号，∵a ＞0，∴b ＜0，∵|a|＞|b|，∴a+b ＞0，故选：A ．例2、若a ≠0，b ≠0，则代数式的取值共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】本题可分4种情况分别讨论，解出此时的代数式的值，然后综合得到所求的值． 解：由分析知：可分4种情况： ①a＞0，b ＞0，此时ab ＞0 所以++=1+1+1=3；②a＞0，b ＜0，此时ab ＜0 所以++=1﹣1﹣1=﹣1；③a＜0，b ＜0，此时ab ＞0 所以++=﹣1﹣1+1=﹣1；④a＜0，b ＞0，此时ab ＜0 所以++=﹣1+1﹣1=﹣1；综合①②③④可知：代数式++的值为3或﹣1．故选A．∴A、a+b是正数，故本选项正确；B、a﹣b=a+（﹣b），是负数，故本选项错误；C、ab是负数，故本选项错误；D、ab是负数，故本选项错误．故选A．P(Practice-Oriented)——实战演练➢课堂狙击1、计算：【解析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．解：原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2．2、四个整数的积abcd=9，且a≠b≠c≠d，那么a+b+c+d的值为（）A.0B.4C.8D.不能确定【解析】将9写成四个互不相等的整数的积的形式，只能是9=-3×3×（-1）×1，从而确定a、b、c、d，求出它们的和．解：∵四个整数的积abcd=9，且a≠b≠c≠d，又∵-3×3×（-1）×1=9，∴a+b+c+d=-3+3+（-1）+1=0．故选A3、①如果a，b，c是有理数且abc≠0，计算代数式的值；②如果有理数a+b+c=0且abc≠0，计算代数式的值【解析】①对a、b、c中正数的个数进行讨论，即可求解；②数a+b+c=0且abc≠0时，a、b、c中至少有1个正数，有1个负数，利用①即可直接写出答案．解：①当a、b、c中没有负数时，都是正数，则原式=1+1+1+1=4；当a、b、c中只有负数时，不妨设a是负数，则原式=﹣1+1+1﹣1=0；实战演练当a 、b 、c 中有2个负数时，不妨设a 、b 是负数，则原式=﹣1﹣1+1+1=0； 当a 、b 、c 都是负数时，则原式=﹣1﹣1﹣1﹣1=﹣4， 总是代数式的值是4或﹣4或0；②当有理数a+b+c=0且abc≠0时，a 、b 、c 中至少有1个正数，有1个负数． 则代数式的值是：04、已知：|x|=3，|y|=2，且xy ＜0，则x+y 的值为等于 ±1 ． 【解析】解：∵|x|=3，|y|=2，∴x=±3，y=±2，∵xy ＜0，∴xy 符号相反，①x=3，y=﹣2时，x+y=1；②x=﹣3，y=2时，x+y=﹣1．5、已知三个有理数m ，n ，p 满足m+n=0，n ＜m ，mnp ＜0，则mn+np 一定是（ ） A ．负数 B ．零C ．正数D ．非负数【解析】解：∵m+n=0，∴m ，n 一定互为相反数；又∵n ＜m ，mnp ＜0，∴n ＜0，p ＞0，m ＞0， ∴mn ＜0，np ＜0，∴mn+np 一定是负数．故选A ．6、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，|m|=3，求+m a bcd m+-的值． 【解析】解：∵a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，∴a+b=0，cd=1， ∵|m|=3，∴m=±3，∴当m=3时，原式=0﹣1+3=2； 当m=﹣3时，原式=0﹣1﹣3=﹣4．故答案为：2或﹣4．7、3个有理数a 、b 、c 两两不等，则中有______个是负数．【解析】根据题意，a 、b 、c 两两不等，可设a ＞b ＞c ，易得a ﹣b ＞0，b ﹣c ＞0，c ﹣a ＜0，进而可得，的符号，进而可得答案．解：根据题意，a 、b 、c 两两不等， 可设a ＞b ＞c ，易得a ﹣b ＞0，b ﹣c ＞0，c ﹣a ＜0，则中有2个是负数，故答案为2．➢ 课后反击1、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，|m|=3，求+m a bcd m+-的值． 【解析】解：∵a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，∴a+b=0，cd=1， ∵|m|=3，∴m=±3，∴当m=3时，原式=0﹣1+3=2； 当m=﹣3时，原式=0﹣1﹣3=﹣4．故答案为：2或﹣4．2、已知，如图，则下列式子正确的是（ ）A ． ab ＞0B ． |a|＞|b|C ． a+b ＜0D ． a ﹣b ＜0【解析】解：根据数轴可知b ＜﹣1＜0＜a ＜1．∴ab ＜0，|a|＜|b|，a+b ＜0，a ﹣b ＞0．故正确的只有C ．3、已知a 、b 、c 、d 是互不相等的整数，且abcd=6，则a+b+c+d 的值等于（ ） A ．﹣1或1B ．﹣1或﹣5C ．﹣3或1D ．不能求出【解析】解：由题意得：这四个数小于等于6，且互不相等． 再由乘积为6可得，四个数中必有2和﹣3，或﹣2，3．∴四个数为：1，﹣1，2，﹣3，或1，﹣1，﹣2，3则和为﹣1或1．故选A ．4、计算 （1）（﹣）×（﹣）×0×（2）（3）（﹣﹣）×（﹣24）（4）﹣32×【解析】解：（1）原式=0；（2）原式=（﹣）×（﹣）×（﹣4）=﹣（××4）=﹣； （3）原式=×（﹣24）﹣×（﹣24）﹣×（﹣24）=﹣20+18+8=6； （4）原式==﹣×（32﹣11﹣21）=0． 5、用简便方法计算： （1）（2）1191 231132126⎛⎫⎛⎫-+÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】解：（1）﹣1.53×0.75+1.53×14+25×1.53=1.53×（﹣0.75+0.5+0.8），=1.53×（1.3﹣0.75）=1.53×0.55=0.8415；（2）1191231132126⎛⎫⎛⎫-+÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=7721632127⎛⎫⎛⎫-+⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=76762163727127⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--⨯-+⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=﹣2+332-=3﹣132=﹣．6、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为2，求﹣2mn+a bm n+-﹣x的值．【解析】解：∵a、b互为相反数，∴a+b=0；∵m、n互为倒数，∴mn=1；∵x的绝对值为2，∴x=±2．①当x=2时，原式=﹣2+0﹣2=﹣4；②当x=﹣2时，原式=﹣2+0+2=0．7、如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）（1）你认为当输入什么数时，其输出结果是0？（2）你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？（3）当小明输入3；；﹣201这三个数时，这三次输出的结果分别是：______．（4）有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，你判断一下，小明可能输入的是什么数？【解析】（1）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0；（2）由已知输出的各数可找出规律；（3）先判断出3、、﹣201与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可；（4）设输入的数为x，分2＜x＜7、0＜x＜2、当x＜0及x＞7四种情况进行讨论，按输入程序进行解答．解：（1）∵输出数为0，0的相反数及绝对值均为0，当输入5的倍数时也输出0．∴应输入0或5n（n为自然数）；（2）由（1）中输出的各数均为非负数可知，输出的数应为非负数；（3）∵3＞2，∴输入3时的程序为：（3﹣5）=﹣2＜0，∴﹣2的相反数是2＞0，2的倒数是，∴当输入3时，输出；当输入时，＜2，∴其相反数是﹣，其绝对值是，∴当输入时，输出；当输入﹣201时，﹣201＜2，∴其相反数是201＞0，其倒数是，∴当输入﹣201时，输出；故答案为：，，；（4）由输出的数为2，设输入的数为x，①当2＜x＜7时，（x﹣5）＜0，其相反数是5﹣x＞0，其倒数是=2，解得x=；②当0＜x＜2时，其相反数是﹣x＜0，其绝对值是x=2，故x=2；③当x＜0时，其相反数为﹣x＞0，其倒数是﹣=2，x=﹣．④当x＞7时，按①的程序可知x=+…2n．总上所述，x的可能值为：，2，﹣…，即x=+…2n．1、【2012深圳】﹣3的倒数是（）A．3B．﹣3 C. 13D．直击中考【解析】乘积为1的两个数互为倒数，1÷（-3）=S (Summary-Embedded)——归纳总结1、运算过程中应先判断积的符号，几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

有理数培优教案教案标题：有理数培优教案教学目标：1. 理解有理数的概念，并能够区分有理数和无理数。

2. 掌握有理数的加减乘除运算法则，能够灵活运用于解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，提高其数学素养。

教学重点：1. 有理数的概念和特点。

2. 有理数的加减乘除运算法则。

教学难点：1. 有理数的乘除运算法则的理解和应用。

2. 解决实际问题时的运算策略选择。

教学准备：1. 教学课件和教学素材。

2. 学生练习册和作业纸。

3. 教学工具：白板、彩色粉笔、计算器等。

教学过程：Step 1: 引入（5分钟）通过引入一道有关有理数的问题，激发学生的学习兴趣。

例如：小明买了一本书，花费了12.5元，他还剩下了7.3元，请问他原本有多少钱？Step 2: 概念讲解（10分钟）通过PPT或者黑板，向学生介绍有理数的概念和特点。

强调有理数是可以表示为两个整数的比值，并且可以用分数或小数表示。

Step 3: 有理数的加减运算（15分钟）讲解有理数的加减运算法则，并通过多个例题进行讲解和练习。

可以采用彩色粉笔在黑板上进行演示，帮助学生理解运算过程。

Step 4: 有理数的乘除运算（15分钟）讲解有理数的乘除运算法则，并通过多个例题进行讲解和练习。

可以引导学生发现乘法是加法的重复，除法是减法的重复，并通过实例进行演示。

Step 5: 实际问题应用（10分钟）提供一些实际问题，让学生运用所学的有理数运算法则解决问题。

例如：小明每天骑自行车去学校，每天骑行的距离是3.5公里，他一周骑行了多少公里？Step 6: 总结与拓展（5分钟）对本节课所学的内容进行总结，并提供一些拓展问题，让学生进一步巩固所学的知识。

Step 7: 作业布置（5分钟）布置相关的练习题和作业，要求学生独立完成，并在下节课检查。

教学辅助策略：1. 在讲解过程中，使用图表、实物等教具帮助学生理解抽象概念。

2. 鼓励学生积极参与课堂讨论和互动，提高学生的学习主动性。

学⽽思七年级数学培优讲义word版（全年级章节培优-绝对经典）第1讲与有理数有关的概念考点·⽅法·破译1．了解负数的产⽣过程，能够⽤正、负数表⽰具有相反意义的量. 2．会进⾏有理的分类，体会并运⽤数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会⽤数轴⽐较两个有理数的⼤⼩，会求⼀个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7⽶⑵收⼈－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】⽤正、负数表⽰实际问题中具有相反意义的量．⽽相反意义的量包合两个要素：⼀是它们的意义相反．⼆是它们具有数量．⽽且必须是同类两，如“向前与⾃后、收⼊与⽀出、增加与减少等等”解：⑴向前－7⽶表⽰向后7⽶⑵收⼊－50元表⽰⽀出50元⑶体重增加－3千克表⽰体重减⼩3千克.【变式题组】01．如果＋10%表⽰增加10%，那么减少8%可以记作（） A ．－18% B ．－8% C ．＋2% D ．＋8% 02．（⾦华）如果＋3吨表⽰运⼊仓库的⼤⽶吨数，那么运出5吨⼤⽶表⽰为( ) A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 03．（⼭西）北京与纽约的时差－13（负号表⽰同⼀时刻纽约时间⽐北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限⼩数和⽆限循环⼩数，因为π＝3.1415926…是⽆限不循环⼩数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是⽆限循环⼩数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】02．（河北秦皇岛）请把下列各数填⼊图中适当位置 15，－1，2，－13，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有⼀列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2017个数是 .【解法指导】从⼀系列的数中发现规律，⾸先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进⾏验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分⼦部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2017个数的分⼦也是1．分母是2017，并且是⼀个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第⼀个数是3＝2 ＋1，第⼆个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四⼗数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了⼀种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有⼀组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____. 【例４】（2017年河北张家⼝）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和⼏何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.⼏何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表⽰的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( ) A ．5 B ． 15 C ．－5 D ．－1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为⼀个正⽅体纸盒的展开图，若在其中的三个正⽅形A 、B 、C 内分别填⼈适当的数，使得它们折成正⽅体.若相对的⾯上的两个数互为相反数，则填⼈正⽅形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ．－ 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ．－2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的⼤⼩顺序是( ) A ． b ＜－a ＜a ＜－b B ． –a ＜b ＜a ＜－b C ． –b ＜a ＜－a ＜b D ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的⼏何意义：⼀个数的绝对值就是数轴上表⽰a 的点到原点的距离,即|a|,⽤式⼦表⽰=??-标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a≠b ，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b ，其中正确的个数为（）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c|c|的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运⽤，因为任何有理数a 的绝对值都是⾮负数，即|a|≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.⽽两个⾮负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，⼜|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ． 0 D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从⽽把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径. 解：∵(m ＋n)2≥0，|m|≥O∴(m ＋n)2＋|m|≥0，⽽(m ＋n)2＋|m|＝m ∴ m≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0 ∴m ＋n ＝O ①⼜∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a≤x≤96,求y 的最⼤值. 演练巩固·反馈提⾼ 01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )156 B ． 172 C ． 190 D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ．－6C ． 16D ．－1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若⼀个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表⽰互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )06．若－a 不是负数，则a( )A ．是正数B ．不是负数C ．是负数D ．不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b| ③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝bA ．①②B ．③④C ．①④D ．②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所⽰,则a 、b ，－a ，|b|的⼤⼩关系正确的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－a09．⼀个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____. 10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表⽰为1、a 、a ＋b 也可以表⽰成0、b 、ba的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有⾮负性，也有最⼩值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －l|＋|x －3|有没有最⼩值，如果有，求出最⼩值；如果没有，说明理由.15．点A 、B 在数轴上分别表⽰实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表⽰为|AB|．当A 、B 两点中有⼀点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a －b| 当A 、B 两点都不在原点时有以下三种情况: ①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b －a ＝|a －b|；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b －(－a)＝|a －b|；③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b －（－a ）＝|a －b|；综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB|＝|a －b|．回答下列问题:⑴数轴上表⽰2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表⽰－2和－5的两点之间的距离是 , 3 ，数轴上表⽰1和－3的两点之间的距离是 4 ；⑵数轴上表⽰x 和－1的两点分别是点A 和B ，则A 、B 之间的距离是 |x+1| ，如果|AB|＝2，那么x ＝ 1或3；⑶当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最⼩值时，相应的x 的取值范围是 7 ．培优升级·奥赛检测 01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取⼀条长度为201719的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 2017B ． 2017C ． 2017D ． 2017 02．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所⽰，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b|＋|b －c|＝|a －c|；③（a －b ）(b －c)(c －a)＞0；④|a|＜1－bc ．其中正确的结论有( ) A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个03．如果a 、b 、c 是⾮零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a|＋b |b|＋c |c|＋abc|abc|的所有可能的值为（）A ．－1D ． 0或－2 04．已知|m|＝－m ，化简|m －l|－|m －2|所得结果( )A ．－1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p|＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最⼩值( ) A ． 30 B ． 0 C ． 15 D ．⼀个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最⼩值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a|＋|x －b|＝a －b 成⽴的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）⾮零整数m 、n 满⾜|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m ，n)共有组 09．若⾮零有理数m 、n 、p 满⾜|m|m ＋|n|n ＋|p|p ＝1．则2mnp |3mnp|＝ .11．已知(|x＋l|＋|x－2|)（|y－2|＋|y＋1|）（|z－3|＋|z＋l|）＝36，求x＋2y＋3的最⼤值和最⼩值.12．电⼦跳蚤落在数轴上的某点k0，第⼀步从k0向左跳1个单位得k1，第⼆步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电⼦跳蚤落在数轴上的点k100新表⽰的数恰好19.94，试求k0所表⽰的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所⼩学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校⾥电脑数相同，允许⼀些⼩学向相邻⼩学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最⼩？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·⽅法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运⽤有理数加法法则进⾏运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会⽤有理数减法解决⽣活中的实际问题.4．会把加减混合运算统⼀成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐⼭）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时⼜涨了0.3元，则股票A 这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，⾸先将具有相反意义的量确定⼀个为正，另⼀个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并⽤绝对值相加，是异号相加，取绝对值较⼤符号，并⽤较⼤绝对值减去较⼩绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元⽉份某⼀天的天⽓预报中，延安市最低⽓温为－6℃，西安市最低⽓温2℃，这⼀天延安市的最低⽓温⽐西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的⾼度为2400⽶，上升250⽶，⼜下降了327⽶，这是飞机的⾼度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔⾼度为－155 m，则它们的平均海拔⾼度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应⽤加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合⼀起；⑵相加得整数结合⼀起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合⼀起；⑷相同符号的数结合⼀起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）13216411618141202．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）【例３】计算111112233420082009++++【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进⾏裂项，然后邻项相消进⾏化简求和.解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++-＝111111112233420082009-+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）2的长⽅形，接着把⾯积为12的长⽅形等分成两个⾯积为14的正⽅形，再把⾯积为14的正⽅形等分成两个⾯积为18的长⽅形，如此进⾏下去，试利⽤图形揭⽰的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________.-a -b 0b a 【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（） A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－a D ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的⼤⼩，然后根据相反数的关系将它们在同⼀数轴上表⽰出来，即可得出结论. 解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和⼜a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较⼤，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表⽰在同⼀数轴上，如图，则它们的⼤⼩关系是－a ＞b ＞－b ＞a 【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试⽐较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的⼤⼩【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利⽤有理数的加法法则进⾏运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811 ＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511()()()()(1)32632--+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下⾯⼀列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第⼏个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找⼀系列数的规律，应该从特殊到⼀般，找到前⾯⼏个数的规律，通过观察推理、猜想出第n 个数的规律，再⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分⼦与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴⽤关于n（n≥1的⾃然数）的等式表⽰这个规律；⑵当这个等式的右边等于2017时求n.【例７】（第⼗届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极⼤简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（50＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋3＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋49 50＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491) 2+＝1225∴S＝1225 2【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210 02．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提⾼01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．⽐是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±503．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最⼤值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－304．两个有理数的和是正数，下⾯说法中正确的是（）A．两数⼀定都是正数B．两数都不为0C．⾄少有⼀个为负数D．⾄少有⼀个为正数05．下列等式⼀定成⽴的是（）A．|x|－x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝006．⼀天早晨的⽓温是－6℃，中午⼜上升了10℃，午间⼜下降了8℃，则午夜⽓温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx-值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．⽤含绝对值的式⼦表⽰下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修⼩组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收⼯时所⾛的路线（单位：千⽶）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收⼯时距离A地多远？⑵若每千⽶耗油0.2千克，问从A地出发到收⼯时共耗油多少千克？14．将2017减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国⼀样，也是世界著名的⽂明古国，古代埃及⼈处理分数与众不同，他们⼀般只使⽤分⼦为1的分数，例如13＋115来表⽰25，⽤14＋17＋128表⽰37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（） A ．14B ．14-C ．12D ．12-02．⾃然数a 、b 、c 、d 满⾜21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c ＋61d 等于（） A ．18B ．316C ．732D ．156403．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（） A ．30 B ．32 C ．34 D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c ⼤⼩关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b25632015201051216158412410982654321534333231305．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++的值得整数部分为（）A ．1B ．2C ．3D ．406．(－2)2017＋3×(－2)2017的值为（） A ．－22017 B ．22017 C ．－22017 D ．2201707．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2017＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32017×72017×132017所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第03讲有理数的乘除、乘⽅考点·⽅法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运⽤乘法法则准确地进⾏有理数的乘法运算，会利⽤运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运⽤倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进⾏有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进⾏有理数的混合运算. 5．理解有理数乘⽅的意义，掌握有理数乘⽅运算的符号法则，进⼀步掌握有理数的混合运算. 经典·考题·赏析【例１】计算⑴11()24?- ⑵1124? ⑶11()()24-?- ⑷25000? ⑸3713()()(1)()5697-?-??-【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运⽤法则，⼀是要体会并掌握乘法的符号规律，⼆是细⼼、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111 ()() 24248?-=-?=-⑵11111() 24248?=?=⑶11111 ()()() 24248 -?-=+?=⑷250000=⑸3713371031 ()()(1)()() 569756973 -?-??-=-=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-?-⑵11()124-?⑶(8)(3.76)(0.125)-??-⑷(3)(1)2(6)0(2)-?-??-??-⑸111112(2111)42612-?-+-02．24(9)5025-?3．1111(2345)()2345---04．111 (5)323(6)3333 -?+?+-?【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0C．a、b异号D．a、b异号且负数的绝对值较⼤【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，⼜依加法法则，异号相加取绝对值较⼤数的符号，可得出判断.解：由ab＜0知a、b异号，⼜由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较⼤，选D．【变式题组】01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（）A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞003．(⼭东烟台)如果a ＋b ＜0，0b a >，则下列结论成⽴的是（）A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0 04．(⼴州)下列命题正确的是（）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 【例３】计算⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进⾏有理数除法运算时，若不能整除，应⽤法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应⽤法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除. 解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷=⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=?-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-?=-⑷0(7)0÷-= 【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷?⑵311()(3)(1)3524-?-÷-÷ ⑶530()35÷-?03．113()(10.2)(3)245÷-+-÷?-【例４】（茂名）若实数a 、b 满⾜0a ba b+=，则ab ab＝___________.【解法指导】依绝对值意义进⾏分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进⼀步代⼊结论得出结果. 2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>?+=?-<当ab＜0，a ba b+=，∴ab＜0，从⽽abab＝－1.【变式题组】01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（）A．正数B．0 C．负数D．⾮负数02．若A．b都是⾮零有理数，那么aba ba b ab++的值是多少？03．如果x yx y+=，试⽐较xy-与xy的⼤⼩.【例５】已知223(2),1 x y=-=-⑴求2008xy的值；⑵求32008xy的值.【解法指导】n a表⽰n个a相乘，根据乘⽅的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1 x y=-=-⑴当2,1x y==-时，200820082(1)2xy=-=当2,1x y=-=-时，20082008(2)(1)2xy=-?-=-⑵当2,1x y==-时，33 2008200828(1)xy==-当2,1x y=-=-时，33 20082008 (2)8(1)xy-==--【变式题组】01．（北京）若2(2)0m n m-+-=，则nm的值是___________.02．已知x、y互为倒数，且绝对值相等，求()n nx y--的值，这⾥n是正整数.【例６】（安徽）2017年我省为135万名农村中⼩学⽣免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万⽤科学记数法表⽰为（）【解法指导】将⼀个数表⽰为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学⽣参加中考，103000⽤科学记数法表⽰为（） A ．1.03×105 B ．0.103×105 C ．10.3×104 D ．103×103 02．（沈阳）沈阳市计划从2017年到2012年新增林地⾯积253万亩，253万亩⽤科学记数法表⽰正确的是（）A ．25.3×105亩 B ．2.53×106亩 C ．253×104亩 D ．2.53×107亩【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k +++++-+-+-+-+【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k +++++-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50+++++-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++ -+-+-+＝49222+1+++个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006A ．31003B ．31004C ．1334D ．11000 02．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求11111111 2581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提⾼01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（）A ．互为相反数B ．其中绝对值⼤的数是正数，另⼀个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值⼤的数是负数，另⼀个是正数A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞0 04．若|ab|＝ab，则（）A．ab＞0 B．ab≥0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜005．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式a bm cdm+-+的值为（）A．－3 B．1 C．±3 D．－3或106．若a＞1a，则a的取值范围（）A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0或a＞107．已知a、b为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④1ab=-，其中能判断a、b互为相反数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个08．若ab≠0，则a ba b+的取值不可能为（）A．0 B．1 C．2 D．－209．1110(2)(2)-+-的值为（）A．－2 B．(－2)21 C．0 D．－21010．(安徽)2010年⼀季度，全国城镇新增就业⼈数289万⼈，⽤科学记数法表⽰289万正确的是（）A．2.89×107 B．2.89×106 C．2.89×105 D．2.89×10411．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝9，则a＋b＋c＋d＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n+--+-+-（n为⾃然数）＝___________.13．如果2x yx y+=，试⽐较xy-与xy的⼤⼩.14．若a、b、c为有理数且1a b ca b c++=-，求abcabc的值.15．若a、b、c均为整数，且321a b c a-+-=.求a c cb b a-+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x、y、z两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是（）。

有理数及其运算【应该知道的】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方.通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面.【典型例题】例1计算：200720061 (4)31321211⨯++⨯+⨯+⨯ 分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成2111211-=⨯，可利用通项()11111+-=+⨯n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解.解 原式=)2007120061( (413131212)111-++-+-+-）（）（）（ =2007120061......41313121211-++-+-+- =200711-=20072006例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+.分析 从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0.解 由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0所以，b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c例3 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-211311...9811991110011 分析 本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便.解 原式=2132 (98)97999810099⨯⨯⨯⨯⨯=1001 例4 计算：2-22-23-24-……-218-219+220.分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的.解 原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2）=2-22-23-24-……-218+219=2-22-23-24-……-217+218（-1+2）=2-22-23-24-……-217+218=……=2-22+23=6【核心练习】1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：()()......1111++++b a ab ()()200620061++b a 的值. （提示：此题可看作例1的升级版，求出a 、b 的值代入就成为了例1.）2、代数式ab ab b b a a ++的所有可能的值有（ ）个（2、3、4、无数个）【参考答案】1、20082007 2、3老师学生共同反思：。

第二章《有理数及其运算》教案一、《标准》要求1、经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。

2、建立数感、符号意识，初步形成运算能力，发展形象思维和抽象思维。

3、获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。

4、体验从具体情境中抽象出数学符号过程，理解有理数；掌握必要的运算（包括估算）技能。

5、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。

6、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义（这里a表示有理数）7、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。

8、理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。

能运用有理数的运算解决简单的问题。

9、了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。

10、会用科学计数法表示数（包括在计算器上表示）。

二、教学目标1、在具体情境中，理解有理数及其运算的意义，发展运算能力。

2、能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。

3、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值。

4、经历探索有理数运算法则和运算律的过程，体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，并能运动运算律简化运算。

5、能运用有理数及其运算解决简单的实际问题。

6、会有科学计数法表示大数；能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断，发展数感。

7、了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。

三、设计思路“有理数”是在小学数的知识基础上展开的。

一方面，从算术数到有理数，数的范围扩大了——跨越具有物理或几何背景的算术数，进入了抽象领域。

一个有理数可以表示两个信息：数量与符号（方向）。

另一方面，可以解决的问题范围扩大了。

3.若该种食品每袋的合格标准为4505克，求该食品的抽样检测的合格率.
答案：85%
议一议
选定一个高度作为标准，用正负数表示
本班每位同学的身高与选定的身高标准的差
异． 你是怎样表示的？ 与同伴进行交流．
课堂小练
1．如图，检测4个足球，其中超过标准质
量的克数记为正数，不足标准质量的克数
记为负数。从轻重的角度看，最接近标准
作 - 200 。
３、如果上升10米记作＋10米，那么下降12米，记作 - 12 。
４、如果规定向西走30米记作＋30米，那么- 40米，表示
向东走了40米
______________。
5、如果零上5记作+ 5,那么零下3 记作 - 3 。
6、某仓库运进面粉7.5吨记作+ 7.5,那么运出3.8吨,记作 - 3.8 。
四
五
六
日
送餐量(单位:
单)
-3
+4
-5
+14
-8
+7
+12
1.求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单?
2.外卖小哥每天的工资由底薪 30 元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下:每天送
餐量不超过40单的部分，每单补贴4元;超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元;
超过50单的部分，每单补贴8元求该外卖小哥这一周工资收入多少元?
自然数
4.2，5.2，0.02，···
小数
1 1
2 ，3 ，50%，3.3%
分数和百分数
﹣3，﹣155，﹣0.4，
﹣0.02，···
负数
数的认识
类型
0，1，2，3，···
自然数

有理数及其运算教案教案标题：有理数及其运算教案概述：本教案旨在引导学生了解有理数的概念、性质和运算规则。

通过多种教学方法和活动，学生将能够掌握有理数的基本概念，熟练运用有理数的加减乘除运算，并能够解决实际生活中涉及有理数的问题。

教学目标：1. 理解有理数的概念，能够区分有理数和无理数。

2. 掌握有理数的加减乘除运算规则，能够运用这些规则进行计算。

3. 能够解决实际问题中涉及有理数的运算和应用。

教学重点：1. 有理数的概念和性质。

2. 有理数的加减乘除运算规则。

3. 实际问题中的有理数运算和应用。

教学准备：1. 教师准备：a. 教学课件或黑板、白板等教学工具。

b. 有理数练习题和实际问题。

c. 学生练习册或作业本。

2. 学生准备：a. 铅笔、橡皮、尺子等学习用具。

b. 学生练习册或作业本。

教学过程：Step 1: 引入有理数的概念 (10分钟)a. 通过图片或实物引入有理数的概念，解释有理数是可以用整数或分数表示的数。

b. 与学生互动，让他们列举一些有理数的例子，并解释为什么这些数是有理数。

Step 2: 有理数的性质 (15分钟)a. 教师介绍有理数的性质，如有理数的相反数、绝对值等。

b. 通过示例和练习，让学生掌握有理数性质的运用。

Step 3: 有理数的加减运算 (20分钟)a. 教师讲解有理数的加减运算规则，包括同号相加、异号相减等。

b. 通过示例和练习，让学生熟练运用有理数的加减运算规则。

Step 4: 有理数的乘除运算 (20分钟)a. 教师讲解有理数的乘除运算规则，包括同号相乘得正、异号相乘得负等。

b. 通过示例和练习，让学生熟练运用有理数的乘除运算规则。

Step 5: 实际问题的应用 (15分钟)a. 教师提供一些实际问题，涉及有理数的运算和应用。

b. 学生个体或小组合作解决这些问题，并展示解题过程和答案。

Step 6: 总结和评价 (10分钟)a. 教师与学生一起总结本节课所学的内容，强调重点和难点。

《有理数的乘法与除法》（第2课时）教案1doc初中数学课题 2.5有理数的乘法和除法2. 课型新授课教学目标知识目标1. 把握有理数乘法运算律, 会运用乘法运算律进行有理数的乘法运算, 专门是运用乘法运算律进行有理数乘法的简便运算；2．把握倒数的概念, 会求非0有理数的倒数；2. 把握倒数的概念，会求非0有理数的倒数；2．把握倒数的概念，会求非0有理数的倒数；能力目标3. 进一步培养学生运用乘法运算律简化运算的能力；4．使学生经历操作、观看、讨论、交流等活动, 培养学生交流的能力；4. 使学生经历操作、观看、讨论、交流等活动，培养学生交流的能力；4．使学生经历操作、观看、讨论、交流等活动，培养学生交流的能力；情感目标5．通过学生的学习活动, 不断学生养成良好的学习适应, 培养学生的探究、合作意识．教学重点关注学生的合作交流；熟练运用乘法运算律进行有理数乘法的简便运算.教学难点有理数的乘法乘法运算律运用.教学形式小组讨论、师生合作.教具预备多媒体教学过程程序教师活动学生活动设计意图一、设境引入多媒体显示: 〝做一做〞〔一〕运算:1. 〔-6〕×〔-7〕, 〔-7〕×〔-6〕；2×〔-9〕, 〔-9〕×2.2. [2×〔-3〕]×〔-4〕, 2×[〔-3〕×〔-4〕].3．〔-2〕×[-3+5], 〔-2〕×〔-3〕+〔-2〕×5．〔二〕运算:1. 8×；2. 〔-4〕×〔- 〕；3. 〔- 〕×〔- 〕.1．8×81；2．〔-4〕×〔-41〕；3．〔-87〕×〔-78〕．运算．先括号内, 后括号外.先运算, 再观看结果特点．先运算，再观看结果特点.先运算，再观看结果特点．由课本的〝做一做〞, 用多媒体展现, 引导学生在游戏中解决运算咨询题. 这为研究运算律做好预备.倒数的概念探究.倒数的概念探究．二、概括法那么〔一〕咨询题:1．由刚刚的游戏与运算, 你发觉每一组算式的结果有什么特点？每一组算式又有什么特点？你能得到什么结论？2. 用文字语言与符号语言表示你所得到的结论.要求: 先小组讨论、交流, 再派代表表达所得结论.参与小组讨论, 指导表达不完善的．〔二〕板书课题: 有理数乘法和除法21. 有理数乘法运算律〔板书〕乘法交换律: ab=ba.乘法结合律: (ab)c=a(bc).乘法分配律: a(b+c)=ab+ac.2. 倒数〔板书〕假如两个数的积为1, 那么这两个数互为倒先讨论, 再交流, 后代表汇报所得结论.①结果相同, 这两个算式应该相等；②小学里学习的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律在有理数范畴内仍旧成立；③两个有理数相乘,交换加数的位置积不变；……④符号表述.⑤联想小学倒数的概让学生由自己的实际运算, 观看算式的特点,通过讨论, 发觉结果, 并用文字语言与符号语言加以表示等. 如此, 既将展现了运算律的形成过程, 又让学生体验了合作学习,同时还提高了学生的数学表达能力.感受小学许多东西, 在有理数数假如两个数的积为1，那么这两个数互为倒数念, 概括．⑤联想小学倒数的概念，概括.⑤联想小学倒数的概念，概括．范畴内仍成立．感受小学许多东西，在有理数范畴内仍成立.感受小学许多东西，在有理数范畴内仍成立．三、新知运用〔一〕例题运算:1. 4×(-8.99)×2.5；2. (-5.76)××；3. ( + - )×〔-36〕.解：1. 4×(-8.99)×2.5= (-8.99)×〔4×2.5〕= (-8.99)×10= -89.9；2. (-5.76)××=(-5.76)×〔137×713〕=(-5.76)×1= -5.76；3. ( + - )×〔-36〕=21×〔-36〕+65×〔-36〕+〔-127〕×〔-36〕= -18-30+21= -48+21= -27.引导反思：完成运算后, 讲讲你运用运算律解决咨询题的感受．强调：1. 前两个运算题能够从前向后依次相乘, 但如此苦恼, 而利用乘法交换律、结合律简化运算；2．第三题能够按运算顺序先求和, 再相乘, 发觉烦琐后, 不妨利用乘法分配律进行运算, 如此较为方便．〔二〕练一练1. 运算:〔1〕31×3；〔2〕〔-73〕×〔-37〕；〔3〕〔-20〕×〔- 〕；〔4〕11×〔- 〕.2. 运算：〔1〕8×〔-2〕×〔-5〕；〔2〕〔-5〕×10×〔-2〕；〔3〕(-1-1+3)×〔-60〕；学生先独立完成, 其中有三人板演, 之后相互交流、评判, 并对咨询题解决进行反思.运用运算律解决如此的运算题, 能够简化运算.第一组4人先板演运算1；1. 重视双基教学.例题〔1、2是补充的〕、练一练的设计, 意在于让学生熟悉运算律的运用形成运用运算律简化运算的能力．2. 重视学生的合作交流.例题的做、评判、反思, 练一练的做、互批、评判, 这些都为学生合作交流,搭建了一个良好的平台, 重在提高学生合作交流能力．〔2〕〔-11.5〕×〔- 〕+9.5×〔- 〕-〔-2〕×〔- 〕.强调：1. 第2题中的〔4〕能够引导学生对两种方法进行讨论；2．解题中显现的咨询题, 要专门注意及时回授调剂, 以期真正完全解决．2. 解题中显现的咨询题，要专门注意及时回授调剂，以期真正完全解决.2．解题中显现的咨询题，要专门注意及时回授调剂，以期真正完全解决．法1: 先求积再求和；法2：逆用乘法分配律进行运算.法2: 逆用乘法分配律进行运算．法2：逆用乘法分配律进行运算．4．解题中符号错误一定可不能少, 要注意不断强调, 重点纠正．四、回忆反思你在那个学习的过程中有哪些收成？还有什么疑咨询？反思知识,思想方法.思想方法．培养学生反思自己摸索与解决咨询题过程的意识, 形成学生自主归纳和总结所学知识、方法的适应与能力．五、布置作业P习题2. 5 题2运算:〔1〕5×〔-3〕×〔-9〕；〔2〕〔-13〕×〔-15〕×0×〔-901〕；〔3〕〔-3〕×〔-2〕×〔-4〕×〔-1〕；〔4〕〔-21〕×32×〔-43〕×〔-54〕；题3运算:〔1〕0.1×〔-0.001〕×〔-10〕；〔2〕0.125×〔-2〕×〔-8〕；〔3〕〔47-87-167〕×〔-78〕；〔4〕〔-5〕×7+13×7.题8应用题〔略〕.题8应用题〔略〕．题3要紧训练学生运用运算律简化运算的能力.题8列式运算.题8列式运算．。

第二章 有理数及其运算第一单元第一课时：数怎么不够用了教学目标：1、借助生活中的实例理解有理数的意义，体会负数引入的必要性和有理数应用的广泛性。

2、会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量。

教学重点与难点：重点：负数和有理数的概念难点：负数的概念的探索教学过程：一、引入新课请同学们看图2—1，这是某天世界城市天气预报表，你能读出这天东京和旧金山的气温世界城市天气城市 天气 高温 低温 城市 天气 高温 低温东京 莫斯科 法兰克福纽约 旧金山 曼谷 悉尼 多云 小雪 阴 小雪 阴 晴 晴 9 1 1 2 16 33 27 2 —4 —4 —3 9 23 19 开罗 巴黎 伦敦 柏林 罗马 汉城 新加坡 多云 阴 小雪 小雪 小雪 晴 雷阵雨 21 4 3 —1 9 —1 30 11—2—2—62—624我们的生活经验，也能知道纽约和柏林在这天的天气情况。

数据中—3、—1和—6是我们以前没有学过的数，但它们却在我们的生活中出现了。

你一定非常想知道这些数的来历，以及它们的意义等。

下面欠就来讨论这个问题。

二、新课的进行大家知道，气温分为零上温度、零度、零下温度，我们所学过的数只能表示零上温度和零度，而要表示零下温度，我们所学过的数就“不够用了”。

为了记录方便，人们就用带“—”号（读作“负”）的数来表示零下温度，这就出现了柏林的某一天的气温最高为—1度（即零下1度），最低—6度（即零下6度）。

对于比零度高的气温，可以在其前面加上“+”号（读作“正”），如东京某天的气温最高为+9度，最低+2度。

正数也可以不写前面的“正”号，如+9可以写成9等。

请同学们再看下面的问题：P 31讨论中，同学们可发现，第四队的分数“不够减”了，这里也出现了比零低的数，怎么办？这里我们同样可以用带有“—”号的数表示第四队的成绩，表示为—10。

这样我们就可用带有“+”号和“—”号的数表示各队每道题的得分情况，试完成下表：P 32表。

有理数及其运算教案教学目标：1. 理解有理数的概念及其性质。

2. 掌握有理数的四则运算规则。

3. 能够灵活运用有理数的运算解决实际问题。

教学重点：1. 有理数的概念及其性质。

2. 有理数的四则运算规则。

教学难点：1. 表示有理数的运算和运算法则。

2. 运用有理数解决实际问题。

教学准备：1. 教学课件。

2. 教学PPT。

3. 课堂练习与练习题。

教学过程：一、导入（10分钟）1. 针对学生已学过的整数的概念，介绍有理数的概念。

2. 通过给出一些例子，帮助学生理解有理数的概念。

二、讲授（20分钟）1. 介绍有理数的性质，包括有理数的正负性、有理数的相反数、有理数的大小比较等。

2. 讲解有理数的加法与减法运算法则，包括同号相加减、异号相加减等。

3. 介绍有理数的乘法与除法运算法则，包括正数乘（除）正数、负数乘（除）负数等。

三、练习与讲评（30分钟）1. 给学生一些运算练习题，巩固所学的加减乘除法则。

2. 讲解并解答学生在练习中出现的问题。

3. 出示一些运用有理数解决实际问题的题目，引导学生运用所学知识解答问题。

四、拓展与应用（15分钟）1. 给学生一些拓展题，要求运用有理数的运算法则解答。

2. 引导学生思考并讨论如何将已学的知识应用到实际生活中解决一些实际问题。

五、总结（5分钟）1. 对本节课的主要内容进行复习和总结。

2. 强调有理数的重要性及其在实际生活中的应用。

教学反思：本节课针对有理数及其运算的内容进行了系统的讲解和练习，学生在课堂上能够较好地掌握和运用有理数的性质和运算法则。

在讲解有理数的运算时，应注重引导学生理解运算的规律和思路，培养学生的运算能力和解决实际问题的能力。

在教学过程中，还可以通过一些实际例子和练习题，增加教学的趣味性和实用性。

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解有理数的基本概念。有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。它是数学运算的基础，广泛应用于日常生活和科学研究。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如购物时，商品的价格是正数，而找零则是负数，通过有理数的加减运算，我们可以轻松解决找零问题。
-有理数的混合运算：掌握含有括号的表达式求解，以及混合运算的顺序，运用运算律简化计算。
-实际问题的解决：将所学有理数知识应用于解决生活实际问题，培养学生的数学应用能力。
举例解释：
-在讲解有理数概念时，通过正负数的实际例子（如温度、存款与负债等），使学生理解有理数的分类及其意义。
-在讲解加减法运算时，通过具体例题（如3 + (-2)、-5 - (-3)等）强调同号相加、异号相减的规则。
-对于混合运算的难点，通过具体例题（如4 + 5 × (-2)）讲解运算顺序，强调先乘除后加减的原则，并指导学生使用括号来明确运算顺序。
-在解决实际问题时，教师可以提供多个不同情境的例子，指导学生如何将有理数运算应用于购物、测量等生活场景。
-对于有理数的乘方与开方，通过具体案例（如(-2)²、√9等）解释乘方与开方的定义，并强调负数乘方结果的符号规则。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了有理数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对有理数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲---有理数及其运算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握有理数的乘方；②掌握有理数的混合运算并能灵活运用。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念1、有理数的定义及分类（1）有理数：整数与分数统称为有理数。

有理数按照符号分类可以分为正有理数、0、负有理数；按照定义分类可以分为整数、分数。

2、数轴、相反数和绝对值（1）数轴的概念：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，体系搭建规定直线上向右的方向为正方向，这样的直线叫做数轴，如下图所示：数轴三要素：原点、正方向、单位长度。

三者缺一不可。

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

（2）相反数的概念：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

特别地，0的相反数为0。

两个数互为相反数，那么这两个数之和为0。

（3）绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。

一个数的绝对值可以表示为下式，可以看出绝对值的一个重要性质就是非负性,对于任意实数a ，有 |a |≥03、倒数倒数的概念：乘积为1的两个有理数，那么就称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。

0没有倒数。

4、有理数的运算法则 （1）加、减法运算加法运算：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数同0相加，仍得这个数。

减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（2）乘、除法运算乘法运算：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘，积仍为0 除法运算：除以一个等于乘这个数的倒数. （3）乘方及混合运算①一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作：读作：a 的n 次方（或a 的n 次幂）其中a 代表相乘的因数,n 代表相乘因数的个数，即： ...n a na a a a a =⨯⨯⨯6444447444448个②有理数的混合运算：混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。