2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第41讲 不等关系与不等式的性质 含答案

2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合M={x|—1<x<2}, N={y|y=g x2—1 , x6 M},贝U M AN为A.{a|-1<a<2}B.{a|-1<a<2}C.{a|-1<a<1}D.解析：y=1x2—1, x6 （—1, 2）. 2所以y6 [—1,1）.答案：C2.设x、y6R,那么冈<1且|y|<1是0cxy<1成立的条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要解析：设x= —y=0 ,贝Uxy=0.不能推出0 Vxy <1;设x=2 , y= 1满足0c xyc 1 ,不能推出|x|< 1 且|y|< 1. 3答案：D3.不等式（x+1 ） G >0的解集是A.{x|x>1}B.{x|x>1}C.{x|x>1 或x= —1}D.{x|x>—1 或x=1}解析：.•・4~1m0,「.X AI.又,「x+1=0 ,不等式成立..Q= — 1.选C.答案：C4.已知方程x2+ (m+2) x+m+5=0有两个正实根，则实数m 的取值范围是A.m < — 2B.m w TC.m > — 5D. — 5 < m < —4A 0解析：(m 2)0 —5<m < -4.m 5 0答案：D5.已知函数y=lg (x2—2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是A.0<k<1B.0<k<1C.kw0 或kn iD.k=0 或k>1解析：A>0 kni 或k<0.答案：C6.x、y6R, x2+y2=1 ,那么(1 —xy) (1+xy)有A.最小值3和最大值1B.最小值1和最大值14 2C.最小值-无最大值D.最小值-无最大值4 2解析：令x=cos y=sin贝U (1—xy) (1+xy) =1 —x2y2=1 —：sin228*/0<sin22 eW1, .*.-<1-1sin22 e<1. ' 4 4答案：A7.当x6 R+时，下列函数中，最小值为2的是A.y=x2-2x+4B.y=x+ -XD.y=x+ -X解析：y=x2—2x+4= (x- 1) 2+3 A3,y = X+—涌，v=收2 + , 1 —.x ：v'x22•.我2 2AJ万,「.y>2.故选D.答案：D8.已知fvxva, M=log ax2, N=log a (log ax), P= (log ax)2,则A.M >N>PB.P>M>NC.M>P>ND.N>M >P解析：,「/va,「.Ovxvavl.• Jog ax>1 , N=log a (log ax) < o ,2log ax>log a x tog ax,即M >P.. M >P>N.答案：C9.已知f (x) = a x, g (x) = b x,当f (xi) = g (X2)=3 时，xi>X2,则a与b的大小关系不可能成立的是A.b>a>1B.a>1>b>0D.b>1 >a>0C.0<a< b< 1解析：X l=log a3, X2=log b3.当b>1>a>0 时，x i<0, x2>0 与x i>x2 矛盾.选D.答案：D10.已知函数f (x)、g (x) (x6 R),设不等式|f (x) |+|g (x) |<a (a>0)的解集是M,不等式|f (x) +g (x) |<a (a>0)的解集是N,则A.N 委MB.M = NC.M ND.M^N解析：任取x0 6 M ,则|f (x0)+ g (x0)|<|f (x0)|+| g (x0)| < a.• x0 6 N .但任取xi 6 N ,有|f (x i) + g (x i) |<a,得不到|f (x i) |+| g (x i) |<a.故M N.选C.答案：Cii.某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则A.x=2B.xw22 2c 、a b a bC.x> —D.x>-2-解析：A (i+x) 2= A (i+a) (i+b),・•. (i+x) 2< (i a^ b) 2.•1+x<i+ V，x&T.2 2答案：B12.线段|AB|=4 ,M为AB的中点，动点P满足条件|PA|+| PB|=6 , 当P点在同一平面内运动时，|PM|的最大值M、最小值m分别是A.M=4, m=V3B.M=3, m=75C.M=5 , m= 45D.M=3 , m=J3解析：P点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，M是其中心，由解析几何知识知选B.答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)13.若a、b 6 R,且a+b+3= ab,则ab的取值范围是解析：ab< (3)2,「.a+b+3w (圣)2. 2 2. a+ b A6 或a+ b w —2.• .ab >9 或abw i.答案：(一00, 1] U [9, +s)14.若2x+4y = 1 ,贝U x2+y2的最小值为.解析：x2+y2= ( — 2y+ 1) 2+y2=5 y2— 2y + - =5 (y —- ) 2+ 工 A工.y y 4 y 5 20 20答案：-2015.已知偶函数f (x)在[0, +s)上为增函数，那么不等式f(x) >f (2-x)的解集是.解析：:阡(x)为偶函数，则f (|x|) >f (|2 —x|),即冈>|2 —x|,得{x|x>1}.答案：{x|x> 1}16.关于x的方程x2+ (a2— 1) x+ a—2=0的两根满足(x i — 1) (x2—1) <0,则a的取值范围是.解析：(X1—1)(X2—1) <0 一根大于1, 一根小于1.令f (x) =x2+ (a2— 1) x+ a —2 ,贝U f (1) <0.「•-2<a< 1.答案：—2<a<1三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）当|x —2|<a时，不等式|x2—4|<1成立，求正数a 的取值范围.解：由|x —2|<a,得2 —a<x<2+a.由|x2—4|<1 ,得一芯 <x<- g或，3 <x< 底.(2 —a, 2+a) (―痣，—6) U (73,a 0, a 0,.. 2 a 、⑸ 2 a , 3,2 a 、,3 2 a 、5.・•.0<a< <5 - 2.18.（12分）已知a、b、c为不等正数，且abc=1 ,求证：7a + 7b + %;c1+1+1证明：结论J」+m+J c < bc + ac+ab2 - a +2 b +2 c <2bc+2 ac+2 ab.因为a、b、c为不等正数且abc=1 , 所以bc+ac>2 Jabc2=2 <c .ac +ab>2d a, ab +bc>2V b .所以 2 <a +2 而 +2 cc <2 bc +2 ac +2 ab .20. (12分)学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格买大 米，每次购进大米需支付运输劳务费 100元，已知食堂每天需用大 米1 t ,贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大 米的当天购买.(1)该食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的 费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于 20 t 时，大米 价格可享受九五折优惠(即是原价的 95%),问食堂可否接受此优惠所以原不等式成立.19. （12分）解不等式组解：原不等式组可化为yy 得-1<y<2.「.y =0 或 1.,2 1时，|x 2x|V |x 11 2.0, x 2, 0; y 0.,23时，|x 2x|*解 |x 1 |1.x 0, x 2, x 1, y 0; y 0; y 1.21ny |x | 2 Q 其中x 、y 都是整数.y | x 11 2.1 2-|x 2x| 0, 2当y =0解得y 当y =1综上,x 1, y 1.条件？请说明理由.解：设该食堂每隔x 天购买一次大米，则每次购买x t,设每吨每天 所支付的费用为y 元，则(1) y = - [1500 x +100+2 (1+2+ Tx)] x =x + 100+ 1501 >1521 , x当且仅当x 二竺°,即x =10时取等号. x故该食堂每隔10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用 最少.=x + 100 + 1426 , x函数y 在[20 , +oo)上为增函数,而1451 <1521 ,故食堂可接受粮店的优惠条件21. (12 分)设二次函数 f (x) =ax 2+bx +c(a 、b 、c6R 且 a^0),若函数y =f (x)的图象与直线y =x 和y = — x 均无公共点.(1)求证：4ac-b 2>1 ；(2)求证：对一切实数x,恒有l ax^bx +c l 〉]1^.证明：(1)方程ax 2+bx +c =x 和 ax 2+bx + c = 一x 均无实根， 即(b 1)24ac 0,① (b 1)24ac 0.②① + ②得 4ac — b 2> 1.2(2)由4ac —b 2>1,知a (x+卫)2与空一同号.2a4a(2) y=-x[1500x 0.95+100+2(1+2+ ・+x)] (x>20)- y>20+ 120+1426=1451.所以 |ax 2+ bx + c |=| a (x + 2a )22=|a (x+A 2|+|问若2|>上2a4a4a 4| a |如果|x i |<2, |x 2 —xi |=2 ,求b 的取值范围.(x) — x = ax 2+ (b —i)x +i.即 x i x 2< 2 (x i + x 2)— 4.>0, - -xi> x 2 同号.若 0<x i<2,则 x 2 —xi =2 ,.•.x 2=x i +2 >2.g ⑵ =4a +2 b-i<0.22. (14 分)已知二次函数 f (x) =ax 2+bx +c (a 、b 、 a>0),设方程f (x) =*的两个实数根为x i 、x 2.如果xi<2<x2<4,设f (x)的对称轴是X =X 0, c6 R,求证:x i x 2 x i x 2b i ai0. ax i <2< x 2<4. .二(x i — 2) (x2 —2) <0, 22+ 4ac b ।4a ।(2) 证明：设g (x) =f于是x 0= 一)=2 (x i + x 2)一i 、i—xi x 2 > 一—(x i + x 2)+2= — i (x i + x 2)+2>—i (2+4) +2= — i,-i.(2)解：由方程g (x)=ax 2+ (b-i)x +i=0 ,可知(x i + x 2)即x 0>ix i x 2=一 a又 |x2—x i|2= (x i + x2), 、22 / b i 22—4x i x2=——a--=2.a--2a+1 = v'fb―ip—i,代入①式得2 v(b 1)2 1 <3-2b.②解②得b<-. 4若一2<xi<0,则X2=—2+xi< — 2.--g ( - 2) =4 a -2b+3 < 0.将2a+1=Je 1代入③式得2 V(b D2 1 <2b — 1.④解④得b>Z. 4综上，可知b< 1或b>〈.。

高考数学第六章不等式第一节不等关系与不等式[基础知识深耕]一、实数的大小顺序与运算性质的关系a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0.二、不等式的性质1．对称性：a>b⇔b<a；(双向性) 2．传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性) 3．可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性) a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性) 4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性)5．乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥2)；(单向性)6．开方法则：a >b >0⇒n b (n ∈N *，n ≥2)；(单向性)7．倒数性质：设ab ＞0，则a ＜b ⇔1a ＞1b .(双向性)【拓展延伸】 真、假分数的性质若a ＞b ＞0，m ＞0，则(1)真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ，b a ＞b －m a －m(b －m ＞0) (2)假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ，a b ＜a －m b －m(b －m ＞0) [基础能力提升]1．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h 满足的关系为( )A．h＜4.5 B．h＞4.5C．h≤4.5 D．h≥4.5【解析】限高指不超过，∴限高4.5米指h≤4.5.【答案】 C2．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b从大到小的顺序为()A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞b＞－aC．b＞a＞－a＞－b D．－b＞a＞b＞－a【解析】∵a＋b＞0，b＜0，∴a＞0，且|a|＞|b|.故a＞－b＞b＞－a.【答案】 B3．下列命题正确的个数有()①a＞b⇒a n＞b n.(n∈N*)；②a＞|b|⇒a n＞b n(n∈N*)；③a＜b＜0⇒1a＞1b；④a＜b＜0⇒1a－b＞1a.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴a n＞b n成立；③成立，④a＜b＜0，得a－b＜0且a－b＞a，故1a－b＜1a.④不成立．【答案】 B4．下列命题错误的是()A．若a＞b，则ac＜bcB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2D．若c＞a＞b＞0，则ac－a＞bc－b【解析】当c≥0时，A错；由ac2＞bc2，知c≠0，又c2＞0.∴a＞b，B正确；由a＜b＜0知a2＞ab且ab＞b2.故C 正确；∵a＞b＞0，∴－a＜－b，∴c－a＜c－b.∵c＞a，∴c－a＞0，∴0＜c－a＜c－b，两边同乘以1(c－a)(c－b)得1c－a＞1 c－b ＞0，又a＞b＞0，∴ac－a＞bc－b.【答案】 A1．两种方法：比较大小的方法：(1)作差法；(2)作商法．2．两个易误点(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b＜c⇒a＜c.(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a＞b⇒ac2＞bc2；若无c≠0这个条件，a＞b ⇒ac2＞bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．第二节一元二次不等式及其解法[基础知识深耕]一、一元二次不等式的概念及求解步骤1．一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的不等式(其中a≠0)．2．求一元二次不等式解集的步骤(1)通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且不等号右边为0)．(2)求出相应的一元二次方程的根，有三种情况：Δ＝0，Δ＜0，Δ＞0.(3)画出对应二次函数的草图．(4)结合图形求不等式的解集．二、“三个二次”的关系【拓展延伸】 不等式恒成立问题的解法不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0.[基础能力提升]1．下列说法正确的是()A．不等式ax2＋bc＋c＞0是一元二次不等式B．若二次函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集C．不等式x(x－2)＞0的解集是{x|0＜x＜2}D．不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是(x1，x2)，则a＜0【解析】当a＝0时，A选项不正确；不等式x(x－2)＞0的解集为{x|x＜0或x＞2}，C不正确；若不等式ax2＋bx ＋c＜0的解集为(x1，x2)，则a＞0，D不正确．【答案】 B2．不等式(x＋1)(2－x)＞0的解集是()A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＞2或x＜－1}C．{x|x＜0且x≠－2} D．{x|－1＜x＜2}【解析】原不等式等价于(x＋1)(x－2)＜0，∴不等式的解集为{x |－1＜x ＜2}．【答案】 D3．已知二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为( )A ．a ＝－12，b ＝12B ．a ＝12，b ＝－12C ．a ＝－12，b ＝－12D ．a ＝12，b ＝12【解析】 由条件知，方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为－1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b a ＝11a ＝－2∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－12b ＝12 【答案】 A 4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax ＋bx ＋c ＞0的解集是________．【解析】 由表可知方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－2,3且开口向上，∴ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＞3或x＜－2}．【答案】{x|x＞3或x＜－2}1．一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．2．两点联想对于不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0或ax2＋bx＋c＜0≤0)(a≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与x轴的交点，(2)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．3．三个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘二次项系数是否为零的情况．(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[基础知识深耕]一、二元一次不等式(组)与平面区域1．二元一次不等式表示的平面区域【注意】不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示的平面区域不包括边界，应把边界线画成虚线．2．二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分．画二元一次不等式(组)表示平面区域时，一般步骤为：直线定界，虚实分明；特殊点定域，优选原点；阴影表示．注意不等式中有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时画成实线．特殊点一般选一个，当直线不过原点时，优先选原点．【方法技巧】判断点是否在不等式表示的平面区域内的方法：因为对于一条直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点来说，将其坐标代入Ax＋By＋C后所得实数的正负相同，因此只需把点代入不等式，若不等式成立，则该点在不等式表示的平面区域内．二、线性规划中的基本概念【拓展延伸】二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值同直线z－ax－by＝0在y轴上截距的关系求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y＝－ab x＋zb的截距zb的最值间接求出z的最值．(1)当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值．(2)当b＜0时，结论与b＞0的情形恰好相反．[基础能力提升]1．不等式3x－2y－6＞0表示的平面区域在直线3x－2y －6＝0的()A．左上方B．右上方C．左下方D．右下方【解析】作出不等式3x－2y－6＞0的平面区域如图所示：【答案】 D2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≤0表示的平面区域是()【解析】 x ≥0表示原点及y 轴右侧部分，y ≤0表示原点及x 轴下方部分，故不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≤0表示的平面区域是C.【答案】 C3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5【解析】 画出x ，y 的可行域，如图阴影部分，直线x＋2y－5＝0与直线x－y－2＝0交于点A(3,1)，当z＝2x＋3y ＋1过A点时，使得z＝2x＋3y＋1过取得最大值，z max＝2×3＋3＋1＝10.【答案】 B4．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a 的取值范围为________．【解析】把直线两侧的点代入3x－2y＋a所得结果应异号，∴(9－2＋a)·(－12－12＋a)＜0，∴－7＜a＜24.【答案】－7＜a＜241．一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域：当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．两个防范(1)画平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．(2)求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y ＝－a b x ＋z b 的截距z b 的最值间接求出z 的最值．要注意：当b ＞0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值．当b ＜0时，结论与b ＞0的情形恰好相反．第四节 基本不等式[基础知识深耕] 一、基本不等式ab ≤a ＋b 21．基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.2．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．3．其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．【拓展延伸】 由公式a 2＋b 2≥2ab 和ab ≤a ＋b 2可以引申出的常用结论(1)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(2)b a ＋a b ≤－2(a ，b 异号)；(3)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)(或ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 二、利用基本不等式求最大、最小值问题 1．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)． 那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”)2．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S24.(简记：“和定积最大”)[基础能力提升]1．设a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a －b ＜0B ．0＜a b ＜1 C.ab ＜a ＋b 2 D ．ab ＞a ＋b【解析】 ∵a ＞b ＞0，∴ab ＜a ＋b 2.【答案】 C2．已知a ，b ∈(0,1)，且a ≠b ，下列各式中最大的是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b【解析】 ∵a ，b ∈(0,1)，∴a 2＜a ，b 2＜b ，∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab ，(∵a ≠b )∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b ，又∵a ＋b ＞2ab ，∴a ＋b 最大．【答案】 D3．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．[4，＋∞) 【解析】 1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ≥4.【答案】 D4．下列各式正确的是( )A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x 无最大值【解析】 A 中，当x ＞0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝52；D 中，当0＜x ≤2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －1x max ＝32，∴选B. 【答案】 B1．两种变形基本不等式的变形：(1)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．2．三个注意点利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．。

第七章不等式、推理与证明全国卷5年考情图解高考命题规律把握1.高考在本章一般命制1～2个小题，分值5～10分．2.主要考查一元二次不等式的解法，常与集合相结合，简单的线性规划中线性目标函数的最值、范围问题；或由最值求参数、或考查非线性目标函数最值问题．3.基本不等式一般不单独考查、有时在解三角形、导数与函数、解析几何等问题中会用到基本不等式求最值(或范围)．4.对演绎推理、直接证明与间接证明以及数学归纳法的考查，单独命题的可能性不大，但其思想也会渗透到解题之中.第一节不等关系与一元二次不等式1．两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a＞b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b＜0⇔a＜b.2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方性：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法,(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.[熟记常用结论]1．倒数性质的几个必备结论 (1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b .(2)a ＜0＜b ⇒1a ＜1b .(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd .(4)0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a . 2．两个重要不等式 若a ＞b ＞0，m ＞0，则(1)b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)．(2)a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m(b －m ＞0)． [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种．( ) (2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．( ) (3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )(4)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( )(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、选填题1．设A ＝(x －3)2，B ＝(x －2)(x －4)，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ≥B B ．A ＞B C ．A ≤BD ．A ＜B解析：选B 因为A －B ＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1＞0，所以A ＞B .故选B. 2．若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b ＞1a B.1a ＞1b C ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 2解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＞1a 不成立．3．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3]B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选A 要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0，解得0≤x ≤3.4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，满足条件；当a ≠0时，由题意知a ＞0且Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4.答案：[0,4]5．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________． 解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4，∴－4＜－|β |≤0. ∴－3＜α－|β|＜3. 答案：(－3,3)考点一[不等式的性质及应用基础自学过关][题组练透]1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞bc B.ad ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b d解析：选B 因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0， 所以1－d ＞1－c ＞0.又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c， 所以a d ＜bc .故选B.2．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．3．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)． 解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜4．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5.当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5.综上可知S 3a 3＜S 5a 5.答案：S 3a 3＜S 5a 55．已知－1＜x ＜4,2＜y ＜3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．解析：∵－1＜x ＜4,2＜y ＜3，∴－3＜－y ＜－2， ∴－4＜x －y ＜2.由－1＜x ＜4,2＜y ＜3，得－3＜3x ＜12,4＜2y ＜6， ∴1＜3x ＋2y ＜18. 答案：(－4,2) (1,18)[名师微点]比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论． (2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论． (3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论． 考点二一元二次不等式的解法[师生共研过关][典例精析](1)解不等式：－x 2－2x ＋3≥0；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3；(3)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ≤0)．[解] (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}． (3)原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2＜a ＜0时，解得2a ≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤2a . [解题技法]1．解一元二次不等式的一般步骤2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)对于ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)的形式： 当a ＝0时，转化为一次不等式．当a ＜0时，转化为二次项系数为正的形式． 当a ＞0时，直接求解．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根或一个根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[过关训练]1．不等式0＜x 2－x －2≤4的解集为________． 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.故原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3}． 答案：[－2，－1)∪(2,3]2．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.当a ＞0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a ＜0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞. 考点三一元二次不等式的恒成立问题[全析考法过关][考法全析]考法(一) 在R 上的恒成立问题[例1] 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)[解析] 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4＜0对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，a 2＜4，解得－2＜a ＜2.∴实数a 的取值范围是(－2,2]． [答案] C考法(二) 在给定区间上的恒成立问题[例2] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围．[解] 要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即mx 2－mx ＋m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝mx 2－mx ＋m －6＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6＜0， 所以m ＜67，所以0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立； 当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为mx 2－mx ＋m －6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 考法(三) 给定参数范围求x 的范围的恒成立问题[例3] 若对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．[解] 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4＞0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4＞0，解得x ＜1或x ＞3.故x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．[规律探求][过关训练]1．若不等式x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m 2＋m 2－1＜0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0. 答案：⎝⎛⎭⎫－22，0 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，解得－6≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)对于任意x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立．即x 2＋ax ＋3－a ≥0对任意x ∈[－2,2]恒成立，令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a .则有①Δ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，－a 2＜－2，g (－2)＝7－3a ≥0或③⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，－a 2＞2，g (2)＝7＋a ≥0.解①得－6≤a ≤2，解②得a ∈∅，解③得－7≤a ＜－6.综上可知，实数a 的取值范围为[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0， 解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

常用变形 ab≤(a＋4b)2≤a2＋2 b2
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.