高考文科数学一轮复习：集合及其运算35页PPT

>0,得
x>1 或 x<0.
集合 A 中的元素不属于集合 B 的有 0,1,故选 A.
3
(2)由题意得 m+2=3 或 2m2+m=3,解得 m=1 或 m=- .当 m=1
2
时,m+2=3,且 2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;
3
1
3
当 m=-2时,m+2=2,而 2m2+m=3,故 m=-2.
A.{-1,0,1} B.{0,1}
C.{-1,1}
D.{0,1,2}
解析:A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.
3.(2019北京海淀一模,1)已知集合P={x|0<x<4},且M⊆P,则M可以
是( A )
A.{1,2}
B.{2,4}
C.{-1,2}
当x=0时,y=-1,0,1;
当x=1时,y=-1,0,1;所以共有9个,选A.
(2)由题意,得A={-2,-1,0,1,2,3,4},对于集合B,因为x∈Z,2x∈A,所
以B={0,1,2},故选D.
-9-
考点1
考点2
考点3
思考求集合中元素的个数或求集合中某些元素的值应注意什么?
解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:
中至少有一个元素不在集合 A 中,则 (或B⫌A)
集合 A 是集合 B 的真子集
若集合 A,B 中的元素相同或集合 A,B
互为子集,则集合 A 等于集合 B
A=B
-3-
知识梳理
考点自诊
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集

4. (2019·闵行模拟)设全集 U＝{0,1,2,3,4}，集合 A＝{1,2}，B＝{1,3}，则 A∩(∁UB) ＝___{_2_}___.
【解析】 ∁UB＝{0,2,4}，故 A∩(∁UB)＝{2}．
Thank you for watching
(2) 集合中元素与集合的关系：对于元素 a 与集合 A，或者 a∈A，或者 a∉A，二者
必居其一．
(3) 常见集合的符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N
N*或 N＋
Z
Q
R
2．集合间的基本关系
关系
定义
记法
相等
集合 A 与 B 的所有元素都相同
A＝B
子集
A 中任意一元素均为 B 中的元素 A⊆B 或 B⊇A
C. {x|1<x<3}
D. {x|x≥1}
【解析】 B＝{x|(x－3)(x＋1)<0}＝{x|－1<x<3}，所以 A∪B＝{x|x>－1}，故选 B.
(3) 设全集为 R，集合 A＝{x|0<x<2}，B＝{x|2x－1≥1}，则 A∩(∁RB)等于( B )
A. {x|0<x≤1}
B. {x|0<x<1}
B. (－∞，－2]∪[2，＋∞)
C. [3，＋∞)
D. (0，＋∞)
【解析】 由题知 N＝{x|x≥2 或 x≤－2}，故 M∪N＝{x|x≤－2 或 x＞0}．故选 A.
目标 2 集合中元素的性质 (2018·黄冈八市联考)设集合 P＝{3，log3a}，Q＝{a，b}，若 P∩Q＝{0}，则
A. －3，－32
B. －3，32

A∪B={x|x∈A,或 x
合 B 的元素所组成的集合
∈B}
由全集 U 中不属于集合 A 的
∁UA={x|x∈U,且
x∉A}
所有元素组成的集合
Venn 图
微点拨1.求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的
条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁UA.
2.集合运算的基本性质
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
集合 A 中 任意一个元素 都是集合 B
子集
中的元素
若 x∈A,则 x∈B
符号
表示
A⊆B
(或B⊇A)
真子
如果集合 A⊆B,但存在元素x∈B,且
A⫋B
集
x∉A,就称集合 A 是集合 B 的真子集
(或B⫌A)
Venn 图
或
关系
符号
自然语言
如果集合 A 是集合 B 的 子集
5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简
单集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求
给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的关系及运算.
衍生考点
核心素养
1.集合的含
义与表示
2.集合间的
1.直观想象
基本关系
2.逻辑推理
3.集合的基
3.数学运算
本运算
4.集合的新
定义问题
(3)A={x|x2+6x+8≤0}={x|-4≤x≤-2},B={x|x<a},因为A⊆B,所以实数a的取值
范围是(-2,+∞).
规律方法 集合间基本关系的两种判定方法和一个关键

高考一轮总复习•数学
第15页
解析：(1)方法一(列举法)：A＝…，－12，12，32，52，72，…， 列举法形象、直观.
B＝…，－12，0，12，1，32，2，52，3，72，…. 显然 A B.
方法二(描述法)：集合
A ＝ xx＝k＋12，k∈Z
＝
xx＝2k＋2 1，k∈Z
，B＝
xx＝2k，k∈Z
高考一轮总复习•数学
第18页
对点练 1(1)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则 A 中元素的个数为( )
A．9
B．8
C．5
D．4
(2)(2024·湖南长沙月考)如果集合 A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，则实数 a 的
值是( )
A．0
B．4
C．0 或 4
(2)解：①由 x2－8x＋15＝0， 得 x＝3 或 x＝5，∴A＝{3,5}． 若 a＝15，由 ax－1＝0，得15x－1＝0，即 x＝5. ∴B＝{5}．∴B A. ②∵A＝{3,5}，又 B A， 故若 B＝∅，则方程 ax－1＝0 无解，有 a＝0； 若 B≠∅，则 a≠0，由 ax－1＝0，得 x＝1a. ∴1a＝3 或1a＝5，即 a＝13或 a＝15. 故 C＝0，13，15.
高考一轮总复习•数学
第23页
集合间的关系问题的注意点 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情况， 勤思考，多练习这一特殊情形． 否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系， 集合的包含关系，转化为区间端点的大小关系，这是一个难点，主要是对端点值的取舍， 尤其注意区别开区间和闭区间. 例如：[－1,2)⊆(2a－3，a＋2]⇒a2＋a－2≥3＜2－. 1， 进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．求得参数 后，可以把端点值代入进行验证，以免增解或漏解．

A.{2}
B.{2，3}
C.{3，4}
D.{2，3，4}
索引
5.设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)
＝( B)
A.{3}
B.{1，6}
C.{5，6}
D.{1，3}
索引
6.若集合A，B，U满足A B U，则U＝( B )
A.A∪(∁UB)
B.B∪(∁UA)
解 ∵B⊆A， ∴若B＝∅，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；
2m－1≥m＋1， 若 B≠∅，则m＋1≥－2， 解得 2≤m≤3.
2m－1≤5， 故实数m的取值范围为(－∞，3].
索引
1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为 元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn 图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验 证，否则易增解或漏解.
又|x－1|≤3，即－3≤x－1≤3，
所以－2≤x≤4，则B＝[－2，4]； 因为xx－ ＋45≤0，所以－5＜x≤4，则 C＝(－5，4]， 所以A⊆B，A⊆C，B⊆C.故选D.
索引
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m
的取值范围为__(－___∞__，__3_]__.
索引
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( × ) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( × ) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.( × ) (4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ )

例 7 设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：① ∅∈F，②若A，B∈F，则A∩(∁UB)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个 环，则下列说法错误的是( ) A．若U＝{1，2，3，4，5，6}，则F＝{∅，{1，3，5}，{2，4，6}， U}是U的一个环 B．若U＝{a，b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素 C．若U＝Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3，5}∈F D ． 若 U ＝ R ， 则 存 在 U 的 一 个 环 F ， F 含 有 7 个 元 素 且 [0 ， 3] ， [2 ， 4]∈F
(1)首先看集合能否化简，能化简的先化简，然后从表达式判断两 集合之间的关系．
(2)对于用列举法表示的集合，可以从元素中判断出两集合之间的 关系．
(3)对于离散型数集或点集，常用列举法或借助Venn图判断两集合 之间的关系；对于连续型数集，常借助数轴判断两集合之间的关系 ，此时要注意端点值的取舍．
例 3 已知集合M＝{x|x2－3x＋2≤0}，N＝{x|x>－1}，则( )
(2)对集合进行化简，明确集合中元素的特点；
(3)注意数形结合思想的应用，常见形式有数轴、坐标系和Venn图等．
例 5 已知集合 A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝y|y＝x1，x>2， 则 A∩B＝( )
A.12，＋∞ B.0，12
C．(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪12，＋∞
【解析】由 y＝log2x，x>1，得 y>0，所以 A＝(0，＋∞)；
46. 由容斥原理，得n－15＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)
－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝63＋89＋47－(24＋x)－(24＋y)－(24＋z)＋24， 解得n＝120.

集合结构图
列举法 描述法 图示法 子集 真子集 交集 并集 补集
集合含义与表示 集合间中元素的性质:
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的. (2)互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的 (.3)无序性：集合中的元素是没有先后顺序的.
ex1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x＝ -1
当mB0时 A，B转化的 m思1 想, B A

1 m

2, 则m


1 ；或2
1 m

3, m

1. 3
m 0,或 1 ,或 1 23
考查集合的运算
例4 已知 I 0,1, 2,3, 4, A 0,1, 2,3, B=2,3
求CI
B
，C A
A
B
A
B
AB
A B
6.全集: 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中
涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.
7.补集: UA={x|x U，且x A} U
A
A U UA U
UA
题型示例
考查集合的含义
例1 已知x {1, 2, x2},则x 0或2
例2 A y y x2 , B x y x2 ,
小结：
这一节你学到了什么？
作业：
学业水平考试试题选编（1）
求A B.
Q A [0, ), B R, A I B [0, ).
考查集合之间的关系
例3 设A x | x2 x 6 0 , B x | mx 1 0,
且A U B A,求m的值的集合.
解：AQUAB A2, 3,
当mAI 0B时，B B ,符合题意；

∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集 ∅ B 且 B≠∅
教材梳理 基础自测
三、集合间的基本关系
[自测 4] (2015·成都龙泉驿区押题试卷)已知集合 A＝x|x＝a＋a2－1i(a
∈R，i 是虚数单位)，若 A⊆R，则 a＝( )
A．1
B．－1
C．±1
D．0
选 C.A⊆R，∴a2－1＝0，a＝±1.
当 a＝1 时，1a＝1，不满足互异性，∴a＝－1. －1
教材梳理 基础自测
一、集合与元素
[自测 2] 已知集合 M＝x|x2－3≤0，则下列关系正确的是( )
A．0∈M
B．0∉M
C．0⊆M
D．3∈M
选 A.M＝x|－ 3≤x≤ 3，∴0∈M.
教材梳理 基础自测
二、集合的表示方法
A. 4
C.4，5
B.4，－1 D.－1，0
()
选 B.B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，阴
影部分为 A∩∁UB＝{4，－1}．
教材梳理 基础自测
三、集合间的基本关系
关系
集合 间的 基本 关系
考点突破 题型透析
考点一 集合的基本概念
1．(2015·临沂质检)已知集合 A＝－4，2a－1，a2，B＝a－5，1－a，9， 若 9∈(A∩B)，则实数 a 的值为______． ∵9∈(A∩B)，∴9∈A 且 9∈B， ∴2a－1＝9 或 a2＝9，∴a＝5 或 a＝±3. 当 a＝5 时，A＝－4，9，25，B＝0，－4，9，符合题意； 当 a＝3 时，A＝－4，5，9，B 不满足集合中元素的互异性，∴a≠3； 当 a＝－3 时，A＝－4，－7，9，B＝－8，4，9，符合题意． ∴a＝5 或 a＝－3. 5 或－3

A．1
B．－2
C．6
D．2
5．已知集合 A＝{－1，0，4}，集合 B＝{x|x2－2x－3≤0，
x∈N}，全集为 U，则图中阴影部分表示的集合是{_－__1_，__4_}_．
解析：∵B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}
＝{0，1，2，3}．而图中阴影部分表示的为属于 A 且不属于 B
集合
的子集． (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义．
3．集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简
单集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求
给定子集的补集．
(3)能使用Venn图表p示pt精集选 合的关系及运算．
2
第一章 集合与常用逻辑用语
知识点
考纲下载
A．1
B．3
C．5
D．9
(2)已知集合 M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若 M＝N，则(m －n)2 015＝_－__1_或__0__．
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[解析] (1)当 x＝0，y＝0 时，x－y＝0；当 x＝0，y＝1 时， x－y＝－1； 当 x＝0，y＝2 时，x－y＝－2；当 x＝1，y＝0 时，x－y＝1； 当 x＝1，y＝1 时，x－y＝0；当 x＝1，y＝2 时，x－y＝－1； 当 x＝2，y＝0 时，x－y＝2；当 x＝2，y＝1 时，x－y＝1；
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1．辨明五个易误点 (1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集 合是正确求解的两个先决条件． (2)要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包 含关系． (3)易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它 本身． (4)运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．

A.{1，3}
B.{3，7，9}C.{3，59}D.{3，9}5.已知集合 A＝{ x | x 2＋x－2<0}，B＝{ x | x >0}，则集
合 A∪B 等于( A )
A.{ x | x >－2} B.{x|0< x <1}
C.{ x | x <1}
D.{ x |－2< x <1}
【知识要点】
集共有( D )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
3.如图，给定全集 U 和集合 A，B，则如图阴影部分表
示的集合是( A )
A.A∩(∁UB) B.(∁UA)∩B C.∁U(A∩B)∩B D.∁U(A∩B)
4.已知 A，B 均为集合 U＝{1，3，5，7，9}的子集，
且 A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则 A＝( D )
(2)由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合， 叫 做 集 合 A 与 B 的 并 集 ， 记 作 ___A_∪__B____ ， 即 A∪B ＝ ____{_x_|x_∈__A__或__x_∈__B_}_．
(3) 若 已 知 全 集 U ， A ⊆U ， 则 集 合 A 的 补 集 ∁ UA ＝ ____{x_|_x_∈__U_且__x_∉__A_}_______．
___A__ __B_（ _或 __B__ __A_） __．
(2) 真 子 集 ： 若 A ⊆B ， 且 A≠B ， 则 A________B (或B A)． (3)集合相等：若A ⊆B且B ⊆A，则A____＝_B. (4)集合的传递性： 若A⊆B，B⊆C，则A__⊆__C； 若A B，B C，则A____C. (5) 若 A含 有 n个 元 素 ， 则 A的 子集有 ___2_n __ 个 ， A的 非 空 子 集 有 ___2_n－__1____ 个 ． A 的 非 空 真 子 集 有 ____2_n_－__2___个．