高考文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)

课时提升作业一集合(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列结论正确的是()A.0∈N*B.0∈∅C.{0}⊆N*D.∅⊆N*【解析】选D.集合N*表示正整数集,∅中不含任何元素,所以A,B,C都不正确,∅是任何集合的子集,故D正确.2.(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=()A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3) 【解析】选A.因为A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},所以A∪B=.3.(2016·德州模拟)若集合M={x|-2<x<3},N={y|y=x2+1,x∈R},则集合M∩N=()A.(-2,+∞)B.(-2,3)C.[1,3)D.R 【解析】选C.因为y=x2+1≥1,所以N={y|y≥1},所以M∩N={x|1≤x<3}.4.已知A={x|x2<4},B为自然数集,则A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{1} 【解析】选C.因为A={x|-2<x<2},B是自然数集,所以A∩B={0,1}.【误区警示】解答本题易误选D,出错的原因是对自然数集的定义理解不到位.【加固训练】已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},B为整数集,则A∩B=()A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0}D.{0,1} 【解析】选B.因为A={x|-1≤x≤2},B为整数集,所以A∩B={-1,0,1,2}.5.(2016·滨州模拟)已知集合A={log2a,3},B={a,b},若A∩B={0},则A∪B=()A.{0,3}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3} 【解析】选B.因为A∩B={0},所以0∈A,且0∈B,即log2a=0,b=0,a=1,b=0,所以A∪B={0,1,3}.6.(2016·临沂模拟)已知集合A={0,x},B={x2,-x2,|x|-1},若A⊆B,则实数x的值为()A.1或-1B.1C.-1D.2 【解析】选A.验证法,当x=1时,A={0,1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=-1时,A={0,-1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=2时,A={0,2},B={4,-4,1},不满足A⊆B.故选A.【一题多解】解答本题还可采用如下方法:选A.因为A⊆B,所以0∈B,因为x≠0,所以|x|-1=0,即x=±1,经验证,易知x=±1满足题意.7.(2016·泰安模拟)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且(A∪B)={4},B={1,2},则A∩B=()A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅【解析】选A.由U={1,2,3,4},(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以A中一定有元素3,没有元素4,所以A∩B={3}.【一题多解】本题还可用Venn图求解如下:如图,由图及已知易得A∩B={3}.【加固训练】已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(A)∩B=()A.{-2,-1}B.{-2}C.{-2,0,1}D.{0,1}【解析】选A.由x+1>0⇒x>-1,所以A={x|x≤-1},故得(A)∩B={-2,-1}.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知集合A={x|x2-2015x-2016≤0},B={x|x<m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是.【解析】因为A={x|-1≤x≤2016},B={x|x<m+1},A⊆B,所以m+1>2016,即m>2015.答案:(2015,+∞)9.(2014·重庆高考)设全集U=,A=,B=,则∩B=.【解析】由题意知A=,B=,故∩B=.答案:10.若集合A={x∈R|(a2-1)x2+(2a+1)x+1=0}中只有一个元素,则实数a的值构成的集合为.【解题提示】按二次项系数是否为0分类讨论.【解析】当a2-1=0,即a=1或a=-1时,方程分别为3x+1=0或-x+1=0,方程都有一个根,满足题意. 当a2-1≠0时,Δ=(2a+1)2-4(a2-1)=0,即4a+5=0,a=-.此时方程有两个等根,满足题意.故a的值构成的集合为.答案:(20分钟35分)1.(5分)(2015·浙江高考)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q= ()A.[3,4)B.(2,3]C.(-1,2)D.(-1,3]【解析】选A.由题意得,P={x|x≥3或x≤-1},所以P∩Q=[3,4).【加固训练】某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程,他们在A,B,C三个模块中进行选择,且至少需要选择1个模块,具体模块选择的情况如下表:则三个模块都选择的学生人数是.【解题提示】设三个模块都选择的学生人数是x,用Venn图表示三个两两相交的集合,把每一部分的学生数用x表示出来,再根据总数为50列方程求解.【解析】设三个模块都选择的学生人数为x,则各部分的人数如图所示,则有(1+x)+(5+x)+(2+x)+(12-x)+(13-x)+(11-x)+x=50,解得x=6.答案:62.(5分)(2016·菏泽模拟)设全集U={1,2,3,4,5,6},用U的子集可表示由0,1组成的6位字符串,如{2,4}表示的是第2个字符为1,第4个字符为1,其余均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M={2,3,6},则M表示的6位字符串为.(2)若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是. 【解题提示】(1)先求出M表示的6位字符串,从而求出M表示的6位字符串.(2)由A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,求出集合B,从而得到答案.【解析】(1)M表示的6位字符串是011001;则M表示的6位字符串为100110.(2)若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,所以集合B可能是{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},共4个.答案:(1)100110(2)43.(12分)已知集合A={x|(x-1)(x-3)<0},集合B={x|2m<x<1-m}.(1)当m=-1时,求A∪B.(2)若A⊆B,求实数m的取值范围.(3)若A∩B=∅,求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=-1时,B={x|-2<x<2},A={x|1<x<3},则A∪B={x|-2<x<3}.(2)由A⊆B知解得m≤-2,即实数m的取值范围为(-∞,-2].(3)由A∩B=∅,得①当2m≥1-m,即m≥时,B=∅,符合题意;②当2m<1-m,即m<时,需或得0≤m<或∅,即0≤m<.综上知m≥0,即实数m的取值范围为[0,+∞).【加固训练】已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={x|x2+2x-8>0}, C={x|x2-4ax+3a2<0},若(A∪B)⊆C,求实数a的取值范围.【解析】A={x|-2<x<3},B={x|x<-4,或x>2},A∪B={x|x<-4,或x>-2}, (A∪B)={x|-4≤x≤-2},而C={x|(x-a)(x-3a)<0}.①当a>0时,C={x|a<x<3a},显然不成立.②当a=0时,C=∅,不成立.③当a<0时,C={x|3a<x<a},要使(A∪B)⊆C,只需即-2<a<-.4.(13分)已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R,x∈R}.若A∪B=A,试求实数a的取值范围.【解析】因为A∪B=A,所以B⊆A,易知A={0,-4}.(1)当A=B={0,-4}时,0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,所以所以a=1.(2)当B A时,有B≠∅和B=∅两种情况.①当B≠∅时,B={0}或B={-4},所以方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有相等的实数根0或-4,所以Δ=4(a+1)2- 4(a2-1)=0,所以a=-1,所以B={0}满足条件.②当B=∅时,Δ<0,a<-1.综上知实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}.。

第 72课古典概型1．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则拿出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．1B．1C．2D ．3 3234【答案】 C【分析】∵从 4 张卡片中抽 2 张的全部事件数为12 ，分别为 (1,2)， (1,3) ， (1,4) ， (2,1)， (2,3)， (2,4) ， (3,1) ， (3, 2) ， (3, 4)， (4,1) ， (4, 2)和 (4,3) ．2 张卡片上的数字之和为奇数的事件数为8 种，分别为 (1,2) ，(1,4) ，(2,1) ，(2,3) ， (3, 2) ， (3, 4)，(4,1) 和 (4,3)．∴ 所求的概率82 P．1232．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲方才所想的数字，把乙猜的数字记为 b ，此中 a, b{1,2,3,4,5,6} ，若a b1，就称甲乙“心有灵犀”．现随意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A ．1B．2C．7D．4 99189【答案】 D【分析】∵试验的全部事件(a, b) 有 36 个，事件 a b 1 的事件( a,b)有16个，∴“心有灵犀”的概率为16436．93.（ 2013 丰台一模）对某校全体教师在教课中能否常常使用信息技术实行教课的状况进行了检查，获得统计数据以下：5 年 5 至10 至20 年教师教龄10 年20 年以下以上教师人数8103018常常使用信息技术24104实行教课的人数（ 1）求该校教师在教课中不．常常使用信息技术实行教课的概率；（ 2）在教龄 10 年以下，且常常使用信息技术实行教课的教师中任选2 人，此中恰有一人教龄在 5 年以下的概率是多少？【分析】（1）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校常常使用信息技术实行教课的教师人数为2+4+10+4=20．设“该校教师在教课中常常使用信息技术实行教课”为事件A，2010， 1 P(A)23则 P(A)33．6633∴该校教师在教课中不常常使用信息技术实行教课的概率是23 ．33（ 2）设常常使用信息技术实行教课，教龄在 5 年以下的教师为a i（1=1，2），教龄在 5 至 10 年的教师为b i（j =1， 2， 3， 4），那么任选 2 人的基本领件为：( a1 , a2 ) ，(a1, b1 ) ，( a1 ,b2 ) ，(a1, b3 ) ，(a1 , b4 ) ，(a2 , b1 ) ，(a2 ,b2 ) ，(a2 , b3 ) ，( a2 ,b4 ) ，(b1,b2 ) ，(b1 ,b3 ) ， (b1 ,b4 ) ， (b2 ,b3 ) ， (b2 ,b4 ) ， (b3 ,b4 ) 共15个．设“任选 2 人中恰有一人的教龄在 5 年以下”为事件B，包含的基本领件为：(a1, b1 ) ， (a1, b2 ) ， (a1 , b3 ) ， (a1, b4 ) ， (a2 ,b1) ，(a2 , b2 ) ， (a28 , b3) ， (a2 ,b4 ) 共8个，则P( B)．15∴恰有一人教龄在 5 年以下的概率是8 ．154. （ 2013 山东高考）甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，此中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2女．（ 1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出全部可能的结果，并求选出的 2 名教师性别同样的概率；（ 2）若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出全部可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率．【分析】（1）甲校两男教师分别用A、B 表示，女教师用 C 表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的全部可能的结果为：（ A，D）（A， E），（ A， F），（ B，D），（B， E），（ B， F），（ C， D），（ C， E），（ C，F），共 9种．从中选出两名教师性别同样的结果有：（ A，D），（ B， D），（ C， E），（ C， F），共 4 种．4选出的两名教师性别同样的概率为P．9（ 2）从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的全部可能的结果为：（A， B），（ A， C），（ A， D），（ A，E），（ A，F），（ B，C），（ B，D），（ B，E），（ B，F），（C， D），（ C， E），（ C， F），（ D，E），（ D，F），（ E，F），共 15 种．从中选出两名教师来自同一学校的结果有：（A， B），（ A， C），（ B， C），（ D，E），（ D，F），（ E，F）共 6 种，∴选出的两名教师来自同一学校的概率为P6215．55. （ 2013 海淀二模）在一次“知识比赛”活动中，有A1 , A2 , B,C 四道题，此中A1, A2犯难度同样的简单题， B 为中档题， C 为较难题.现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答 .（1）求甲、乙两位同学所选的题目难度同样的概率；（2）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.【分析】由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，全部可能的结果有16个，它们是： (A1, A1) ，(A1, A2 ) ，(A1, B)，( A1 ,C) ，(A2 , A1 ) ，( A2 , A2 ) ，(A2 , B)，( A2 ,C) ，(B, A1) ， (B, A2)，(B,B)，(B,C)， (C, A1) ， (C, A2) ，(C, B)，(C,C).（ 1）用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度同样”，则M包含的基本领件有：(A1, A1)， (A1, A2) ， (A2, A1)， (A2, A2) ，(B,B)，(C,C).∴P(M ) = 6 = 3.16 8（ 2）用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N包含的基本领件有： (B, A1)， (B, A2)， (C, A1) ， (C, A2) ，(C,B).∴P(N) =5. 166.（ 2013 广州调研）某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50 个社划分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采纳 5 分制，若设“社区服务”得分为x 分，“居民素质”得分为 y 分，统计结果以下表：y社区数目居民素质1分2分3分4分5分x1 分13101社2 分10751区3 分21093服4 分务a b6015 分00113（ 1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于 3 分（即x 3 且 y 3 ）的社区能够进入第二轮评选，现从50 个社区中随机选用一个社区，求这个社区能进入第二轮评选的概率；（ 2）若在 50 个社区中随机选用一个社区，这个社区的“居民素质”得 1 分的概率为 1 ，10求 a 、b的值．【分析】（ 1）从表中能够看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于 3 分（即x 3且 y 3 ）的社区数目为24 个．设这个社区能进入第二轮评选为事件24 12A ，则PA．5025∴这个社区能进入第二轮评选的概率为12 ．25（ 2）从表中能够看出， “居民素质”得 1 分的社区共有 4 a 个，∵“居民素质”得 1 分的概率为1 ，∴ 4 a1 ，解得 a 1 ．10 50 10 ∵社区总数为 50 个，∴ a b47 50 ．解得 b 2 ．。

A 组 基础达标（时间： 30 分钟满分： 50 分）若时间有限，建议选讲 3，6，9一、 选择题（每题5 分，共 25 分）π11.（ 2014 ·荆州模拟）设sin＋θ＝ ，则 sin 2 θ等于（ A ）4371A. －B. －991 7C.D.99分析： sin 2 θ＝－ cosπ π1 2 7＋ 2θ ＝2sin 2＋θ－1 ＝ 2 ×－1＝－ .24392.（ 2013·潍坊模拟）化简 2 ＋cos 2 －sin 21的结果是（ C ）A. －cos 1B. cos 1C. 3cos 1D. －3cos 12 ＋cos 2 －sin 21＝1－cos 23 ＋3cos 2分析：2 ＋cos 2 － ＝＝223cos 2 1 ＝ 3cos 1.3.（ 2014 ·北京东城模拟）已知函数f （ x ）＝ cos 2ππ＋x － cos 2－x ，则 44π f等于（ B ）121 1 A.B. － 2233 C.D. －22分析：2π2x ＋ ππ ＝－ π f （x ）＝cos＋ x－sin ＝－sin 2x ，∴sin ＝44f6 121－ .24. 已知 tan1 cos2 α＋sin 2 α＋1α＝ ，则 cos 2α 等于（ A ）2 A.3 B.63 C. 12 D.2cos 2 α＋sin 2 α＋12cos 2α＋ 2sin α· cos α 分析：cos 2α＝＝2＋ 2tan α＝3.cos 2α5. （ 2014 ·淄博模拟已）知△ABC 的三个内角知足： sinA ＝ sinCcosB ，则△ ABC 的形状为（ B ）A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形分析： 由 sinA ＝sin CcosB ，得 sin （ B ＋C ）＝ sin Ccos B ，于是 sinBcos C ＋cos BsinC ＝sin CcosB ，即 sin Bcos C ＝0 ，∵sin B ≠0 ，∴cos C ＝0，故 C ＝ 90 °，∴△ABC 为直角三角形 .二、 填空题（每题5 分，共 15 分）1＋tan α 16. （ 2013 ·南平模拟）若 ＝ 2 013 ，则 ＋ tan 2 α＝ 21－tan α cos 2 α013.1＋tan 1＋ sin 2 α（cos α＋sin α）2cos α＋ sin α分析：2α＝＝α－sin 2α＝cos 2 αcos 2 αcos 2cos α－ sin α1＋ tan α＝＝2 013.1－ tan α7. （ 2013 ·抚顺模拟）若锐角α，β知足（1＋3tan α）（ 1＋ 3tan β）＝ 4π，则α＋β＝Ｗ.3分析：由（ 1 ＋3tanα）（1＋3tanβ）＝4，tan α＋ tan β可得＝ 3 ，即 tan （α＋β）＝3.1 － tan αtan βπ又α＋β∈（ 0，π），∴α＋β＝.38.已知α，β均为锐角，且 cos （α＋β）＝ sin （α－β），则 tanα＝1Ｗ .分析：依据已知条件得cos αcos β－sinαsinβ＝sin αcos β－cos αsin β，cosβ（cosα－ sinα）＋sinβ（cos α－sin α）＝0，即（ cos β＋sinβ）（cos α－sin α）＝ 0.又α，β为锐角，则 sinβ＋ cosβ>0 ，∴cos α－sin α＝ 0，∴tan α＝1.三、解答题（共10 分）12cos 4x－2cos 2 x＋9 ．（ 2014 ·贵州六校联考）化简：2.πsin 2π2tan －x＋x441－2sin 2xcos 2x ＋2分析：原式＝（4 分）ππ2sin － x cos 2－x44πcos － x41（1－sin 22x ）2＝π（8 分）π2sin－x cos－x441cos 22x2＝πsin－ 2x21＝cos 2x. （10 分）2B 组提优操练（时间： 30 分钟满分：50分）若时间有限，建议选讲4，6，9一、选择题（每题 5 分，共 20 分）ππ 3 71.（ 2012 ·山东高考）若θ∈，，sin 2 θ＝，则 sin θ等于（ D ）4283 4A.B.5 5C.D.44π π π分析： ∵θ∈ ， ，∴2θ∈ ， π .4 2 2 ∴cos 2θ＝－11 －sin 22 θ＝－ ，8 ∴sin1－ cos 2 θ 3θ＝2＝ .42. （ 2014 ·厦门模拟已）知 tan π 1 π2sin 2 α＋sin 2 α α＋ ＝ ，且－ < α<0 ，则4 2 2πcos α－4等于（ A ）2 53 5A. －B. －1053 102 5C. －D.510π tan α＋1 1 1分析： 由 tanα＋ 4 ＝ － ＝ ，得 tanα＝－ .1 tan α 23π10又－ < α<0 ，∴sinα＝－.2102sin 2α＋sin 2 α 2sin α（ sin α＋cos α）＝2 2sin 2 5故 ＝ 2α＝－.π5cos α－ 2（sin α＋cos α）43.（ 2013 ·中山模拟）已知角A 为△ ABC 的内角，且 sin32A ＝－ ，则 sin4A － cos A 等于（ A ）7 B. －7A.22C.－D.22分析： ∵A 为△ ABC 的内角且 sin2A ＝2sin3Acos A ＝－ <0 ，4∴sin A>0 ，cos A<0 ，∴sin A －cosA>0.又（sinA － cosA ）2＝ 1 －2sinAcos77 A ＝ . ∴ sin A － cos A ＝.4 2a b ＝ad －bc ，若 cos1sin α sin β 334. 定义运算d α＝ ，＝，c7cos α cos β14π 0< β< α< ，则 β等于（ D ）2π π A.B.12 6π π C.D.43分析： 依题意有 sinαcos β－cos3 3αsin β＝sin （α－β）＝，又140< β< α< π π，∴0< α－ β< ，221 －sin 2（α－ β）＝ 13 1 4 3故 cos （α－ β）＝ ，而 cos α＝ ，∴sin α＝ ，14 77 于是 sinβ＝sin[ α－（α－ β）]＝sin αcos （ α－ β）－cos αsin （α－β）43 13 1 3 3 3π ＝× － × 14 ＝ ，故 β＝ .7 14 7 2 3二、 填空题（每题5 分，共 15 分）5. 若 tanπcos 2 θ 3 Ｗ.－θ＝ 3，则 ＝41＋sin 2 θπ1 －tan θ 1cos 2 θ 分析 ： ∵ tan －θ＝ ＝ 3 ， ∴tanθ＝－. ∴ ＝4 1 ＋tan θ2 1＋sin 2 θ1cos 2θ－sin 2 θ1 － tan 2θ1－4 sin 2θ＋ 2sin θcos θ＋cos2 ＝＝＝3.θ tan 2θ＋ 2tanθ＋11－1＋14·北大附中模拟）在△中，已知π36. （ 2013cos＋A ＝，则cos 2AABC 4 524 Ｗ .的值为25分析： cosππ π 23＋A ＝cos cos A －sin sin A ＝ （cos A － sin A ）＝ ，44 4 25 32＞0.∴cos A － sin A ＝5 ①ππ ∴0＜A ＜ ，∴0＜2A ＜ .4218，∴sin 2A7由①得 1－sin 2A ＝＝ .25 25 ∴cos 2A ＝241－ sin 22A ＝ .253x － π1 1 7. （ 2013·衡水调研） x － πcos ＝－ ，则 cos 4x ＝ Ｗ .sin44 4 23 π 3π 分析： ∵ sinx － π ＝－ cos ＋x － π ＝－ cos x － ，4 2 4 4ππ 1 1＋ cos 2x －∴cos22 1 x － ＝ ，∴ 2＝ .4 44π 11 ∴cos 2x － ＝－ ，即 sin 2x ＝－ .2 221 ∴cos 4x ＝1 －2sin 22x ＝ .2三、 解答题（共 15 分）π8.（7 分）（ 2013 ·玉溪模拟）已知函数f （ x ）＝tan3x ＋ .4（1 ）求 f π的值；93πα ππ （2 ）设 α∈ π，，若 f ＋ ＝ 2 ，求 cos α－ 的值 .2 3 44π ππ π πtan ＋tan 4 3＋ 13 分析： （ 1）f＝tan ＋ ＝ ＝ ＝－2－ 3.（29 3 4 1 －tan ππ1－ 3tan 43分）α π 3π π（2 ）∵f ＋ ＝tan α＋ ＋ ＝tan （α＋π）＝ tan α＝2，3 4 4 4sin α ∴ ＝2 ，即 sin α＝ 2cos α. ①cos α又 sin 2 α＋cos 2 α＝ 1 ， ②1由①②解得 cos 2α＝ .（4分）53 π5 2 5∵α∈ π， ，∴cos α＝－，sinα＝－.2 5 5π＝cosαcos π π∴cos α－ ＋ sin αsin4445 2 2 5 2＝－ × ＋ － 5 ×5 2 2310＝－.（7 分）109. （ 8 分 ）（ 2014 ·蒙 阴 模 拟 ） 已 知 f （ x ） ＝ 1＋1sin 2x －tan xππ2sin x ＋ ·sin x － .4 4（1 ）若 tanα＝2 ，求 f （α）的值；（2 ）若 x ∈ π π ， ，求 f （x ）的取值范围 .12 22）＋ π x ＋ π分析： （ 1 ）f （ x ）＝（ sin x ＋ sin xcosx 2sinx ＋4· cos 41 －cos 2x1π＝2 ＋ sin 2x ＋sin 2x ＋2 2 1 12x －cos 2x ）＋ cos2x ＝ ＋ （sin2 211＝ （sin 2x ＋cos 2x ）＋.（2 分）22∵tan α＝2，∴sin 2 α＝ 2sin αcos α 2tan α 4＝＝ ，sin 2α＋cos 2 α tan 2 α＋1 5 coscos 2 α－sin 2α 1－ tan 2α 32 α＝ ＝ ＝－ .sin 2 α＋ cos 2α 1＋ tan 2α512 α＋cos1 3∴f （ α）＝ （sin 2α）＋ ＝ .（4 分）22 511 2π 1 （2 ）由（ 1）得 f （x ）＝ （sin 2x ＋cos2x ）＋ ＝ sin 2x ＋ ＋ .22 2 4 2 （6 分）由 x ∈ π π5 π π 5 π 12 ， 2 ，得 ≤ 2x ＋ ≤ .12 4 4故－2 2x ＋ π（）≤ 2 ＋ 1≤ sin， 2 4 ≤ 1 ，则0 ≤ f x2 ∴f （ x ）的取值范围是 0 ，2 ＋12.（8 分）。

广州市高考数学（文科）一轮复习测试题本试题卷共页，六大题小题。

全卷满分分。

考试用时分钟。

一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．的值为（）．．．．【答案】【解析】因为，所以选.．命题“，”的否定是（）．，．，．，．，【答案】【解析】全称命题的否定式特称命题，所以原命题的否定为，，选.．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为()．．．．【答案】【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，此时满足条件，输出，选.．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（）. `.【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是一个半径分别为和的同心圆柱，大圆柱内挖掉了小圆柱。

两个圆柱的高均为.所以几何体的体积为，选.．已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则（）．．．．【答案】【解析】因为幂函数在上是奇函数，所以，所以，所以，选.．已知、两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则线段的长为（）．．．．【答案】【解析】直线的斜率为，的斜率为。

因为两直线垂直，所以，所以。

所以直线方程，中点。

则，在直角三角形中斜边的长度，所以线段的长为，选.．已知数列{}满足，且，则的值是（）. . .【答案】【解析】由，得，即，解俯视图正视图侧视图。

高中数学〔文科〕高考一轮复习习题集〔含答案〕目录第一章集合 (1)第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)第二节集合的基本运算 (3)第二章函数 (5)第一节对函数的进一步认识 (5)第二节函数的单调性 (9)第三节函数的性质 (13)第三章指数函数和对数函数 (16)第一节指数函数 (16)第二节对数函数 (20)第三节幂函数与二次函数的性质 (24)第四节函数的图象特征 (28)第四章函数的应用 (32)第五章三角函数 (33)第一节角的概念的推广及弧度制 (33)第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)第四节函数的图象 (45)sin() f x A x第六章三角恒等变换 (50)第一节同角三角函数的基本关系 (50)第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)第七章解三角形 (56)第一节正弦定理与余弦定理 (56)第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)第八章数列 (60)第九章平面向量 (62)第十章算法 (65)第一节程序框图 (65)第二节程序语句 (69)第十一章概率 (73)第一节古典概型 (73)第二节概率的应用 (75)第三节几何概型 (79)第十二章导数 (83)第十三章不等式 (85)第十四章立体几何 (88)第一节简单几何体 (88)第二节空间图形的基本关系与公理 (92)第三节平行关系 (96)第四节垂直关系 (100)第五节简单几何体的面积与体积 (104)第十五章解析几何 (108)第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)第三节圆的标准方程与一般方程 (114)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)第五节空间直角坐标系 (121)第十六章圆锥曲线 (123)第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系A 组1．已知A ＝{1，2}，B ＝，则集合A 与B 的关系为________．|x x A 解析：由集合B ＝知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B |x x A 2．若，则实数a 的取值范围是________．2,|a aR x x 解析：由题意知，有解，故．答案：2x a 0a 0a3．已知集合A ＝，集合B ＝，则集合A 与B 的关系是________．2|21,y y x x x R |28x x解析：y ＝x2－2x －1＝〔x －1〕2－2≥－2，∴A ＝{y|y≥－2}，∴BA ．答案：BA4．〔2009年高考广东卷改编〕已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝关系的韦恩〔Venn 〕图是________．解析：由N=，得N={-1，0}，则NM ．答案：②2|0x x x5．〔2010年苏、锡、常、镇四市调查〕已知集合A ＝，集合B ＝，若命题“x ∈A”是命题“x ∈B”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A”是命题“x ∈B” 的充分不必要条件，∴AB ，∴a<5．答案：a<56．〔原创题〕已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x|x ＝2a ，a ∈Z}，B ＝{x|x ＝2a ＋1，a ∈Z}，又C ＝{x|x ＝4a ＋1，a ∈Z}，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a1，a1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a2＋1，a2∈Z ，∴m ＋n ＝2〔a1＋a2〕＋1，而a1＋a2∈Z ，∴m ＋n ∈B ．B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝＋＋可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：〔1〕a>0且b>0；〔2〕a>0且b<0；〔3〕a<0且b>0；〔4〕a<0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m －1，即〔m －1〕2＝0，∴m ＝1． 答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b|a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0，2，5；b ＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M ＝{x|x2＝1}，集合N ＝{x|ax ＝1}，若NM ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x|x ＝1或x ＝－1}，NM ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a≠0时，x ＝＝1或－1，∴a ＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A ＝{x|x ＝a ＋，a ∈Z}，B ＝{x|x ＝－，b ∈Z}，C ＝{x|x ＝＋，c ∈Z}，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的________．解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．〔2010年江苏启东模拟〕设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．解析：∵2n<500，∴n＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．〔2009年高考北京卷〕设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A＝{x，xy，lg〔xy〕}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．解：由lg〔xy〕知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg〔xy〕＝0，xy＝1．∴A＝{x，1，0}，B＝{0，|x|，}．于是必有|x|＝1，＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1．11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，〔1〕若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；〔2〕若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；〔3〕若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，〔1〕∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B⊆A．②若B≠∅，则解得2≤m≤3．由①②得，m的取值范围是〔－∞，3]．〔2〕若A⊆B，则依题意应有解得故3≤m≤4，∴m的取值范围是[3，4]．〔3〕若A＝B，则必有解得m∈∅．，即不存在m值使得A＝B．12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－〔a＋1〕x＋a≤0}．〔1〕若A是B的真子集，求a的取值范围；〔2〕若B是A的子集，求a的取值范围；〔3〕若A＝B，求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0，即〔x－1〕〔x－2〕≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|〔x－1〕〔x－a〕≤0}，〔1〕若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x ≤ a}，故a>2．〔2〕若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2．〔3〕若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．〔2009年高考浙江卷改编〕设U＝R，A＝，B＝，则A∩∁UB＝____．解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．〔2009年高考全国卷Ⅰ改编〕设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A∪B，则集合∁U〔A∩B〕中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4，7，9}，A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，∁U〔A∩B〕＝{3，5，8}．答案：3x x a a M3．已知集合M＝{0，1，2}，N＝，则集合M∩N＝________．|2,解析：由题意知，N＝{0，2，4}，故M∩N＝{0，2}．答案：{0，2}4．〔原创题〕设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2 }，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________．解析：A∪B＝[0，＋∞〕，A∩B＝[0，2]，所以AⓐB＝〔2，＋∞〕．答案：〔2，＋∞〕5．〔2009年高考湖南卷〕某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12〔人〕．答案：126．〔2010年浙江嘉兴质检〕已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．〔1〕当m＝－1时，求A∩B，A∪B；〔2〕若B⊆A，求m的取值范围．解：〔1〕当时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．〔2〕若B⊆A，则，即的取值范围为〔1，＋∞〕B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________．解析：因为集合N＝{－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U＝{－1，0，1，2}，集合A＝{－1，2}，B＝{0，2}，则〔∁UA〕∩B＝____ ____．解析：∁UA＝{0，1}，故〔∁UA〕∩B＝{0}．答案：{0}3．〔2010年济南市高三模拟〕若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩〔∁UN〕＝________．解析：根据已知得M∩〔∁UN〕＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{ x|－2≤x<0}4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．〔2009年高考江西卷改编〕已知全集U＝A∪B中有m个元素，〔∁UA〕∪〔∁UB〕中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵〔∁UA〕∪〔∁UB〕＝∁U〔A∩B〕中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．〔2009年高考重庆卷〕设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n 是3的倍数}，则∁U〔A∪B〕＝________．解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，∴A∪B＝{1，3，5，6，7}，得∁U〔A∪B〕＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}，则集合〔A⊗B〕⊗C的所有元素之和为________．解析：由题意可求〔A⊗B〕中所含的元素有0，4，5，则〔A⊗B〕⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{〔x，y〕|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{〔x，y〕|y＝3x＋b}，则b＝________．解析：由⇒点〔0，2〕在y＝3x＋b上，∴b＝2．9．设全集I＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．解析：∵A∪〔∁IA〕＝I，∴{2，3，a2＋2a－3}＝{2，5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2〔a＋1〕x＋〔a2－5〕＝0}．〔1〕若A∩B＝{2}，求实数a的值；〔2〕若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1，2}．〔1〕∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3．〔2〕对于集合B ，Δ＝4〔a ＋1〕2－4〔a2－5〕＝8〔a ＋3〕．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ①当Δ<0，即a<－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a2－5⇒矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－3． 11．已知函数f 〔x 〕＝的定义域为集合A ，函数g 〔x 〕＝lg 〔－x2＋2x ＋m 〕的定义域为集合B ．〔1〕当m ＝3时，求A∩〔∁RB 〕；〔2〕若A∩B ＝{x|－1<x<4}，求实数m 的值．解：A ＝{x|－1<x≤5}．〔1〕当m ＝3时，B ＝{x|－1<x<3}，则∁RB ＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩〔∁RB 〕＝{x|3≤x≤5}．〔2〕∵A ＝{x|－1<x≤5}，A∩B ＝{x|－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x|－2<x<4}，符合题意．12．已知集合A ＝{x ∈R|ax2－3x ＋2＝0}．〔1〕若A ＝∅，求实数a 的取值范围；〔2〕若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；〔3〕求集合M ＝{a ∈R|A≠∅}．解：〔1〕A 是空集，即方程ax2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝，不合题意．若a≠0，要方程ax2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>．综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a>．〔2〕当a ＝0时，方程ax2－3x ＋2＝0只有一根x ＝，A ＝{}符合题意．当a≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝时，方程有两个相等的实数根x ＝，则A ＝{}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{}；当a ＝时，A ＝{}．〔3〕当a ＝0时，A ＝{}≠∅．当a≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a≥0，即a≤．综上可知，a 的取值范围是a≤，即M ＝{a ∈R|A≠∅}＝{a|a≤}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1．〔2009年高考江西卷改编〕函数y ＝的定义域为________．解析：⇒x ∈[－4，0〕∪〔0，1] ．答案：[－4，0〕∪〔0，1]2．〔2010年绍兴第一次质检〕如图，函数f 〔x 〕的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为〔0，0〕，〔1，2〕，〔3，1〕，则f 〔〕的值等于________．解析：由图象知f 〔3〕＝1，f 〔〕＝f 〔1〕＝2．答案：23．〔2009年高考北京卷〕已知函数f 〔x 〕＝若f 〔x 〕＝2，则x ＝________．解析：依题意得x≤1时，3x ＝2，∴x ＝log32；当x>1时，－x ＝2，x ＝－2〔舍去〕．故x ＝log32．答案：log324．〔2010年黄冈市高三质检〕函数f ：{1，}→{1，}满足f[f 〔x 〕]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．〔原创题〕由等式x3＋a1x2＋a2x ＋a3＝〔x ＋1〕3＋b1〔x ＋1〕2＋b2〔x ＋1〕＋b3定义一个映射f 〔a1，a2，a3〕＝〔b1，b2，b3〕，则f 〔2，1，－1〕＝________．解析：由题意知x3＋2x2＋x －1＝〔x ＋1〕3＋b1〔x ＋1〕2＋b2〔x ＋1〕＋b3， 令x ＝－1得：－1＝b3；再令x ＝0与x ＝1得，解得b1＝－1，b2＝0．答案：〔－1，0，－1〕6．已知函数f 〔x 〕＝〔1〕求f 〔1－〕，f{f[f 〔－2〕]}的值；〔2〕求f 〔3x －1〕；〔3〕若f 〔a 〕＝， 求a ．解：f 〔x 〕为分段函数，应分段求解．〔1〕∵1－＝1－〔＋1〕＝－<－1，∴f 〔－〕＝－2＋3，又∵f 〔－2〕＝－1，f[f 〔－2〕]＝f 〔－1〕＝2，∴f{f[f 〔－2〕]}＝1＋＝．〔2〕若3x －1>1，即x>，f 〔3x －1〕＝1＋＝；若－1≤3x －1≤1，即0≤x≤，f 〔3x －1〕＝〔3x －1〕2＋1＝9x2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x<0，f 〔3x －1〕＝2〔3x －1〕＋3＝6x ＋1．∴f〔3x －1〕＝〔3〕∵f 〔a 〕＝，∴a>1或－1≤a≤1．当a>1时，有1＋＝，∴a ＝2；当－1≤a≤1时，a2＋1＝，∴a ＝±．∴a ＝2或±．B 组1．〔2010年广东江门质检〕函数y ＝＋lg 〔2x －1〕的定义域是________．解析：由3x －2>0，2x －1>0，得x>．答案：{x|x>}2．〔2010年山东枣庄模拟〕函数f 〔x 〕＝则f 〔f 〔f 〔〕＋5〕〕＝_．解析：∵－1≤≤2，∴f 〔〕＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f 〔2〕＝－3，∴f〔－3〕＝〔－2〕×〔－3〕＋1＝7．答案：73．定义在区间〔－1，1〕上的函数f 〔x 〕满足2f 〔x 〕－f 〔－x 〕＝lg 〔x ＋1〕，则f 〔x 〕的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈〔－1，1〕，有－x ∈〔－1，1〕，由2f 〔x 〕－f 〔－x 〕＝lg 〔x ＋1〕，①由2f 〔－x 〕－f 〔x 〕＝lg 〔－x ＋1〕，②①×2＋②消去f 〔－x 〕，得3f 〔x 〕＝2lg 〔x ＋1〕＋lg 〔－x ＋1〕，∴f〔x 〕＝lg 〔x ＋1〕＋lg 〔1－x 〕，〔－1<x<1〕．答案：f 〔x 〕＝lg 〔x ＋1〕＋lg 〔1－x 〕，〔－1<x<1〕4．设函数y ＝f 〔x 〕满足f 〔x ＋1〕＝f 〔x 〕＋1，则函数y ＝f 〔x 〕与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f 〔x ＋1〕＝f 〔x 〕＋1可得f 〔1〕＝f 〔0〕＋1，f 〔2〕＝f 〔0〕＋2，f 〔3〕＝f 〔0〕＋3，…本题中如果f 〔0〕＝0，那么y ＝f 〔x 〕和y ＝x 有无数个交点；若f 〔0〕≠0，则y ＝f 〔x 〕和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f 〔x 〕＝，若f 〔－4〕＝f 〔0〕，f 〔－2〕＝－2，则f 〔x 〕的解析式为f 〔x 〕＝________，关于x 的方程f 〔x 〕＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ， ∴f〔x 〕＝．由数形结合得f 〔x 〕＝x 的解的个数有3个．答案： 36．设函数f 〔x 〕＝logax 〔a ＞0，a≠1〕，函数g 〔x 〕＝－x2＋bx ＋c ，若f 〔2＋〕－f 〔＋1〕＝，g 〔x 〕的图象过点A 〔4，－5〕及B 〔－2，－5〕，则a ＝__________，函数f[g 〔x 〕]的定义域为__________．答案：2 〔－1，3〕7．〔2009年高考天津卷改编〕设函数f 〔x 〕＝，则不等式f 〔x 〕>f 〔1〕的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f 〔x 〕>f 〔1〕＝3时，令f 〔x 〕＝3， 解得x ＝1，x ＝3．故f 〔x 〕>f 〔1〕的解集为0≤x<1或x>3．当x<0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f 〔x 〕>f 〔1〕＝3，解得－3<x<0或x>3．综上，f 〔x 〕>f 〔1〕的解集为{x|－3<x<1或x>3}．答案：{x|－3<x<1或x>3}8．〔2009年高考山东卷〕定义在R 上的函数f 〔x 〕满足f 〔x 〕＝则f 〔3〕的值为________．解析：∵f 〔3〕＝f 〔2〕－f 〔1〕，又f 〔2〕＝f 〔1〕－f 〔0〕，∴f 〔3〕＝－f 〔0〕，∵f 〔0〕＝log24＝2，∴f 〔3〕＝－2．答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内〔即x≥20〕，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a1升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得，得，则y ＝35－3〔x －20〕，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x≤，又知x≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95〔20≤x≤〕．答案：y ＝－3x ＋95〔20≤x≤〕 10．函数．221316f x a x a x〔1〕若的定义域为R ，求实数的取值范围；〔2〕若的定义域为[－2，1]，求实数的值．解：〔1〕①若1－a2＝0，即a ＝±1，〔ⅰ〕若a ＝1时，f 〔x 〕＝，定义域为R ，符合题意；〔ⅱ〕当a ＝－1时，f 〔x 〕＝，定义域为[－1，＋∞〕，不合题意．②若1－a2≠0，则g 〔x 〕＝〔1－a2〕x2＋3〔1－a 〕x ＋6为二次函数．由题意知g 〔x 〕≥0对x ∈R 恒成立，∴∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a<1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－≤a<1．由①②可得－≤a≤1．〔2〕由题意知，不等式〔1－a2〕x2＋3〔1－a 〕x ＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a2≠0且－2，1是方程〔1－a2〕x2＋3〔1－a 〕x ＋6＝0的两个根． ∴∴∴a ＝2． 11．已知，并且当∈[－1，1]时，，求当时、的解析式．2f x f x x R x 21f x x 21,21x k k k Z f x解：由f 〔x ＋2〕＝f 〔x 〕，可推知f 〔x 〕是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1，2k ＋1]时，2k －1≤x≤2k ＋1，－1≤x －2k≤1．∴f 〔x －2k 〕＝－〔x －2k 〕2＋1．又f 〔x 〕＝f 〔x －2〕＝f 〔x －4〕＝…＝f 〔x －2k 〕，∴f〔x 〕＝－〔x －2k 〕2＋1，x∈[2k－1，2k ＋1]，k∈Z．12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g 〔x 〕，其余工人加工完H 型装置所需时间为h 〔x 〕．〔单位：h ，时间可不为整数〕〔1〕写出g 〔x 〕，h 〔x 〕的解析式；〔2〕写出这216名工人完成总任务的时间f 〔x 〕的解析式；〔3〕应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：〔1〕g 〔x 〕＝〔0<x<216，x ∈N*〕，h 〔x 〕＝〔0<x<216，x ∈N*〕．〔2〕f 〔x 〕＝〔3〕分别为86、130或87、129．第二节 函数的单调性A 组1．〔2009年高考福建卷改编〕下列函数f 〔x 〕中，满足“对任意x1，x2∈〔0，＋∞〕，当时，都有”的是________．①f〔x 〕＝ ②f〔x 〕＝〔x －1〕2 ③f〔x 〕＝ex ④f〔x 〕＝ln 〔x ＋1〕解析：∵对任意的x1，x2∈〔0，＋∞〕，当x1<x2时，都有f 〔x1〕>f 〔x2〕，∴f 〔x 〕在〔0，＋∞〕上为减函数．答案：①2．函数f 〔x 〕〔x ∈R 〕的图象如右图所示，则函数g 〔x 〕＝f 〔logax 〕〔0<a<1〕的单调减区间是________．解析：∵0<a<1，y ＝logax 为减函数，∴logax ∈[0，]时，g 〔x 〕为减函数．由0≤logax≤≤x≤1．答案：[，1]〔或〔，1〕〕 3．函数的值域是________．4154yx x 解析：令x ＝4＋sin2α，α∈[0，]，y ＝sinα＋cosα＝2sin 〔α＋〕，∴1≤y≤2．答案：[1，2]4．已知函数f 〔x 〕＝|ex ＋|〔a ∈R 〕在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a<0，且ex ＋≥0时，只需满足e0＋≥0即可，则－1≤a<0；当a ＝0时，f 〔x 〕＝|e x|＝ex 符合题意；当a>0时，f 〔x 〕＝ex ＋，则满足f′〔x 〕＝ex －≥0在x ∈[0，1]上恒成立．只需满足a≤〔e2x 〕min 成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1．答案：－1≤a≤15．〔原创题〕如果对于函数f 〔x 〕定义域内任意的x ，都有f 〔x 〕≥M 〔M 为常数〕，称M 为f 〔x 〕的下界，下界M 中的最大值叫做f 〔x 〕的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f〔x 〕＝sinx ；②f〔x 〕＝lgx ；③f〔x 〕＝ex ；④f〔x 〕＝解析：∵sinx≥－1，∴f 〔x 〕＝sinx 的下确界为－1，即f 〔x 〕＝sinx 是有下确界的函数；∵f 〔x 〕＝lgx 的值域为〔－∞，＋∞〕，∴f 〔x 〕＝lgx 没有下确界；∴f 〔x 〕＝ex 的值域为〔0，＋∞〕，∴f 〔x 〕＝ex 的下确界为0，即f 〔x 〕＝ex 是有下确界的函数；∵f〔x 〕＝的下确界为－1．∴f〔x 〕＝是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数，．2f x x 1g x x〔1〕若存在x ∈R 使，求实数的取值范围；〔2〕设2，且在[0，1]上单调递增，求实数的取值范围．解：〔1〕x ∈R ，f 〔x 〕<b·g 〔x 〕x ∈R ，x2－bx ＋b<0Δ＝〔－b 〕2－4b>0b<0或b>4．〔2〕F 〔x 〕＝x2－mx ＋1－m2，Δ＝m2－4〔1－m2〕＝5m2－4，①当Δ≤0即－≤m≤时，则必需⎩⎨⎧m 2≤0－255≤m≤255－≤m≤0． ②当Δ>0即m<－或m>时，设方程F 〔x 〕＝0的根为x1，x2〔x1<x2〕，若≥1，则x1≤0． ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F(0)＝1－m2≤0m≥2． 若≤0，则x2≤0，⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F(0)＝1－m2≥0－1≤m<－．综上所述：－1≤m≤0或m≥2．B 组1．〔2010年山东东营模拟〕下列函数中，单调增区间是〔－∞，0]的是________．①y＝－ ②y＝－〔x －1〕 ③y＝x2－2 ④y＝－|x|解析：由函数y ＝－|x|的图象可知其增区间为〔－∞，0]．答案：④2．若函数f 〔x 〕＝log2〔x2－ax ＋3a 〕在区间[2，＋∞〕上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g 〔x 〕＝x2－ax ＋3a ，由题知g 〔x 〕在[2，＋∞〕上是增函数，且g 〔2〕>0． ∴∴－4<a≤4．答案：－4<a≤43．若函数f 〔x 〕＝x ＋〔a>0〕在〔，＋∞〕上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f 〔x 〕＝x ＋〔a>0〕在〔，＋∞〕上为增函数，∴≤，0<a≤．答案：〔0，]4．〔2009年高考陕西卷改编〕定义在R 上的偶函数f 〔x 〕，对任意x1，x2∈[0，＋∞〕〔x1≠x2〕，有<0，则下列结论正确的是________．①f 〔3〕<f 〔－2〕<f 〔1〕 ②f 〔1〕<f 〔－2〕<f 〔3〕③f〔－2〕<f 〔1〕<f 〔3〕 ④f〔3〕<f 〔1〕<f 〔－2〕解析：由已知<0，得f 〔x 〕在x ∈[0，＋∞〕上单调递减，由偶函数性质得f 〔2〕＝f 〔－2〕，即f 〔3〕<f 〔－2〕<f 〔1〕．答案：①5．〔2010年陕西西安模拟〕已知函数f 〔x 〕＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f 〔x 〕为减函数，所以解得0<a≤．6．〔2010年宁夏石嘴山模拟〕函数f 〔x 〕的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为〔1，2〕，点B 的坐标为〔3，0〕，定义函数g 〔x 〕＝f 〔x 〕·〔x －1〕，则函数g 〔x 〕的最大值为________．解析：g 〔x 〕＝当0≤x<1时，最大值为0；当1≤x≤3时，在x ＝2取得最大值1．答案：17．〔2010年安徽合肥模拟〕已知定义域在[－1，1]上的函数y ＝f 〔x 〕的值域为[－2，0]，则函数y ＝f 〔cos 〕的值域是________．解析：∵cos ∈[－1，1]，函数y ＝f 〔x 〕的值域为[－2，0]，∴y ＝f 〔cos 〕的值域为[－2，0]．答案：[－2，0]8．已知f 〔x 〕＝log3x ＋2，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f 〔x 〕]2＋f 〔x2〕的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f 〔x 〕]2＋f 〔x2〕的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤9，1≤x2≤9，∴x∈[1，3]，令log3x ＝t ，t∈[0，1]， ∴y＝〔t ＋2〕2＋2t ＋2＝〔t ＋3〕2－3，∴当t ＝1时，ymax ＝13．答案：139．若函数f 〔x 〕＝loga 〔2x2＋x 〕〔a>0，a≠1〕在区间〔0，〕内恒有f 〔x 〕>0，则f 〔x 〕的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x2＋x ，当x ∈〔0，〕时，μ∈〔0，1〕，而此时f 〔x 〕>0恒成立，∴0<a <1．μ＝2〔x ＋〕2－，则减区间为〔－∞，－〕．而必然有2x2＋x>0，即x>0或x<－．∴f 〔x 〕的单调递增区间为〔－∞，－〕．答案：〔－∞，－〕10．试讨论函数y ＝2〔logx 〕2－2logx ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为〔0，＋∞〕．如果令u ＝g 〔x 〕＝logx ，y ＝f 〔u 〕＝2u2－2u ＋1，那么原函数y ＝f[g 〔x 〕]是由g 〔x 〕与f 〔u 〕复合而成的复合函数，而u ＝logx 在x ∈〔0，＋∞〕内是减函数，y ＝2u2－2u ＋1＝2〔u －〕2＋在u ∈〔－∞，〕上是减函数，在u ∈〔，＋∞〕上是增函数．又u≤，即logx≤，得x≥；u>，得0<x<．由此，从下表讨论复合函数y ＝f[g故函数y ．11．〔2010年广西河池模拟〕已知定义在区间〔0，＋∞〕上的函数f 〔x 〕满足f 〔〕＝f 〔x 1〕－f 〔x2〕，且当x>1时，f 〔x 〕<0．〔1〕求f 〔1〕的值；〔2〕判断f 〔x 〕的单调性；〔3〕若f 〔3〕＝－1，解不等式f 〔|x |〕<－2．解：〔1〕令x1＝x2>0，代入得f 〔1〕＝f 〔x1〕－f 〔x1〕＝0，故f 〔1〕＝0．〔2〕任取x1，x2∈〔0，＋∞〕，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f 〔x 〕<0，所以f 〔〕<0，即f 〔x1〕－f 〔x2〕<0，因此f 〔x1〕<f 〔x2〕，所以函数f 〔x 〕在区间〔0，＋∞〕上是单调递减函数．〔3〕由f〔〕＝f〔x1〕－f〔x2〕得f〔〕＝f〔9〕－f〔3〕，而f〔3〕＝－1，所以f〔9〕＝－2．由于函数f〔x〕在区间〔0，＋∞〕上是单调递减函数，由f〔|x|〕<f〔9〕，得|x|>9，∴x>9或x<－9．因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．12．已知：f〔x〕＝log3，x∈〔0，＋∞〕，是否存在实数a，b，使f〔x〕同时满足下列三个条件：〔1〕在〔0，1]上是减函数，〔2〕在[1，＋∞〕上是增函数，〔3〕f〔x〕的最小值是1．若存在，求出a、b；若不存在，说明理由．解：∵f〔x〕在〔0，1]上是减函数，[1，＋∞〕上是增函数，∴x＝1时，f〔x〕最小，log3＝1．即a＋b＝2．设0＜x1＜x2≤1，则f〔x1〕＞f〔x2〕．即＞恒成立．由此得＞0恒成立．又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1．设1≤x3＜x4，则f〔x3〕＜f〔x4〕恒成立．∴＜0恒成立．∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1．由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a ＝1．∴存在a、b，使f〔x〕同时满足三个条件．第三节函数的性质A组1．设偶函数f〔x〕＝loga|x－b|在〔－∞，0〕上单调递增，则f〔a＋1〕与f〔b＋2〕的大小关系为________．解析：由f〔x〕为偶函数，知b＝0，∴f〔x〕＝loga|x|，又f〔x〕在〔－∞，0〕上单调递增，所以0<a<1，1<a＋1<2，则f〔x〕在〔0，＋∞〕上单调递减，所以f〔a＋1〕>f〔b＋2〕．答案：f〔a＋1〕>f〔b＋2〕2．〔2010年广东三校模拟〕定义在R上的函数f〔x〕既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f〔1〕＋f〔4〕＋f〔7〕等于________．解析：f〔x〕为奇函数，且x∈R，所以f〔0〕＝0，由周期为2可知，f〔4〕＝0，f〔7〕＝f〔1〕，又由f〔x＋2〕＝f〔x〕，令x＝－1得f〔1〕＝f〔－1〕＝－f〔1〕⇒f〔1〕＝0，所以f〔1〕＋f〔4〕＋f〔7〕＝0．答案：03．〔2009年高考山东卷改编〕已知定义在R上的奇函数f〔x〕满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，且在区间[0，2]上是增函数，则f〔－25〕、f〔11〕、f〔80〕的大小关系为________．解析：因为f〔x〕满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，所以f〔x－8〕＝f〔x〕，所以函数是以8为周期的周期函数，则f〔－25〕＝f〔－1〕，f〔80〕＝f〔0〕，f〔11〕＝f〔3〕，又因为f〔x〕在R上是奇函数，f〔0〕＝0，得f〔80〕＝f〔0〕＝0，f〔－25〕＝f〔－1〕＝－f 〔1〕，而由f〔x－4〕＝－f〔x〕得f〔11〕＝f〔3〕＝－f〔－3〕＝－f〔1－4〕＝f〔1〕，又因为f〔x〕在区间[0，2]上是增函数，所以f〔1〕>f〔0〕＝0，所以－f〔1〕<0，即f〔－25〕<f〔80〕<f〔11〕．答案：f〔－25〕<f〔80〕<f〔11〕4．〔2009年高考辽宁卷改编〕已知偶函数f〔x〕在区间[0，＋∞〕上单调增加，则满足f〔2x－1〕<f〔〕的x取值范围是________．解析：由于f〔x〕是偶函数，故f〔x〕＝f〔|x|〕，由f〔|2x－1|〕<f〔〕，再根据f〔x 〕的单调性得|2x－1|<，解得<x<．答案：〔，〕5．〔原创题〕已知定义在R上的函数f〔x〕是偶函数，对x∈R，f〔2＋x〕＝f〔2－x〕，当f〔－3〕＝－2时，f〔2011〕的值为________．解析：因为定义在R上的函数f〔x〕是偶函数，所以f〔2＋x〕＝f〔2－x〕＝f〔x－2〕，故函数f〔x〕是以4为周期的函数，所以f〔2011〕＝f〔3＋502×4〕＝f〔3〕＝f〔－3〕＝－2．答案：－26．已知函数y＝f〔x〕是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f〔x〕〔－1≤x≤1〕是奇函数，又知y＝f〔x〕在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5．〔1〕证明：f〔1〕＋f〔4〕＝0；〔2〕求y＝f〔x〕，x∈[1，4]的解析式；〔3〕求y＝f〔x〕在[4，9]上的解析式．解：〔1〕证明：∵f〔x〕是以5为周期的周期函数，∴f〔4〕＝f〔4－5〕＝f〔－1〕，又∵y＝f〔x〕〔－1≤x≤1〕是奇函数，∴f〔1〕＝－f〔－1〕＝－f〔4〕，∴f〔1〕＋f〔4〕＝0．〔2〕当x∈[1，4]时，由题意可设f〔x〕＝a〔x－2〕2－5〔a>0〕，由f〔1〕＋f〔4〕＝0，得a〔1－2〕2－5＋a〔4－2〕2－5＝0，∴a＝2，∴f〔x〕＝2〔x－2〕2－5〔1≤x≤4〕．〔3〕∵y＝f〔x〕〔－1≤x≤1〕是奇函数，∴f〔0〕＝0，又知y＝f〔x〕在[0，1]上是一次函数，∴可设f〔x〕＝kx〔0≤x≤1〕，而f〔1〕＝2〔1－2〕2－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤x≤1时，f〔x〕＝－3x，从而当－1≤x<0时，f〔x〕＝－f〔－x〕＝－3x，故－1≤x≤1时，f〔x〕＝－3x．∴当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴f〔x〕＝f〔x－5〕＝－3〔x－5〕＝－3x＋15．当6<x≤9时，1<x－5≤4，∴f〔x〕＝f〔x－5〕＝2[〔x－5〕－2]2－5＝2〔x－7〕2－5．∴f〔x〕＝．B组1．〔2009年高考全国卷Ⅰ改编〕函数f〔x〕的定义域为R，若f〔x＋1〕与f〔x－1〕都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f〔x〕是偶函数②f〔x〕是奇函数③f〔x〕＝f〔x＋2〕④f〔x＋3〕是奇函数解析：∵f〔x＋1〕与f〔x－1〕都是奇函数，∴f〔－x＋1〕＝－f〔x＋1〕，f〔－x－1〕＝－f〔x－1〕，∴函数f〔x〕关于点〔1，0〕，及点〔－1，0〕对称，函数f〔x〕是周期T＝2[1－〔－1〕]＝4的周期函数．∴f〔－x－1＋4〕＝－f〔x－1＋4〕，f〔－x＋3〕＝－f〔x＋3〕，即f〔x＋3〕是奇函数．答案：④2．已知定义在R上的函数f〔x〕满足f〔x〕＝－f〔x＋〕，且f〔－2〕＝f〔－1〕＝－1，f 〔0〕＝2，f〔1〕＋f〔2〕＋…＋f〔2009〕＋f〔2010〕＝________．解析：f〔x〕＝－f〔x＋〕⇒f〔x＋3〕＝f〔x〕，即周期为3，由f〔－2〕＝f〔－1〕＝－1，f〔0〕＝2，所以f〔1〕＝－1，f〔2〕＝－1，f〔3〕＝2，所以f〔1〕＋f〔2〕＋…＋f〔2009〕＋f〔2010〕＝f〔2008〕＋f〔2009〕＋f〔2010〕＝f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＝0．答案：03．〔2010年浙江台州模拟〕已知f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔1〕＝1，若将f〔x〕的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＋…＋f 〔2010〕＝________．解析：f〔x〕是定义在R上的奇函数，所以f〔－x〕＝－f〔x〕，将f〔x〕的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f〔－2＋x〕＝－f〔x〕，即f〔x＋2〕＝－f〔x〕，所以周期为4，f〔1〕＝1，f〔2〕＝f〔0〕＝0，f〔3〕＝－f〔1〕＝－1，f〔4〕＝0，所以f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＋f〔4〕＝0，则f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＋…＋f〔20 10〕＝f〔4〕×502＋f〔2〕＝0．答案：04．〔2010年湖南郴州质检〕已知函数f〔x〕是R上的偶函数，且在〔0，＋∞〕上有f′〔x〕>0，若f〔－1〕＝0，那么关于x的不等式xf〔x〕<0的解集是________．解析：在〔0，＋∞〕上有f′〔x〕>0，则在〔0，＋∞〕上f〔x〕是增函数，在〔－∞，0〕上是减函数，又f〔x〕在R上是偶函数，且f〔－1〕＝0，∴f〔1〕＝0．从而可知x∈〔－∞，－1〕时，f〔x〕>0；x∈〔－1，0〕时，f〔x〕<0；x∈〔0，1〕时，f〔x〕<0；x∈〔1，＋∞〕时，f〔x〕>0．∴不等式的解集为〔－∞，－1〕∪〔0，1〕答案：〔－∞，－1〕∪〔0，1〕．5．〔2009年高考江西卷改编〕已知函数f〔x〕是〔－∞，＋∞〕上的偶函数，若对于x≥0，都有f〔x＋2〕＝f〔x〕，且当x∈[0，2〕时，f〔x〕＝log2〔x＋1〕，则f〔－2009〕＋f〔2010〕的值为________．解析：∵f〔x〕是偶函数，∴f〔－2009〕＝f〔2009〕．∵f〔x〕在x≥0时f〔x＋2〕＝f 〔x〕，∴f〔x〕周期为2．∴f〔－2009〕＋f〔2010〕＝f〔2009〕＋f〔2010〕＝f〔1〕＋f 〔0〕＝log22＋log21＝0＋1＝1．答案：16．〔2010年江苏苏州模拟〕已知函数f〔x〕是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f 〔x＋2〕＝－，若当2<x<3时，f〔x〕＝x，则f〔2009．5〕＝________．解析：由f〔x＋2〕＝－，可得f〔x＋4〕＝f〔x〕，f〔2009．5〕＝f〔502×4＋1．5〕＝f〔1．5〕＝f〔－2．5〕∵f〔x〕是偶函数，∴f〔2009．5〕＝f〔2．5〕＝．答案：7．〔2010年安徽黄山质检〕定义在R上的函数f〔x〕在〔－∞，a]上是增函数，函数y＝f〔x＋a〕是偶函数，当x1<a，x2>a，且|x1－a|<|x2－a|时，则f〔2a－x1〕与f〔x2〕的大小关系为________．解析：∵y＝f〔x＋a〕为偶函数，∴y＝f〔x＋a〕的图象关于y轴对称，∴y＝f〔x〕的图象关于x＝a对称．又∵f〔x〕在〔－∞，a]上是增函数，∴f〔x〕在[a，＋∞〕上是减函数．当x1<a，x2>a，且|x1－a|<|x2－a|时，有a－x1<x2－a，即a<2a－x1<x2，∴f〔2a－x1〕>f〔x2〕．答案：f〔2a－x1〕>f〔x2〕8．已知函数f〔x〕为R上的奇函数，当x≥0时，f〔x〕＝x〔x＋1〕．若f〔a〕＝－2，则实数a＝________．解析：当x≥0时，f〔x〕＝x〔x＋1〕>0，由f〔x〕为奇函数知x<0时，f〔x〕<0，∴a< 0，f〔－a〕＝2，∴－a〔－a＋1〕＝2，∴a＝2〔舍〕或a＝－1．答案：－19．〔2009年高考山东卷〕已知定义在R上的奇函数f〔x〕满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f〔x〕＝m〔m＞0〕在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．解析：因为定义在R上的奇函数，满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，所以f〔4－x〕＝f〔x〕，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f〔0〕＝0．由f〔x－4〕＝－f〔x〕知f〔x－8〕＝f 〔x〕，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f〔x〕在区间[0，2]上是增函数，所以f 〔x〕在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f〔x〕＝m〔m＞0〕在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4．由对称性知x1＋x2＝－1 2，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8．答案：-810．已知f〔x〕是R上的奇函数，且当x∈〔－∞，0〕时，f〔x〕＝－xlg〔2－x〕，求f〔x 〕的解析式．解：∵f〔x〕是奇函数，可得f〔0〕＝－f〔0〕，∴f〔0〕＝0．当x>0时，－x<0，由已知f〔－x〕＝xlg〔2＋x〕，∴－f〔x〕＝xlg〔2＋x〕，即f〔x〕＝－xlg〔2＋x〕〔x>0〕．∴f〔x〕＝即f〔x〕＝－xlg〔2＋|x|〕〔x∈R〕．11．已知函数f〔x〕，当x，y∈R时，恒有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕．〔1〕求证：f〔x〕是奇函数；〔2〕如果x∈R＋，f〔x〕<0，并且f〔1〕＝－，试求f〔x〕在区间[－2，6]上的最值．解：〔1〕证明：∴函数定义域为R，其定义域关于原点对称．∵f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕，令y＝－x，∴f〔0〕＝f〔x〕＋f〔－x〕．令x＝y＝0，∴f〔0〕＝f〔0〕＋f〔0〕，得f〔0〕＝0．∴f〔x〕＋f〔－x〕＝0，得f〔－x〕＝－f〔x〕，∴f〔x〕为奇函数．〔2〕法一：设x，y∈R＋，∵f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕，∴f〔x＋y〕－f〔x〕＝f 〔y〕．∵x∈R＋，f〔x〕<0，∴f〔x＋y〕－f〔x〕<0，∴f〔x＋y〕<f〔x〕．∵x＋y>x，∴f 〔x〕在〔0，＋∞〕上是减函数．又∵f〔x〕为奇函数，f〔0〕＝0，∴f〔x〕在〔－∞，＋∞〕上是减函数．∴f〔－2〕为最大值，f〔6〕为最小值．∵f〔1〕＝－，∴f〔－2〕＝－f〔2〕＝－2f〔1〕＝1，f〔6〕＝2f〔3〕＝2[f〔1〕＋f〔2〕]＝－3．∴所求f〔x〕在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．法二：设x1<x2，且x1，x2∈R．则f〔x2－x1〕＝f[x2＋〔－x1〕]＝f〔x2〕＋f〔－x1〕＝f〔x2〕－f〔x1〕．∵x2－x1>0，∴f〔x2－x1〕<0．∴f〔x2〕－f〔x1〕<0．即f〔x〕在R上单调递减．∴f〔－2〕为最大值，f〔6〕为最小值．∵f〔1〕＝－，∴f〔－2〕＝－f〔2〕＝－2f〔1〕＝1，f〔6〕＝2f〔3〕＝2[f〔1〕＋f〔2〕]＝－3．∴所求f〔x〕在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．12．已知函数f〔x〕的定义域为R，且满足f〔x＋2〕＝－f〔x〕．〔1〕求证：f〔x〕是周期函数；〔2〕若f〔x〕为奇函数，且当0≤x≤1时，f〔x〕＝x，求使f〔x〕＝－在[0，2010]上的所有x的个数．解：〔1〕证明：∵f〔x＋2〕＝－f〔x〕，∴f〔x＋4〕＝－f〔x＋2〕＝－[－f〔x〕]＝f〔x〕，∴f〔x〕是以4为周期的周期函数．〔2〕当0≤x≤1时，f〔x〕＝x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f〔－x〕＝〔－x〕＝－x．∵f〔x〕是奇函数，∴f〔－x〕＝－f〔x〕，∴－f〔x〕＝－x，即f〔x〕＝x．故f〔x〕＝x〔－1≤x≤1〕又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f〔x－2〕＝〔x－2〕，又∵f〔x－2〕＝－f〔2－x〕＝－f[〔－x〕＋2]＝－[－f〔－x〕]＝－f〔x〕，∴－f〔x〕＝〔x－2〕，∴f〔x〕＝－〔x－2〕〔1<x<3〕．∴f〔x〕＝由f〔x〕＝－，解得x＝－1．∵f〔x〕是以4为周期的周期函数．故f〔x〕＝－的所有x ＝4n－1〔n∈Z〕．令0≤4n－1≤2010，则≤n≤502，又∵n∈Z，∴1≤n≤502〔n∈Z〕，∴在[0，2010]上共有502个x使f〔x〕＝－．第三章指数函数和对数函数第一节指数函数A组1．〔2010年黑龙江哈尔滨模拟〕若a>1，b<0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值等于_____ ___．解析：∵a>1，b<0，∴0<ab<1，a－b>1．又∵〔ab＋a－b〕2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴〔ab－a－b〕2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2．答案：－2 2．已知f〔x〕＝ax＋b的图象如图所示，则f〔3〕＝________．解析：由图象知f〔0〕＝1＋b＝－2，∴b＝－3．又f〔2〕＝a2－3＝0，∴a＝，则f〔3〕＝〔〕3－3＝3－3．答案：3－33．函数y＝〔〕2x－x2的值域是________．解析：∵2x－x2＝－〔x－1〕2＋1≤1，∴〔〕2x－x2≥．答案：[，＋∞〕4．〔2009年高考山东卷〕若函数f〔x〕＝ax－x－a〔a>0，且a≠1〕有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f〔x〕的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0<a<1时两函数图象有惟一交点，故a>1．答案：〔1，+∞〕5．〔原创题〕若函数f〔x〕＝ax－1〔a>0，a≠1〕的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于________．解析：由题意知无解或⇒a＝．答案： 36．已知定义域为R的函数f〔x〕＝是奇函数．〔1〕求a，b的值；〔2〕若对任意的t∈R，不等式f〔t2－2t〕＋f〔2t2－k〕<0恒成立，求k的取值范围．解：〔1〕因为f〔x〕是R上的奇函数，所以f〔0〕＝0，即＝0，解得b＝1．从而有f〔x〕＝．又由f〔1〕＝－f〔－1〕知＝－，解得a＝2．〔2〕法一：由〔1〕知f〔x〕＝＝－＋，由上式易知f〔x〕在R上为减函数，又因f〔x〕是奇函数，从而不等式f〔t2－2t〕＋f〔2t2－k〕<0⇔f〔t2－2t〕<－f〔2t2－k〕＝f〔－2t2＋k〕．因f〔x〕是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k．即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－．法二：由〔1〕知f〔x〕＝，又由题设条件得＋<0即〔22t2－k＋1＋2〕〔－2t2－2t＋1〕＋〔2t2－2t＋1＋2〕〔－22t2－k＋1〕<0整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－．B组1．如果函数f〔x〕＝ax＋b－1〔a>0且a≠1〕的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a<1且b>0 ②0<a<1且0<b<1 ③a>1且b<0 ④a>1且b>0解析：当0<a<1时，把指数函数f〔x〕＝ax的图象向下平移，观察可知－1<b－1<0，即0<b<1．答案：②2．〔2010年保定模拟〕若f〔x〕＝－x2＋2ax与g〔x〕＝〔a＋1〕1－x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是________．解析：f〔x〕＝－x2＋2ax＝－〔x－a〕2＋a2，所以f〔x〕在[a，＋∞〕上为减函数，又f〔x〕，g〔x〕都在[1，2]上为减函数，所以需⇒0<a≤1．答案：〔0，1]3．已知f〔x〕，g〔x〕都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f〔x〕＝ax·g〔x〕〔a>0，a≠1〕；②g〔x〕≠0；若＋＝，则a等于________．解析：由f〔x〕＝ax·g〔x〕得＝ax，所以＋＝⇒a＋a－1＝，解得a＝2或．答案：2或4．〔2010年北京朝阳模拟〕已知函数f〔x〕＝ax〔a>0且a≠1〕，其反函数为f－1〔x〕．若f〔2〕＝9，则f－1〔〕＋f〔1〕的值是________．解析：因为f〔2〕＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，则f〔x〕＝3x＝，∴x＝－1，故f－1〔〕＝－1．又f〔1〕＝3，所以f－1〔〕＋f〔1〕＝2．答案：25．〔2010年山东青岛质检〕已知f〔x〕＝〔〕x，若f〔x〕的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g〔x〕，则g〔x〕的表达式为________．解析：设y＝g〔x〕上任意一点P〔x，y〕，P〔x，y〕关于x＝1的对称点P′〔2－x，y 〕在f〔x〕＝〔〕x上，∴y＝〔〕2－x＝3x－2．答案：y＝3x－2〔x∈R〕6．〔2009年高考山东卷改编〕函数y＝的图象大致为________．解析：∵f〔－x〕＝＝－＝－f〔x〕，∴f〔x〕为奇函数，排除④．又∵y＝＝＝＝1＋在〔－∞，0〕、〔0，＋∞〕上都是减函数，排除②、③．答案：①7．〔2009年高考辽宁卷改编〕已知函数f〔x〕满足：当x≥4时，f〔x〕＝〔〕x；当x<4时，f〔x〕＝f〔x＋1〕，则f〔2＋log23〕＝________．解析：∵2<3<4＝22，∴1<log23<2．∴3<2＋log23<4，∴f〔2＋log23〕＝f〔3＋log23〕＝f〔log224〕＝〔〕log224＝2－log224＝2log2＝．答案：8．〔2009年高考湖南卷改编〕设函数y＝f〔x〕在〔－∞，＋∞〕内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK〔x〕＝取函数f〔x〕＝2－|x|，当K＝时，函数fK〔x〕的单调递增区间为________．解析：由f〔x〕＝2－|x|≤得x≥1或x≤－1，∴fK〔x〕＝则单调增区间为〔－∞，－1]．答案：〔－∞，－1]9．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b＝g〔a〕的图象可以是________．解析：函数y＝2|x|的图象如图．当a＝－4时，0≤b≤4，当b＝4时，－4≤a≤0，答案：②10．〔2010年宁夏银川模拟〕已知函数f〔x〕＝a2x＋2ax－1〔a>0，且a≠1〕在区间[－1，1 ]上的最大值为14，求实数a的值．解：f〔x〕＝a2x＋2ax－1＝〔ax＋1〕2－2，∵x∈[－1，1]，〔1〕当0<a<1时，a≤ax≤，∴当ax＝时，f〔x〕取得最大值．∴〔＋1〕2－2＝14，∴＝3，∴a＝．〔2〕当a>1时，≤ax≤a，∴当ax＝a时，f〔x〕取得最大值．∴〔a＋1〕2－2＝14，∴a＝3．综上可知，实数a的值为或3．11．已知函数f〔x〕＝．〔1〕求证：f〔x〕的图象关于点M〔a，－1〕对称；〔2〕若f〔x〕≥－2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．解：〔1〕证明：设f〔x〕的图象C上任一点为P〔x，y〕，则y＝－，P〔x，y〕关于点M〔a，－1〕的对称点为P′〔2a－x，－2－y〕．∴－2－y＝－2＋＝＝＝，说明点P′〔2a－x，－2－y〕也在函数y＝的图象上，由点P的任意性知，f〔x〕的图象关于点M〔a，－1〕对称．〔2〕由f〔x〕≥－2x得≥－2x，则≤2x，化为2x－a·2x＋2x－2≥0，则有〔2x〕2＋2a·2x －2·2a≥0在x≥a上恒成立．令g〔t〕＝t2＋2a·t－2·2a，则有g〔t〕≥0在t≥2a上恒成立．∵g〔t〕的对称轴在t＝0的左侧，∴g〔t〕在t≥2a上为增函数．∴g〔2a〕≥0．∴〔2a〕2＋〔2a〕2－2·2a≥0，∴2a〔2a－1〕≥0，则a≥0．即实数a 的取值范围为a≥0．12．〔2008年高考江苏〕若f1〔x〕＝3|x－p1|，f2〔x〕＝2·3|x－p2|，x∈R，p1、p2为常数，且f〔x〕＝〔1〕求f〔x〕＝f1〔x〕对所有实数x成立的充要条件〔用p1、p2表示〕；〔2〕设a，b是两个实数，满足a<b，且p1、p2∈〔a，b〕．若f〔a〕＝f〔b〕，求证：函数f〔x〕在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为〔闭区间[m，n]的长度定义为n－m〕．解：〔1〕f〔x〕＝f1〔x〕恒成立⇔f1〔x〕≤f2〔x〕⇔3|x－p1|≤2·3|x－p2|⇔3|x－p1|－|x －p2|≤2⇔|x－p1|－|x－p2|≤log32．〔*〕若p1＝p2，则〔*〕⇔0≤log32，显然成立；若p1≠p2，记g〔x〕＝|x－p1|－|x－p2|，当p1>p2时，g〔x〕＝所以g〔x〕max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32．当p1<p2时，g〔x〕＝所以g〔x〕max＝p2－p1，故只需p2－p1≤log32．综上所述，f〔x〕＝f1〔x〕对所有实数x成立的充要条件是|p1－p2|≤log32．〔2〕证明：分两种情形讨论．①当|p1－p2|≤log32时，由〔1〕知f〔x〕＝f1〔x〕〔对所有实数x∈[a，b]〕，则由f〔a〕＝f〔b〕及a<p1<b易知p1＝．再由f1〔x〕＝的单调性可知，f〔x〕在区间[a，b]上的单调增区间的长度为b－＝．②当|p1－p2|>log32时，不妨设p1<p2，则p2－p1>log32．于是，当x≤p1时，有f1〔x〕＝3p1－x<3p2－x<f2〔x〕，从而f〔x〕＝f1〔x〕．当x≥p2时，f1〔x〕＝3x－p1＝3p2－p1·3x－p2>3log32·3x－p2＝f2〔x〕，从而f〔x〕＝f2〔x〕．当p1<x<p2时，f1〔x〕＝3x－p1及f2〔x〕＝2·3p2－x，由方程3x0－p1＝2·3p2－x0，解得f1〔x〕与f2〔x〕图象交点的横坐标为x0＝＋log32．①显然p1<x0＝p2－[〔p2－p1〕－log32]<p2，这表明x0在p1与p2之间．由①易知f〔x〕＝综上可知，在区间[a，b]上，f〔x〕＝故由函数f1〔x〕与f2〔x〕的单调性可知，f〔x〕在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为〔x0－p1〕＋〔b－p2〕，由于f〔a〕＝f〔b〕，即3p1－a＝2·3b－p2，得p1＋p2＝a＋b＋log32．②故由①②得〔x0－p1〕＋〔b－p2〕＝b－〔p1＋p2－log32〕＝．综合①、②可知，f〔x〕在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为．第二节对数函数A组1．〔2009年高考广东卷改编〕若函数y＝f〔x〕是函数y＝ax〔a>0，且a≠1〕的反函数，其图象经过点〔，a〕，则f〔x〕＝________．解析：由题意f〔x〕＝logax，∴a＝logaa＝，∴f〔x〕＝logx．答案：logx2．〔2009年高考全国卷Ⅱ〕设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a、b、c的大小关系是____ ____．解析：a＝log3π>1，b＝log2＝log23∈〔，1〕，c＝log3＝log32∈〔0，〕，故有a>b>c ．答案：a>b>c3．若函数f〔x〕＝，则f〔log43〕＝________．解析：0<log43<1，∴f〔log43〕＝4log43＝3．答案：34．如图所示，若函数f〔x〕＝ax－1的图象经过点〔4，2〕，则函数g〔x〕＝loga的图象是________．解析：由已知将点〔4，2〕代入y＝ax－1，∴2＝a4－1，即a＝2>1．又是单调递减的，故g〔x〕递减且过〔0，0〕点，∴④正确．答案：④5．〔原创题〕已知函数f〔x〕＝alog2x＋blog3x＋2，且f〔〕＝4，则f〔2010〕的值为_．解析：设F〔x〕＝f〔x〕－2，即F〔x〕＝alog2x＋blog3x，则F〔〕＝alog2＋blog3＝－〔alog2x＋blog3x〕＝－F〔x〕，∴F〔2010〕＝－F〔〕＝－[f〔〕－2]＝－2，即f〔2010〕－2＝－2，故f〔2010〕＝0．答案：06．若f〔x〕＝x2－x＋b，且f〔log2a〕＝b，log2f〔a〕＝2〔a>0且a≠1〕．〔1〕求f〔log2x 〕的最小值及相应x的值；〔2〕若f〔log2x〕>f〔1〕且log2f〔x〕<f〔1〕，求x的取值范围．。

广州市高考数学（文科）一轮复习测试题
本试卷分第卷和第卷两部分，第卷第至第页，第卷第至第页，共分．考试时间长分钟．
第Ⅰ卷（选择题共分）
一、选择题（共小题，每小题分，共分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
．已知集合，，则
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】因为，所以，选.
．在复平面内，复数对应的点位于
（）第一象限（）第二象限（）第三象限（）第四象限
【答案】
【.解析】,，对应的点的坐标为，所以在第二象限，选.
．已知圆的方程为，则圆心坐标为
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】圆的标准方程为，所以圆心坐标为，选.
．设函数则
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】，所以，选.
．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为，所以该几何体的体积为，选.
．执行如图所示的程序框图，输出的值为
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】由程序框图可知，当时，满足条件，即，所以该程序是求
的程序，所以，选.。

课时规范练49 算法初步基础巩固组1.(黑龙江齐齐哈尔二模)执行如图所示的程序框图,若输出的y值是2,则输入的x值是( )A.14B.-1 C.4 D.-122.已知[x]表示不超过x的最大整数.执行如图所示的程序框图,若输入x 的值为2.4,则输出z的值为( )(第2题图)A.1.2B.0.6C.0.4D.-0.43.如图是计算1+13+15+…+131的值的程序框图,则图中①②处可以填写的语句分别是( )(第3题图)A.n=n+2,i>16?B.n=n+2,i≥16?C.n=n+1,i>16?D.n=n+1,i≥16?4.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法,其算法的程序框图如图所示,若输入的a0,a1,a2,…,a n分别为0,1,2,…,n.若n=5,根据该算法计算当x=2时多项式的值,则输出的结果为( )A.248B.258C.268D.2785.(安徽合肥二模)考拉兹猜想是由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出,其内容是:任意正整数s,如果s是奇数就乘3加1,如果s是偶数就除以2,如此循环,最终都能够得到1.下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程.若输入s的值为5,则输出i的值为( )(第5题图)A.3B.4C.5D.66.(陕西宝鸡二模)庄子说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”这句话描述的是一个数列问题,现用程序框图描述,如图所示,若输入某个正整数n后,输出的S∈3132,127128,则输入的n的值为( )(第6题图)A.7B.6C.5D.4综合提升组7.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的语句是( ),i=2iA.i<7,s=s-1i,i=2iB.i≤7,s=s-1i,i=i+1C.i<7,s=s2,i=i+1D.i≤7,s=s28.(陕西西安交大附中模拟)运行如图所示程序后,输出的结果为( )A.15B.17C.19D.219.根据某校10位高一同学的身高(单位:cm)画出的茎叶图(图1),其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字,右边的数字表示学生身高的个位数字,设计一个程序框图(图2),用A i(i=1,2, (10)表示第i个同学的身高,计算这些同学身高的方差,则程序框图①中要补充的语句是( )图1图2A.B=B+A iB.B=B+A i2C.B=(B+A i-A)2D.B=B2+A i210.执行如图所示的程序框图,若输入的m,n分别为385,105(图中“m MOD n”表示m除以n的余数),则输出的m= .(第10题图)创新应用组11.(河南开封二模)若[x]表示不超过x的最大整数,例如[0.3]=0,[1.5]=1,则如图中的程序框图运行之后输出的结果为( )(第11题图)A.102B.684C.696D.708参考答案课时规范练49 算法初步1.A 由题意得y={log 12x ,x ≤2,(12) x ,x >2,当x≤2时,lo g 12x=2,解得x=14;当x>2时,12x=2,解得x=-1(舍去).∴x=14.故选A.2.D 执行该程序框图,输入x=2.4,y=2.4,x=[2.4]-1=1,满足x≥0,x=1.2,y=1.2,x=[1.2]-1=0,满足x≥0,x=0.6,y=0.6,x=[0.6]-1=-1,不满足x≥0,终止循环,z=-1+0.6=-0.4,输出z 的值为-0.4. 3.A 式子1+13+15+…+131中所有项的分母构成公差为2的等差数列1,3,5,…,31,则①处填n=n+2.令31=1+(k-1)×2,k=16,共16项,而1到129共15项,需执行最后一次循环,此时i=16,所以②中应填“i>16?”.故选A.4.B 该程序框图是计算多项式f(x)=5x 5+4x 4+3x 3+2x 2+x 当x=2时的值,f(2)=258,故选B.5.C 第一次循环,12s=52∈Z 不成立,则s=3×5+1=16,i=0+1=1,s=1不成立;第二次循环,12s=8∈Z 成立,则s=12×16=8,i=1+1=2,s=1不成立;第三次循环,12s=4∈Z 成立,则s=12×8=4,i=2+1=3,s=1不成立;第四次循环,12s=2∈Z成立,则s=12×4=2,i=3+1=4,s=1不成立;第五次循环,12s=1∈Z 成立,则s=12×2=1,i=4+1=5,s=1成立.跳出循环体,输出i=5.故选C.6.C 第一次循环,S=12,k=0+1=1,1>n 不成立,第二次循环,S=12+12×12=34,k=1+1=2,2>n 不成立;第三次循环,S=12+12×34=78,k=2+1=3,3>n 不成立;第四次循环,S=12+12×78=1516,k=3+1=4,4>n 不成立;第五次循环,S=12+12×1516=3132,k=4+1=5,5>n 不成立;第六次循环,S=12+12×3132=6364∈3132,127128,k=6,6>n 成立,跳出循环体,所以5≤n<6,因此,输入n 的值为5.故选C. 7.D 由题意可知第一天后剩下12,第二天后剩下122……由此得出第7天后剩下127,结合选项分析得,①应为i≤7,②应为s=s2,③应为i=i+1,故选D.8.B 运行如图所示程序,如下:i=1,执行循环体,i=3,S=2×3+3=9,i=5,S=2×5+3=13,i=7,S=2×7+3=17, i=9>8,此时退出循环,输出S 的值为17.故选B. 9.B 由s 2=(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2n=x 12+x 22+…+x n 2-2(x 1+x 2+…+x n )x+nx 2n=x 12+x 22+…+x n 2-2nx 2+nx 2n=x 12+x 22+…+x n 2n−x 2,循环退出时i=11,知x 2=(A i -1)2.所以B=A 12+A 22+…+A 102,故程序框图①中要补充的语句是B=B+A i 2.故选B.10.35 执行程序框图,可得m=385,n=105,r=70,m=105,n=70,不满足条件r=0;r=35,m=70,n=35,不满足条件r=0;r=0,m=35,n=0,满足条件r=0,退出循环,输出的m值为35.11.C [x]表示不超过x的最大整数,所以该程序框图运行后输出的结果是S=010+110+210+…+12210,共123项相加.从010到910共10项,均为0,1010到1910共10项,均为1,2010到2910共10项,均为2,…,11010到11910共10项,均为11,12010到12210共3项,均为12,所以S=10×(1+2+3+…+11)+12×3=10×11×(1+11)2+36=696.故选C.第11页共11页。

第十五章统计第1讲随机抽样1． (2013 年湖南 )某学校有男、女学生各好方面能否存在明显差别，拟从全体学生中抽取是 ()500 名．为认识男女学生在学习兴趣与业余爱100 名学生进行检查，则宜采纳的抽样方法A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法2．用系统抽样法(按等距离的规则)，要从 160 名学生中抽取容量为20 的样本，将160名学生从1～ 160 编号．按编号次序均匀分红20 组 (1～ 8 号， 9～ 16 号，， 153～ 160 号 )，若第 16 组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确立的号码是() A． 7B．5C．4D． 33． (2012 年四川 )交通管理部门为认识灵活车驾驶员(简称驾驶员 )对某新法例的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样检查．假定四个社区驾驶员的总人数为N，此中甲社区有驾驶员96 人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A． 101 B ． 808C． 1212D． 20124．为认识参加一次知识比赛的3204 名学生的成绩，决定采纳系统抽样的方法抽取一个容量为 80 的样本，那么整体中应随机剔除的个体数量是()A．2B．3C． 4D． 55．某初级中学有学生270 人，此中一年级108 人，二、三年级各81 人，现要利用抽样方法抽取10 人参加某项检查，考虑采纳简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级挨次一致编号为1,2，， 270，使用系统抽样时，将学生一致随机编号为1,2，， 270，并将整个编号挨次分为10 段，假如抽得号码有以下四种状况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250 ；② 5,9,100,107,111,121,180,195,200,265 ；③ 11,38,65,92,119,146,173,200,227,254 ；④ 30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.对于上述样本的以下结论中，正确的选项是()A．②、③都不可以为系统抽样B．②、④都不可以为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样6．(2013 年浙江模拟 )学校高中部共有学生2000 名，高中部各年级男、女生人数以下表，已知在高中部学生中随机抽取 1 名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在高中部抽取50 名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为()高一级高二级高三级A.14 人C．16 人女生人数男生人数B．15 人D．17 人/人/人373327yzx3407． (2012 届广东惠州第三次调研 )为了保证食品安全，现采纳分层抽样的方法对某市场的甲、乙、丙、丁四个厂家生产的奶粉进行检测，若甲、乙、丙、丁四个厂家生产的奶粉分别为 120 袋、 100 袋、 80 袋、 60 袋，已知甲、乙两个厂家抽取的袋数之和为 22 袋，则四个厂家一共抽取 ____________袋．8． (2012 年福建 )一支田径队有男女运动员用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为是 ________人．98 人，此中男运动员有56 人．按男女比率28 的样本，那么应抽取女运动员人数9．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样检查中，随机抽取了100 名电视观众，有关的数据以下表所示：文艺节目新闻节目总计20～ 40 岁 /人大于 40 岁/人401518275842总计5545100(1)由表中数据直观剖析，收看新闻节目的观众能否与年纪有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于40 岁的观众应当抽取几名？(3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年纪为20 至40 岁的概率．10．(2012 年广东韶关第二次调研)某中学在校就餐的高一年级学生有440 名，高二年级学生有460 名，高三年级学生有 500 名．为认识学校食堂的服务质量状况，用分层抽样的方法从中抽取 70 名学生进行抽样检查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价钱满意度”都分为 5个等级： 1 级 (很不满意 )；2 级 (不满意 )；3级 (一般 )；4 级 (满意 )；5级( 很满意 )，其统计结果以下表 (服务满意度为x，价钱满意度为y)：价钱满意度12345111220服务满221341 337884意度414641501231(1)求高二年级共抽取学生人数；(2)求“服务满意度”为 3 时的 5 个“价钱满意度”数据的方差；(3)为提升食堂服务质量，现从x<3 且 2≤ y<4 的全部学生中随机抽取两人征采建议，求起码有一人的“服务满意度”为 1 的概率．第十五章 统 计 第 1 讲随机抽样1．D 2.B 3.B 4． C 分析： 因为 3204＝ 80×40＋ 4，因此应随机剔除 4 个个体，应选 C. 5．D6．B 分析： 因为高中部学生中随机抽取 1 名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，因此x＝ 0.18，解得 x ＝ 360.因此高一人数为 373＋ 327＝ 700(人 )，高三人数为 360＋ 340 2000 ＝ 700( 人 )，因此高二人数为 2000－700－ 700＝ 600(人 )．因此高一、高二、高三的人数比为700∶ 600∶ 700＝7∶ 6∶ 7，因此利用分层抽样从高中部抽取50 人，则应在高二抽取的人数为50×6＝50× 66＋7＋7 20＝ 15(人 )．7． 36x ＝ 28，易得 x ＝ 12.8． 12 分析： 设应抽取的女运动员人数是 x ，则98－ 56 98 9． 解： (1)因为大于 40 岁的 42 人中有 27 人收看新闻节目，而 20 至 40 岁的 58 人中，只有 18 人收看新闻节目，故收看新闻节目的观众与年纪有关．5(2)27× 45＝3，∴大于 40 岁的观众应抽取 3 名．(3)由题意知，设抽取的 5 名观众中，年纪在 20 岁至 40 岁的为 a 1， a 2，大于 40 岁的为b 1，b 2，b 3，从中随机取 2 名，基本领件有： (a 1，a 2 )，(a 1，b 1) ，(a 1，b 2)， (a 1，b 3)，(a 2，b 1)， ( a 2 ，b 2)， (a 2，b 3)，(b 1， b 2)，(b 1，b 3)， (b 2，b 3) ，共 10 个，设恰有 1 名观众年纪在 20至40 岁为事件 A ，则 A 中含有基本领件 6 个： (a 1， b 1)， (a 1， b 2)， (a 1，b 3) ，(a 2，b 1)， (a 2， b 2)， ( a 2 ， b 3 )，∴P(A)＝ 6＝ 3.10 510． 解： (1)共有 1400 名学生，高二级抽取的人数为460×70＝ 23(人 )． 1400(2)“服务满意度为 3”时的 5 个数据的均匀数为 3＋ 7＋ 8＋8＋ 4＝ 6，2＋ 7－6 2＋ 2× 8－6 2＋ 4－6 252 3－ 6 因此方差 s ＝ 5 ＝ 4.4.(3)切合条件的全部学生共 7 人，此中“服务满意度为 2”的 4 人记为 a ，b ，c ，d ，“服务满意度为 1”的 3 人记为 x ，y ， z.在这 7 人中抽取 2 人有以下状况： (a ，b)，(a ，c)，(a ，d)， (a ，x)， (a ，y)，( a ， z)，( b ，c)，( b ，d)， (b ，x) ，(b ，y) ，(b ，z) ， (c ， d)， (c ， x)， (c ， y)， (c ， z)， (d ， x)， (d ， y)， (d ，z)， (x ， y)， (x ， z)， (y ， z)，共 21 种状况．此中起码有一人的“服务满意度为1”的状况有 15 种．因此起码有一人的“服务满意度”为1 的概率为 p ＝15＝ 5 .21 7。

高中数学（文科）高考一轮复习习题集（含答案）目录第一章集合 (1)第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)第二节集合的基本运算 (3)第二章函数 (5)第一节对函数的进一步认识 (5)第二节函数的单调性 (9)第三节函数的性质 (13)第三章指数函数和对数函数 (16)第一节指数函数 (16)第二节对数函数 (20)第三节幂函数与二次函数的性质 (24)第四节函数的图象特征 (28)第四章函数的应用 (32)第五章三角函数 (33)第一节角的概念的推广及弧度制 (33)第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)第四节函数()sin()f x A xw j=+的图象 (45)第六章三角恒等变换 (50)第一节同角三角函数的基本关系 (50)第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)第七章解三角形 (56)第一节正弦定理与余弦定理 (56)第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)第八章数列 (60)第九章平面向量 (62)第十章算法 (65)第一节程序框图 (65)第二节程序语句 (69)第十一章概率 (73)第一节古典概型 (73)第二节概率的应用 (75)第三节几何概型 (79)第十二章导数 (83)第十三章不等式 (85)第十四章立体几何 (88)第一节简单几何体 (88)第二节空间图形的基本关系与公理 (92)第三节平行关系 (96)第四节垂直关系 (100)第五节简单几何体的面积与体积 (104)第十五章解析几何 (108)第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)第三节圆的标准方程与一般方程 (114)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)第五节空间直角坐标系 (121)第十六章圆锥曲线 (123)第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系A 组1．已知A ＝{1，2}，B ＝{}|x x A Î，则集合A 与B 的关系为________．解析：由集合B ＝{}|x x A Î知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B2．若{}2,|a a R x x ＮÆØ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，2x a £有解，故0a ³．答案：0a ³3．已知集合A ＝{}2|21,y y x x x R =--?，集合B ＝{}|28x x-＃，则集合A 与B 的关系是________．解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝{y|y ≥－2}，∴B A ．答案：B A4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={}2|0x x x +=，得N ={-1，0}，则N M ．答案：②5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝{}|5x x >，集合B ＝{}|x x a >，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5．答案：a <56．(原创题)已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B ．B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab |可能取的值组成的集合是________． 解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1． 答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0，2，5；b ＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N M ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1．∴A ＝{x ，1，0}，B ＝{0，|x |，1x}． 于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1． 11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ．②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3．由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3，4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．，即不存在m 值使得A ＝B ． 12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2．(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a ≤2．(3)若A =B ，则必有a =2第二节 集合的基本运算A 组1．(2009年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{}|0x x >，B ＝{}|1x x >，则A ∩∁U B ＝____．解析：∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4，5，7，9}，B ＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4，7，9}，A ∪B ＝{3，4，5，7，8，9}，∁U (A ∩B )＝{3，5，8}．答案：33．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{}|2,x x a a M =?，则集合M ∩N ＝________．解析：由题意知，N ＝{0，2，4}，故M ∩N ＝{0，2}．答案：{0，2}4．(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⓐB ＝________．解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0，2]，所以A ⓐB ＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ；(2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．解：(1)当1m =-时，B ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥－1}．(2)若B ⊆A ，则1m >，即m 的取值范围为(1，＋∞)B 组1．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝________．解析：因为集合N ＝{－1，0，1，2}，所以M ∩N ＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{0，2}，则(∁U A )∩B ＝________．解析：∁U A ＝{0，1}，故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝________．解析：根据已知得M ∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0}4．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________．解析：U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，6}，∴A ∪B ＝{1，3，5，6，7}，得∁U (A ∪B )＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0，4，5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.点(0，2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2． 9．设全集I ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2，3，a 2＋2a －3}＝{2，5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1，2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3．(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－3． 11．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B ．(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意． 若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98． 综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98． (2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意． 当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时， 方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}． 综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}． (3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅．当a ≠0时，要使方程有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98． 综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________． 解析：⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4，0)∪(0，1] ．答案：[－4，0)∪(0，1] 2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2．答案：2 3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________．解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32．答案：log 324．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2，1，－1)＝________．解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3， 解得b 1＝－1，b 2＝0．答案：(－1，0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x(x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32， 求a ． 解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3， 又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32． (2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x 3x －1； 若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2； 若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1．∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧ 3x 3x －1 (x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1． 当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2； 当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22． ∴a ＝2或±22．B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0，2x －1>0，得x >23．答案：{x |x >23} 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_． 解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3， ∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7．答案：73．定义在区间(－1，1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1，1)，有－x ∈(－1，1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，①由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)． 答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1) 4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)． 由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)3 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1，3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3，解得x ＝1，x ＝3．故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3．当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3．综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0， 则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2．答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95， 又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数()f x =．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；(ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数．由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1．由①②可得－511≤a ≤1． (2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a 2≠0且－2，1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a 2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2．11．已知()()()2f x f x x R +=?，并且当x ∈[－1，1]时，()21f x x =-+，求当[]()21,21x k k k Z ?+?时、()f x 的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1，2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1．∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1．又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)． (2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129．第二节 函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当12x x <时，都有()()12f x f x >”的是________．①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，12]时，g (x )为减函数．由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1．答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y =________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2． 答案：[1，2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋a ex |(a ∈R )在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围__． 解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋a e0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －a ex ≥0在x ∈[0，1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1．答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数()2f x x =，()1g x x =-． (1)若存在x ∈R 使()()f x b g x <?，求实数b 的取值范围；(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--2，且()F x 在[0，1]上单调递增，求实数m 的取值范围．解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x x ∈R ，x 2－bx ＋b＝(－b )2－4b b <0或b >4．(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需 ⎩⎨⎧ m 2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0． ②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m 2≥1，则x 1≤0．⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2． 若m 2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255．综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2．B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x | 解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4．答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__． 解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916． 答案：(0，916] 4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________． ①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3)③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14． 6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(3，0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)， 当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1．答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1，1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1，1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2，0]．答案：[－2，0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1，3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0，1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13．答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0，1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1． μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12) 10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性． 解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22．由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增． 11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2． 由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9．因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0，1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1．若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0，1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b 1＝1．即a ＋b ＝2．设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋b x 2恒成立． 由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立． 又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1．设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立． ∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1．由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1．∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节 函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1，1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0．答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23．答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2．答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5．(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1，4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4，9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0．(2)当x ∈[1，4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x ．∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15．当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9．B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2)④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1，0)，及点(－1，0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________．解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0．答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________．解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0．答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0．从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1，0)时，f (x )<0；x ∈(0，1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0．∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，1)答案：(－∞，－1)∪(0，1)．5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2．∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1．答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009．5)＝________． 解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009．5)＝f (502×4＋1．5)＝f (1．5)＝f (－2．5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009．5)＝f (2．5)＝52．答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1．答案：－19．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0．由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4．由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8． 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0．当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2，6]上的最值． 解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称．∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0．∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R ．则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0．∴f (x 2)－f (x 1)<0．即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0，2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ， 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x ．∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x ．故f (x )＝12x (－1≤x ≤1) 又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)， 又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3) 由f (x )＝－12，解得x ＝－1．∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0，2010]上共有502个x 使f (x )＝－12．第三章 指数函数和对数函数第一节 指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1．又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a－2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b－a －b ＝－2．答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________．解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3．又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3．答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________． 解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴(12)2x －x 2≥12．答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1． 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝3．答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1． 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a ．又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2． (2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ．即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13． 法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13．B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1．答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1，2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1．答案：(0，1] 3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12．答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________． 解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1， 故f －1(13)＝－1．又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2．答案：2 5．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2．答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x ＋e x e －x －e x ＝－e x ＋e －xe x －e－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④． 又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③．答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________．解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2．∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124．答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．。

课后限时集训(一)(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )A．4 B．2 C．0 D．0或4A[由题意知方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解或两个相等的根．当a＝0时，方程无实根，则a≠0，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4，故选A.]2．(2019·济南模拟)已知集合A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{－1,1}，则A∪B＝( ) A．{1} B．{－1,1,3}C．{－3，－1,1} D．{－3，－1,1,3}C[A＝{－3,1}，B＝{－1,1}，则A∪B＝{－3，－1,1}，故选C.]3．(2019·重庆模拟)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{x|3x－x2≥0}，则A∩B的子集的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．8C[B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝{0,2}，故其子集的个数是22＝4个．]4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5B[当m＝2时，n＝3或4，此时x＝6或8.当m＝3时，n＝4，此时x＝12.所以B＝{6,8,12}，故选B.]5．设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2B[满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．]6．(2019·衡水模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝( )A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}A[由题意得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩∁U B＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．]7．(2019·青岛模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝( ) A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝{x|x＞－1}．]二、填空题8．已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018＜0}，B ＝{x |x ≥a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．(－∞，1] [A ＝{x |1＜x ＜2 018}，B ＝{x |x ≥a }， 要使A ⊆B ，则a ≤1.]9．若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则A ∩B ＝________. {x |x ≥0} [A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝{x |x ≥0}．]10．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．－2或1 [由A ∩B ＝{－1,2}得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.]B 组 能力提升1．(2019·潍坊模拟)已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ⊆M B ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝(3,10)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]D [由M ＝{x |lg x ＜1}得M ＝{x |0＜x ＜10}；由－3x 2＋5x ＋12＝(－3x －4)(x －3)＜0得N ＝x ⎪⎪⎪x ＜－43或x ＞3，所以∁R N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－43≤x ≤3，则有M ∩(∁R N )＝(0,3]，故选D.] 2．(2019·南昌模拟)在如图所示的Venn 图中，设全集U ＝R ，集合A ，B 分别用椭圆内图形表示，若集合A ＝{x |x 2＜2x }，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则阴影部分图形表示的集合为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |1≤x ＜2}D [由x 2＜2x 解得0＜x ＜2，∴A ＝(0,2)，由1－x ＞0，解得x ＜1，∴B ＝(－∞，1)，阴影部分图形表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}，故选D.]3．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) [由A ∩B ≠∅，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.]4．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．(－∞，4] [当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]。

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x －7在[1，4]上的最小值为________. 解析 f ′(x )＝6x 2－12x －18＝6(x 2－2x －3) ＝6(x －3)(x ＋1)，由f ′(x )＞0，得x ＞3或x ＜－1； 由f ′(x )＜0，得－1＜x ＜3，故函数f (x )在[1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝2×27－6×9－18×3－7＝－61. 答案 －612.函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是________.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1)＝3(x ＋1)2≥0，∴函数f (x )在R 上单调递增，故f (x )无极值点. 答案 03.(2015·泰州调研)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则b 的取值范围是________.解析 由f (x )＝x 3－3bx ＋3b ，得f ′(x )＝3x 2－3b .由已知可得f ′(x )＝3x 2－3b 在(0，1)上与x 轴有交点，且满足⎩⎨⎧f ′（0）＜0，f ′（1）＞0，即⎩⎨⎧b ＞0，3－3b ＞0.∴0＜b ＜1.∴b 的取值范围是(0，1). 答案 (0，1)4.(2015·扬州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则 ⎩⎨⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 答案 －75.(2016·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________. 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0. ∴a ＞6或a ＜－3.答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞)6.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________.解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1. 答案 (－∞，－1)7.已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析 由题意，得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32. 答案 328.(2015·苏、锡、常、镇模拟)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在x ＝0处有极大值1，在x ＝2处有极小值0，则常数a ，b ，c ，d 分别为________，________，________，________.解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，则⎩⎨⎧f （2）＝0，f ′（2）＝0，f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎨⎧8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，d ＝1，c ＝0，解得a ＝14，b ＝－34，c ＝0，d ＝1.答案 14 34 0 1 二、解答题9.(2016·徐州一检)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 时，函数f (x )＝ax －1＋ln x 在区间(0，e)上的最大值为－4，求a 的值.解 由题意f ′(x )＝a ＋1x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a .∵a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ，∴0＜－1a ＜e ，由f ′(x )＞0，解得0＜x ＜－1a，由f ′(x )＜0，解得－1a ＜x ＜e.从而f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e .∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－4，解得a ＝－e 2.10.(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝ax（x ＋r ）2(a >0，r >0).(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar ＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值.解 (1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞). f (x )＝ax （x ＋r ）2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a （x 2＋2rx ＋r 2）－ax （2x ＋2r ）（x 2＋2rx ＋r 2）2＝a （r －x ）（x ＋r ）（x ＋r ）4.所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0， 当－r <x <r 时，f ′(x )>0.因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)； f (x )的单调递增区间为(－r ，r ).(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减.因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar （2r ）2＝a 4r ＝4004＝100.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增， ∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1，1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 答案 －1312.(2016·南通调研)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是________.解析 若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上无极值，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，实数 a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，10313.(2015·太原二模)已知f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )是函数f (x )的导函数，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f ′(－1)＝f ′(a )＝0，∴当a ＜－1时，x ＜a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；a ＜x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞－1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意.当－1＜a ＜0时，x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；－1＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )在x ＝a 处取得极大值，符合题意.当a ＞0时，x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；－1＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；x ＞a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，此时f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意.∴实数a 的取值范围是(－1，0). 答案 (－1，0)14.(2015·南京、盐城调研)已知a ∈R ，函数f (x )＝a x ＋ln x －1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x ＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，x ∈(0，＋∞).因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14. 又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－12＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0. (2)因为f (x )＝ax ＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2，x ∈(0，＋∞). 令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值. ②若0＜a ＜e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0， 函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时， f ′(x )＞0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a.③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值a e.综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；当0＜a＜e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln a；当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为a e.。

2024届高三一轮复习联考（三）全国卷文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，考试时间为120分钟，满分150分一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}212,1A xx B x x =<<=∣∣，则A B ⋃=（）A.[)1,2-B.(),2∞-C.[)1,3- D.[]1,2-2.命题2:,220p x R x x ∀∈+-<的否定p ⌝为（）A.2000,220x R x x ∃∈+->B.2,220x R x x ∀∈+-C.2,220x R x x ∀∈+->D.2000,220x R x x ∃∈+-3.3.已知复数2(1i)z =+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A.2B.2- C.2iD.2i-4.若函数()222,0,log ,0,x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦（）A.2- B.2 C.3- D.35.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.14-B.14C.12-D.126.函数()21x xe ef x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C. D.7.函数2sin cos21y x x=-+的最小值是（）A.3-B.1-C.32- D.12-8.已知数列{}n a的前n项和22nS n n m=-++，且对任意*1,0n nn N a a+∈-<，则实数m 的取值范为是（）A.()2,∞-+ B.(),2∞--C.()2,∞+ D.(),2∞-9.已知等比数列()*a满足4221,m nq a a a≠=，（其中,*m n N∈），则91m n+的最小值为（）A.6 B.16 C.32 D.210.已知函数()cos3f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若()f x在[]0,a上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a的取值范为（）A.40,3π⎛⎤⎥⎝⎦B.24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2,3π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D.25,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设4sin1,3sin2,2sin3a b c===，则（）A.a b c<< B.c b a<<C.c a b<< D.a c b<<12.已矨,,A B C均在球O的球面上运动，且满足3AOBπ∠=，若三棱锥O ABC-体积的最大值为6，则球O的体积为（）A.12πB.48πC.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()(1,,a k b==，若a b⊥，则k=__________.14.已知{}n a是各项不全为零的等差数列，前n项和是n S，且2024S S=，若()2626nS S m=≠，则正整数m=__________.15.设,m n为不重合的直线，,,αβγ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有（）（只填序号）.①,m a m β⊂∥②,,m n n m αβ⊂⊥⊥③,αγβγ⊥⊥④,m m αβ⊥⊥16.已知函数()14sin ,01,2,1,x x x f x x x π-<⎧=⎨+>⎩若关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（12分）已知数列{}n a 满足12122,log log 1n n a a a +==+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求(){}32nn a -的前n 项和nS.18.（12分）已知ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,,,cos cos 2cos 4a b c C a A c C b B π=+=.（1）求tan A ；（2）若c =，求ABC 的面积.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平而PBC ⊥平面ABCD ；（2）求点A 到平面PCD 的距离.20.（12分）已知数列()n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列n b 的前n 项和T .21.（12分）已知函数()ln x af x ex x -=-+.（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程，（2）当0a 时，证明，()2f x x >+.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系，xOy 中，直线l的参数方程为2,21,2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与曲线C '有公共点，试求a 的取值范围.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()22(0)f x x x t t =++->，若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若,,a b c 均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷文科数学参考答案及评分意见1.A【解析】由21x ，即()()110x x -+，解得11x -，所以{}11B xx =-∣，所以{12}A B xx ⋃=-<∣.故选A .2.D 【解析】2,220x x x ∀∈+-<R 的否定为：2000,220x x x ∃∈+-R ，故选D.3.A 【解析】2(1i)2i z =+=，即复数z 的虚部为2，故选A .4.D【解析】()()()222(2)228,8log 83f f -=--⨯-===，故选D.5.C 【解析】因为1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2211cos 2cos 2cos 22sin 11366622ππππααπαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故选C.6.A 【解析】()()2e e 1x xf x f x x ---==-+，所以函数()y f x =是奇函数，排除B 选项，又()22e e 215f --=>，排除C ，D 选项，故选A.7.D 【解析】由题意，函数22sin cos212sin 2sin y x x x x =-+=+，令[]sin 1,1t x =∈-，可得221122222y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，当12t =-，即1sin 2x =-时，函数取得最小值，最小值为12-.故选D.8.A【解析】因为10n n a a +-<，所以数列{}n a 为递减数列，当2n 时，()2212(1)2123n n n a S S n n m n n m n -⎡⎤=-=-++---+-+=-+⎣⎦，故可知当2n 时，{}n a 单调递减，故{}n a 为递减数列，只需满足21a a <，即112m m-+⇒-.故选A .9.D【解析】由等比数列的性质，可得()911911918,10102888m n m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当6,2m n ==时，等号成立，因此，91m n +的最小值为2.故选D.10.B 【解析】()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合图象，()f x 的值域是11,,0,2333x a x a πππ⎡⎤-++⎢⎣⎦，于是533a πππ+，解得2433aππ，所以实数a 的取值范围为24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选B.11.B 【解析】设()()2sin cos sin ,x x x xf x f x x x -=='，令()()cos sin ,sing x x x x g x x x =-'=-，当()0,x π∈时，()0g x '<，故()g x 在()0,π上递减，()()()00,0g x g f x <=∴<'，故()sin xf x x=在()0,π上递减，023π<<< .()()sin3sin232,,2sin33sin232f f ∴<<<，故c b <，()()()sin 2012,sin1,sin22sin1,3sin232sin14sin12ππππππ-<<-<<<-<-<-，故b a <，故c b a <<，故选B.12.C 【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时231133632212O ABC C AOB V V R R --==⨯⨯⨯==，故3R =O 的体积为343R V π==，故选C.13.3-【解析】0a b a b ⊥⇔⋅=，所以()(1,10,3k k ⋅=+==-.14.18【解析】设等差数列{}n a 的首项和公差分别为1,a d ，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以n S 可看成关于n 的二次函数，由二次函数的对称性及202426,m S S S S ==，可得20242622m++=，解得18m =.15.④【解析】根据线面的位置关系易知，①②③中面α和面β可能相交也可能平行，④：若m α⊥且m β⊥，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故④正确.16.()3,1--【解析】作出函数()f x 的大致图象，如图所示，令()t f x =，则()()()2[]210f x m f x m --+-=可化为()()()221110t m t m t m t --+-=-+-=，则11t =或21t m =-，则关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解等价于()t f x =的图象与直线12,t t t t ==的交点个数之和为5个，由图可得函数()t f x =的图象与直线1t t =的交点个数为2，所以()t f x =的图象与直线2t t =的交点个数为3个，即此时214m <-<，解得31m -<<-.17.【解析】（1）在数列{}n a 中，已知12122log log log 1n n n na a a a ++-==，所以12n na a +=，.即{}n a 是首项为12a =，公比为2的等比数列，所以()1*222n n n a n -=⨯=∈N .（2）由()()32322nn n a n -=-⨯，故()()231124272352322n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，所以()()23412124272352322nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，则()23123222322n n n S n +⎡⎤-=+⨯+++--⨯⎣⎦，()()()11212433221053212n n n n n ++-=-+⨯--⨯=-+-⋅-，故()110352n n S n +=+-⋅.18.【解析】（1）解法一：由题，cos cos 2cos a A c C b B +=，由正弦定理得，sin2sin cos sin cos B A A C C =+，.3,,sin2sin 2sin 2cos2422C A B C B A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=++==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1cos2sin cos 2A A A -=+，221sin cos sin cos 2A A A A --=22tan 1tan 1tan 12A A A --=+，化简得2tan 2tan 30A A --=，解得tan 3A =或tan 1A =-（舍去）.解法二：由题，cos cos 2cos a A c C b B +=，由正弦定理得，2sin2sin2sin2B A C =+，即()()()()2sin2sin sin B A C A C A C A C ⎡⎤⎡⎤=++-++--⎣⎦⎣⎦，即()()sin2sin cos B A C A C =+-，又A B C π++=，故()sin sin A C B +=，所以()2sin cos sin cos B B B A C =-，又0B π<<，故sin 0B ≠，所以()2cos cos B A C =-，又A B C π++=，故()cos cos B A C =-+，化简得sin sin 3cos cos A C A C =，因此tan tan 3A C =且tan 1C =，所以tan 3A =.（2）由（1）知tan 3A =，因此()tan tan tan tan 21tan tan A CB AC A C+=-+=-=-，.所以sin 10A =，sin 5B =2sin 2C =，因为,6sin sin a c a A C==，.所以1125sin 612225ABC S ac B ==⨯⨯= .19.【解析】（1）因为,PB PC O =是BC 的中点，所以PO BC ⊥，在直角POC 中，1PC OC ==，所以PO =，在矩形ABCD 中，1,2AB BC ==，所以DO =，又因为2PD =，所以在POD 中，222PD PO OD =+，即PO OD ⊥.而,,BC OD O BC OD ⋂=⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，而PO ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .'（2）由（1）平面PBC ⊥平面ABCD ，且DC BC ⊥，所以DC ⊥平面PBC ，所以DC PC ⊥，即PCD 是直角三角形，因为1PC CD ==，所以13122PDC S =⨯=，又知11212ACD S =⨯⨯= ，PO ⊥平面ABCD ，设点A 到平面PCD 的距离为d ，则A PCD P ACD V V --=，即1133PCD ACD S d S PO ⨯⨯=⨯⨯ ，即1311323d ⨯⨯=⨯⨯所以263d =，所以点A 到平面PCD 的距离为3..20.【解析】（1）由题当1n =时，()111223262a +=-⋅+=，即11a =.()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ ①当2n 时，()211212222526n n n a a a n --+++=-⋅+ ②.①-②得()()()1223262526212nn n n n a n n n +=-⋅+--⋅-=-⋅，所以21n a n =-..（2）由（1）知，212221n an n n b a n -=+=+-，则()()()()3521212325221n n T n -=++++++++- ()()3521222213521n n -=+++++++++-⋅()()212214121232..1423nn n n n +⨯-+-+-=+=-21.【解析】（1）当1a =时，()()111e ln ,e 1x xf x x x f x x--=-+=-+'，所以()()12,11f f '==，.则切线方程为()211y x -=⨯-，.即10x y -+=曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=.（2）证明：要证()2f x x >+，即证e ln 2x a x -->，设()eln ,0x aF x x x -=->，即证()2F x >，当0a 时，()()1e 1e ln ,ex a x ax ax F x x F x x x----=-=-='在()0,∞+上为增函数，且()e1x ah x x -=-中，()()0100e 110,1e 1e 10a a h h --=⨯-=-=-->.故()0F x '=在()0,∞+上有唯一实数根0x ，且()00,1x ∈..当()00,x x ∈时，()0F x '<，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，从而当0x x =时，()F x 取得最小值.由()00F x '=，得001ex ax -=，故()()000001eln 2x aF x F x x x a a x -=-=+->.综上，当0a 时，()2F x >即()2f x x >+.22.【解析】（1）由题2,21,2x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t得直线:20l x a -=，.22413sin ρθ=+，即2224cos 4sin ρθθ=+，即曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）由,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得2,,x x y y =⎧⎨=''⎩又2214x y +=，所以()()22214x y +'='，即'2'21x y +=，所以曲线C '的方程是221x y +=，.由1d =得11a -.所以a 的取值范围是[]1,1-.23.【解析】（1）()222f x x x t x x t x t =++-=++-+-，()2222y x x tx x t t t =++-+--=+=+，当2x t -时等号成立，.⋅又知当x t =时，x t -取得最小值，所以当x t =时，()f x 有最小值，此时()min ()25f x f t t ==+=，所以3t =..（2）由（1）知，23a b c ++=，()22141114111162(121)232333a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=++= ⎪⎝⎭，当且仅当333,,824a b c ===时取等号，所以1412a b c ++的最小值为163.。

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。

集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。

(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。

(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。

(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。

2．集合间的基本关系A B或B A3.集合的基本运算1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。

2．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。

3．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。

4．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性\”而导致解题错误。

5．记住以下结论(1)若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1。

(2)A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A⇔A⊆B。

小|题|快|练一、走进教材1．(必修1P12B组T4改编)满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】由题意得A可为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。

故选C。

【答案】 C2．(必修1P12B组T1改编)已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B ＝{0,1,2}，则集合B有个。

【解析】由题意知B⊆A，则集合B有8个。

【答案】8二、双基查验1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}【解析】M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}。

故选B。

【答案】 B2．设集合M＝{≥0，x∈R}，N＝{2<1，x∈R}，则M∩N＝() A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)【解析】∵x2<1，∴－1<x<1。

2020版高考文科数学（北师大版）一轮复习试题课时规范练3命题及其关系、充要条件基础巩固组1.命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是()A.若a>b,则a-1≤b-1B.若a>b,则a-1<b-1C.若a≤b,则a-1≤b-1D.若a<b,则a-1<b-12.(2018天津和平区期末,2)“a=1”是“关于x的方程x2-3x+a=0有实数根”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若实数a,b满足a>0,b>0,则“a>b”是“a+ln a>b+ln b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2018上海,14)已知a∈R,则“a>1”是“<1”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5.( 2018北京海淀期末,4)设m是不为零的实数,则“m>0”是“方程=1表示的曲线为双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.下列命题为真命题的是()A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题7.(2018天津一中四月模拟,2)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是.9.已知p:|x-1|≤2,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0).若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.10.已知集合A=,B={x|-1<x<m+1,x∈R}.若使x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是.11.若“任意x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.综合提升组12.在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,真命题的个数记为f(p),已知命题p:“若两条直线l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0平行,则a1b2-a2b1=0”,那么f(p)等于()A.1B.2C.3D.413.(2018陕西西安期末,5)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件14.下列命题是真命题的是()①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;④“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④15.已知p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:实数x满足若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.创新应用组16.(2018广东深圳模拟,3)对于任意实数x,<x>表示不小于x的最小整数,例如<1.1>=2,<-1.1>=-1,那么“|x-y|<1”是“<x>=<y>”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.(2018广东汕头高考冲刺,12)已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),则“a=”是“=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件。

广州市高考数学（文科）一轮复习测试题
第Ⅰ卷（选择题共分）
一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
．已知集合，，则（）（）（）（）（）
【答案】
【解析】，所以，即
，选.
．复数（）
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】,选.
．执行如图所示的程序框图，则输出（）
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，
;第三次循环，满足条件，;第四次循环，不满足条件，输出，选.
．函数的零点个数为（）
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】由，得，令，在坐标系中作出两个函数的图象，由图象可知交点为一个，即函数的零点个数为个，选.
．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】由三视图可知，四棱锥的高为，底面为直角梯形.其中,所以四棱锥的体积为，选.
．过点作圆的两条切线，，为切点，则（）（）（）（）（）。

2023高考文科数学一轮复习题
2023高考将至，文科数学一轮复习正式开始，以下是一些复习
题目供大家参考。

1.已知函数$f(x)=frac{3x-1}{2x+5}$，求$f(frac{1}{2})$的值。

2.已知正方形的边长为$a$，求其对角线的长度。

3.已知函数$g(x)=x^2-2x+1$，求$g(5)$的值。

4.已知$a+b=5$，$ab=6$，求$a^2+b^2$的值。

5.已知三角形的三个内角分别为$60^{circ}$，$70^{circ}$，$50^{circ}$，求三角形的周长。

6.已知函数$h(x)=sqrt{x+1}$，求$h(8)$的值。

7.已知正方形的周长为$20$，求其面积。

8.已知$a-b=3$，$ab=4$，求$a^2-b^2$的值。

9.已知三角形的一个内角为$30^{circ}$，另外两个内角分别为$80^{circ}$和$70^{circ}$，求三角形的周长。

10.已知函数$k(x)=frac{1}{x-1}$，求$k(2)$的值。

以上是2023高考文科数学一轮复习的一些题目，希望同学们认
真复习，并做好相应的练习，为高考做好充足的准备。

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第3节直线、圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆、圆与圆的位置关系2,8,12直线与圆相切问题1,6,7,13与圆的弦长有关问题3,4,9,10综合应用问题5,11,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.若直线2x+y+a=0与圆x2+y2+2x4y=0相切,则a的值为( B )(A)± (B)±5 (C)3 (D)±3解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y2)2=5,因为直线与圆相切,所以有=,即a=±5.故选B.2.(2018·四川遂宁期末)圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y24x+8y+4=0的位置关系是( B )(A)相交(B)外切(C)内切(D)相离解析:圆C1:x2+y2+2x=0即(x+1)2+y2=1的圆心C1(1,0),半径等于1.圆C2:x2+y24x+8y+4=0化为(x2)2+(y+4)2=16的圆心C2(2,4),半径等于4.两圆的圆心距等于=5,而5=1+4,故两圆相外切,故选B.3.(2018·广西南宁、梧州联考)直线y=kx+3被圆(x2)2+(y3)2=4截得的弦长为2,则直线的倾斜角为( A )(A)或(B)或(C)或(D)解析:由题知,圆心(2,3),半径为2,所以圆心到直线的距离为d==1.即d==1,所以k=±,由k=tan α,得α=或.故选A.4.(2017·河南师大附中期末)已知圆的方程为x2+y26x8y=0.设该圆过点(1,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( B )(A)15 (B)30 (C)45 (D)60解析:圆的标准方程为(x3)2+(y4)2=25,过点(1,4)的最长弦AC所在的直线过圆心,故AC=10,过点(1,4)的最短弦BD所在直线垂直于AC,由勾股定理得BD=6,故四边形ABCD的面积为S=×6×10=30.故选B.5.已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则a的取值范围为( A )(A)(3,3)(B)(∞,3)∪(3,+∞)(C)(2,2)(D)[3,3 ]解析:由圆的方程可知圆心为O(0,0),半径为2,因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d<2+1=3,即d==<3,解得a∈(3,3),故选A.6.(2018·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心,且与两条直线2xy+4=0与2xy6=0同时相切的圆的标准方程为( A )(A)(x1)2+(y1)2=5 (B)(x+1)2+(y+1)2=5(C)(x1)2+y2=5 (D)x2+(y1)2=5解析:因为两条直线2xy+4=0与2xy6=0的距离为d==2,所以所求圆的半径为r=,所以圆心(a,1)到直线2xy+4=0的距离为==,即a=1或a=4,又因为圆心(a,1)到直线2xy6=0的距离也为r=,所以a=1,所以所求的标准方程为(x1)2+(y1)2=5,故选A.7.已知圆C的圆心是直线xy+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为.解析:由题意可得圆心(1,0),圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径,故r==,所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=28.导学号 94626201(2018·湖南郴州质监)过点M(,1)的直线l与圆C:(x1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为.解析:由题意得,当CM⊥AB时,∠ACB最小,k CM=2,所以k AB=,从而直线方程为y1=(x),即2x4y+3=0.答案:2x4y+3=09.(2017·深圳一模)直线axy+3=0与圆(x2)2+(ya)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是.解析:设圆心到直线的距离为d,则d==,由r2=d2+()2知()2=4≥3,解得a≤.答案:(∞,)能力提升(时间:15分钟)10.已知圆(x2)2+(y+1)2=16的一条直径经过直线x2y+3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为( D )(A)3x+y5=0 (B)x2y=0(C)x2y+4=0 (D)2x+y3=0解析:直线x2y+3=0的斜率为,已知圆的圆心坐标为(2,1),该直径所在直线的斜率为2,所以该直径所在的直线方程为y+1=2(x2),即2x+y3=0,故选D.11.导学号 94626202已知点P的坐标(x,y)满足过点P的直线l与圆C:x2+y2=14相交于A,B两点,则|AB|的最小值是( B ) (A)2 (B)4 (C) (D)2解析:根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示,设点P到圆心的距离为d,则求最短弦长,等价于求到圆心的距离最大的点,即为图中的P点,其坐标为(1,3),则d==,此时|AB|min=2=4,故选B.12.(2017·河南豫北名校联盟联考)已知圆C:x2+y2+8x+15=0,若直线y=kx2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的取值范围为.解析:圆C即(x+4)2+y2=1,所以圆心为(4,0),半径r=1,直线即kxy2=0,≤2,解之得≤k≤0,即实数k的取值范围为[,0].答案:[,0]13.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·= .解析:由题意,圆心为O(0,0),半径为1.因为P(1,),不妨设PA⊥x 轴,PA=PB=.所以△POA为直角三角形,其中OA=1,AP=,则OP=2,所以∠OPA=30°,所以∠APB=60°.所以·=||||·cos∠APB=××cos 60°=.答案:14.已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.(1)求圆C的方程;(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心C(a,0)(a>),则=2⇒a=0或a=5(舍).所以圆C:x2+y2=4.(2)当直线AB⊥x轴时,x轴上任意一点都满足x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)x22k2x+k24=0.所以x1+x2=,x1x2=.若x轴平分∠ANB,则k AN=k BN⇒+=0⇒+=0⇒2x1x2(t+1) (x1+x2)+2t=0⇒+2t=0⇒t=4,所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.15.(2018·广东汕头期末)在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y212x14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.解:圆M的标准方程为(x6)2+(y7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心在直线x=6上,可设N(6,y0),因为N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7y0=5+y0,解得y0=1,因此,圆N的标准方程为(x6)2+(y1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2xy+m=0,则圆心M到直线l的距离d==.因为BC=OA==2,而MC2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=15.故直线l的方程为2xy+5=0或2xy15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),+=,所以①因为点Q在圆M上,所以(x26)2+(y27)2=25,②将①代入②,得(x1t4)2+(y13)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x(t+4)]2+(y3)2=25上,从而圆(x6)2+(y7)2=25与圆[x(t+4)]2+(y3)2=25有公共点, 所以55≤≤5+5,解得22≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[22,2+2].。