高考文科数学一轮复习：集合及其运算

高考文科数学一轮复习
集合及其运算
教 1.元素与集合
材 研
2.集合间的基本关系
读 3.集合的基本运算
考 考点一 集合的基本概念
点 突
考点二 集合间的基本关系
破 考点三 集合的基本运算
教材研 读
1.元素与集合
(1)集合中元素的特性:① 确定性 、互异性、无序性. (2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作② a∈A ;若b不属于集合 A,记作③ b∉A . (3)集合的表示方法:④ 列举法 、描述法、图示法.
解析 若B=⌀,则Δ=m2-4<0,解得-2<m<2;
若1∈B,则12+m+1=0,解得m=-2,此时B={1},符合题意;
若2∈B,则22+2m+1=0,
解得m=- 52,此时B= 2,
1 2

,不合题意.
综上所述,实数m的取值范围是[-2,2).
集合的基本运算
命题方向一 集合的运算 典例3 (1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则 A∩B= ( C ) A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} (2)(2018天津,1,5分)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2}, 则(A∪B)∩C= ( C ) A.{-1,1} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{2,3,4}
1-2 已知集合A={x∈N|1<x<log2k},集合A中至少有3个元素,则 ( C ) A.k>8 B.k≥8 C.k>16 D.k≥16 答案 C 因为集合A中至少有3个元素,所以log2k>4,所以k>24=16,故选C.
1-3 已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为
A.{0,2} C.{0}
B.{1,2} D.{-2,-1,0,1,2}
答案 A 本题主要考查集合的基本运算. ∵A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={0,2},故选A.
4.(教材习题改编)满足{0,1}⊆A⊆{0,1,2,3}的集合A的个数为( D ) A.1 B.2 C.3 D.4
2-1 已知集合A={x|y= 1 x2 ,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则 ( B ) A.A⫋B B.B⫋A C.A⊆B D.A=B
答案 B 由题意知A={x|-1≤x≤1}, ∴B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},∴B⫋A,故选B.
2-2 已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A ⊆C⊆B的集合C的个数为 ( D ) A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D 由题意得A可为{0,1},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,2,3}.
5.若全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={2,3,4},则∁U(A∩B)=
.
答案 {1,4,5}
6.(教材习题改编)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个
b a
,1
={a2,a+b,0},则a2 018+b2 018=(
A
)
A.1 B.0 C.-1 D.±1
答案 (1)A (2)A
解析 (1)本题主要考查集合的含义与表示. 由题意可知A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},故 集合A中共有9个元素,故选A.
3-1 已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q=
易错警示 要注意检验集合中元素的互异性,如本例(2).
1-1 设集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x∉A},则集合B中元素的个数为 ( A ) A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A 若x∈B,则-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3,当0∈B时,1-0=1∈A; 当-1∈பைடு நூலகம்时,1-(-1)=2∈A;当-2∈B时,1-(-2)=3∈A;当-3∈B时,1-(-3)=4∉A, 所以B={-3},故集合B中元素的个数为1.
.
答案 - 3
2
解析 因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,
此时集合A中有重复元素3,所以m=1不符合题意,舍去;
当2m2+m=3时,
解得m=- 3或m=1(舍去),
2
此时m+2= 1≠3符合题意.所以m=- 3.
2
2
集合间的基本关系
典例2 (1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈N},则集合A的真子集的个数为
解析 (1)由题意得A={0,1,2,3},则集合A的真子集的个数为24-1=15. (2)因为A={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},所以B⫋A,故选B. (3)当B=⌀时,有2m-1<m+1,此时m<2;
2m 1 m 1,
当B≠⌀时,有 m 1 2,
(2)由已知得a≠0,则 b=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中
a
元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2 018+b2 018=(-1)2 018+02 018=1.
方法技巧 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集; (2)看这些元素满足什么限制条件; (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数.
(3)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA= ( B )
A.{x|-1<x<2}
B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
答案 (1)C (2)C (3)B 解析 (1)∵A={x|x-1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2},故选C. (2)由题意得A∪B={1,2,3,4,-1,0},∴(A∪B)∩C={1,2,3,4,-1,0}∩{x∈R|-1 ≤x<2}={-1,0,1}.故选C. (3)化简A={x|x<-1或x>2},∴∁RA={x|-1≤x≤2}.故选B.
答案 (1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√ (5)✕
2.若集合A={x∈N|x≤ 10 },a=2 2 ,则下面结论中正确的是 ( D ) A.{a}⊆A B.a⊆A C.{a}∈A D.a∉A
答案 D 因为a=2 2 ∉N,A={x∈N|x≤ 10 },所以a∉A.
3.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( A )
答案 D 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}. 由题意知B={1,2,3,4}, ∴满足条件的C为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
2-3 若集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},且B⊆A,则实数m的取值范
围是
.
答案 [-2,2)
命题方向二 利用集合的运算求参数 典例4 (1) 已知x∈R,集合A={0,1,2,4,5},集合B={x-2,x,x +2},若A∩B={0,2},则x= ( B ) A.-2 B.0 C.1 D.2 (2)已知集合A={x|x2-x-12>0},B={x|x≥m}.若A∩B={x|x>4},则实数m的取 值范围是 ( B ) A.(-4,3) B.[-3,4] C.(-3,4) D.(-∞,4]
(4)常见数集及其符号表示
2.集合间的基本关系
▶提醒 (1)“⊆”与“⫋”的区别:A⊆B⇒A=B或A⫋B,若A⊆B和A⫋ B同时成立,则A⫋B更准确.
(2)⌀,{0}和{⌀}的区别,⌀是集合,不含有任何元素,{0}含有一个元素0; {⌀}含有一个元素⌀,且⌀∈{⌀}和⌀⊆{⌀}都正确. (3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能
集、(2n-1)个非空子集、(2n-2)个非空真子集.
4.(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A; (2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B; (3)补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=⌀;∁U(∁UA)=A;∁U(A∪B)= (∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
2m 1 5,
解得2≤m≤3. 综上可得,实数m的取值范围是(-∞,3].
◆探究 (变条件)若将本例(3)中的“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|x<2或x>5}”,求实数m的取值范围.
解析 当B=⌀时,有2m-1<m+1,∴m<2,符合题意;
当B≠⌀时,有
m 1 2m 1, m 1 5
答案 (1)B (2)B
解析 (1)因为A={0,1,2,4,5},B={x-2,x,x+2},且A∩B={0,2},
所以
x x

2 2

0,
或
x 0, x 2 2,
当x=2时,B={0,2,4},A∩B={0,2,4}(舍);
当x=0时,B={-2,0,2},A∩B={0,2},符合题意.
综上,x=0.故选B.
(2)集合A={x|x<-3或x>4},∵A∩B={x|x>4},∴-3≤m≤4,故选B.
规律总结 1.集合运算的常用方法 (1)若集合中的元素是离散的,则常用Venn图求解. (2)若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况 .2.利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍. (2)若集合能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系, 再列方程(组)求解. 在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性).
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}. ( ✕ ) (2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1. ( ✕ ) (3){x|x≤1}={t|t≤1}. ( √ ) (4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立. ( √ ) (5)若A∩B=A∩C,则B=C. ( ✕ )
数为
.
答案 2 解析 因为集合A和集合B有共同元素2,4,所以A∩B={2,4},所以A∩B中 元素的个数为2.
考点突破
集合的基本概念
典例1 (1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈ Z},则A中元素的个数为 ( A )
A.9 B.8 C.5 D.4
(2)已知a,b∈R,若a,
性,如:若A⊆B,则要考虑A=⌀和A≠⌀两种情况.
3.集合的基本运算
知识拓展
1.非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n
∈Z}为奇数集等.
2.(1)一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集. (2)任何一个集合是它本身的子集;
(3)对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足). 3.子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、(2n-1)个真子
( C )
A.7 B.8 C.15 D.16
(2)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 ( B )
A.A⫋B B.B⫋A C.A=B D.A∩B=⌀
(3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的
取值范围是
.
答案 (1)C (2)B (3)(-∞,3]
或2mm112m2, 1,
解得 mm
2, 4
m 2,
或m


1 2
.
即m>4.
综上可知,实数m的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞).
方法技巧 1.判断两集合间的关系的方法 (1)对描述法表示的集合,把集合化简后,从表达式中寻找两集合间的 关系. (2)对于用列举法表示的集合,从元素中寻找关系. 2.根据两集合间的关系求参数的方法 已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端 点的关系,进而转化为参数所满足的条件,常用数轴、Venn图等来解决 这类问题.