高考文科数学一轮复习：集合及其运算

2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题1.1 集合的概念与运算目录一、题型全归纳 (1)题型一集合的含义与表示 (1)题型二集合的基本关系 (2)题型三集合的基本运算 (3)题型四利用集合的运算求参数 (4)题型五集合中的新定义问题 (5)二、高效训练突破 (6)一、题型全归纳题型一集合的含义与表示【题型要点】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为() A．3B．6C．8D．10【例2】)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．题型二集合的基本关系【题型要点】(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn图等来直观解决这类问题．【例1】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【例2】已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为______．题型三集合的基本运算【题型要点】集合基本运算的求解策略【例1】(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝()A．{x|x≤－3或x≥1} B．{x|x<－1或x≥3}C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}【例2】(2020黄冈调研)已知函数f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为N，则M∪(∁R N)＝()A ．{x |x >－1}B ．{x |x ≥1}C ．∅D ．{x |－1＜x ＜1}题型四 利用集合的运算求参数【题型要点】根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．【例1】已知集合A ＝{x |x 2≥4}，B ＝{m }．若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[2，＋∞)C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【例2】集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【例3】（河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]4∞（-， B ．4∞（-，） C ．22∞（-，）D ．22]∞（-，题型五 集合中的新定义问题【题型要点】(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．【例1】定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9【例2】设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．【例3】如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．二、高效训练突破1.(2020·武汉调研)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5} 2.(2020·巴蜀中学月考)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．44.设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2}B．{2，3}C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}5．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则下图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1} B．{0}C．{－1，0} D．{－1，0，1}6.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．7 B．8C．15 D．167.已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝N B．M∩(∁U N)＝∅C．M∪N＝U D．M⊆(∁U N)9.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，则∁U A＝()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－1，1) D．[－1，1]10．(2020·辽宁辽阳期末)设集合A＝{x∈Z|x>4}，B＝{x|x2<100}，则A∩B的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．611.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|2x －x2≥0}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B＝()A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}12．(2020·济南外国语学校月考)集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(∁U N)＝∅，则a 的取值范围是()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]二、填空题1.(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，则A∩B ＝______，∁U A＝______．2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________．3．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，则a的值是________．4．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为________．6.已知k为合数，且1＜k＜100，当k的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k的“衍生质数”．(1)若k的“衍生质数”为2，则k＝________；(2)设集合A＝{P(k)|P(k)为k的“衍生质数”}，B＝{k|P(k)为k的“衍生质数”}，则集合A∪B中元素的个数是________．三、解答题1.(2019·衡水中学测试)已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．(1)求实数a，b，c的值；(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.2.已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．(1)当m＝1时，求A∪B；(2)当B⊆∁R A时，求实数m的取值范围．3.(2019·江苏盐城一中模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题1.1 集合的概念与运算目录一、题型全归纳 (1)题型一集合的含义与表示 (1)题型二集合的基本关系 (2)题型三集合的基本运算 (3)题型四利用集合的运算求参数 (4)题型五集合中的新定义问题 (5)二、高效训练突破 (6)一、题型全归纳题型一集合的含义与表示【题型要点】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为() A．3B．6C．8D．10【答案】D【解析】(1)由x∈A，y∈A，x－y∈A，得x－y＝1或x－y＝2或x－y＝3或x－y＝4，所以集合B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，所以集合B中有10个元素．【例2】)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．【答案】－32【解析】因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)， 当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意．所以m ＝－32. 题型二 集合的基本关系【题型要点】(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题．【例1】已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】 由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．【例2】已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为______．【答案】(－∞，1]【解析】当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．题型三 集合的基本运算【题型要点】集合基本运算的求解策略【例1】(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－3<x <1}，B ＝{x |x ＋1≥0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≤－3或x ≥1}B ．{x |x <－1或x ≥3}C ．{x |x ≤3}D ．{x |x ≤－3}【答案】D【解析】因为B ＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |－3<x <1}，所以A ∪B ＝{x |x >－3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－3}．故选D.【例2】(2020黄冈调研)已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )＝( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x ≥1}C ．∅D ．{x |－1＜x ＜1} 【答案】A11 / 19 【解析】由1－x >0得N ＝{x |x <1}，∁R N ＝{x |x ≥1}，而由1－x 2>0得M ＝{x |－1<x <1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |x >－1}．题型四 利用集合的运算求参数【题型要点】根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．【例1】已知集合A ＝{x |x 2≥4}，B ＝{m }．若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[2，＋∞)C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 【答案】D.【解析】：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，即m ∈A ，得m 2≥4，解得m ≥2或m ≤－2.【例2】集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 【答案】D【解析】根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4.【例3】（河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]4∞（-， B ．4∞（-，） C ．22∞（-，） D ．22]∞（-，。

课时作业(一) 第1讲 集合及其运算时间：45分钟 分值：100分基础热身1．2011·课标全国卷 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N ︱1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R ︱x 2＋x －6＝0}，则下图K1－1中阴影表示的集合为( )图K1－1A ．{2}B ．{3}C ．{－3,2}D ．{－2,3}3．2011·扬州模拟 设全集U ＝{x ∈N *|x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,4}D ．{2,5}4．设非空集合M 、N 满足：M ＝{x |f (x )＝0}，N ＝{x |g (x )＝0}，P ＝{x |f (x )g (x )＝0}，则集合P 恒满足的关系为( )A ．P ＝M ∪NB ．P ⊆(M ∪N )C ．P ≠∅D ．P ＝∅能力提升5．2011·雅礼中学月考 已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝－a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝( )A ．{0，－1}B ．{0}C ．{－1，－2}D ．{0，－2}6．设A 、B 是两个集合，定义M *N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }．若M ＝{y |y ＝log 2(－x 2－2x ＋3)}，N ＝{y |y ＝x ，x ∈0,9}，则M *N ＝( )A ．(－∞，0B ．(－∞，0)C ．0,2D ．(－∞，0)∪(2,37．2011·锦州质检 已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,5}，则下列式子一定成立的是( )A ．∁UB ⊆∁U A B ．(∁U A )∪(∁U B )＝UC ．A ∩∁U B ＝∅D ．B ∩∁U A ＝∅8．2012·山东师大附中二模 设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数为( )A ．1B ．3C ．4D ．8 9．若集合P ＝{}0，1，2，Q ＝(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1>0，x －y －2<0，x ，y ∈P ，则Q 中元素的个数是( )A ．4B ．6C ．3D ．510．2011·天津卷 已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．11．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若A ∪B ＝A ，则m 的值为________．12．2011·洛阳模拟 已知x ∈R ，y >0，集合A ＝{x 2＋x ＋1，－x ，－x －1}，集合B ＝－y ，－y 2，y ＋1，若A ＝B ，则x 2＋y 2的值为________．13．2011·湘潭三模 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，A ⊆M ，集合A 中所有的元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A 的累积值为n .(1)若n ＝2时，这样的集合A 共有________个；(2)若n 为偶数，则这样的集合A 共有________个．14．(10分)2011·洛阳模拟 已知x ∈R ，y >0，集合A ＝{x 2＋x ＋1，－x ，－x －1}，集合B ＝－y ，－y 2，y ＋1，若A ＝B ，求x 2＋y 2的值．15．(13分)已知集合A ＝x ⎪⎪⎪ y ＝6x ＋1－1，集合B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋2x ＋m )}． (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．难点突破16．(12分)集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．作业手册课时作业(一)【基础热身】1．B 解析 因为M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，所以P ＝M ∩N ＝{1,3}，所以集合P 的子集共有∅，{1}，{3}，{1,3}4个．2．A 解析 由图可知阴影表示的集合为A ∩B.因为B ＝{－3,2}，A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，所以A ∩B ＝{2}．3．C 解析 由题知U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，故∁U (A ∪B)＝{2,4}，故选C .4．B 解析 集合M 中的元素为方程f(x)＝0的根，集合N 中的元素为方程g(x)＝0的根．但有可能M 中的元素会使得g(x)＝0没有意义，同理N 中的元素也有可能会使得f(x)＝0没有意义．如：f(x)＝x －2，g(x)＝1－x ，f(x)·g(x)＝x －2·1－x ＝0解集为空集．这里容易错选A 或C .【能力提升】5．B 解析 ∵N ＝{0，－1，－2}，∴M ∩N ＝{0}．故选B .6．B 解析 y ＝log 2(－x 2－2x ＋3)＝log 2－(x ＋1)2＋4∈(－∞，2，N 中，∵x ∈0,9，∴y ＝x ∈0,3．结合定义得：M*N ＝(－∞，0)．7．D 解析 进行逐一验证．∁U B ＝{1,2,4,6,7}，∁U A ＝{2,4,6}，显然∁U A ⊆∁U B ，显然A 、B 错误；A ∩∁U B ＝{1,7}，故C 错误，所以只有D 正确．8．C 解析 依题意，集合B 可以是{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，故选C .9．D 解析 Q ＝{(x ，y)|－1<x －y<2，x ，y ∈P}，由P ＝{0,1,2}得x －y 的取值只可能是0和1.∴Q ＝{(0,0)，(1,1)，(2,2)，(1,0)，(2,1)}，含有5个元素．10．3 解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x |－1<x <3}．∴A ∩Z ＝{0,1,2}，即0＋1＋2＝3.11．0或1或－12解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . 当B ＝∅时，m ＝0，符合题意；当B ≠∅时，m ≠0，此时x ＝－1m.∵B ⊆A ， ∴－1m ＝－1或－1m＝2， ∴m ＝1或m ＝－12. 综上可知，m 的取值为0或1或－12. 12．5 解析 由x ∈R ，y >0，则x 2＋x ＋1>0，－y <0，－y 2<0，y ＋1>0，且－x －1<－x ，－y <－y 2.因为A ＝B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1＝y ＋1，－x －1＝－y ，－x ＝－y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2. 所以A ＝{3，－1，－2}，B ＝{－2，－1,3}，符合条件， 故x 2＋y 2＝12＋22＝5. 13．(1)2 (2)29 解析 利用列举法可求A ＝{2}或{1,2}．但求解(2)时，应先算出n 为奇数时集合A 共有3个，M ＝{0,1,2,3,4}子集的个数有32个，所以n 为偶数，集合A 共有29个．(说明：不从反面入手，计算太麻烦) 14．解答 由x ∈R ，y >0，则x 2＋x ＋1>0，－y <0，－y 2<0，y ＋1>0，且－x －1<－x ，－y <－y 2.因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋1＝y ＋1，－x －1＝－y ，－x ＝－y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2.所以A ＝{3，－1，－2}，B ＝{－2，－1,3}，符合条件，故x 2＋y 2＝12＋22＝5.15．解答 (1)由6x ＋1－1≥0，解得－1<x ≤5，即A ＝{x |－1<x ≤5}， 当m ＝3时，由－x 2＋2x ＋3>0，解得－1<x <3，即B ＝{x |－1<x <3}，∴∁R B ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)由B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋2x ＋m )}，得－x 2＋2x ＋m >0，而由(1)知A ＝{x |－1<x ≤5}，且A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴B ＝{x |t <x <4，t ≤－1}，∴4，t 是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根．∴m ＝8.【难点突破】16．解答 (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3，综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又A ∩B ＝∅，则①若B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2时满足条件．②若B ≠∅，则要满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得m >4.综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。

第一章 集合与常用规律用语学案1 集合的概念与运算 导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． 3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法． 4．集合间的基本关系对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B (或B ⊇A )．若A ⊆B ，且在B 中至少有一个元素x ∈B ，但x ∉A ，则A B (或B A )． 若A ⊆B 且B ⊆A ，则A ＝B . 5．集合的运算及性质设集合A ，B ，则A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }，A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }． 设全集为U ，则∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }． A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ， A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .A ∪∅＝A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ， A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .A ∩∁U A ＝∅；A ∪∁U A ＝U . 自我检测 1．(2021·长沙模拟)下列集合表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}C ．M ＝{4,5}，N ＝{5,4}D ．M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)} 答案 C 2．(2009·辽宁)已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－5<x <5} B ．{x |－3<x <5} C ．{x |－5<x ≤5} D ．{x |－3<x ≤5} 答案 B解析 画数轴，找出两个区间的公共部分即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．3．(2022·湖北)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 易知椭圆x 24＋y 216＝1与函数y ＝3x 的图象有两个交点，所以A ∩B 包含两个元素，故A ∩B 的子集个数是4个．4．(2022·潍坊五校联考)集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．{t |0≤t ≤3}B ．{t |－1≤t ≤3}C ．{(－2，1)，(2，1)}D ．∅ 答案 B解析 ∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)． 又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0.∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]． 5．(2021·福州模拟)已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝________. 答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2.探究点一 集合的基本概念例1 (2021·沈阳模拟)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求b －a 的值．解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应留意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应关系：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 由元素的互异性知， a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 探究点二 集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则下列关系中正确的是( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M ∈N解题导引 一般地，对于较为简单的两个或两个以上的集合，要推断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再推断它们之间的关系．答案 A。

高中文科数学高考必备基础知识§1集合与简易逻辑一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。

（2）集合与元素的关系用符号∈，∉表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 ；整数集 ；有理数集 ；实数集 。

（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。

（5）空集是指不含任何元素的集合}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况， 二、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“⊄⊂,”或“⊆，”或“”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）A B I = ；A B U = ；U C A = .（3）交、并、补的运算性质：对于任意集合A 、B ，();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I 切记：A B A B A ⊆⇔⋂=⇔A B A B B ⊆⇔⋃=. （4）集合中元素的个数的计算：若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n，所有真子集的个数是(2n－1)，所有非空真子集的个数是(2n－2)。

三、逻辑联接词与真值表1．逻辑联接词：或、且、非（命题的否定） 2．真值表（见课本） 四、四个命题与充要条件1．四个命题（1）写原命题的逆命题、否命题和逆否命题时，首先要分清条件p （题设）和结论q ；其次要正确写出非p 和非q ；再次，有时命题带有大前提，在写逆命题、否命题和逆否命题时，大前提不能变化；（2）注意否命题与命题的否定的区别，不能将两者混淆； 2．充要条件（1）在判断p 是q 的什么条件时，由定义，一般要考察命题q p ⇒（充分性）和命题p q ⇒（必要性）的正确性，后者是前者的逆命题；而判断一个命题的正确与否，可以用其等价命题（逆否命题）来解决，尤其命题是否定性的结论时，即原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的真值.（2）证明充要条件时，首先要弄清楚充分性和必要性是指什么命题成立，再分别去证明，从而下结论，这样证起来层次分明，条理清楚.五、反证法1．步骤：①假设结论反面成立；②从这个假设出发，推理论证，得出矛盾（与定理、定义等矛盾、与假设矛盾、推出自相矛盾）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

高考数学一轮复习知识点归纳虽然高考数学试卷文科理科有所不同，但是在同一个考点上可能也是侧重有一些区别的，下面是高考数学一轮复习知识点归纳，请考生学习掌握。

第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二：平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三：数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四：空间向量和立体几何。

在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五：概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一等可能的概率，第二事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六：解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七：押轴题。

考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。

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阶段滚动月考卷(一)集合与常用规律用语、函数与导数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q={y|y=12x2−1,x∈P},则P∩Q= ( )A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1<m<2}C.{m|m≥2}D.{-1}2.(2022·德州模拟)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.(2022·潍坊模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(4,12),则f(8)的值为( )A.√24B.64 C.2√2 D.1644.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2022·烟台模拟)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)6.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的微小值点,以下结论肯定正确的是( )A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的微小值点D.-x0是-f(-x)的极大值点7.(2022·青岛模拟)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a8.过函数f(x)=3x-x3图象上一点A(2,-2)的切线方程为( )A.y=-2B.y=2C.9x+y-16=0D.9x+y-16=0或y=-29.(2021·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油10.(2022·大连模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)的极值点的个数是( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2022·北京模拟)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c= .12.(2022·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(−112)= .13.f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数,则实数a的取值范围是.14.(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是.15.(2022·莱芜模拟)已知定义域为R的函数f(x),对于x∈R,满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,则实数x0的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)(2022·泰安模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}, B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若ARB,求实数m的取值范围.17.(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a1−bxx−1是奇函数.(1)求实数b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值.18.(12分)某地拟建一座长为640米的大桥AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩A,B造价总共为100万元,当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100),中间每个桥墩的平均造价为803√x万元,桥面每1米长的平均造价为(2+x√x640)万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x).(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩A,B除外)应建多少个桥墩?19.(12分)(2022·济宁模拟)已知函数f(x)=ex2-1e x-ax(a∈R).(1)当a=32时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)=(a+1a)lnx+1x-x(a>0).(1)求f(x)的极值.(2)若曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在P,Q两点处的切线相互平行,证明x1+x2>2.ax2+x,a∈R.21.(14分)(2022·威海模拟)已知函数f(x)=lnx-12(1)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥√5−1.2答案解析1.C P={x|x≥2或x≤-1},又x∈P时,y=12x2-1∈[−12,+∞),故Q={y|y≥−12},故P∩Q={m|m≥2}.2.【解题提示】先化简A,留意运用指数函数的单调性解不等式,再依据集合的包含关系,求出a,b的范围,运用不等式的性质,求出a-b的取值范围.A 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],由于A B,B=[a,b],所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即a-b的取值范围是(-∞,-2].3.A 由于函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,由于其图象过点(4,12),所以12=4α,解得α=-12,所以f(x)=x−12,所以f(8)=8−12−12=√24.4.A 函数f(x)=|x-a|={x−a,x≥a,a−x,x<a,则f(x)的单调增区间是[a,+∞).而函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增⇔a≤-1,所以“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.5.B 由题意可知g(x)=lnx-1x,由于g(1)=-1<0,g(2)=ln2-12=ln2-ln√e>0.所以函数g(x)的零点所在区间是(1,2).6.D 由于x0是f(x)的微小值点,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称,所以-x0是y=-f(-x)的极大值点.7.B 由于x>1,所以c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又由于1<a<2,0<b<1,所以b<a<c.8.D 设切点为P(x0,y0),f′(x)=3-3x2,所以切线斜率k=3-3x02,切线方程为y-(3x0-x03)=(3-3x02)(x-x0),又由于点A(2,-2)在切线上,所以-2-(3x0-x03)=(3-3x02)(2-x0),解之得x0=2或x0=-1,所以k=-9或k=0,所以切线方程为9x+y-16=0或y=-2.【加固训练】若曲线y=e-ax+1在点(0,2)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则a= ( )A.-2B.2C.-23D.23A 依题意知y′=-ae-ax,所以曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-a,又其切线与直线x+2y-1=0垂直,所以(-a)×(−12)=-1,即a=-2.9.D 选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.10.C 当x ≤0时,f ′(x)=3(x+1)2e x+1+(x+1)3e x+1=(x+1)2e x+1(x+4),解f ′(x)=0,得x=-4或x=-1.由于x ∈(-∞,-4)时,f ′(x)<0;x ∈(-4,-1)时,f ′(x)>0;x ∈(-1,0)时,f ′(x)>0,则f(x)在区间x ∈(-∞,-4)上单调递减,在区间x ∈(-4,0)上单调递增.又由于f(x)是定义域为R 的偶函数,由其对称性可得,f(x)在区间x ∈(0,4)上单调递减,在区间x ∈(4,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=±4或x=0处取得极值. 11.【解析】y ′=3x 2+m,由题意知{1+m +c =n,3+m =2,n =2×1+1.所以{m =−1,n =3,c =3.所以m+n+c=5. 答案:512.【解析】由f(x+2)=-1f(x)可得,f(x+4)=-1f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数, f (−112)=f (−112+8)=f (52)=52.答案:5213.【解析】由x ∈(-∞,0)可得a 2-3a<0,得0<a<3, 所以y=(a 2-3a)x 在(-∞,0)上是减函数, 又f(x)=log 2a [(a 2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数, 所以2a>1,故12<a<3.答案:(12,3)14.【解析】由于f(x+1)=-1f(x),则有f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,当x ∈[-1,0]时,f(x)=x 2,则有当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,故当x ∈[-1,1]时,f(x)=x 2,那么当x ∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数g(x)=f(x)-log a (x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=log a (x+2)有4个交点,数形结合可得1≥log a (3+2), 解得a ≥5. 答案:[5,+∞)15.【解析】由于对任意x ∈R,有f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. 又由于有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)=x 0 所以对任意x ∈R,有f(x)-x 2+x=x 0, 在上式中令x=x 0,有f(x 0)-x 20+x 0=x 0,又由于f(x 0)=x 0,所以x 0-x 20=0,故x 0=0或x 0=1,若x 0=0,则f(x)-x 2+x=0,即f(x)=x 2-x,但方程x 2-x=x 有两个不相同实根,与题设条件冲突.故x 0≠0,若x 0=1,则有f(x)-x 2+x=1,即f(x)=x 2-x+1,此时f(x)=x 有且仅有一个实数1, 综上,x 0=1. 答案:116.【解析】由已知得:A={x|-1≤x ≤3}, B={x|m-2≤x ≤m+2}.(1)由于A ∩B=[0,3],所以{m −2=0,m +2≥3,所以{m =2,m ≥1,所以m=2.(2)R B={x|x<m-2或x>m+2}. 由于AR B,所以m-2>3或m+2<-1,所以m>5或m<-3,所以m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).17.【解题提示】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),代入函数f(x)的解析式可解得实数b 的值.(2)首先求出函数f(x)的定义域,再求出其导函数f ′(x),最终分别令f ′(x)>0和f ′(x)<0即可求出函数f(x)的单调增区间和单调减区间.(3)由a-2>1得a>3,结合(2)可得,f(x)在(1,a-2)上单调递减,于是可得f(a-2)=1,解之即可得到实数a 的值.【解析】(1)由于f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 从而f(-x)+f(x)=0, 即log a1+bx −x−1+log a1−bx x−1=0,于是,(b 2-1)x 2=0,由x 的任意性知b 2-1=0, 解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1. (2)由(1)得f(x)=log a x +1x−1,(x<-1或x>1),f ′(x)=−2(x 2−1)lna.当0<a<1时,f ′(x)>0,即f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 当a>1时,f ′(x)<0,即f(x)的减区间为(-∞,-1),(1,+∞).(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a a −1a−3=1,又a>3,得a=2+√3.18.【解析】(1)由桥的总长为640米,相邻两个桥墩的距离为x 米,知中间共有(640x−1)个桥墩,于是桥的总造价f(x)=640(2+x √x 640)+803√x (640x−1)+100,即f(x)=x 32+640×803x −12-803x 12+1380=x32+51 2003x−12-803x12+1380(64<x<100).(表达式写成f(x)=x √x +51 2003√x−803√x +1 380同样给分)(2)由(1)可求f ′(x)=32x 12-640×403x −32-403x −12,整理得f ′(x)=16x −32(9x2-80x-640×80),由f ′(x)=0,解得x 1=80,x 2=-6409(舍去),又当x ∈(64,80)时,f ′(x)<0;当x ∈(80,100)时,f ′(x)>0,所以当x=80时桥的总造价最低,此时桥墩数为64080-1=7.19.【解析】(1)当a=32时,f(x)=e x 2-1e x -32x, f ′(x)=12ex [(e x )2-3e x +2] =12ex (e x -1)(e x -2), 令f ′(x)=0,得e x =1或e x =2, 即x=0或x=ln2,令f ′(x)>0,则x<0或x>ln2, 令f ′(x)<0,则0<x<ln2,所以f(x)在(-∞,0],[ln2,+∞)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减. (2)f ′(x)=e x2+1e x -a,令e x =t,由于x ∈[-1,1], 所以t ∈[1e ,e].令h(t)=t 2+1t (t ∈[1e,e]), h ′(t)=12-1t 2=t 2−22t 2, 所以当t ∈[1e,√2)时h ′(t)<0,函数h(t)为单调减函数; 当t ∈(√2,e]时h ′(t)>0,函数h(t)为单调增函数, 所以√2≤h(t)≤e+12e .由于函数f(x)在[-1,1]上为单调函数, 所以若函数f(x)在[-1,1]上单调递增, 则a ≤t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≤√2;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a ≥t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≥e+12e,综上可得a ≤√2或a ≥e+12e.20.【解析】(1)f ′(x)=(a +1a )1x -1x2-1=-x 2−(a+1a)x+1x 2=-(x−a)(x−1a)x 2(x>0).当a>1时,0<1a<a,f(x)的单调递减区间是(0,1a),(a,+∞),单调递增区间是(1a,a). f(x)微小值=f (1a ) =(a +1a)ln 1a+a-1a=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)极大值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a. 当a=1时,f ′(x)=-(x−1)2x 2≤0,f(x)无极值. 当0<a<1时,0<a<1a,f(x)的单调递减区间是(0,a),(1a,+∞),单调递增区间是(a ,1a).f(x)极大值=f (1a)=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)微小值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a.(2)依题意知,f ′(x 1)=(a +1a )1x 1-1x 12-1=f ′(x 2) =(a +1a )1x 2-1x 22-1, 故a+1a =1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2. 由x 1+x 2>2√x 1x 2得x 1x 2<(x 1+x 2)24,故x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,故存在x 1,x 2使a+1a =x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,即x 1+x 2>4a+1a. 当a>0时,a+1a≥2,当且仅当a=1时取等号.所以x 1+x 2>4(a+1a )min=2.即x 1+x 2>2.21.【解析】(1)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-12ax 2+(1-a)x+1,所以g ′(x)=1x-ax+(1-a)=−ax 2+(1−a)x+1x,当a ≤0时,由于x>0,所以g ′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是递增函数,又由于g(1)=ln1-12a ×12+(1-a)+1=-32a+2>0,所以关于x 的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时, g ′(x)=−ax 2+(1−a)x+1x=-a (x−1a)(x+1)x,令g ′(x)=0,得x=1a.所以当x ∈(0,1a )时,g ′(x)>0;当x ∈(1a,+∞)时,g ′(x)<0,因此函数g(x)在x ∈(0,1a)是增函数,在x ∈(1a,+∞)是减函数.故函数g(x)的最大值为g (1a)=ln 1a -12a ×(1a)2+(1-a)×1a+1=12a-lna.令h(a)=12a-lna,由于h(1)=12>0,h(2)=14-ln2<0,又由于h(a)在a ∈(0,+∞)是减函数,所以当a ≥2时,h(a)<0,所以整数a 的最小值为2.【一题多解】本题还可以接受以下方法 由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-12ax 2+x ≤ax-1在(0,+∞)上恒成立,问题等价于a ≥ln x+x+112x 2+x 在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=ln x+x+112x 2+x ,只要a ≥g(x)max , 由于g ′(x)=(x+1)(−12x−lnx)(12x 2+x)2. 令g ′(x)=0, 得-12x-lnx=0.设h(x)=-12x-lnx,由于h ′(x)=-12-1x<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减, 不妨设-12x-lnx=0的根为x 0.当x ∈(0,x 0)时,g ′(x)>0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x)<0,所以g(x)在x ∈(0,x 0)上是增函数;在x ∈(x 0,+∞)上是减函数.所以g(x)max =g(x 0)=ln x 0+x 0+112x 02+x 0=1+12x 0x 0(1+12x 0)=1x 0,由于h (12)=ln2-14>0,h(1)=-12<0,所以12<x 0<1,此时1<1x 0<2,即g(x)max ∈(1,2).所以a ≥2,即整数a 的最小值为2. (2)当a=-2时,f(x)=lnx+x 2+x,x>0, 由f(x 1)+f(x 2)+x 1x 2=0,即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0,从而(x 1+x 2)2+(x 1+x 2) =x 1·x 2-ln(x 1·x 2)令t=x 1·x 2,则由φ(t)=t-lnt 得,φ′(t)=t −1t,可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. 所以φ(t)≥φ(1)=1, 所以(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1,因此x1+x2≥√5−1成立.2关闭Word文档返回原板块。

高三数学（文科）教学计划一. 背景分析近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。

考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。

更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。

数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。

二、.课程目标（一）知识目标1. 系统性：贯通各模块相关知识。

通过纵向延伸和连接，构建完整、系统的知识结构。

2. 综合性：建立不同知识，不同方法、不同学科之间联系。

通过横向拓展、问题解决等，综合所学知识。

3. 灵活性：通过对重点知识的讲解和变式训练，加深理解，掌握本质和内在联系，能灵活应用知识解决问题。

4. 严谨性：通过讲解、讨论、辨析，克服学习难点、易错点和容易混淆的知识点，形成严谨、准确的知识体系。

（二）能力目标核心为数学思维能力：会对问题和资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用类比、归纳和演绎进行推理，能合乎逻辑地、准确地表达。

1. 运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。

是思维能力和运算技能的结合。

2. 空间想象能力：能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

3. 抽象概括能力：对具体、生动的实例能在抽象、概括的过程中，发现对象的本质；从给定的大量信息材料中，能概括出一些结论，并能将其用于解决问题或做出判断。

4. 推理论证能力：能根据已知事实或命题，论证教学命题的真实性。

包括归纳、演绎、猜想、证明。

5. 数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从数据中抽取对研究、解决问题有用的信息，并做出判断6. 数学应用意识：能综合应用所学知识、思想、方法解决问题，能理解问题所陈述的材料，并对提供的信息资料归纳、整理和分类，将实际问题抽象为教学问题；能用相关教学方法解决问题并会验证，能用数学语言正确地表达和说明。

第1节集合考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.空集只有一个子集.(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x 2＋1上的点集.(3)错误.当x ＝1时，不满足集合中元素的互异性. 2.若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 023}，a ＝22，则( ) A.a ∈P B.{a }∈P C.{a }⊆P D.a ∉P答案 D解析 因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于 2 023的自然数构成的集合，所以a ∉P ，只有D 正确.3.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝( ) A.{2} B.{2，3} C.{3，4} D.{2，3，4} 答案 B解析 因为A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，所以A ∩B ＝{2，3}.4.(易错题)(2021·宜昌调研)集合A ＝{－1，2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则由实数a 的取值组成的集合为( ) A.{－2}B.{1}C.{－2，1}D.{－2，1，0} 答案 D解析 对于集合B ，当a ＝0时，B ＝，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，又B ⊆A ，所以2a ＝－1或2a ＝2，解得a ＝－2或a ＝1.5.(2021·西安五校联考)设全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则(∁U A )∩B ＝( ) A.{x |x <0}B.{x |0<x ≤1}C.{x |1<x ≤2}D.{x |x >2}答案 D解析易知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>0}.∴∁U A＝{x|x<0或x>2}，故(∁U A)∩B＝{x|x>2}.6.(2021·全国乙卷)设集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T ＝()A. B.S C.T D.Z答案 C解析法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T.法二S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T.,考点一集合的基本概念1.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6答案 C解析当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1，0，1；当x＝1时，y＝0.所以U＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素.2.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.答案0或1解析①当a－3＝－3，即a＝0时，此时A＝{－3，－1，－4}，②当2a－1＝－3，即a＝－1时，此时A＝{－4，－3，－3}舍，③当a2－4＝－3，即a＝±1时，由②可知a＝－1舍，则a＝1时，A＝{－2，1，－3}，综上，a＝0或1.3.(2022·武汉调研)用列举法表示集合A＝{x|x∈Z且86－x∈N}＝________.答案{－2，2，4，5}解析由题意x可取－2，2，4，5，故答案为{－2，2，4，5}.4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.答案 6解析依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个整数.∴所求的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.感悟提升 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考点二集合间的基本关系例1 (1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A.{－1}B.{1}C.{－1，1}D.{－1，0，1}(2)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________. 答案 (1)D (2)[－1，＋∞) 解析 (1)当B ＝时，a ＝0，此时，B ⊆A .当B ≠时，则a ≠0，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－1a .又B ⊆A ，∴－1a ∈A ，∴a ＝±1.综上可知，实数a 所有取值的集合为{－1，0，1}. (2)∵B ⊆A ，①当B ＝时，2m －1>m ＋1，解得m >2，②当B ≠时，⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4，解得－1≤m ≤2，综上，实数m 的取值范围[－1，＋∞). 感悟提升 1.若B ⊆A ，应分B ＝和B ≠两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn 图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.训练1 (1)(2022·大连模拟)设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，若A ＝B ，则a 2 022＋b 2 023的值为( ) A.0 B.1 C.－2D.0或－1(2)已知集合A ＝{x |log 2(x －1)<1}，B ＝{x ||x －a |<2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为( ) A.(1，3)B.[1，3]C.[1，＋∞)D.(－∞，3] 答案 (1)B (2)B解析 (1)集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }， 若A ＝B ，则a 2＝1或ab ＝1.由集合互异性知a ≠1，当a ＝－1时， A ＝{1，a ，b }＝{1，－1，b }， B ＝{a ，a 2，ab }＝{－1，1，－b }， 有b ＝－b ，得b ＝0.∴a 2 022＋b 2 023＝(－1)2 022＋02 023＝1. 当ab ＝1时，集合A ＝{1，a ，b }， B ＝{a ，a 2，ab }＝{a ，a 2，1}，有b ＝a 2. 又b ＝1a ，∴a 2＝1a ，得a ＝1，不满足题意. 综上，a 2 022＋b 2 023＝1，故选B. (2)由log 2(x －1)<1，得0<x －1<2， 所以A ＝(1，3).由|x －a |<2得a －2<x <a ＋2， 所以B ＝(a －2，a ＋2).因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤1，a ＋2≥3，解得1≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为[1，3]. 考点三 集合的运算角度1集合的基本运算例2 (1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}(2)(2021·西安测试)设全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)<1}，那么图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}答案(1)A(2)B解析(1)法一因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}. 又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{5}.故选A.法二因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3，4，5}，∁U N＝{1，2，5}，所以∁U(M∪N)＝{3，4，5}∩{1，2，5}＝{5}.故选A.(2)题图中阴影表示的集合为(∁U M)∩N.易知M＝{x|x<1}，N＝{x|0<x<2}，∴(∁U M)∩N＝{x|1≤x<2}.角度2利用集合的运算求参数例3 (1)(2021·日照检测)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B 中有三个元素，则实数m的取值范围是()A.[3，6)B.[1，2)C.[2，4)D.(2，4](2)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A.a <－2B.a ≤－2C.a >－4D.a ≤－4答案 (1)C (2)D解析 (1)因为x 2－4x －5<0，解得－1<x <5，则集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5<0}＝{0，1，2，3，4}，易知集合B ＝{x ⎪⎪⎪x >m2}.又因为A ∩B 中有三个元素， 所以1≤m2<2，解之得2≤m <4. 故实数m 的取值范围是[2，4). (2)集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2， 由A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，作出数轴如图.可知－a2≥2，即a ≤－4.感悟提升 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.训练2 (1)(2021·全国甲卷改编)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x <a ，且M ∩N ＝N ，则a 的取值范围为( ) A.a ≤13 B.a >4 C.a ≤4D.a >13(2)集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，U ＝R .若M ∩(∁U N )＝，则a 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1] 答案 (1)C (2)B解析 (1)由M ∩N ＝N ，∴M ⊇N . 当N ＝时，即a ≤13成立； 当N ≠时，借助数轴易知13<a ≤4.综上，a ≤4.(2)易得M ＝{x |2x 2－x －1<0} ＝{x ⎪⎪⎪－12<x <1}.∵N ＝{x |2x ＋a >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－a 2，∴∁U N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2. 由M ∩(∁U N )＝，则－a 2≤－12，得a ≥1.Venn 图的应用用平面上封闭图形的内部代表集合，这种图称为Venn 图.集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化.利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念，快速进行集合的运算.例 1 设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈N *}，若A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{1，5，7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，则A ＝________，B ＝________. 答案 {1，3，5，7} {2，3，4，6，8}解析 由题知U ＝{1，2，3，…，9}，根据题意，画出Venn 图如图所示，由Venn 图易得A ＝{1，3，5，7}，B ＝{2，3，4，6，8}.例2 (2020·新高考海南卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A.62%B.56%C.46%D.42%答案 C解析 如图，用Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x ，则(60%－x )＋(82%－x )＋x ＝96%，解得x ＝46%.故选C.例3 向100名学生调查对A ，B 两件事的看法，得到如下结果：赞成A 的人数是全体的35，其余不赞成；赞成B 的人数比赞成A 的人数多3人，其余不赞成.另外，对A ，B 都不赞成的人数比对A ，B 都赞成的学生人数的13多1人，则对A ，B 都赞成的学生人数为________，对A ，B 都不赞成的学生人数为________. 答案 36 13解析 由题意知赞成A 的人数为100×35＝60，赞成B 的人数为60＋3＝63.如图，记100名学生组成的集合为U ，赞成A 的学生的全体记为集合A ，赞成B 的学生的全体记为集合B ，并设对A ，B 都赞成的学生数为x ，则对A ，B 都不赞成的人数为x 3＋1，由题意，知(60－x )＋(63－x )＋x ＋x 3＋1＝100，解得x ＝36.所以对A ，B 都赞成的学生人数为36人，对A ，B 都不赞成的学生人数为13人.1.(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁U B)＝()A.{3}B.{1，6}C.{5，6}D.{1，3}答案 B解析由题设可得∁U B＝{1，5，6}，故A∩(∁U B)＝{1，6}.2.(2021·郑州模拟)设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是()A.(2，5)B.[2，5)C.(2，5]D.[2，5]答案 C解析∵A＝{x|3x－1<m}，1∈A且2∉A，∴3×1－1<m且3×2－1≥m，解得2<m≤5.3.(2021·浙江卷)设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝()A.{x|x>－1}B.{x|x≥1}C.{x|－1<x<1}D.{x|1≤x<2}答案 D解析因为集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，所以A∩B＝{x|1≤x<2}.故选D.4.(2022·河南名校联考)已知集合A＝{a，a2，0}，B＝{1，2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为()A.－1B.0C.1D.±1答案 A解析由题意a＝1或a2＝1，当a ＝1，此时A ＝{1，1，0}与元素互异性矛盾，∴a ＝－1，故选A.5.已知集合A ＝{x ∈Z |y ＝log 5(x ＋1)}，B ＝{x ∈Z |x 2－x －2<0}，则( )A.A ∩B ＝AB.A ∪B ＝BC.B AD.A B答案 C解析 由x ＋1>0，得x >－1，∴A ＝{x ∈Z |x >－1}＝{0，1，2，3，…}.由x 2－x －2<0，得－1<x <2，∴B ＝{0，1}，∴A ∩B ＝B ，A ∪B ＝A ，B A .6.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴A ∩B ＝{(2，－1)}.由M ⊆(A ∩B )，知M ＝或M ＝{(2，－1)}. 7.(2022·太原模拟)已知集合M ＝{x |(x －2)2≤1}，N ＝{y |y ＝x 2－1}，则(∁R M )∩N ＝( )A.[－1，＋∞)B.[－1，1]∪[3，＋∞)C.[－1，1)∪(3，＋∞)D.[－1，1]∪(3，＋∞)答案 C解析由已知可得M＝{x|－1≤x－2≤1}＝{x|1≤x≤3}，N＝{y|y≥－1}，∴∁R M＝{x|x<1或x>3}，∴(∁R M)∩N＝{x|－1≤x<1或x>3}.8.设集合A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，B＝{a}，若A∪B＝A，则a的最大值为()A.－2B.2C.3D.4答案 C解析因为A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，所以A＝{x|－2≤x≤3}.又因为B＝{a}，且A∪B＝A，所以B⊆A，所以a的最大值为3.9.(2021·合肥模拟)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x||x－1|≤2}，则A∩B＝________.答案{－1，0，1，2}解析B＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}，又A＝{－2，－1，0，1，2}，∴A∩B＝{－1，0，1，2}.10.(2021·湖南雅礼中学检测)设集合A＝{x|y＝x－3}，B＝{x|1<x≤9}，则(∁R A)∩B ＝________.答案(1，3)解析因为A＝{x|y＝x－3}，所以A＝{x|x≥3}，所以∁R A＝{x|x<3}.又B＝{x|1<x≤9}，所以(∁R A)∩B＝(1，3).11.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________.答案[1，＋∞)解析由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.12.已知集合A ＝{a ，b ，2}，B ＝{2，b 2，2a }，若A ＝B ，则a ＋b ＝________.答案 34或1 解析 由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a .解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12，又由集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12，所以a ＋b ＝1或a ＋b ＝34.13.若全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{－1，1}D.{0}答案 D解析 B ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U (A ∪B ).又A ∪B ＝{－2，－1，1，2}，全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U (A ∪B )＝{0}.14.(2020·浙江卷)设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T满足：①对于任意的x，y∈S，若x≠y，则xy∈T；②对于任意的x，y∈T，若x＜y，则yx∈S.下列命题正确的是()A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素答案 A解析由题意，①令S＝{1，2，4}，则T＝{2，4，8}，此时，S∪T＝{1，2，4，8}，有4个元素；②令S＝{2，4，8}，则T＝{8，16，32}，此时，S∪T＝{2，4，8，16，32}，有5个元素；③令S＝{2，4，8，16}，则T＝{8，16，32，64，128}，此时，S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，有7个元素.综合①②，S有3个元素时，S∪T可能有4个元素，也可能有5个元素，可排除C，D；由③可知A正确.15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.答案－1 1解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.16.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M ＝{x |ax 2－1＝0，a >0}，N ＝{－12，12，1}，若M 与N “相交”，则a＝________.答案 1解析 M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1a ，1a ，由1a ＝12，得a ＝4，由1a＝1，得a ＝1. 当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意； 当a ＝1时，M ＝{－1，1}，满足题意.。

高三数学一轮复习集合的概念与运算一、复习要求 理解集合的概念及交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法． 二、复习重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 三、学习指导： （一）主要知识： 1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2）集合的分类：① 按元素个数分：有限集，无限集；② 按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x 2}，表示非负实数集，点集{(x ，y)|y=x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； （3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。

3、集合运算 （1）有关概念 ①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且IA BA BA B②并集：}{B x A x x B A ∈∈=或IABABA B③全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U 表示。

④补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且AU C U A（2）常用运算性质及一些重要结论 B A B B A B A A B A ⊆⇔=⊆⇔=Y I（二）主要方法：1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． （三）高考回顾：考题1：（07全国Ⅰ）设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-C.考题2：设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}21,2≤≤--==x x y y B ，则()R C A B I ＝ A ．R B ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ （ ） 考题3：（2020辽宁文）设集合{}12A =，，则满足{}123A B =U ，，的集合B 的个数是（ ） Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．8考题4：（2020全国卷I 理）已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝ Ａ． ∅ Ｂ．｛x |0＜x ＜3｝ Ｃ．｛x |1＜x ＜3｝ Ｄ．｛x |2＜x ＜3｝ 考题5：（07江西）若集合M ＝{0，l ，2}，N ＝{(x ，y)|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M}，则N 中元素的个数为 （ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．2C.考题6：（07湖北）设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 2<=x x P ，{}12<-=x x Q 那么Q P -等于 （ ）A ．{x|0<x<1} B.{x|0<x ≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3}B.考题7：（07北京）已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A I ，则实数a 的取值范围是 .()3,2（四）典型例题：例1、已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N 。

课后跟踪训练(三)基础巩固练一、选择题1．(2019·陕西师大附中模拟)若命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0，则綈p 为( )A ．不存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1<0B ．存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1<0C ．对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1≥0D ．存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1≥0[解析]　命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0的否定綈p ：存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1≥0.故选D.[答案]　D2．(2019·河南教学质量监测)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16>8x ，则命题p 的否定为( )A ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16≤8xB ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16<8xC ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x ＋16≤8x 020D ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x ＋16<8x 020[解析]　全称命题的否定为特称命题，故命题p 的否定綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x ＋16≤8x 0.故选C.20[答案]　C3．(2019·安徽百校论坛联考)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－>0，则下列叙述正确的是( )22xA ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－≤022xB ．綈p ：∃x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－<022xC ．綈p ：∃x ∈(－∞，1]，log 3(x ＋2)－≤022xD ．綈p 是假命题[解析]　綈p ：∃x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－≤0，因为函数f (x )＝22x log 3(x ＋2)－在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (1)＝0(x >1)，故p 22x是真命题，綈p 是假命题．故选D.[答案]　D4．(2019·江西南昌模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋>3，1x 0命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧qD ．(綈p )∨q[解析]　命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋>3，当x 0＝3时，3＋>3，1x 013命题为真．命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，当x ＝4时，两式相等，命题为假，则p ∧(綈q )为真，故选A.[答案]　A5．若命题“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则实数k 的取值范围是( )A ．(－4,0)B ．(－4,0]C ．(－∞，－4]∪(0，＋∞)D ．(－∞，－4)∪[0，＋∞)[解析]　命题：“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题．当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0，且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0.综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．故选B.[答案]　B二、填空题6．(2019·安徽合肥一模)命题：∃x 0∈R ，x －ax 0＋1<0的否定为20____________________．[解析]　写命题的否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题：∃x 0∈R ，x －ax 0＋1<0的否定为∀x ∈R ，x 2－ax 20＋1≥0.[答案]　∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥07．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax ＋x 0＋≤0.若命题p 是假命题，则2012实数a 的取值范围是________．[解析]　因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋>0恒成立．当a ＝0时，x >－，不满足题意；当a ≠0时，要1212使不等式恒成立，则有Error!即Error!解得Error!所以a >，即实数a 12的取值范围是.(12，＋∞)[答案]　(12，＋∞)8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 和函数g (x )＝2x ＋，对任意x 1x ＋1∈[－1，＋∞)，总存在x 2∈R 使g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．[解析]　因为f (x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1，所以f (x )∈[a －1，＋∞)．因为g (x )＝2x ＋在[－1，＋∞)上单调递增，x ＋1所以g (x )∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2，所以a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．[答案]　(－∞，－1]三、解答题9．(2019·甘肃平凉月考)设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝的定义域为R .若p ∨q 是真命题，p ∧ax 2－x ＋a q 是假命题，求实数a 的取值范围．[解]　∵关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}，∴0<a <1.∵函数y ＝的定义域为R ，ax 2－x ＋a ∴Error!解得a ≥.由题意，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，12则命题p ，q 一真一假．当p 真q 假时，Error!解得0<a <；当q 真p 12假时，Error!解得a ≥1.综上，实数a 的取值范围是∪[1，＋∞)．(0，12)10．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．[解]　(1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]．(2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由Error!得1<m ≤2；当p 假q 真时，由Error!得m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．能力提升练11．(2018·山西太原联考)给出下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数；p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )．则下列命题中的真命题为( )A ．p 1∨p 2B ．p 2∧p 3C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3[解析]　对于p 1，令f (x )＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)，当a ＝时，f (0)＝120＋0＝1，f (－1)＝－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－(12)(12)ab ＋b 2＝2＋b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝(a －12b )34cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题．所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.[答案]　D12．(2019·广东汕头期末)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，x ＋4x 0＋a ＝0”．若命题p ∧q 是真命题，则实数a 20的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，－1)[解析]　∵∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，∴a ≥(e x )max ，可得a ≥e.∵∃x 0∈R ，x ＋4x 0＋a ＝0，∴Δ＝16－4a ≥0，解得a ≤4.∵命题p ∧q 是真命题，∴p 20与q 都是真命题，∴实数a 的取值范围是[e,4]．故选C.[答案]　C13．(2019·甘肃高台一中第三次检测)设p ：∃x ∈，使函数(1，52)g (x )＝log 2(tx 2＋2x －2)有意义．若綈p 为假命题，则实数t 的取值范围为________．[解析]　因为命题綈p 为假命题，所以命题p 为真命题．∃x ∈，使函数g (x )＝log 2(tx 2＋2x －2)有意义等价于∃x ∈，使tx 2＋(1，52)(1，52)2x －2>0成立，即∃x ∈，使t >－成立．令h (x )＝－，x ∈，(1，52)2x 22x 2x 22x (1，52)则∃x ∈，使t >－成立等价于t >h (x )min .因为h (x )＝－＝2(1，52)2x 22x 2x 22x 2－，x ∈，所以当＝，即x ＝2时，h (x )min ＝－，所(1x －12)12(1，52)1x 1212以t >－.12[答案]　(－12，＋∞)14．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，求实数m 的取值范围．[解]　若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0得m ＝，设f (x )＝，e x x e x x则f ′(x )＝＝.e x ·x －e x x 2(x －1)e x x 2当x >1时，f ′(x )>0，此时函数单调递增；当0<x <1时，f ′(x )<0，此时函数单调递减；当x <0时，f ′(x )<0，此时函数单调递减．由f (x )的图象及单调性知当x ＝1时，f (x )＝取得极小值f (1)＝e ，e x x所以函数f (x )＝的值域为(－∞，0)∪[e ，＋∞)，所以若p 是假命题，e x x则0≤m <e ；命题q 为真命题时，有Δ＝4m 2－4≤0，则－1≤m ≤1.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是[0,1]．拓展延伸练15．(2019·东北三省四市联考)下列四个命题中，真命题的个数是( )①“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件；②命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”；③“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题；④命题p：∀x∈[1，＋∞)，lg x≥0，命题q：∃x0∈R，x＋x0＋1<0，则p∨q为真命题20A．0 B．1 C．2 D．3[解析]　当x＝1时，x2－3x＋2＝0，当x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，所以“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，故①正确；命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”，故②正确；“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”，当m＝0时，该逆命题为假命题，故③错；当x≥1时，lg x≥0，命题p 是真命题，故p∨q是真命题，故④正确．故真命题的个数是3.故选D.[答案]　D16．(2019·皖南名校联考)设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2,3)C．(2,3] D．[3，＋∞)[解析]　若p为真命题，则f′(x)＝3x2－a≤0在区间[－1,1]上恒成立，即a≥3x2在区间[－1,1]上恒成立，所以a≥3；若q为真命题，则方程x2＋ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－4≥0，即a≥2或a≤－2.由题意知，p与q一真一假．当p真q假时，Error!则a∈∅；当p假q真时，Error!则a≤－2或2≤a<3.综上所述，a∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选B.[答案]　B。

高考总复习 一轮配套精练 数学文科答案详析第一章 集合与常用逻辑用语 第1课 集合的概念与运算A 应知应会1. {2，4，5} 【解析】因为全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，所以∁U A ＝{2，4，5}．2. {0，1} 【解析】因为A ＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，B ＝{－2，0，1，2}，所以A ∩B ＝{0，1}．3. {－1，0，1} 【解析】因为A ＝{0，1}，B ＝{－1，0}，所以A ∪B ＝{－1，0，1}．4. 5 【解析】A ∪B ＝{－1，0，1，2，7}，所以集合A ∪B 中元素的个数为5.5. 0 【解析】因为A ＝{1，3}，B ＝{a 2＋2，3}，且A ∪B ＝{1，2，3}，所以a 2＋2＝2，即a ＝0.6. 1 【解析】因为B ⊆A ，所以a ∈A ，所以a ＝a ，解得a ＝1或a ＝0(舍去)．7. 【解答】因为A ＝{x|x 2－1≤0}＝{x|－1≤x ≤1}，B ＝{x|0<x ≤3}，所以A ∩B ＝{x|0<x ≤1}，A ∪B ＝{x|－1≤x ≤3}．又∁U A ＝{x |1<x ≤4}，∁U B ＝{x |－1≤x ≤0或3<x ≤4}，所以(∁U B )∩A ＝{x |－1≤x ≤0}． 8. 【解答】①当a<0时，A ＝∅，显然A ∩B ＝∅成立．②当a ≥0时，A ＝{x|2－a ≤x ≤2＋a}，B ＝{x|x ≤1或x ≥4}， 由A ∩B ＝∅，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a>1，2＋a<4，a ≥0，解得0≤a<1.综上所述，a 的取值范围为(－∞，1)．B 巩固提升1. {2，6} 【解析】因为全集I ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{1，3，5}，所以∁I A ＝{2，4，6}，又因为B ＝{2，3，6}，所以(∁I A)∩B ＝{2，6}．2. {－1，0，1} 【解析】由并集的定义可得A ∪B ＝{－1，0，1，2，3，4}，结合交集的定义可知(A ∪B)∩C ＝{－1，0，1}．3. [－2，1) 【解析】由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2，所以A ＝{x|－2≤x ≤2}；由1－x>0，得x<1，所以B ＝{x|x<1}，故A ∩B ＝{x|－2≤x<1}．4. {x|x ＜0} 【解析】因为集合B ＝{x|x ＜0}，所以A ∩B ＝{x|x ＜0}．5. －2 【解析】因为A ＝B ，所以a 2＝4，解得a ＝±2.又因为a<0，所以a ＝－2.6. (－∞，－1]∪[5，＋∞) 【解析】因为∁U B ＝(－∞，0)∪[5，＋∞)，又A ⊆(∁U B)，所以a ＋1≤0或a ≥5，解得a ≤－1或a ≥5.7. 【解答】(1) 由题可知⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝3，故x ＋y ＝19.(2) 假设存在实数x ，使得B ⊆A ，则2－x ＝3或2－x ＝x.若2－x ＝3，则x ＝－1，不合题意；若2－x ＝x ，则x ＋x －2＝0，解得x ＝1，不合题意． 故不存在实数x ，使得B ⊆A.8. 【解答】(1) 当a ＝0时，A ＝{x|0≤x ≤3}，B ＝{x|－3≤x ≤2}，所以∁R B ＝{x |x ＜－3或x ＞2}，所以A ∪B ＝{x |－3≤x ≤3}，A ∩(∁R B )＝{x |2＜x ≤3}． (2) 因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－3，a ＋3≤2，解得－3≤a ≤－1，所以实数a 的取值范围为[－3，－1]．第2课 四种命题和充要条件A 应知应会 1. 逆否命题2. ②③ 【解析】①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题．3. 充分不必要 【解析】因为q ：x ≤1或x ≥4，所以p 是q 的充分不必要条件．4. 0 【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x<1，x ≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x<a 成立的充要条件为{x|0≤x<1}，所以a 的值是0.5. 3或4 【解析】由x 2－4x ＋n ＝0，得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n.因为n ∈N *，方程有整数解，所以n ＝3或4，故当n ＝3或4时方程有整数解．6. ⎣⎡⎦⎤－12，43 【解析】解不等式|x －m|<1，得 m －1<x<m ＋1.由题可得⎝⎛⎭⎫13，12⊆ (m －1，m ＋1)，故⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.7. 【解答】由x 2－5x ＋6≥0，得x ≥3或x ≤2.因为命题q 为假，所以x ≤0或x ≥4.则{x|x ≥3或x ≤2}∩{x|x ≤0或x ≥4}＝{x|x ≤0或x ≥4}． 所以满足条件的实数x 的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞)．8. 【解答】由x 2＋x －6<0，得－3<x<2，即A ＝(－3，2)．又由x －a>0，得x>a ，即B ＝(a ，＋∞)．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以(－3，2)⊆(a ，＋∞)，所以a ≤－3.故实数a 的取值范围是(－∞，－3]．B 巩固提升1. 必要不充分 【解析】由2a >2b ，解得a>b ，由“lg a>lg b”解得a>b>0，所以“2a >2b ”是“lg a>lg b”的必要不充分条件．2. 充分不必要 【解析】若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λn 2<0成立，所以为充分条件；当m ·n <0时，m 与n 不一定共线，所以“存在负数λ，使得m ＝λn ”不一定成立，所以不是必要条件．综上可知，“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件．3. (1，4) 【解析】当1≤x ≤2时，|f(x)－a|<2恒成立，即f(x)－2<a<f(x)＋2，当1≤x ≤2时，f(x)＋2的最小值是4，f(x)－2的最大值是1，所以1<a<4，故实数a 的取值范围是(1，4)．4. 1，－1(答案不唯一) 【解析】使“若a>b ，则1a <1b ”为假命题，举一反例即可，只需取a ＝1，b ＝－1即可满足，所以满足条件的一组a ，b 的值为1，－1(答案不唯一)．5. ①②④ 【解析】①因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①是真命题；②其逆否命题为真，故②是真命题；③“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；④否命题为“若xy ≠0，则x ，y 都不为零”是真命题．6. ⎣⎡⎭⎫0，12 【解析】因为p ：12≤x<1，q ：a<x<a ＋1，所以由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a<12，a ＋1≥1⇒0≤a<12.7. 【解答】因为集合A ＝{x|x 2－6x ＋8<0}＝{x|2<x<4}，B ＝{x|(x －a)(x －3a)<0}．(1) 当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a>0时，B ＝{x|a<x<3a}，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2.当a<0时，B ＝{x|3a<x<a}，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，无解．综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2. (2) 要满足A ∩B ＝∅，当a>0时，B ＝{x|a<x<3a}，则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4.当a<0时，B ＝{x|3a<x<a}，则a ≤2或3a ≥4，即a<0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)． 8. 【解答】因为命题p 是真命题，所以0<m<6，m ∈N ，①所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪mx －1x <0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <1m .由题意知B ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝{x |log 12x >1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 因为命题q ，r 都是真命题，所以A B ，C A ，所以⎩⎨⎧1m≤4，1m >12.② 由①②得m ＝1.第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A 应知应会1. 假2. ∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠03. ②③ 【解析】由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③非q 为真命题，则p ∧(非q)为真命题；④非p 为假命题，则(非p)∨q 为假命题．4. [－3，0] 【解析】因为命题p “∃x ∈R ，2ax 2＋ax －38>0”为假命题，所以对任意的x ∈R ，都有2ax 2＋ax －38≤0.当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，a <0，且Δ＝a 2＋3a ≤0，所以－3≤a <0.综上，实数a 的取值范围是[－3，0]．5. ⎝⎛⎦⎤12，23 【解析】命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，即3a 2≤1，解得a ≤23.命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x 在R 上为减函数，即 0＜2a －1＜1，解得12＜a ＜1.若“p ∧q ”为真命题，则有a ≤23且12＜a ＜1，所以12＜a ≤23，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，23. 6. [2，＋∞) 【解析】依题意知p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.7. 【解答】由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)·(ax －1)＝0，所以x ＝－2a 或x ＝1a .若只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，即Δ＝(2a)2－8a ＝0，因为a>0，所以a ＝2.因为“p ∨q ”是假命题，所以p ，q 均为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪－2a >1，⎪⎪⎪⎪1a >1，a ≠2，a>0，解得0<a<1.所以实数a 的取值范围是(0，1)．8. 【解答】p ：－1≤x ≤5.(1) 因为p 是q 的充分条件，所以[－1，5]是[1－m ，1＋m]的子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m ≤－1，1＋m ≥5，解得m ≥4.所以实数m 的取值范围为[4，＋∞)．(2) 当m ＝5时，q ：－4≤x ≤6.由题意知p 与q 一真一假．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x<－4或x>6，得x ∈∅.当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧x<－1或x>5，－4≤x ≤6，得－4≤x<－1或5<x ≤6.所以实数x 的取值范围为[－4，－1)∪(5，6]．B 巩固提升1. ④ 【解析】由指数函数图象恒过点(0，1)，函数y ＝a x ＋1＋1的图象是由y ＝a x 先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以函数y ＝a x ＋1＋1的图象恒过点(－1，2)，故命题p 为真命题；命题q ：直线m 与平面β的位置关系也可能是m ⊂β，故q 是假命题，所以p ∧(非q)为真命题．故④正确．2. 1 【解析】因为“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，所以“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，所以Δ＝4－4m <0，解得m >1，故a 的值是1.3. ⎣⎡⎦⎤23，1 【解析】令f(x)＝x 2－4ax ＋3a 2，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－4a ＋3a 2≤0，f （2）＝4－8a ＋3a 2≤0，解得23≤a ≤1，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，1. 4. ①③ 【解析】①命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以“p ∧(非q)”为假命题，故①正确；②当a ＝b ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确的结论为①③.5. ①② 【解析】对于①，由存在x ∈[0，2]，使x 2－a ≥0成立，可得a ≤4，因此为充分不必要条件，故①正确；②显然正确；对于③，若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 中至少有一个假命题，所以③错误．6. (－∞，1] 【解析】由题意知，f(x 1)min ⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g(x 2)min (x 2∈[2，3])，因为f(x)＝x ＋4x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f′(x)＝1－4x 2<0，所以f(x)在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，所以f(x)min ＝f(1)＝5，又因为g(x)在[2，3]上的最小值为g(2)＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1.7. 【解答】(1) 若p 为真命题，则ax 2＋2x ＋a>0的解集为R ，则a >0且4－4a 2<0，解得a >1. 若q 为真命题，则a4≥1，即a ≥4.因为“p ∧(非q )”为真命题，所以p 为真命题且q 为假命题， 所以实数a 的取值范围是(1，4)．(2) 解不等式(x －m )(x －m ＋2)<0，得m －2<x <m ， 即A ＝(m －2，m )．由(1)知，B ＝(1，＋∞)．因为A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，所以m －2≥1，即m ≥3. 故实数m 的取值范围为[3，＋∞)．8. 【解答】(1) 由题意得f′(x)＝3x 2＋2ax ＋1≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立，所以Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.所以实数a 的取值范围为[－3，3]．(2) 若q 真：因为g′(x)＝e x －1≥0对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立， 所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，则g(0)＝a ＋1>0⇒a>－1. 由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题知p ，q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎨⎧－3≤a ≤3，a ≤－1，解得a ∈[－3，－1]；若p 假q 真，则⎩⎨⎧a<－3或a>3，a>－1，解得a ∈(3，＋∞)．综上所述，a 的取值范围为[－3，－1]∪(3，＋∞)．第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第4课 函数的概念及其表示法A 应知应会1. 0或－2 【解析】令x 2＋2x ＋3＝3，解得x ＝0或－2. 2.5x ＋1x 2 【解析】令t ＝1x (t ≠0)，所以x ＝1t ，所以f(t)＝1t 2＋5t ，所以f(x)＝5x ＋1x 2. 3. 13 【解析】由题意知g ⎝⎛⎭⎫13＝ln 13＜0，所以 g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫13＝eln 13＝13. 4. ③ 【解析】①中，g(x)＝x 2＝|x|≠x ；②中，g(x)＝(x －1)0＝1(x ≠1)；③中，f(x)＝1(x>0)，g(x)＝1(x>0)；④中，f(x)＝x 2－9x ＋3＝x －3(x ≠－3)．故③中表示同一函数．5. 2 【解析】因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x<1，2x，x ≤0，所以f(－2)＝2－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝4，f(4)＝4＝2，所以f(f(f(－2)))＝2.6. 1 【解析】令3x －1＝－710，得x ＝10，所以f ⎝⎛⎭⎫－710＝lg 10＝1. 7. 【解答】(1) 设f(x)＝ax 2＋bx(a ≠0)， 则a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝12，b ＝12.因此f(x)＝12x 2＋12x.(2) 由已知得⎩⎨⎧f （x ）＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ＋1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f （x ）＝2x ＋1，消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得f(x)＝4＋x －2x 23x ＝43x －23x ＋13. (3) 设t ＝2x ＋1(t>1)，则x ＝2t －1，所以f(t)＝lg 2t －1(t>1)，故f(x)＝lg 2x －1(x>1)．8. 【解答】由题意知此框架的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长为2x ，宽为a ，半圆的直径为2x ，半径为x ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝l 2－π2x －x ，所以y ＝πx 22＋(l 2－π2x －x)·2x ＝－⎝⎛⎭⎫2＋π2x 2＋lx. 根据实际意义知l 2－π2x －x>0，因为x>0，解得0<x<l2＋π，即函数y ＝－⎝⎛⎭⎫2＋π2x 2＋lx 的定义域是{x|0<x<l2＋π}．B 巩固提升1. 2x －1 【解析】由g(x ＋2)＝f(x)，得g(x ＋2)＝2x ＋3.令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入可得g(t)＝2t －1，从而g(x)＝2x －1.2. 6 【解析】当0<a<1时，a ＋1>1，所以f(a)＝a ，f(a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a.由f(a)＝f(a ＋1)，得a ＝2a ，所以a ＝14.此时f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1>1，所以f(a)＝2(a －1)，f(a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a.由f(a)＝f(a ＋1)，得2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.3. 9 【解析】因为f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f(－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 4. f(x)＝1516x －916x ＋18(x ≠0) 【解析】用1x代替x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f(x)＝3x ＋1， 所以⎩⎨⎧3f （x ）＋5⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f （x ）＝3x ＋1，②由①②得f(x)＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．5. [－3，2] 【解析】由表格数据作出二次函数的草图，结合数据与图象即可发现不等式f(x)≤0的解集为[－3，2]．6. (－2，1) 【解析】作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x>0，0，x ＝0，2x －1，x<0的图象如图所示，所以f(x)是定义域为R 的奇函数也是增函数，所以不等式f (x 2－2)＋f (x )＜0，即f (x 2－2)＜f (－x )，x 2－2＜－x ，解得－2＜x ＜1，所以原不等式的解集为(－2，1)．(第6题)7. 【解答】(1) 因为0＜c ＜1，所以c 2＜c. 由f(c 2)＝98，得c 3＋1＝98，所以c ＝12.(2) 由(1)得f(x)＝⎩⎨⎧12x ＋1，0<x<12，2－4x＋1，12≤x<1.当0＜x ＜12时，12x ＋1>28＋1，解得24＜x ＜12；当12≤x ＜1时，2－4x ＋1>28＋1，解得12≤x ＜58. 所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪24<x<58.8. 【解答】(1) 由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2) 令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.因为x ≥0，所以0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70 km /h .第5课 函数的定义域与值域A 应知应会1. {x|x>3} 【解析】要使函数有意义，则有x －3>0，所以x>3，故函数的定义域为{x|x>3}．2. [2，＋∞) 【解析】要使函数f(x)有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，即函数f(x)的定义域为[2，＋∞)．3. {1，4} 【解析】当x ＝－1时，f(x)＝1；当x ＝2时，f(x)＝4，所以f(x)的值域是{1，4}．4. [0，2] 【解析】－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，所以0≤－x 2＋4x ≤2，所以0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2.5. [4，＋∞) 【解析】当m ＝0时，不符合题意，所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝m 2－4m ≥0，解得m ≥4.6. [－3，＋∞) 【解析】当x>1时，f(x)∈(0，1)；当x ≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，所以f(x)∈[－3，＋∞)．7. 【解答】(1) 因为集合A 表示函数f(x)＝1x ＋2＋lg (3－x)的定义域，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，3－x>0，即A ＝(－2，3)，所以∁U A ＝(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2) 因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以a ≥3. 故实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 8. 【解答】令f(x)＝mx 2＋x ＋1.(1) 由题意知f(x)≥0在R 上恒成立．①当m ＝0时，f (x )＝x ＋1≥0在R 上不恒成立；②当m ≠0时，要满足题意，必有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝1－4m ≤0，所以m ≥14.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞. (2) 由题意知，f (x )＝mx 2＋x ＋1能取到一切大于或等于0的实数．①当m ＝0时，f (x )＝x ＋1可以取到一切大于或等于0的实数；②当m ≠0时，要满足题意，必有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝1－4m ≥0，所以0<m ≤14.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，14. B 巩固提升1. [－4，0)∪(0，1) 【解析】函数的定义域必须满足条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得x ∈[－4，0)∪(0，1)． 2. (0，1] 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧2x ≥0，2x －1≥0，解得x ≥12，即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，函数y ＝2x －2x －1＝12x ＋2x －1，令t(x)＝2x ＋2x －1，则t(x)在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，当x ＝12时，t(x)min ＝1，即t(x)≥1，所以y ＝1t∈(0，1]，即函数的值域为(0，1]．3. [－5，－1] 【解析】因为1≤f(x)≤3，所以1≤f(x ＋3)≤3，所以－6≤－2f(x ＋3)≤－2，所以－5≤F(x)≤－1.4. [0，1] 【解析】由题意知kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0在R 上恒成立．当k ＝0时，显然成立；当k >0时，Δ＝(－6k )2－4k (k ＋8)≤0，得0<k ≤1.综上，实数k 的取值范围为[0，1]．5. [－1，2] 【解析】因为y ＝f(x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f(x)的定义域为[－1，2]．6. 15 【解析】因为A ⊆[8，16]，所以8≤f(x)≤16对任意的x ∈[1，3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤16x －x 2，a ≥8x －x 2对任意的x ∈[1，3]恒成立，当x ∈[1，3]时，16x －x 2∈[15，39]，8x －x 2∈[7，15]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤15，a ≥15，故a ＝15，即a 的值为15.7. 【解答】(1) 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f(x)＝a －1x ，所以函数f(x)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数．所以f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤a －2，a －12， 结合题设有⎩⎨⎧a －2＝12，a －12＝2，所以a ＝52.(2) 当x ∈[m ，n](m<n<0)时，f(x)＝a ＋1x ，所以函数f(x)在[m ，n]上是减函数， 所以f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤a ＋1n，a ＋1m ， 假设存在实数a ，使得函数f(x)的定义域与值域均为[m ，n]，则⎩⎨⎧a ＋1n＝m ，a ＋1m ＝n.两式相减，得1m －1n ＝n －m ，即n －m mn＝n －m ，因为m<n<0，所以mn ＝1，所以a ＝0.综上所述，存在实数a ＝0满足题设，此时mn ＝1. 8. 【解答】(1) f(x)＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a](a>0)． (2) 由(1)知函数f(x)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，14. 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎡⎦⎤1，32， 则f(x)＝F(t)＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2. 因为当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎡⎦⎤1，32. 又当t ∈⎣⎡⎦⎤1，32时，y ＝t ＋4t 单调递减， 故F(t)单调递增，所以F(t)∈⎣⎡⎦⎤13，613.所以函数f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤13，613.第6课 函数的单调性A 应知应会1. ⎝⎛⎦⎤－∞，34 【解析】令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18. 因为u ＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u在R 上单调递减，所以y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递增． 2. (3，＋∞) 【解析】依题意得不等式f(x)＜f(2x －3)等价于x ＜2x －3，解得x ＞3，即x 的取值范围是(3，＋∞)．3. 5 【解析】依题意可得函数图象的对称轴方程为x ＝a －12×2＝1，所以a ＝5.4. ⎣⎡⎦⎤0，32 【解析】y ＝－(x －3)|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x>0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象如图所示，观察图象可知函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，32.(第4题)5. ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【解析】设x 1>x 2>－2，则f(x 1)>f(x 2)，又f(x 1)－f(x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1（x 1＋2）（x 2＋2）＝（x 1－x 2）（2a －1）（x 1＋2）（x 2＋2）>0.由x 1－x 2>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，知2a －1>0，所以a>12.6. 3 【解析】因为y ＝⎝⎛⎭⎫13x和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1，1]上的减函数，所以f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)是在区间[－1，1]上的减函数，所以最大值为f(－1)＝3.7. 【解答】设x 1，x 2是任意两个正数，且0＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a)． 当0＜x 1＜x 2≤a 时，0＜x 1x 2＜a ，又x 1－x 2＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2)， 所以函数f(x)在(0，a]上是减函数；当a ≤x 1＜x 2时，x 1x 2＞a ，又x 1－x 2＜0， 所以f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)， 所以函数f(x)在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f(x)＝x ＋ax (a ＞0)在(0，a]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．8. 【解答】(1) 任取x 1<x 2<－2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f(x 1)<f(x 2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2) 任取1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a>0，x 2－x 1>0，所以要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤1. 综上所述，a 的取值范围是(0，1]． B 巩固提升 1. [3，＋∞) 【解析】设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调增区间为[3，＋∞)．2. (－∞，0)∪(1，＋∞) 【解析】因为f(x)为R 上的减函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＞f (1)，所以1x ＜1.当x ＜0时，显然成立；当x ＞0时，得x ＞1，所以实数x 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．3. －6 【解析】由函数f(x)的图象可知，函数f(x)在(－∞，－a 2]上单调递减，在[－a 2，＋∞)上单调递增，又函数f(x)的单调增区间是[3，＋∞)，所以－a2＝3，解得a ＝－6.4. [0，1) 【解析】由题意知g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x>1，0，x ＝1，－x 2，x<1，其图象如图所示，由图象知单调减区间是[0，1)．(第4题)5. [－2，0) 【解析】因为当x ≥1时，f(x)＝－x 2＋2ax －2a 是减函数，所以a ≤1.当x ＜1时，函数f(x)＝ax ＋1是减函数，所以a ＜0，分界点处的值应满足－12＋2a ×1－2a ≤1×a ＋1，解得a ≥－2，所以－2≤a ＜0.6. (－∞，0) 【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，若f(x ＋1)<f(2x)，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x<0，2x<x ＋1，解得x<0，所以满足f(x ＋1)<f(2x)的x 的取值范围是(－∞，0)．(第6题)7. 【解答】(1) 由2f(1)＝f(－1)，得22－2a ＝2＋a ，解得a ＝23. (2) 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2， f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋1－ax 1－x 22＋1＋ax 2＝x 21＋1－x 22＋1－a(x 1－x 2)＝x 21－x 22x 21＋1＋x 22＋1－a(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a . 因为0≤x 1＜x 21＋1，0＜x 2＜x 22＋1，所以0＜x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1＜1.又因为a ≥1，所以f(x 1)－f(x 2)＞0， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减．8. 【解答】(1) 当a ＝1时，f(x)＝2x －1x，任取0<x 1<x 2≤1，则f(x 1)－f(x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2.因为0<x 1<x 2≤1，所以x 1－x 2<0，x 1x 2＞0.所以f(x 1)<f(x 2)，所以f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．(2) 若a ≥0，y ＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a.若a ＜0，f(x)＝2x ＋－ax，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2＜1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，－a 2上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a.第7课 函数的奇偶性A 应知应会1. 2 【解析】因为偶函数的定义域应当关于原点对称，故t －4＝－t ，解得t ＝2. 2. 12 【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即12－x －1＋a ＝－12x －1－a ，化简得2a ＝1，解得a ＝12.3. 奇函数 【解析】显然f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称．又因为f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．4. 27 【解析】由f(－7)＝－17，得g(－7)＝－22，根据g(x)为奇函数，得g(7)＝22，又f(7)＝g(7)＋5，所以f(7)＝22＋5＝27.5. －2 【解析】因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又因为当x <0时，f (x )＝log 2(2－x )，所以f (2)＝－f (－2)＝－log 2(2＋2)＝－2，故f (0)＋f (2)＝－2.6. (－∞，2] 【解析】由f(x)在R 上是奇函数且在(－∞，0]上单调递增，知f (x )在R 上单调递增．又f (－1)＝－2，则f (1)＝2，所以f (2x －3)≤2＝f (1)，所以2x －3≤1，即x ≤2.7. 【解答】因为f(x)是定义在R 上的奇函数，可得f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知得f (－x )＝x lg(2＋x )， 所以－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x )(x >0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg （2－x ），x <0，－x lg （2＋x ），x ≥0.即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )．8. 【解答】(1) 当a ＝0时，f(x)＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x)，所以f(x)为偶函数． 当a ≠0时，f(x)＝x 2＋ax，f(－1)＝1－a ，f(1)＝1＋a ，所以f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，当a ＝0时，f(x)为偶函数；当a ≠0时，f(x)为非奇非偶函数．(2) 设2≤x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a]，要使函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，则f(x 1)－f(x 2)<0恒成立．因为x 1－x 2<0，x 1x 2>4， 所以a<x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又因为x 1＋x 2>4，所以x 1x 2(x 1＋x 2)>16， 所以实数a 的取值范围是(－∞，16]．B 巩固提升1. 1 【解析】由题知y ＝ln (x ＋a ＋x 2)是奇函数，所以ln (x ＋a ＋x 2)＋ln (－x ＋a ＋x 2)＝ln (a ＋x 2－x 2)＝ln a ＝0，解得a ＝1.2. －3 【解析】因为f(x)为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3. [1，3] 【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝1，不等式－1≤f(x －2)≤1，即f(1)≤f(x －2)≤f(－1)，因为f(x)在R 上单调递减，所以－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3，故x 的取值范围为[1，3]．4. [－1，3] 【解析】易知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝2，所以f(x －1)≤2＝f(2)，即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3.5. (－5，0)∪(5，＋∞) 【解析】由于f(x)为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．6. ④ 【解析】依题意知性质(1)反映函数f(x)在定义域上为奇函数，性质(2)反映函数f(x)在定义域上为减函数．①f(x)＝1x 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，排除①；②f(x)＝x 2为定义域上的偶函数，排除②；③f(x)＝2x －12x＋1＝1－22x ＋1的定义域为R ，由于y ＝2x ＋1在R 上为增函数，故函数f (x )为R 上的增函数，排除③；④根据f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0的图象，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故④为“理想函数”．7. 【解答】(1) 显然f(x)的定义域是R ，关于原点对称．在f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )中，令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，所以f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2) 由f (－3)＝a ，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，及f (x )是奇函数，得f (12)＝2f (6)＝4f (3)＝－4f (－3)＝－4a .8. 【解答】(1) 由题意得－3x ＋13x ＋1＋1＝3x，化简得3·(3x )2＋2·3x －1＝0，解得3x ＝－1(舍去)或3x ＝13，从而x ＝－1.(2) 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0， 所以－3－x ＋a 3－x ＋1＋b ＋－3x ＋a 3x ＋1＋b＝0，化简并变形得(3a －b)(3x ＋3－x )＋2ab －6＝0.要使上式对任意的x 恒成立，则3a －b ＝0且2ab －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，因为f(x)的定义域是R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3不合题意，所以a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝－3x ＋13x ＋1＋3＝13⎝⎛⎭⎫－1＋23x ＋1，对任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝13⎝⎛⎭⎫23x 1＋1－23x 2＋1＝23·3x 2－3x 1（3x 1＋1）（3x 2＋1）. 因为x 1<x 2，所以3x 2－3x 1>0，所以f (x 1)>f (x 2)，因此f (x )在R 上单调递减．因为f (t 2－2t )<f (2t 2－k )，所以t 2－2t >2t 2－k ， 即t 2＋2t －k <0在R 上有解， 所以Δ＝4＋4k >0，解得k >－1. 所以k 的取值范围为(－1，＋∞)．第8课 函数的图象和周期性A 应知应会 1. 2.5 【解析】由f(x ＋2)＝－f(x)，得f(x ＋4)＝f((x ＋2)＋2)＝－f(x ＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.2. y ＝(x －1)2＋3 【解析】把函数y ＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2的图象，再向上平移1个单位长度，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3的图象．3. 116 【解析】f(2)＝f(3)＝f(4)＝⎝⎛⎭⎫124＝116.4. (－∞，0]∪(1，2] 【解析】y ＝f(x ＋1)的图象向右平移1个单位长度得到y ＝f(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴方程为x ＝1，过定点(2，0)，且函数在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)的大致图象如图所示．不等式(x －1)f(x)≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x>1，f （x ）≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x<1，f （x ）≥0.由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1，2]．(第4题)5. 1 【解析】f(x ＋2)＝f(x)⇒T ＝2，由f ⎝⎛⎭⎫－52－f ⎝⎛⎭⎫92＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，4－12＋a ＝14－log 212⇒a ＝34，因此f(4a)＝f(3)＝f(－1)＝4－1＋34＝1.6. 【解答】(1) y ＝2x －1x －1＝2（x －1）＋1x －1＝2＋1x －1. 先作出函数y ＝1x 的图象，再把函数y ＝1x 的图象向右平移1个单位长度后得到函数y ＝1x －1的图象，最后把函数y ＝1x －1的图象向上平移2个单位长度后得到函数y ＝2＋1x －1的图象，如图(1)所示．(2) y ＝(x ＋1)|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋2，x<2，x 2－x －2，x ≥2.函数的图象如图(2)所示．(3) 首先作出函数y ＝2x 的图象，在y 轴右边的保持不变，去掉y 轴左边的图象，再把y轴右边的图象对称地翻折到y 轴左边，即得函数y ＝2|x|的图象，最后把函数y ＝2|x|的图象向左平移1个单位长度后得到函数y ＝2|x ＋1|的图象，如图(3)所示．图(2)图(3)(第6题)7. 【解答】(1) 由函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，知f(x ＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x ＋2)．又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 故f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 即函数f (x )是以4为周期的周期函数．(2) 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝0.当x ∈[－1，0)时，－x ∈(0，1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x . 故当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－－x . 当x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1，0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而当x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4. B 巩固提升1. 4 【解析】由f(x)·f(x ＋2)＝13，得f(x ＋2)＝13f （x ），所以f(x ＋4)＝f((x ＋2)＋2)＝13f （x ＋2）＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．2. 1 【解析】由题意可知f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 3. (－1，1] 【解析】如图，作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，当x ＝1时，两图象相交，由图象知不等式的解集为{x|－1＜x ≤1}．(第3题)4. g(x)＝3x －2 【解析】设g(x)上的任意一点A(x ，y)，则该点关于直线x ＝1的对称点为B(2－x ，y)，而该点在f(x)的图象上．所以y ＝⎝⎛⎭⎫132－x＝3x －2，即g(x)＝3x －2.5. [0，2) 【解析】方法一：由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域．画出函数f(x)＝|2x －2|的图象如图所示，由图易得值域为[0，2)．方法二：因为x ∈(－1，2)，所以2x ∈⎝⎛⎭⎫12，4，2x －2∈⎝⎛⎭⎫－32，2，所以|2x －2|∈[0，2)．因为y ＝f(x －1)是由f(x)向右平移1个单位长度得到的，所以值域不变，所以y ＝f(x －1)的值域为[0，2)．(第5题)6. 1 516 【解析】因为函数y ＝f(x)是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[－2，0]时，f(x)＝2x ＋1，所以函数的值域为[－3，1]，对任意x i ，x j (i ，j ＝1，2，3，…，n)，都有|f(x i )－f(x j )|≤f(x)max －f(x)min ＝4，要使n ＋x n 取得最小值，尽可能多让x i (i ＝1，2，3，…，n)取得最值，且f(0)＝1，f(2)＝－3，因为0≤x 1＜x 2＜…＜x n ，|f(x 1)－f(x 2)|＋|f(x 2)－f(x 3)|＋…＋|f(x n－1)－f(x n )|＝2 020，所以n 的最小值为2 0204＋1＝506，相应的x n 最小值为1 010，则n ＋x n 的最小值为1 516.7. 【解答】(1) 因为f(x ＋2)＝－f(x)，所以f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)． 所以f(x)的最小正周期为4.(2) f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 又因为f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.8. 【解答】 (1) 因为f(4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2) 因为f(x)＝x|4－x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥4，－x 2＋4x ，x<4.即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－4，x ≥4，－（x －2）2＋4，x<4， 所以函数f(x)的图象如图所示．由图象知函数f(x)有两个零点．(3) 从图象上观察可知，f(x)的单调减区间为[2，4]．(4) 从图象上观察可知，不等式f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}．(5) 由图象可知若y ＝f(x)与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m<4，所以集合M ＝{m|0<m<4}．(第8题)第9课 二次函数、幂函数A 应知应会1. 13 【解析】设幂函数为f(x)＝x α，由图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，－18，得－18＝(－2)α，所以α＝－3，所以f(x)＝x－3，令x －3＝27，得x ＝13.2. [－6，12] 【解析】y ＝2(x －2)2－6，当x ＝2时，y 取得最小值，为－6；当x ＝－1时，y 取得最大值，为12.3. 2 【解析】由题意知m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，f(x)＝x －3，符合题意；当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，f(x)＝x 0，不合题意．综上，m ＝2.4. {x|－4≤x ≤4} 【解析】由f ⎝⎛⎭⎫12＝22⇒α＝12，故f(|x|)≤2⇒|x|12≤2⇒|x|≤4，故其解集为{x|－4≤x ≤4}．5. [7，＋∞) 【解析】易知函数f(x)的图象开口向上，对称轴方程为x ＝a －12，因为函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2，所以f(2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.6. 7 【解析】因为f(0)＝4，所以a ＋2b ＝4，即a ＝4－2b ，所以f(1)＝ab ＋a ＋2b ＋1＝ab ＋5＝(4－2b)b ＋5＝－2b 2＋4b ＋5＝－2(b －1)2＋7，所以当b ＝1时，f(1)的最大值为7.7. 【解答】作出函数y ＝x 2－2x ＋3的图象如图所示．由图象可知，要使函数在[0，m]上取得最小值2，则1∈[0，m]，从而m ≥1，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝3， 所以要使函数的最大值为3，则m ≤2， 故实数m 的取值范围为[1，2]．(第7题)8. 【解答】(1) 由题意知f(－1)＝a －b ＋1＝0，且－b2a ＝－1，所以a ＝1，b ＝2，所以f(x)＝x 2＋2x ＋1，其单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2) f(x)＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立， 即x 2＋x ＋1＞k 在[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，有k ＜g(x)min . 因为g(x)在[－3，－1]上单调递减， 所以g(x)min ＝g(－1)＝1.所以k ＜1，即k 的取值范围为(－∞，1)． B 巩固提升1. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a<－1或23<a<32 【解析】因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，解得－1<m<3.因为m ∈N *，所以m ＝1，2.又函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，所以m ＝1.因为f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，所以(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32. 2. (－4，0] 【解析】当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝（－m ）2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0.综上可知，实数m 的取值范围是(－4，0]．3. 9 【解析】由于f(x 1)＝f(x 2)，所以二次函数f(x)的对称轴为x ＝x 1＋x 22＝－b2a ，所以f(x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－ba ＝9. 4. f(x)＝－3x 2＋12x 【解析】方法一：设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由f(x)＞0的解集是(0，4)，可知f(0)＝f(4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x ＝2，再由f(x)在区间[－1，5]上的最大值是12，可知f(2)＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （4）＝0，f （2）＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝12，c ＝0.所以f(x)＝－3x 2＋12x.方法二：由f(x)＞0的解集是(0，4)，可设f(x)＝ax(x －4)(a<0)，f(x)在区间[－1，5]上的最大值为f(2)＝12，即－4a ＝12，所以a ＝－3，所以f(x)＝－3x 2＋12x.5. [1，1＋2] 【解析】f(x)＝x|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x>2，－x 2＋2x ，x ≤2，作出f(x)的图象如图所示，当x>2时，令f(x)＝1，得x ＝1＋ 2.因为x ∈[0，a]时，值域为[0，1]，所以1≤a ≤1＋ 2.(第5题)6. (－1，3) 【解析】根据题意，f(x)是定义在R 上的奇函数，则有f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2为减函数，则当x >0时，f (x )也为减函数，综上可得f (x )在R 上为减函数．若f (x 2－3)>f (2x )，则有x 2－3<2x ，解得－1<x <3，即不等式f (x 2－3)>f (2x )的解集为(－1，3)．7. 【解答】若a ＝0，则f(x)＝－2x 在[0，1]上单调递减，所以f(x)min ＝f(1)＝－2. 若a ≠0，f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2－1a. 当a ＞0时，函数f(x)的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .当1a ≤1，即a ≥1时，函数f(x)的图象的对称轴在[0，1]内，所以f(x)在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增， 所以f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1a. 当1a ＞1，即0＜a ＜1时，函数f(x)的图象的对称轴在[0，1]的右侧，所以f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)min ＝f(1)＝a －2.当a ＜0时，函数f(x)的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a ＜0，在y 轴的左侧，所以f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)min ＝f(1)＝a －2.综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ＜1，－1a，a ≥1.8. 【解答 】(1) 由题意得x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a ，所以(1＋x 1)·(1＋x 2)＝1＋(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝1－1a ＋1a＝1.(2) 令f(x)＝ax 2＋x ＋1(a ＞0)， 由Δ＝1－4a ≥0，得0<2a ≤12，所以函数f(x)图象的对称轴方程为x ＝－12a≤－2<－1.又f(－1)＝a>0，所以f(x)的图象与x 轴的交点都在点(－1，0)的左侧，故x 1<－1且x 2<－1.(3) 由(1)知x 1＝11＋x 2－1＝－x 21＋x 2，所以x 1x 2＝－11＋x 2∈⎣⎡⎦⎤110，10，所以－1x 2∈⎣⎡⎦⎤111，1011， 所以a ＝1x 1x 2＝－1＋x 2x 2·1x 2＝－1＋x 2x 22＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－1x 2－122＋14，故当－1x 2＝12时，a 取得最大值14. 第10课 指数与指数函数A 应知应会1. (－∞，1) 【解析】原不等式等价于23－2x <24－3x ，所以3－2x<4－3x ，解得x<1. 2. c>a>b 【解析】因为函数y ＝0.6x 是减函数，且0<0.6<1.5，所以1＝0.60>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数y ＝1.5x 在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0，所以1.50.6>1.50＝1，即c>1.综上，c>a>b.3. ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 【解析】因为g(x)＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 4. (－2，0) 【解析】方法一：因为函数y ＝a x (a>0，a ≠1)的图象恒过点(0，1)，将该图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y ＝a x ＋2－1(a>0，a ≠1)的图象，所以y ＝a x ＋2－1(a>0，a ≠1)的图象恒过点(－2，0)．方法二：令x ＋2＝0，得x ＝－2，f(－2)＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a>0，a ≠1)的图象恒过点(－2，0)．5. 15 【解析】由102x ＝25⇒(10x )2＝25⇒10x ＝5⇒10－x ＝15. 6. (－1，2) 【解析】原不等式变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.7. 【解答】(1) 原式＝(0.1)4×⎝⎛⎭⎫－14＋33×23－⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫－32－1＝(0.1)－1＋32－27－1＝－9.(2) 原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13·b1＋13－2－13＝ab －1. 8. 【解答】(1) 因为f(x)＝b·a x 的图象过点A(1，6)，B(3，24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b·a ＝6，①b·a 3＝24，②②÷①得a 2＝4.又a>0且a ≠1，所以a ＝2，b ＝3， 所以f(x)＝3·2x .(2) 由(1) 知⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x在(－∞，1]上恒成立．令g(x)＝⎝⎛⎭⎫12x＋⎝⎛⎭⎫13x，则g(x)在(－∞，1]上单调递减， 所以m ≤g(x)min ＝g(1)＝12＋13＝56，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56. B 巩固提升1. 100 【解析】原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.2. a ≤b 【解析】由题意得f(a)≥2a .因为f(a)≤2b ，则2a ≤f(a)≤2b ，所以2a ≤2b .又y ＝2x是R 上的增函数，所以a ≤b .3. ⎝⎛⎭⎫－1，－12 【解析】y ＝a ⎝⎛⎭⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，则y ＋2x ＝0，得x ＝－1，y ＝－12，所以这个定点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－12. 4. (log 23，＋∞) 【解析】由题意知，当2a >a 2－a 2＋3，即a>log 23时，存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)＝f (x 2)．(第5题)5. 2 【解析】设2 017a ＝2 018b ＝t ，如图所示，由函数图象可得若t>1，则有a>b>0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0<t<1，则有a<b<0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．6. e 【解析】由于f(x)＝max {e |x|，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e 2－x ，x<1.当x ≥1时，f(x)≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x<1时，f(x)>e ，故f(x)的最小值为f(1)＝e .7. 【解答】(1) 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)，知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.经检验，当a ＝2，b ＝1时，f (x )为奇函数． (2) 由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)，从而t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解得t >1或t <－13.故不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(1，＋∞)． 8. 【解答】(1) 函数f(x)＝3x ＋λ·3－x的定义域为R .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，即3－x ＋λ·3x ＋3x ＋λ·3－x ＝(λ＋1)(3x ＋3－x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以λ＝－1.由f (x )＝3x －3－x >1，得(3x )2－3x －1>0， 解得3x >1＋52或3x <1－52(舍去)，所以不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >log 31＋52. (2) 由f (x )≤6，得3x ＋λ·3－x ≤6，即3x ＋λ3x ≤6.令t ＝3x ∈[1，9]，则问题等价于t ＋λt ≤6对t ∈[1，9]恒成立，即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1，9]恒成立． 令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1，9]，因为g (t )在[1，3]上单调递增，在[3，9]上单调递减， 所以当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27，所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]．第11课 对数的运算A 应知应会1. 12 【解析】log 22＝log 2212＝12log 22＝12. 2. 2 【解析】2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 3. lg 3 【解析】令3＝10x ，则x ＝lg 3.4. a －2 【解析】log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33)＝3log 32－2(log 32＋1)＝log 32－2＝a －2.5. 2 【解析】原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x ＋3>0，x （x ＋3）＝10，解得x ＝2.6. b －a ＋1a 【解析】log 215＝lg 15lg 2＝lg ⎝⎛⎭⎫32×10lg 2＝lg 3－lg 2＋1lg 2＝b －a ＋1a.7. 【解答】(1) 原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212。

2020年高考文科数学一轮总复习：集合及其运算第1讲 集合及其运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法＋数集，不包含0.2．集合间的基本关系A B (或BA )A ∪B ＝{x |x ∈A 或A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈常用知识拓展1．子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C .2．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.3．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.4．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.()(3)若A B，则A⊆B且A≠B.()(4)N*N Z.()(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(教材习题改编)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D答案：B(2018·高考天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|0<x≤1}B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}解析：选B.因为B＝{x|x≥1}，所以∁R B＝{x|x<1}，因为A＝{x|0<x<2}，所以A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}，故选B.(教材习题改编)若全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)＝________．解析：A∩B＝{2，3}，所以∁U(A∩B)＝{1，4，5}．答案：{1，4，5}设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝________．解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．答案：{1，3}集合的概念(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．【解析】 (1)根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意．所以m ＝－32.【答案】 (1)A (2)－32与集合中元素有关问题的求解策略1．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x∈Z }，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4. 2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．设集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |－x ∈A ，1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ； 当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ； 当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.集合间的基本关系(师生共研)(1)设A ，B 是全集I ＝{1，2，3，4}的子集，A ＝{1，3}，则满足A ⊆B 的B 的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2(2)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． 【解析】 (1)由题意知B 可以为{1，3}，{1，2，3}，{1，3，4}，{1，2，3，4}，故满足A ⊆B 的B 的个数是4.(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． 【答案】 (1)B (2)(－∞，1][提醒] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：选A.法一：A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．法二：因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)． 2．设集合A ＝{y |y ＝ x 2－1}，B ＝{x |y ＝x 2－1}，则下列结论中正确的是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．A ∩B ＝{x |x ≥1}解析：选D.由题意，可知y ＝x 2－1的值域为[0，＋∞)，所以集合A ＝[0，＋∞)，y ＝x 2－1的定义域需要满足x 2－1≥0，解得x ≥1或x ≤－1，所以集合B ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故A ∩B ＝{x |x ≥1}．故选D.3．(2019·郑州第一次质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤2}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥1}D ．{a |a ≥2}解析：选D.由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.故选D.集合的基本运算(多维探究)角度一 集合间的交、并、补运算(1)(2018·高考天津卷)设集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{－1，0，2，3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1，1}B ．{0，1}C ．{－1，0，1}D ．{2，3，4}(2)(2019·益阳、湘潭调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}，则A ∩∁U B ＝( )A ．(0，2)B ．[2，4]C ．(－∞，－1)D ．(－∞，4]【解析】 (1)由题意得A ∪B ＝{－1，0，1，2，3，4}，又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，所以(A ∪B )∩C ＝{－1，0，1}．故选C.(2)集合A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}，则∁U B ＝{x |－1<x <2}，所以A ∩∁U B ＝{x |0<x <2}＝(0，2)．故选A.【答案】 (1)C (2)A角度二 已知集合的运算结果求参数的值(范围)(2019·合肥第二次教学质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)【解析】 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥12a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.【答案】 A(1)集合基本运算的求解策略①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验； ③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解． (2)集合的交、并、补运算口诀交集元素仔细找，属于A 且属于B ；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中A 元素，剩余元素成补集．1．(2019·惠州一调)已知集合U ＝{－1，0，1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝( ) A ．{0，1} B ．{－1，0，1} C ．∅D ．{－1}解析：选D.因为A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }＝{0，1}， 所以∁U A ＝{－1}，故选D.2．(2019·洛阳第一次统一考试)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D.依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，选D.数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝mn，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合BA∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B. 【答案】 B解决集合创新型问题的方法(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．1．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．解析：由题意可知－2x ＝x 2＋x ， 所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去． 当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}， 所以A ∩B ＝{0，6}． 答案：{0，6}2．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．解析：由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}， 又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }， 结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)． 答案：{0}∪[2，＋∞), [基础题组练]1．(2019·河北衡水中学模拟)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{1，3}B ．{1，2}C ．{2，3}D ．{1，2，3}解析：选A.法一：因为y ＝2x －1，x ∈{1，2，3}，所以B ＝{1，3，5}，又A ＝{1，2，3}，所以A ∩B ＝{1，3}．故选A.法二：若2∈B ，则2＝2x －1，x ＝32，32∉A ，故排除B ，C ，D ，选A.2．已知集合A ＝{x ∈R |x －1x ＝0}，则满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选C.解方程x －1x ＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1，0，1}，所以B ＝{0}或{0，1}或{0，－1}或{0，1，－1}，集合B 共有4个．3．已知集合A ＝{x |(x ＋4)(x ＋5)≤0}，B ＝{x |y ＝ln(x ＋2)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－∞，－4) B ．[－5，＋∞) C ．[－5，－4]D ．(－5，－4)解析：选C.由题意得A ＝{x |－5≤x ≤－4}，B ＝{x |x ＋2>0}＝{x |x >－2}，所以∁R B ＝{x |x ≤－2}，A ∩(∁R B )＝{x |－5≤x ≤－4}．故选C.4．已知集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{y |(y ＋7)(3－y )>0}，C ＝{y |y ＝x －3}，则(A ∩B )∪C ＝( )A ．(－7，2]B ．[0，2]C ．(－7，2]∪[3，＋∞)D ．(－7，＋∞)解析：选D.因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{y |(y ＋7)(3－y )>0}＝{y |－7<y <3}，所以A ∩B ＝(－7，2]．又C ＝{y |y ＝x －3}＝{y |y ≥0}，所以(A ∩B )∪C ＝(－7，＋∞)，故选D.5．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝________． 解析：由于A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，结合数轴，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}． 答案：{x |0<x <1}6．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A ∩(∁I B )＝________． 解析：因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，所以∁I B ＝{0，1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案：{1}7．已知集合A ＝{1，2，3，4}，集合B ＝{x |x ≤a ，a ∈R }，A ∪B ＝(－∞，5]，则a 的值是________．解析：因为集合A ＝{1，2，3，4}，集合B ＝{x |x ≤a ，a ∈R }，A ∪B ＝(－∞，5]，所以a ＝5.答案：58．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)当B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为m ＝1时，B ＝{x |1≤x ＜4}， 所以A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．当B ＝∅时，即m ≥1＋3m 时得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3. 综上可知，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． [综合题组练]1．(2019·安徽淮北模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为( )A ．a ＝12B ．a ≤12C ．a ＝－12D ．a ≥12解析：选C.因为log 2(x －1)<1，所以x －1>0且x －1<2，即1<x <3，则N ＝{x |1<x <3}，因为U ＝R ，所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，又因为M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝{x |x ≥－2a }，M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，所以－2a ＝1，得a ＝－12.故选C.2．(创新型)如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |2x －x 2≥0}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B ＝( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D.因为A ＝{x |2x －x 2≥0}＝[0，2]，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}＝(1，＋∞)，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]，由题图知A ⊗B ＝[0，1]∪(2，＋∞)，故选D.3．设集合A ＝{x |x 2－bx ＋6＝0}，则满足A ⊆{1，2，3，6}的集合A 可能为________． 解析：由A ⊆{1，2，3，6}知，A 是集合{1，2，3，6}的子集．当A 是空集时，x 2－bx ＋6＝0无解，此时b ∈(－26，26)，显然符合题意；当A 中仅有一个元素，即b ＝±26时，可得x 2－bx ＋6＝0的根是x ＝±6，不符合题意，舍去；当A 中有两个元素时，集合{1，2，3，6}的子集A ＝{2，3}，A ＝{1，6}都符合题意，此时b ＝5或b ＝7.综上可得，集合A 可能为{2，3}或{1，6}或∅.答案：{2，3}或{1，6}或∅4．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2，4]， 因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4， 所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]2020年高考文科数学一轮总复习第11 页共11 页。