(word完整版)2017年高考全国卷文科数学第一轮复习讲义一数列

解: (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1(n∈N*)． (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21，22，23，24，…，
所以 an＝2n2－n 1(n∈N*)．
(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各
项绝对值的分母组成数列 1，2，3，4，…；而各项绝对值的
第二十四页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
若本例(1)中，结论改为求 an，如何求解？ 解: 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，
所以an＋1＝3，又由 an 2
S1＝2a2，得
a2＝12，
所以{an}是从第 2 项开始的等比数列，
1，n＝1， 所以 an＝12×32n－2，n≥2，n∈N*.
第二十六页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
2.(1)(2016·杭州二中高三仿真考试)数列{an}的前
n 项和为 Sn，若 a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则 a6＝( A )
A．3×44
B．3×44＋1
C．45
D．45＋1
(＝2)_若__数_12_列， n_－_{n_a＝2_n}，_的_1， _n前_≥__2n__项__和__S_n．＝n2－n＋当 当1，b＝b则≠－它－1的时1通，项时an公＝，式2·a3annn－＝1； (3)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝则3n＋anb＝，_32_＋ ·__b3_，n_－_1n_，＝__n1_≥，__2______．
①求 a1 的值； ②求数列{an}的通项公式．
第二十三页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
解: (1)选 B.由已知 Sn＝2an＋1，得 Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即 2Sn＋1

答案
2
考点自测
1.已知数列1×1 2，2×1 3，3×1 4，…，nn1＋1，…，下面各数中是此数列
中的项的是( B )
1
1
1
1
A.35
B.42
C.48
D.54
1 2345
解析答案
2.下列可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( C )
A.an＝1
－1n＋1 B.an＝ 2
按项数分 有穷数列 类 无穷数列
项数有__限___
无限
>项数_____
按项与项 递增数列 an＋1 < an
间 递减数列 an＋1 an
其中
的大小关
n∈N*
答案
有界数 按其他 列
存在正数M，使|an|≤M
标准分
从第2项起，有些项大于它的前
摆动数
类
一项，有些项小于它的前一项
列
的数列
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 列表法 、 图象法 和 解析法 . 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那 么这个公式叫做这个数列的通项公式.
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练出高分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1.数列23，－45，67，－89，…的第 10 项是( C )
A.－1176
B.－1198
C.－2210
D.－2232
解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以
把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项 公式 an＝(－1)n＋1·2n2＋n 1，故 a10＝－2210.

ln10 A．1 B．2 C．－1 D．－2
(2)(2014·高考江西卷)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为 d， 前 n 项和为 Sn，当且仅当 n＝8 时 Sn 取得最大值，则 d 的取
值范围为__－__1_，__－__78__．
第二十五页，编辑于星期六：二十一点 五十三 分。
[解析](1)因为{an}为等差数列，所以 S20＝20（a12＋a20）＝
第二十二页，编辑于星期六：二十一点 五十三 分。
(1)判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通 项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的 简单判断. (2)用定义证明等差数列时，常采用两个式子 an＋1－an＝d 和 an－ an－1 ＝ d，但它们的意义不同，后者必须加 上“n≥ 2”， 否则 n＝1 时，a0 无定义．
解析：(1)依题意，得
a1 ＋ 4d＝ 13，
解得a1
＝
1， 故选
5a1＋10d＝35， d＝3，
D.
(2)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
由a2＝－11， 得a1＋d＝－11， a5＋a9＝－2， 2a1＋12d＝－2，
解得a1 ＝－ 13， d＝ 2.
所以 an＝－15＋2n.
由
第二十七页，编辑于星期六：二十一点 五十三 分。
3.(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且 a1＝25，
b1＝75，a2＋b2＝100，则 a37＋b37 等于( C )
A． 0
B． 37
C． 100
D．－ 37
(2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知前 6 项和为 36， Sn＝324，最后 6 项和为 180(n>6)，求数列的项数 n 及 a9＋

第三十页，编辑于星期六：二十一点 五十三分。
1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a
2 n
－2an＋1(n∈N*)，则a2
017＝( A )
A．1
B．0
C．2 017
D．－2 017
解析：∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝ (a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2 017 ＝a1＝1.
1．数列的周期性 在数列{an}中，存在T∈N*，使得an＋T＝an对一切n∈N*均成 立，则{an}具有周期性，周期为T. 2．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前 一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那 么这个公式叫做数列的递推公式．
第三十一页，编辑于星期六：二十一点 五十三 分。
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝
1＋an 1－an
(n∈N*)，则该数列
的前2 017项的乘积a1·a2·a3·…·a2 017＝____2____.
第三十二页，编辑于星期六：二十一点 五十三 分。
解析：∵a1＝2，an＋1＝11＋－aann(n∈N*)， ∴a2＝11－＋aa11＝11＋ －22＝－3， a3＝11＋ －aa22＝11－＋33＝－12， a4＝11－＋aa33＝11－＋1212＝13， a5＝11＋ －aa44＝11＋ －1313＝2＝a1. ∴数列{an}的周期T＝5－1＝4. 而a2 017＝a504×4＋1＝a1＝2.
A．17 C．25
B．22 D．28
第十二页，编辑于星期六：二十一点 五十三分。
解析：法一：由题图知，a1＝1，a2＝4，a3＝7，从第2图开 始，每一图的点数比它的上一图多3，则有 a8＝a7＋3＝a6＋3＋3＝a5＋3＋3＋3＝a4＋3＋3＋3＋3＝a3＋ 3＋3＋3＋3＋3＝7＋5×3＝22. 法二：由a1＝1，a2＝4，a3＝7，…，知{an}的一个通项公式 为an＝3n－2，∴a8＝3×8－2＝22，故选B.

专题二 数列的通项与求和
【主干知识】
1.必记公式
(1)“基本数列”的通项公式: ①数列-1,1,-1,1,…的通项公式是an=_(_-_1_)_n(n∈N*). ②数列1,2,3,4,…的通项公式是an=_n_(n∈N*). ③数列3,5,7,9,…的通项公式是an=_2_n_+_1_(n∈N*). ④数列2,4,6,8,…的通项公式是an=_2_n_(n∈N*).
命题角度一 基本数列求和、分组求和 【典题2】设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),数列{a2n-1}是首 项为1的等差数列,数列{a2n}是首项为2的等比数列,且满足 S3=a4,a3+a5=a4+2. (1)求数列{an}的通项公式. (2)求S2n.
【信息联想】(1)看到数列{a2n-1}是等差数列、{a2n}是等比 数列,想到_等__差__、__等__比__数__列__的__通__项__公__式__. (2)看到求S2n,想到_等__差__、__等__比__数__列__前__n_项__和__分__组__求__和__.
已知数列an 满足 a1 1， an1 3an 1.
（Ⅰ）证明
an
1 2
是等比数列，并求an 的通项公式；
（Ⅱ）证明：
1 a1
1 a2
…+ 1 an
3 2
.
解:（Ⅰ）由 得 ,所以 . an1 3an 1
an1
1 2
3(an
1) 2
an1
1 2
3
an
1 2
又
a1
1 2
3 2
，所以
an
1
2
n
Sn=2 015+(n-1)(-1)=2 016-n,

•第1讲 数列的概念及简单表示法
基础诊断
考点突破第一页，编辑于星期六课：堂十九总点结四十六分。
最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列 表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一 类特殊函数.
基础诊断
考点突破第二页，编辑于星期六课：堂十九总点结四十六分。
知识梳理
1.数列的概念
基础诊断
考点突破第十二页，编辑于星期课六堂：十总九点结四十六分。
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的 各项都统一成分数再观察.即12，42，92，126，225，…，从 而可得数列的一个通项公式为 an＝n22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数 列 9，99，999，…的通项为 10n－1，故所求的数列的 一个通项公式为 an＝59(10n－1).
基础诊断
考点突破第十一页，编辑于星期课六堂：十总九点结四十六分。
解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因 式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它 前一项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an＝ (－1)n(6n－5). (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可 分解为 1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项 都是两个相邻奇数的乘积.故所求数列的一个通项公式 为 an＝（2n－1）2n（2n＋1）.
和
.
列表法 图象法
通项公式法
基础诊断
考点突破第三页，编辑于星期六课：堂十九总点结四十六分。
2.数列的分类
分类原则 按项数分
类
按项与项 间的大小 关系分类
按其他 标准分类
类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列

2017年高考全国卷文科数学第一轮复习--讲义一----数列（2017高考文科数学）2016-4-30讲义一数列一、高考趋势1、考纲要求（1）．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．（2）．了解数列是自变量为正整数的一类函数．（3）．理解等差数列的概念．（4）．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．（5）．了解等差数列与一次函数的关系．（6）．理解等比数列的概念．（7）．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．（8）．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．（9）．了解等比数列与指数函数的关系．2、命题规律数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12分。

考察形式一般有两种，第一种是选择题+填空题的形式，第二种是解答题的形式。

并且全国文科卷解答题第一题是数列和三角函数二选一。

因此数列题在高考中属于“要尽量全部做对且拿到满分”的“高期待值”题。

二、基础知识+典型例题1、等差数列的概念与运算（1）．等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．（2）．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则它的通项公式是1(1)n a a n d =+-.）（*∈N n （3）．等差中项如果2a bA +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项．（4）．等差数列的前n 项和等差数列{a n }的前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=）（*∈N n （5）．等差数列的判定通常有两种方法：① 第一种是利用定义，a n －a n －1＝d (常数) (n ≥2)，② 第二种是利用等差中项，即2a n ＝a n ＋1＋a n －1 (n ≥2)．[来源学科网]背诵知识点一：（1）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-）（*∈N n （2）等差中项：b c a a,b,c 2=+构成等差数列，则（3）等差数列的前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=）（*∈N n（6）．对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a 1，d . 如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，d ，n ，S n 的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问题．考点一：等差数列通项公式及前n 项和公式例1、（15全国卷一）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（） A 、 172 B 、19 2C 、10D 、12例2、（15安徽卷）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .2、等差数列的性质（1）通项推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，）（*∈N n (d 为数列{a n }的公差)．（2）若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别地：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n－2＝….（3）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . （4）S n ＝a 1＋a n2n ＝a 2＋a n －12n ＝a 3＋a n －22n ＝…. （5）等差数列的单调性① 等差数列公差为d ，若d >0，则数列递增．② 若d <0，则数列递减．③ 若d ＝0，则数列为常数列．背诵知识点二：（1）等差中项的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . （2）等差中项的性质：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . （3）等差数列的性质：d m n a a m n )(-=-考点二：等差数列中项的性质例3、（15全国卷二）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11例4、（15陕西卷）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．3、等比数列的概念与运算（1）．等比数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示．（2）．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项11n n a a q -=.）（*∈N n （3）．等比中项若20G ab =≠，那么G 叫做a 与b 的等比中项．（4）．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，① 当q ＝1时，S n ＝na 1；）（*∈N n ② 当q ≠1时，S n ＝qq a a q q a n n --=--11)1(11）（*∈N n （5）．在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公式q 是否等于1的判断和讨论．（6）．等比数列的判定方法：① 定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．② 中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．背诵知识点三：（1）等比数列的通项公式：11n n a a q -=.）（*∈N n （2）等比中项：2b c a a,b,c =?构成等比数列，则（3）等比数列的前n 项和：① 当q ＝1时，S n ＝na 1；）（*∈N n ② 当q ≠1时，S n ＝q q a a q q a n n --=--11)1(11）（*∈N n考点三：等比数列定义与前n 项和公式例5、（15全国卷一）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .例6、（12全国卷）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3230S S +=,则公比q =________例7、（13全国卷一）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.21n n S a =-B.32n n S a =-C.43n n S a =-D.32n n S a =-例8、（12全国卷）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为( ) A.3690B.3660C.1845D.18304、等比数列的性质（1）通项公式的推广：m n n m a a q -=，(n ，m ∈N *)．（2）若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则n m l k a a a a ?=? （3）若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列：则{λa n }(λ≠0)，{1a n }，{a 2n }，{a n ·b n }，{a nb n }仍是等比数列．（4）等比数列的单调性．① a 1>0q >1或??a 1<00<="" bdsfid="210" n="" p="" }为递增数列；="" ②="">a 1>00<1或??<="" bdsfid="212" p="">a 1<0q >1{a n }为递减数列；③ q ＝1?{a n }为非零常数列；④ q <0?{a n }为摆动数列．（5） a n a m＝q n －m (m ，n ∈N *)背诵知识点四：（1）等比中项的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则n m l k a a a a ?=?（2）等比中项的性质：若m ＋n ＝2p ，则2p n m a a a =? （3）等比数列的性质：a n a m＝q n －m (m ，n ∈N *)考点四：等比数列中项的性质例9、（14全国卷二）等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n -例10、（15全国卷二）已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（）A.2B.1 1C.2 1D.8例11、（15浙江卷）已知{a n}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．例12、（15广东卷）若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________．5、数列的通项（1）．数列的通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式.（2）．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-．（3）．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --== （4）．等差数列性质：① ()n m a a n m d =+-；② 若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a +=+；（5）．等比数列性质：① n mn m a a q-=；② 若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a = （6）．等差数列的判定：①定义法；②等差中项法（7）．等比数列的判定：①定义法；②等比中项法（8）．数列通项公式求法① 累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题② 累乘法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题③ 构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型的通项公式问题④ 利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项公式问题对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用??≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.背诵知识点五：（1）数列通项公式求法：① 累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题② 累乘法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题③ 构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型的通项公式问题④ 利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项公式问题考点五：求数列的通项公式①、累加法例13、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

(
)
第十四页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第五章
第三节
等比数列
名师考点精讲
主干知识回顾
教师备课资料
-15-
2.(2016·皖南八校联考)已知数列{an}满足 a1=1,an-1=2an(n≥2,n∈N*),则数列{an}的前 6 项
和为
(
)
A.63
B.127
63
32
127
64
C.
D.
2.C 【解析】当 n≥2 时,有
1
3
5
于是可得a
=
,q=2,所以
a
+a
=a
q
+a
q
=8.
4
6
1
1
1
3
5
a1 q + a1 q = 2,
1

2.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则3 =
3
A.5
C.8
-7-
(
)
(
)
B.7
D.15
1
a 1 1- 3
2
2.B 【解析】∵S3=
1
2
1-
=
7
a ,a
4 1 3
=
1 2
5
2
d2=Байду номын сангаасd
2
3
+
n(n-1) 2
d
2
= d2
n2
2
−
13n
6
5
− 3 d, 则有a1 d
< 0, 而 dS = na1 d +
,所以 dS4<0.

8．数列{an}的 an 与 Sn 的关系
若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.
第七页，编辑于星期六：二点 二十八分。
小题快做 1.思考辨析 (1)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (2)在数列{an}中，对于任意正整数 m，n，am＋n＝amn＋1，若 a1＝1，则 a2＝2.( √ ) (3)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对∀n∈N*，都有 an＝Sn－Sn－1.( × )
)
3
5
A.2
B.3
8
2
C.5
D.3
解析 由条件给出的递推关系可求得 a5＝23.
第十页，编辑于星期六：二点 二十八分。
4．数列－1×2 2，2×4 3，－3×8 4，41×65，…的一个通项公式为___a_n＝__n__－n_＋_2_1n_______． 解析 观察各项知，其通项公式可以为 an＝n－n＋21n.
n≥1，n∈N*.
第二十七页，编辑于星期六：二点 二十八分。
已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法 (1)形如 an＋1＝anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式 an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n 1求通项公式． (2)形如 an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求通项公式． (3)形如 an＋1＝ban＋d(其中 b，d 为常数，b≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造 an＋1＋x＝b(an＋ x)(其中 x＝b－d 1)，则{an＋x}是公比为 b 的等比数列，利用它即可求出 an. (4)形如 an＋1＝qapna＋n r(p，q，r 是常数)的数列，将其变形为an1＋1＝pr·a1n＋qp. 若 p＝r，则a1n是等差数列，且公差为qp，可用公式求通项； 若 p≠r，则采用(3)的办法来求． (5)形如 an＋2＝pan＋1＋qan(p，q 是常数，且 p＋q＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为 an＋2－an＋1＝(－q)·(an ＋1－an)，则{an－an－1}(n≥2，n∈N*)是等比数列，且公比为－q，可以求得 an－an－1＝f(n)，然后用累加法求得 通项．

第一节 数列的概念与简单表示法
第三页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第五章
考纲概述
第一节
数列的概念与简单表示法
主干知识回顾
名师考点精讲
考查热点
利用观察法
求数列的通
(1)了解数列的概念与几种 项公式
利用 Sn 与 an
简单表示方法(列表、图
的关系求通
象、通项公式)
(2)了解数列是自变量为正 项
由递推公式
A.-2 3
B.2 3
C. 11
D.- 13
(
)
2.A 【解析】观察得数列的通项公式为a =(−1)+1 n + 2, 当 n = 10 时, a10 =
(−1)10+1 10 + 2 = −2 3.
3.(2016·贵阳六中月考)设等差数列{an}的公差为 d,若数列{2a1an}为递减数列,则 (
第五页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第五章
第一节
数列的概念与简单表示法
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-6-
2.数列的表示方法
列表法:列表格表示与 的对应关系
图象法:把点(, )画在平面直角坐标系中
通项公式法:用公式表示数列的通项
公式法 递推公式法:利用数列第项与它前一项或几项的
-12-
考点 1 由数列的前几项归纳出数列的通项公式
典例 1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…
(2)0.7,0.77,0.777,…
1
1
1
3
5
7
3
7
9
2

第十四页，编辑于星期六：二点 二十九分。
命题角度 5 利用基本量求前 n 项和 Sn
典例5
[2014·重庆高考]已知{an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，Sn 表示{an}的前 n 项和．
(1)求 an 及 Sn； (2)设{bn}是首项为 2 的等比数列，公比 q 满足 q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前 n 项和
第十七页，编辑于星期六：二点 二十九分。
2．[2014·广东高考]等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5 ＝____5____.
解析 由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝a23＝4⇒a3＝2，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝ log2(a1a2a3a4a5)＝log2a53＝5log22＝5.
又因为 b1＝2，{bn}是公比 q＝4 的等比数列，所以 bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1. 从而{bn}的前 n 项和 Tn＝b111－－qqn＝32(4n－1)．
第十五页，编辑于星期六：二点 二十九分。
等比数列的基本运算方法及数学思想 (1)等比数列的基本运算方法 ①等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行． ②对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就 可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”问题． ③对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，xq，x，xq，…；连续偶数个项成等 比数列，可设为…，qx3，xq，xq，xq3，…(注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况)这样即可减少未 知量的个数，也使得解方程较为方便． (2)基本量计算过程中涉及的数学思想方法 ①方程思想．等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的 运算，通过列方程(组)求出关键量a1和q，问题可迎刃而解． ②分类讨论思想．等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，即分q＝1和q≠1两种情况，此 处是常考易错点，一定要引起重视．

Sn－Sn－1（n≥2）.
第十七页，编辑于星期六：二点 四十五分。
【变式训练】 2.已知下面数列{an}的递推关系和前n项和 项公式：
，求{San}的通
(1) Sn＝ 3＋n b；
(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求an； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.
第十八页，编辑于星期六：二点 四十五分。
应的一列____函__数_值___． (2)数列同函数一样有___解__析__法_、_____图_象__法__、_________列__表_法三种表示
方法．
4．数列的通项公式
如果数列{ }的第n项 与__________之间的关系可以用一个公式
an
an
序号n
_a_n___f__n_来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
分母都是 3，而分子分别是 10－1，102－1，103－1，104－1，…，
所以 an＝13(10n－1)．
第十页，编辑于星期六：二点 四十五分。
总结反思：(1)由所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察．①分 式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项 符号特征等，并对此进行归纳、联想． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含
求最大项的项数；若没有，说明理由．
第二十页，编辑于星期六：二点 四十五分。
解析：(1)因为 a1＝15，an＋1n－an＝2， 所以(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，
所以
an－a1＝n(n－1)⇒an
＝n2－n＋15，所以an n
＝n＋1n5－1.

第十九页，编辑于星期六：二点 二十八分。
考点多维探究
第二十页，编辑于星期六：二点 二十八分。
考点 2 等差数列的判定与证明 1定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列.表示为 an＋1－an＝dn∈N*，d 为常数.,2等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A ＝a＋2 b，其中 A 叫做 a，b 的等差中项. [注意] 要注意定义中的“从第 2 项起”.如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 4 项起， 每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列.
第十页，编辑于星期六：二点 二十八分。
命题角度 2 利用基本量求首项 a1
典例2
[2015·河源模拟]已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 a13＝S13＝13，则 a1＝( )
A．－14
B．－13
C．－12
D．－11
解析 在等差数列{an}中，S13＝13a12＋a13＝13，所以 a1＋a13＝2，则 a1＝2－a13＝2－13＝－11，故选 D.
第三页，编辑于星期六：二点 二十八分。
考点多维探究
第四页，编辑于星期六：二点 二十八分。
考点 1 等差数列的基本运算
回扣教材
1.等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项 起，每一项与它的前一项的 差 等于 同一个常数 ，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差 ，公差通常用字母 d 表示．数学语言表示为
第二十五页，编辑于星期六：二点 二十八分。
【跟踪训练】 4．若数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝21. (1)求证：S1n成等差数列； 解 (1)证明：当 n≥2 时，由 an＋2SnSn－1＝0， 得 Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以S1n－Sn1－1＝2， 又S11＝a11＝2，故S1n是首项为 2，公差为 2 的等差数列．

an－ 1 法，证明 a2n＝an－1·an＋1.若判断一个数列不是等比数列，则 只需举出反例即可，也可以用反证法.
第二十四页，编辑于星期六：二十一点 五十三 分。
2.已知数列 {an}是等差 数列， a3＝ 10， a6＝ 22，
数列{bn}的前 n 项和是 Tn，且 Tn＋13bn＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
2
为首项，
4
为公差的等差数列，
2
所以 an ＝
1 n
2＋
4(n－
1)＝
4n－
2，即
an＝ (2n－ 1)·12 n－1，
2
所以数列{an}的通项公式为 an＝(2n－1)·12n－1.
第二十三页，编辑于星期六：二十一点 五十三 分。
证明数列{an}是等比数列常用的方法 一是定义法，证明 an ＝q(n≥2，q 为常数)；二是等比中项
第五页，编辑于星期六：二十一点 五十三分。
1．辨明三个易误点 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为 0，因此 q 也不能为 0，但 q 可为正数，也可为负数． (2)由 an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还 要验证 a1≠0. (3)在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1 分类讨论，防止因忽略 q＝1 这一特殊情形而导致解题 失误．
第二页，编辑于星期六：二十一点 五十三分。
(2)等比中项 如果 a、G、b 成等比数列，那么____G____叫做 a 与 b 的等比 中项．即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔__G_2_＝__a_b_． “a，G，b 成等比数列”是“G 是 a 与 b 的等比中项”的充 分不必要条件．
第三页，编辑于星期六：二十一点 五十三分。

第五章⎪⎪⎪ 数 列第一节 数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类[小题体验]1．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，则数列{a n }的一个通项公式为________． 答案：a n ＝2n－1(n ∈N *)2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋3，则a 5等于________． 答案：11613．(教材习题改编)已知函数f (x )＝x －1x，设a n ＝f (n )(n ∈N *)，则{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．答案：递增1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．[小题纠偏]1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥22．数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋9n ，则该数列第________项最大． 答案：4或5考点一 由数列的前几项求数列的通项公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋－n2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④解析：选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式． 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)(易错题)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n×1nn ＋，n ∈N *.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n－1，n ∈N *.[谨记通法]由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．如“题组练透”第2(2)题．考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n 重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋b .解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.[由题悟法] 已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[即时应用]已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n＋2n ＋1，求a n .解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式， 所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.考点三 由递推关系式求数列的通项公式常考常新型考点——多角探明[命题分析]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．常见的命题角度有：(1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n ； (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n ；(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n ； (4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n . [题点全练]角度一：形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n 1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立．∴a n ＝1n.角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n2．(1)(2015·江苏高考改编)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．(2)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，求数列{a n }的通项公式． 解：(1)由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．(2)由题意知a n ＋1－a n ＝2n，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.角度四：形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n 4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． [方法归纳]典型的递推数列及处理方法一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·宝鸡一检)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：选C a 4＝S 4－S 3＝20－12＝8.2．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A.n2n ＋1 B.n 2n －1 C.n2n －3D.n 2n ＋3解析：选B 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1.3．(2015·哈尔滨二模)下列说法正确的是( ) A ．数列1，－2,3，－4，…是一个摆动数列 B ．数列－2,3,6,8可以表示为{－2,3,6,8} C ．{a n }和a n 是相同的概念D ．每一个数列的通项公式都是唯一确定的解析：选A 对于A ，摆动数列是指从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，故A 正确；数列与数集是不同的，故B 错误；{a n }和a n 是不同的概念，{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，而a n 表示的是这个数列的第n 项，故C 错误；每一个数列的通项公式并不都是唯一确定的，故D 错误．4．(2015·黄冈月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为C.5．(2015·杭州三模)数列{a n }定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝⎩⎨⎧1＋a n 2，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n ＝14，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 因为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9.二保高考，全练题型做到高考达标1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.－n＋12 B ．cos n π2 C ．cosn ＋12πD ．cosn ＋22π解析：选D 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确．2．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72.3．(2015·石家庄二模)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：选 D 由题意得：a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8；所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.4．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝( )A ．100B ．2C ．－2D ．－100解析：选C 因为y ′＝(n ＋1)x n，所以曲线y ＝x n ＋1在点(1,1)处的切线斜率为n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1.则a n ＝lg x n ＝lg nn ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.5．(2016·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－k ＋，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项．解析：令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．答案：107．(2015·浙江瑞安三校联考)已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 013＝________，a 2 016＝________.解析：由题意可得a 2 013＝a 4×504－3＝1，a 2 016＝a 1 008＝a 504＝a 252＝a 126＝a 63＝a 4×16－1＝0. 答案：1 08．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：289．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n ，且a 1＝33，则a n n的最小值为( ) A ．21 B ．10 C.212D.172解析：选C 由已知条件可知，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝33＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n 2－n ＋33，又n ＝1时，a 1＝33满足此式．所以a n n＝n ＋33n－1.令f (n )＝a n n＝n ＋33n－1，则f (n )在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数，又f (5)＝535，f (6)＝212，则f (5)>f (6)，故f (n )＝a n n 的最小值为212.2．(2016·天水一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋a n ＋1＝2n.求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＋a n ＋1＝2n，① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋1，②②－①，得a n ＋2－a n ＝2n， 由a 1＝1，a 1＋a 2＝2，得a 2＝1. 当n 为奇数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 3－a 1)＋a 1＝2n －2＋2n －4＋…＋2＋1＝13×2n ＋13； 当n 为偶数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2＝2n －2＋2n －4＋…＋22＋1＝13×2n －13. 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧13×2n＋13，n 为奇数，13×2n－13，n 为偶数.第二节 等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －2d ＝n a 1＋a n 2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题体验]1．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11解析：选A ∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1， ∴S 5＝a 1＋a 52＝5a 3＝5，故选A.2．(教材习题改编)已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________ 答案：－15－n3．(教材习题改编)已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________.答案：114(75n －5n 2)1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．3．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件． [小题纠偏]1．(2014·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项公式为a n ＝________. 答案：2n －1考点一 等差数列的基本运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12解析：选B ∵公差为1， ∴S 8＝8a 1＋－2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.2．(2015·沈阳质量监测)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D 法一：由题知S n ＝na 1＋n n －2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2，S n ＋2＝(n ＋2)2，由S n ＋2－S n ＝36得，(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4＝36，所以n ＝8.法二：S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8.3．(2016·衡水中学模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，数列{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}是公差为2的等差数列，则S 25＝( )A ．232B ．233C ．234D ．235解析：选B 由题可得a 4＝3，所以a 2＋a 3＋a 4＝8，∴S 25＝a 1＋(a 2＋a 5＋…＋a 23)＋(a 3＋a 6＋…＋a 24)＋(a 4＋a 7＋…＋a 25)＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×8＋8×72×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×8＋8×72×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×8＋8×72×2＝233，故选B.4．(易错题)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－72[谨记通法]等差数列运算的解题思路及答题步骤(1)解题思路由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．如“题组练透”第4题易出现计算失误．(2)答题步骤步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 步骤二：根据已知条件列方程求出未知量； 步骤三：利用前n 项和公式求得结果。

专题讲座三 数列在高考中的常见 题型与求解策略
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专题讲座三 数列在高考中的常见题型与求解策略
考情概述 数列是历年高考的热点，多从等差数列、等比 数列这两个特殊的数列入手，考查两数列的概念、基本运算 性质、通项公式、求和公式等，常以等差、等比数列综合命 题，或与方程、函数与导数、不等式、解析几何等知识交汇 命题，综合考查数列的通项、求和等问题．
解：(1)设{an}的公差为 d，
则由已知条件得
a1＋
2d＝
2，
3a1＋3×2
2d＝9， 2
化简得
a1＋
2d＝
2，
a1＋
d＝3， 2
解得
a1＝
1，
d＝1， 2
故 {an}的通项 公式
an＝
1＋n－ 2
1，即
an＝n＋2
1 .
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(2)由(1)得 b1＝1，b4＝a15＝15＋ 2 1＝8.
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3.(2016·南昌调研测试卷)等差数列{an}的前 n项
和为
Sn，已知函数
f(x)＝22xx－ ＋
1，且 1
f(a2－2)＝
sin
2
015π， 3
f(a2
016－ 2)＝ cos
2
017π，求 6
S2 017.
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4.(2016·商洛模拟)已知函数 f(x)满足 f(x＋y)＝
f(x)·f(y)且 f(1)＝1. 2
(1)当 n∈N*时，求 f(n)的表达式；