选修4-5 不等式选讲
考点1不等式的性质
1.已知a,b,c均为正数,证明: a2+b2+c2+(
+
+
)2≥6 , 并确定a,b,c为何值时,等号成立.
考点2绝对值不等式
2.设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.
(1)解不等式f(x)>2;
(2)求函数g(x)=ln f(x)的值域.
3.已知函数f(x)=2|x+a|-|x-1|(a>0).
(1)若函数f(x)与x轴围成的三角形的面积的最小值为4,求实数a的取值范围;
(2)若对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,求实数a的取值范围.
4.已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].
(1)求m的值;
(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.
5.设函数f(x)= - + - 的最大值为M.
(1)求实数M的值;
(2)求关于x的不等式|x- |+|x+2 |≤M的解集.
6.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求实数a的取值范围.
考点3证明不等式的基本方法
7.已知a>0,b>0,求证:
+
≥ + .
8.已知a,b∈R,且a+b=1,求证:(a+2)2+(b+2)2≥
.
9.已知a,b,c均为正实数.求证:
(1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;
(2)若a+b+c=3,则 + + ≤3 .
考点4柯西不等式
10.已知x,y是两个不相等的正实数,求证:(x2y+x+y2)·(xy2+y+x2)>9x2y2.
答案
1.解法一 因为a,b,c均为正数,所以a2+b2+c2≥3(abc)
①,
因为
+
+
≥3(abc)-
,
所以(
+
+
)2≥9(abc)-
②.
故a2+b2+c2+(
第四讲 数学归纳法证明不等式本讲小结知识框图
—原理
数学归纳法|—
匚应用
证明等式
整除问题
几何问题
证明不等式
方法总结
利用数学归纳法证明的几类问题
1. 有关恒等式的证明问题
用数学归纳法证明恒等式的关键是证明n=k+\时命题成立， 从n = k+l的待证目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等 式的一端，再运用归纳假设即可.同时应注意目标恒等式另一端的 变化（即用k+1代替恒等式中的n）.
2. 有关整除与几何问题
数学归纳法可以用来证明有关整除问题，几何方面的问题，证
明的关键是寻求＞+1）与/伙）之间的递推关系，基本策略是"硬凑
假设”即从金+1）中将张）分离出来，或者从特例入手，发现规律, 或用＞+!）-»看由n=k到”=k+l的变化情况.
3. 有关不等式的证明问题
证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活，
它往往结合综合法，分析法，比较法外，放缩法更显得重要，用
数学归纳法证明的第二步，由假设_AQ>g伙）成立，推证金+l）>g伙 + 1）.对这一条件不等式的证明，应灵活运用证明不等式的常用
方法，其基本格式为_Ak+l+ A伙）〉g伙）+ A（Q>g伙+1）.
具体证明过程中应注意以下几点：
(1) 瞄准当n=k^ 1时的目标，一切变换都向目标推进;
(2) 要把假设作为条件用上一次或几次；
(3) 活用起点的位置.
4. 有关归纳、猜想、证明问题
数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是用不完全归纳法
对一些具体的简单的情形进行观察，类比而提出的.他的可靠性就
要用数学归纳法来证明，问题一般分为三步进行：
验证：(l)P(l), P(2), P(3)…;
(2) 提出猜想；
(3) 用数学归纳法证明.简称为“归纳、猜想、证明”，是近 几年高考的热点之一.
专题探究
开放性问题
【例1】 是否存在常数a, b, c,使得1-22+2-32+342+-
第2讲 不等式的证明
, )
1．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a、b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
2．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．
3．数学归纳法证明不等式的关键
使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n＝k时不等式成立推证n＝k＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．
比较法证明不等式
求证：(1)当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2；
(2)当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab)a＋b2.
【证明】 (1)法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2)
＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)
＝(x－1)(2x3－x－1)
＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)
＝(x－1)
＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
＝(x－1)22x＋122＋12≥0，
所以1＋2x4≥2x3＋x2.
法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2)
＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1
＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，
所以1＋2x4≥2x3＋x2.
(2)aabb（ab）a＋b2＝aa－b2bb－a2＝aba－b2，当a＝b时，aba－b2＝1；当a>b>0时，ab>1，a－b2>0，aba－b2>1；
当b>a>0时，01.
所以aabb≥(ab)a＋b2.
二 用数学归纳法证明不等式举例
1．会用数学归纳法证明简单的不等式．(重点)
2．会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．(难点)
教材整理 用数学归纳法证明不等式
阅读教材P50～P53，完成下列问题．
1．贝努利(Bernoulli)不等式
如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx.
2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．
用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2 B．3 C．5 D．6
【解析】 n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.
【答案】 C
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
数学归纳法证明不等式
已知Sn＝1＋12＋13＋…＋1n(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋n2(n≥2，n∈N＋).
【导学号：32750068】
【精彩点拨】 先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．
【自主解答】 (1)当n＝2时，S22＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，
即n＝2时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋12＋13＋…＋12k>1＋k2.
