第二章 静电场与导体

第二章 静电场与导体

教学目的要求：

1、深入理解并掌握导体的静电平衡 条件及静电平衡时导体的基本性质，加深对高斯定理和环路定理的理解，结合应用电场线这一工具，会讨论静电平衡的若干现象，会结合静电平衡条件去理解静电感应、静电屏蔽等现象，并会利用前章的知识求解电场中有导体存在时的场强和电势分布。

2、确理解电容的概念，并能计算几种特殊形式的电容器的电容值。

3、进一步领会静电能的概念、会计算一些特殊带电导体的静电能。

4、深刻理解电场能量的概念，会计算电场能。

教学重点：

1、静电场中的导体

2、电容和电容器

教学难点：

1、静电场的唯一定理

§2.1 静电场中的导体

§2.2 电容和电容器

§2.3 静电场的能量

§2.1 静电场中的导体

1、导体的特征 功函数

（1）金属导体的特征

金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。

① 大量自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，服从经典的统计规律。

② 自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。

③ 自由电子的平均速率远大与定向运动速率。

（2）功函数

金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。

一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。

2、导体的静电平衡条件

（1）什么是静电感应？

当某种原因（带电或置于电场中）使导体内部存在电场时，自由电子受到电场力的作用而作定向运动，使导体一侧因电子的聚集而出现负电荷布另一侧因缺少电子而有正电荷分布，这就是静电感应，分布在导体上的电荷便是感应电荷。

（2）静电平衡状态

当感应电荷在导体内产生的场与外场完全抵消时，电子的定向运动终止，导体处于静电平衡状态。

（3）静电平衡条件 所有场源包括导体上的电荷共同产生的电场的合场强在导体内部处处为零。

静电平衡时：

① 导体是等势体。

② 导体外表面附近的电场强度与导体表面垂直。

③ 导体表面是一个等势面，且与导体内部的电势相等。

3、导体上的电荷分布

（1）导体内部电荷密度处处为零，电荷只能分布在导体表面上。

（2）空腔导体（内无电荷）内表面上无电荷分布。电荷只能分布在外表面，且导体空腔内部的场强也为零。

（3）孤立带电导体表面电荷面密度σ与表面曲率有关。一般来说，曲率大的地方电荷面密度较大，曲率小的地方电荷面密度较小。

４、导体表面的场强

当导体处于静电平衡时，导体表面场强大小与导体表面处的面电荷密度成正比，方向与导体表面垂直，即

为表面外法线单位矢。

① E是由所有场源共同产生。

② 01E的关系形式不受场源改变的影响。

当场源改变时，电场分布必要改变，导体表面上的面电荷分布将自

行调整，直至达到新的静电平衡，使 01E 成立。

5、静电屏蔽

空腔导体（不论接地与否）内部电场不受外部电荷影响；接地空腔导体外部电场不受腔内电荷影响，这种现象叫做静电屏蔽。

① 当导体壳接地时，接地线的存在，只提供与地交换电荷的可能性，并不保证壳外壁的电荷密度在任何情况下都为零。

② 导体的静电屏蔽作用是自然界存在两类电荷与导体中存在大量自由电子的结果。

③ 静电屏蔽时，电场线不能穿透金属导体。这里的电场线代表的是所有电荷共同产生的电场。

6、导体上的电荷分布计算方法

（1）根据题设条件分析判断经静电感应达到静电平衡后导体上所带电荷的性质及其分布情况，设出各待求电量Q或电荷密度。

（2）根据导体的静电平衡条件、高斯定理、环路定理和叠加原理，分别列出其场强及电势的表达式。

（3）由已知条件从方程组中解出各待求量。

7、导体附近的场强和电势计算方法

（1）确定导体达到静电平衡时所带的电量及电荷分布情况。

（2）根据导体静电平衡条件及导体上电荷稳定分布情况，分析判断其电场分布情况，用高斯定理（或场强叠加原理）再求出场强分布。 neEˆ10neˆ（3）用电势定义式（或电势叠加原理）求出电势分布。

8、例题

例2.1-1 一面积为S的很大金属平板A，带有正电荷，电量为Q，A1和A2是金属板的两个平面，计算两表面上的电荷单独产生的场强和它们的合场强。

解：因导体板的面积很大，厚度很小，可以认为电荷Q均匀分布在A1和A2两个表面上，电荷面密度为

每个面可看作无限大的带电平面，设 和 分别代表A1和A2表面上的电荷单独产生的电场的场强，表示垂直金属板向右的单位矢量，则

而

例2.1-2 在例1中，若把另一面积亦为S的不带电的金属平板B平行放在A板附近，求此时A、B板每个表面上的面密度和空间各点的场强。

解：当B板放在A板附近时，由于静电感应，电荷将重新分布，最后达到静电平衡。用1、2、3、4分别表示A和B两板每个面上的电荷面密度，如图所示。 根据电荷守恒定律，不管板上的电荷怎样重新分布，每一金属板的总量保持不变，即

根据静电平衡条件，每一金属板内的场强为零，若1E、2E、3E和 4E分别是每一面上的电荷单独产生的场强，则在金属板内任一处

取向右的方向为正，把每一个带电面看作无限大带电平面，在金属板A内，有

在金属板B内，有

解以上四个方程式，可得

SQ22E1E1Eiˆ210（A1右侧）iˆ210（A1左侧）2Eiˆ210（A2右侧）iˆ210（A2左侧）21EEEiˆ10（A1右侧）0 （A1、A2之间）iˆ10（A2左侧）

2A1AAx1SQ2104304321EEEE0432104321212SQ432SQ1234xAB1234ⅠⅡⅢIEIIEIIIE

三个区域中的场强为

012IIIIIIQEEES 方向如图所示。由此可见，B板的引入并不改变A板上电荷的分布，除B板内各处的场强为零外，空间其它地方的场强亦未变化。

例2.1-3 在上题中，若将金属板B接地，求A、B两板表面上的电荷密度。

解：B板接地后，B板和大地变成同一导体，B板外侧表面不带电，即

根据电荷守恒定律

根据静电平衡条件，A、B两板内部电场强度为零，故有

解以上方程得

即当B板接地后，原来分布在A板两个表面上的电荷全部集中到B板的一个表面上，而在B板的靠近A板的那个表面上出现与A板等量异号的感应电荷，电场只分布在区域II内。

例2.1-4 在x<0的半个空间内,充满金属，在x=a处有一电量为q的正点电荷,如图(a)所示，试计算导体表面的场强和导体表面上的感应电荷面密度。

解：根据场强叠加原理，空间任一点的场强由点电荷+q单独产生的电场和金属表面感应电荷单独产生的电场叠加而成，如图（2）。

1）若P1是x<0空间内的一点，其坐标为（-δ，y），δ→0 ，点电荷q在P1点的场强为

图（a）

设金属表面的感应电荷在该点产生的场强为1E，如图（b），则由场强叠加原理和静电平衡条件有

由此得

图（b）

2）若P2是x>0空间内的一点，其坐标为（δ，y），δ→0 ，因P1和P2无限接近，在这两点，点电荷q的电场强度是相等的，但感应电荷在P1处的场强1E和P2处的场强'E是不同的，根据导体表面附近一点的场强垂直于导体表面知，qE和'E大小相等，方向不同，如图（c）。

04SQ21032103210132SQ2322020)(ˆˆ4ˆ41yaiajyqerqErq01qEE23220201)(ˆˆ4ˆ41yajyiaqerqEr'1E23220'1)(ˆˆ4yajyiaqEoyqxa),(1yp1EqEqaox

图（c）

例2.1-5 电量为q的点电荷绝缘地放在导体球壳的中心，球壳的内半径为R1，外半径为R2，求球壳的电势

解：点电荷位于球壳的中心，球壳内表面将均匀带有总电量-q，球壳外表面均匀带有总电量q，电场的分布具有球对称性，此时可用两种方法求球壳的电势。

1）积分法

2）叠加法

例2.1-6 两导体球，半径分别为R和r，相距甚远，分别带有电量Q和q，今用一细导线连接两球，求达到静电平衡时，两导体球上的电荷面密度之比值。

解：当导体球相距甚远时，每一导体球都可以看作为孤立导体处理。导体球的电势分别为

014QR

当用导线连结时，两导体球上的电荷重新分布，电量变为 'Q和 'q但导线很细，分布在导线上的电荷忽略不计。这是两导体球的电势相等，即

而

由此可求得

面电荷密度

所以

例2.1-7 一导体球通过与一带电金属板反复接触而获得电荷，每当导体球与金属板接触并分后,又重新使金属板带有电量Q，若q1是导体球与金属板第一次接触后所带的电量，求导体球可获得的最大电量。

解：导体球与金属板接触时，两者达到电势相等。设经过第一次接触，导体球的电量为q123220'1)(ˆ24yaiaqEEEq)ˆ()(223220iyaaq01E2322)(2yaaqdrrqrdER22042041Rq201010444RqRqRq204Rqrq041rqRQ''qQqQ'')('qQrRRQ)('qQrRrqRrRQqRQR1)(44'2rrRQqrqr1)(44'2RrrRE'Eaoxqq1Ey2(,)py2R1RqqRr'Q'q甚远细线