第3章一次方程与方程组教学目标知识与技能1、根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的全过程，体会方程是刻画实现世界的一个有效的数学模型。
2、牢靠地掌握最简单一元一次方程与二元一次方程组的解法。
3、能够以一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，求解方程和解释结果的实际意义与合理性。
过程与方法（1）在复习过程中，培养学生的分类归纳与概括能力。
（2）让学生根据已有的只是经验，自主决策完成整式加减全章的概括，从而培养学生数学思维方法及归纳能力。
（3）通过分组合作学习活动，学会在活动中与人合作，并能与他人交流思维的过程与结果。
3、情感、态度与价值观通过全章的抽象概括的独立思考与合作学习的过程，培养学生归纳、总结的良好学习习惯。
教学重点1、根据具体问题中的数量关系，以一次方程为工具解决一些简单的实际问题。
2、掌握解一元一次方程和二元一次方程组的基本解法。
教学难点根据具体问题中的数量关系，正确有效地列出一次方程解决实际问题。
教学过程一、温故知新同学们组小结本章内容，并把你们的小结展示出来，看看哪个小组做得最好，最有特色。
二、复习小结1、阅读教材中的小结评价，给关键性词语打上横线，看看你们刚才的小结有什么遗漏。
2、复习等式的基本性质等式的基本性质是解方程或者方程组的根据。
由等式的基本性质引入移项解方程。
3、复习解方程、方程组的步骤。
解一元一次方程的基本步骤（1）去分母；（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为1解二元一次方程组的基本思想是“消元”—代入消元或者加减消元，消去其中一个未知数，化二元方程为一元方程。
在一般情况下，若方程组中存在一个未知数的系数为±1时，则采用代入消元法；否则选择加减消元法。
对于连等号的方程则优化为方程组后再用解方程组的方法解答。
4、复习列一元一次方程或者二元一次方程组解应用题。
列一元一次方程或者二元一次方程组解应用题步骤：1、审题、设未知数。
七年级数学上册第3章一次方程与方程组单元测试卷（沪科版2024年秋）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列方程中，是一元一次方程的是()A ．3x －6＝0B ．2x －y ＝zC ．x －2y ＝1D ．x 2＋y ＝12．已知x ＝y ，下列等式变形不一定成立的是()A ．1－x ＝1－y B.x b ＝y b C ．πx ＝πyD.x m 2＋1＝y m 2＋13．方程3x －12－2x ＋13＝1去分母正确的是()A ．2(3x －1)－3(2x ＋1)＝6B ．3(3x －1)－2(2x ＋1)＝1C ．9x －3－4x ＋2＝6D ．3(3x －1)－2(2x ＋1)＝64．已知有理数x ，y x －y ＝3，y －x ＝－4，则2x ＋y 的值为()A ．－1B ．0C ．1D ．25．由x －y2＝1可以得到用x 表示y 的式子为()A ．y ＝2x －1B ．y ＝2x －2C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝2x ＋26．小哲与他的爸爸一起做“投篮球”游戏，两人商定游戏规则为：小哲投中1个得2分，小哲爸爸投中1个得1分，两人共投中了25个．经计算，发现小哲比爸爸多得2分，则小哲投中了()A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个7.《九章算术》是中国古代的一本重要的数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x 两，燕每只y 两，则可列出方程组为()x ＋6y ＝16，x ＋y ＝6y ＋x x ＋6y ＝16，x ＋y ＝5y ＋xx ＋5y ＝16，x ＋y ＝5y ＋xx ＋5y ＝16，x ＋y ＝4y ＋x8．【2024·x －y ＝7a －5，y －x ＝5的解x ，y 互为相反数，则a 的值为()A ．0B ．1C ．－1D ．29．【2024·合肥蜀山区校级期中】某公司出售A ，B 两种商品，A 商品降价20%，B 商品提价25%，都售得a 万元，在这两笔交易中，该公司总盈亏情况是()A ．亏损B ．盈利C ．不盈不亏D ．无法确定盈亏10．已知关于x 的一元一次方程2022x ＋a2023＋2023＝x ＋b 的解是x ＝2023，则关于y 的一元一次方程y －2024＝2022y ＋a －20222023－b的解为y ＝()A ．2022B ．2023C ．2024D ．2025二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．若方程(m＋1)x＋3y|m|＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值为________．12．【2024·哈尔滨南岗区校级期中】一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流速度是3km/h，则船在静水中的平均速度是________km/h.13.按下面的程序计算：若输入的x为正整数，输出结果是133，则满足条件的x的值是________．14.如图是2024年7月的日历，任意选取“H”型框中的7个数(如阴影部分所示)，请你运用所学的数学知识来研究，“H”型框中的7个数的和可能是________．(填写序号)①63；②70；③92；④105.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．【2024·合肥蜀山区校级期中】解方程组：－y ＋23＝－1，＋2y ＝14；＋y ＋z ＝10，x ＋3y ＋z ＝17，x ＋2y －z ＝8.16．【2024·六安金安区校级期中】已知关于x 的方程3x －(2a －1)＝5x－a ＋1与x ＋122＋x －43＝8的解相同，求a 的值．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.清代诗人徐子云曾写过一首诗：巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，看看用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧．意思是：山林中有一座古寺，不知道寺内有多少僧人．已知一共有364只碗，刚好能够用完．每三个僧人一起吃一碗饭，每四个僧人一起吃一碗羹．请问寺内一共有多少僧人？请解答上述问题．18．【2024·包河大地中学月考】若关于x，y的二元一次方程组x－y＝5，＋by＝－1x＋y＝9，ax－4by＝18有公共的解．(1)求x，y的值；(2)求a2＋b2－2ab的值．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有中、小型汽车共30辆，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？20.若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，即＝10m＋n.(1)若＝－1，求x的值；(2)若＝45，求的值．六、(本题满分12分)21.A，B两地相距480千米．一辆快车从A地出发，每小时行驶80千米，一辆慢车从B地出发，每小时行驶60千米．(1)两车同时出发，相向而行，经过多长时间两车相遇；(2)两车同时出发，相背而行，经过多长时间两车相距620千米．(3)若快车从A地比慢车早出发5小时去追赶慢车，两车同向而行，慢车出发多长时间后能被快车追上？七、(本题满分12分)22．为提高课后延时服务质量，某校根据实际决定开设更多运动项目，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．(1)七(1)班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计，需要购买足球的有15名同学，需要购买跳绳的有12名同学．请你根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价；(2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进a个足球和b根跳绳(其中a>22，b>0)，恰好用了2400元，其中每个足球的进价为80元，每根跳绳的进价为15元，则最多可以购进多少根跳绳？八、(本题满分14分)23.已知(a＋2)x2＋3x－18＝0是关于x的一元一次方程，且方程的解是x＝b，若数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b.(1)a＝________，b＝________，A，B两点之间的距离为________．(2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在此位置第二次运动，向右运动2个单位长度，又在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，…按照此规律不断地左右运动，当运动到2024次时，求点P所对应的有理数．(3)在(2)的条件下，是否存在一点P，使它到点B的距离是到点A的距离的3倍？若存在，请直接写出点P的位置所对应的数；若不存在，请说明理由．答案一、1．A 2．B 3．D4．A 5．B 6．C 7．B8．A【点方法】在求解二元一次方程组问题中，观察未知数前的系数，能否直接将两方程相加或相减得到所求的代数式．9．A10．C 【点拨】因为关于x 的一元一次方程2022x ＋a 2023＋2023＝x ＋b 的解是x ＝2023，即x －2023＝2022x ＋a 2023－b 的解是x ＝2023.所以b ＝2022＋a 2023.所以y －2024＝2022y ＋a －20222023－022所以y －2＝2022y －20222023，即2023y －4046＝2022y －2022，解得y ＝2024.二、11．1【点易错】容易忽视未知数x 前面的系数m ＋1≠0，即m ≠－1.12．27【点拨】设船在静水中的平均速度是x km/h ，根据题意，得2(x ＋3)＝2.5(x －3)，解得x ＝27.所以船在静水中的平均速度是27km/h.13．46或17【点拨】由题意得，若只经过一次计算，则3x －5＝133，解得x ＝46；若经过两次计算，则令3x －5＝46，得x ＝17；若经过三次计算，则令3x －5＝17，得x ＝223(不合题意，舍去)．综上，满足条件的x 的值是46或17.14．①②④【点拨】设中间的数为x ，则另外的6个数分别是x －8，x －6，x －1，x ＋1，x ＋6，x ＋8，则7个数的和是x －8＋x －6＋x －1＋x ＋x ＋1＋x ＋6＋x ＋8＝7x .当和是63时，7x ＝63，解得x ＝9.由题图可知，这7个数为1，3，8，9，10，15，17.当和是70时，7x ＝70，解得x ＝10.由题图可知，这7个数为2，4，9，10，11，16，18.当和是92时，7x ＝92，解得x ＝927(不符合题意，舍去)．当和是105时，7x ＝105，解得x ＝15.由题图可知，这7个数为7，9，14，15，16，21，23.故7个数的和可能是63，70，105.三、15．【解】(1)x －2y ＝－2，①x ＋2y ＝14.②①＋②，得6x ＝12，解得x ＝2.把x ＝2代入②，得6＋2y ＝14，解得y ＝4.＝2，＝4.＋y＋z＝10，①x＋3y＋z＝17，②x＋2y－z＝8.③②－①，得x＋2y＝7，④②＋③，得5x＋5y＝25，即x＋y＝5，⑤④－⑤，得y＝2.把y＝2代入⑤，得x＝3.把x＝3，y＝2代入①，得z＝5.＝3，＝2，＝5.16．【解】解第一个方程，得x＝－a2，解第二个方程，得x＝4.所以－a2＝4，解得a＝－8.四、17．【解】设寺内有x个僧人，由题意得x3＋x4＝364，解得x＝624.答：寺内一共有624个僧人．18．【解】(1)因为关于x，y的二元一次方程组x－y＝5，＋by＝－1与x＋y＝9，ax－4by＝18有公共的解，x－y＝5，x＋y＝9＝2，＝3.(2)＝2，＝3，a －12b ＝18，a ＋3b ＝－1，＝1，＝－1.所以a 2＋b 2－2ab ＝1＋1－2×1×(－1)＝4.五、19．【解】设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆，＋y ＝30，x ＋8y ＝324，＝12，＝18.答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．20．【解】(1)因为＝10m ＋n ，＝－1，所以(10×2＋x )－(10x ＋3)＝－1.所以x ＝2.(2)因为＝10m ＋n ，＝45，所以10x ＋2＋10y ＋3＝45.所以10x ＋10y ＝40.所以x ＋y ＝4.所以x ＝1，y ＝3或x ＝2，y ＝2或x ＝3，y ＝1.所以＝13或22或31.六、21．【解】(1)设经过x 小时后两车相遇，由题意得60x ＋80x ＝480，解得x ＝247.答：经过247小时后两车相遇．(2)设经过y 小时后两车相距620千米，由题意可得60y ＋80y ＋480＝620，解得y ＝1.答：经过1小时后两车相距620千米．(3)设慢车出发t 小时后被快车追上，由题意得80t ＋80×5＝60t ＋480，解得t ＝4.答：慢车出发4小时后被快车追上．七、22．【解】(1)设足球的单价为x 元，跳绳的单价为y 元，由题意x ＋12y ＝1740，x ＋15y ＝1500，＝100，＝20.答：足球的单价为100元，跳绳的单价为20元．(2)由题意得80a ＋15b ＝2400，整理得b ＝160－163a,所以a 越小，b 越大．因为a ，b 均为正整数，a >22，所以当a ＝24时，b 取最大值，最大值为160－163×24＝32,所以最多可以购进32根跳绳．八、23．【解】(1)－2；6；8【点拨】因为(a ＋2)x 2＋3x －18＝0是关于x 的一元一次方程，所以a ＋2＝0，3x －18＝0，解得a ＝－2，x ＝6.因为方程的解是x ＝b ，所以b ＝6.所以A ，B 两点之间的距离＝6－(－2)＝8.(2)由题意可得－2－1＋2－3＋4－5＋6－7＋…＋2022－2023＋2024＝－2＋(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－2021＋2022)＋(－2023＋2024)＝－2＋1012＝1010，所以点P 所对应的有理数为1010.(3)设点P 的位置所对应的数为x ，则AP ＝|x ＋2|，BP ＝|x －6|.当3AP ＝PB 时，3|x ＋2|＝|x －6|，解得x ＝0或－6.所以点P的位置所对应的数为－6或0.。
3.2一元一次方程的应用【学习目标】1．通过一元一次方程解决实际问题，进一步体会方程这一数学模型的重要作用，增强数学的应用意识．2．掌握一元一次方程解应用题的一般步骤，能根据问题的意义，检验结果的合理性．【学习重点】掌握列一元一次方程解决实际问题．【学习难点】灵活运用一元一次方程解应用题．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．说明：等积变形问题：从相等关系入手，即圆柱形容器容积＝长方体容器容积．说明：典例2行程问题；典例3数字问题，引导学生找出相等关系列方程．情景导入生成问题旧知回顾：1．解一元一次方程的一般步骤有哪些？答：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.12．你能解决下面问题吗？5位教师和一群学生一起去公园，教师按全票的票价是每人7元，学生只收半价．如果买门票共花费206.50元，那么学生有多少人？解：设有学生x人，由题意得：15×7＋×7x＝206.50，2解得x＝49.答：学生有49人．自学互研生成能力知识模块列一元一次方程解应用题阅读教材P93～P96的内容，回答下列问题：问题：列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？答：列一元一次方程解应用题的一般步骤：(1)审：审题，弄清题意，明确各数量之间的关系；(2)找：找出相等关系；(3)设：设未知数，通常题目要求什么，就可以设什么为未知数；(4)列：根据这个相等关系列出需要的代数式，并列出方程；(5)解：解这个方程，求出未知数的值；(6)答：检验所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案．典例1：一个圆柱形水桶，底面半径为11cm，高25cm，将满桶的水倒入底面长30cm，宽20cm的长方体容器，此长方体容器的高至少为多少才不会有水溢出？(π取3.14，结果精确到0.1cm)解：设长方体容器的高为x cm，依题意，有30×20x＝25π×112，121π解得x＝≈15.8.24答：长方体容器的高至少为15.8cm.典例2：甲骑摩托车、乙骑自行车同时从相距250千米的两地相向而行，经过5小时相遇．已知甲每小时行驶的路程是乙每小时行驶的路程的3倍少6千米，则乙骑自行车的速度为(B)A．10千米/小时B．14千米/小时C．16千米/小时D．18千米/小时典例3：一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1，将两个数字调换顺序后所得数比原数小63，则原数为(A)A．92 B．94 C．96 D．98提示：典例4工程问题，能够理解把工作总量看为“1”，理解工作效率＝工作总量.工作时间行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学——帮扶学——组内群学来开展)．在群学后期教师可有2意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．典例4：一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？解：设乙还需x天完成这项工程，由题意得：1 1 x 3(×3＋＝1，解得x＝6 .＋12)15 12 53答：乙还需6 天才能完成全部工程．5交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块列一元一次方程解应用题课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________3。
第3章一次方程与方程组教学目标知识与技能1、根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的全过程，体会方程是刻画实现世界的一个有效的数学模型。
2、牢靠地掌握最简单一元一次方程与二元一次方程组的解法。
3、能够以一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，求解方程和解释结果的实际意义与合理性。
过程与方法（1）在复习过程中，培养学生的分类归纳与概括能力。
（2）让学生根据已有的只是经验，自主决策完成整式加减全章的概括，从而培养学生数学思维方法及归纳能力。
（3）通过分组合作学习活动，学会在活动中与人合作，并能与他人交流思维的过程与结果。
3、情感、态度与价值观通过全章的抽象概括的独立思考与合作学习的过程，培养学生归纳、总结的良好学习习惯。
教学重点1、根据具体问题中的数量关系，以一次方程为工具解决一些简单的实际问题。
2、掌握解一元一次方程和二元一次方程组的基本解法。
教学难点根据具体问题中的数量关系，正确有效地列出一次方程解决实际问题。
教学过程一、温故知新同学们组小结本章内容，并把你们的小结展示出来，看看哪个小组做得最好，最有特色。
二、复习小结1、阅读教材中的小结评价，给关键性词语打上横线，看看你们刚才的小结有什么遗漏。
2、复习等式的基本性质等式的基本性质是解方程或者方程组的根据。
由等式的基本性质引入移项解方程。
3、复习解方程、方程组的步骤。
解一元一次方程的基本步骤（1）去分母；（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为1解二元一次方程组的基本思想是“消元”—代入消元或者加减消元，消去其中一个未知数，化二元方程为一元方程。
在一般情况下，若方程组中存在一个未知数的系数为±1时，则采用代入消元法；否则选择加减消元法。
对于连等号的方程则优化为方程组后再用解方程组的方法解答。
4、复习列一元一次方程或者二元一次方程组解应用题。
列一元一次方程或者二元一次方程组解应用题步骤：1、审题、设未知数。
