第14-1章 极值和条件极值隐函数

第十四章 极值和条件极值在工程技术领域，经常会遇到诸如用料最省、收益最大、效率最高等问题，尽管这些问题具体背景不同，但其实质是函数的极值问题，在单变元微积分学中，我们已经建立了一元函数的极值理论。

本章我们采用类似的思想，以二元函数为例，建立多元函数的极值理论。

§1 无条件极值一、基本概念：设),(y x f u =定义在区域D 上，D y x M ∈),(000。

定义1：若在0M 的某领域)(0M U 内成立：≤),(y x f ),(00y x f ，对任意(,)x y ∈)(0M U ，称),(y x f 在0M 点达到极大值),(00y x f ，点),(000y x M 称为),(y x f 的极大值点。

注：类似可定义极小值（点）。

注：极值是一个局部概念，且只有区域的内点才有可能成为极值点。

类似一元函数的极值理论，我们先建立极值点的必要条件。

设),(000y x M 为),(y x f 的极值点且设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在。

考虑一元函数),(0y x f ，则),(0y x f 在0x 点取得极值，因而：00(,)|x df x y dx=0， 由多元函数偏导数的定义，则0(,)|0M f x y x∂=∂。

类似：0(,)|0M f x y y∂=∂。

故，若0M 是极值点，则必有0(,)|M f x y x∂=∂0， 0(,)|0M f x y y ∂=∂。

定义2：若),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，且满足0(,)|M f x y x∂=∂0，0(,)|0M f x y y ∂=∂，称0M 为函数),(y x f 的驻点。

定理1：设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，则点0M 是)(M f 的极值点的必要条件是0M 是)(M f 的驻点。

上述定理1给出了偏导数存在的条件下点),(000y x M 成为极值点的必要条件。

有例子表明：上述的条件是不充分的。

如xy y x f u ==),(，则0M (0,0)点为其驻点，但0M 不是极值点。

也有例子表明：偏导数不存在的点，也有可能是极值点，如：x y x f =),(，y 轴上的任一点0M ),0(y 都是其极小值点。

事实上，∈∀),(y x M )(0M U ，)(0)(0M f x M f =≥=，但可验证：偏导数)(0M f x 不存在；事实上⎩⎨⎧<->=-=-→→0,10,10lim ),0(),(lim 00x x x x x y f y x f x x ， 故)(0M f x 不存在。

综上，极值点要么属于驻点，要么属于偏导数不存在的点，也就是说，我们必须在这两类点中寻找极值点，因此，如果我们在极值理论中，把可能成为极值点的点称为可疑点，则可疑点由驻点和偏导数不存在的点组成，至于具体的可疑点中哪个点是极值点，必须进一步验证。

对可疑的偏导数不存在的点，需要用定义验证此点的极值性质，对可疑的驻点，可以通过定义或更高级的方法――二阶导数法去验证， 就是驻点成为极值点的二阶导数判别法：设0M 为驻点，记),(),(0000y x f y y x x f u -∆+∆+=∆，则0≥∆u 时，0M 应为极小值点；0≤∆u 时，0M 应为极大值点。

为计算u ∆，利用Taylor 展开和0M 是驻点的条件，则u ∆=22001[(,)2x f x x y y x q q +D +D D 002(,)xy f x x y y x y q q ++D +D D D]),(2002y y y x x f y ∆∆+∆++θθ记)(),(002M f B M f A xy x ==)(02M f C y =，设),(y x f 具有连续的二阶偏导数，则，22000000(,)(,)(,)x xy y f x x y y A f x x y y B f x x y y C θθαθθβθθγ+∆+∆=++∆+∆=++∆+∆=+， 其中：0lim 0,0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→∆→∆γβαy x ， 故，u ∆=]2[2122y C y x B x A ∆+∆∆+∆]2[2122y y x x ∆+∆∆+∆+γβα )]2()2[(2122222γηβξηαξηξηξρ+++++=C B A 其中ρηρξρyxy x ∆=∆=∆+∆=,,22。

记二次型：222kf A B C ξξηη=++，则)(0M f 是否为极值就转化为二次型kf 在单位圆S:}1:),{(22=+ηξηξ上是否保号。

进一步讨论之：若kf 是正定的，即对任意的22(,):0ξηξη+≠有),(ηξkf >0，则，利用闭区域上连续函数的性质，),(ηξkf 作为ηξ,的二元连续函数必在闭区域单位圆上某一点假设11(,)ζη点取得正的最小值，即11(,)f ζη=0),(min ),(>=∈m kf S ηξηξ，又： 0)2(lim 220=++→γηβξηαξρ，故存在0>δ，当δρ<时，m <++222γηβξηαξ，因而：δρ<<0时，u ∆)]2(),([21222γηβξηαξηξρ+++=kf 0)]2([21222>+++≥γηβξηαξρm ， 故0M 为f(x,y)的极小值点。

类似：若kf 为负定的，则0M 为f(x,y)的极大值点。

而当kf 即非正定又非负定时，则0M 不是极值点。

我们用反证法说明这一事实，不妨设)(0M f 为极大值，构造一元函数：),()(00y t y x t x f t ∆+∆+=φ，则对任意适当小的x ∆，y ∆，)(t φ在0=t 点取得极大值，由一元函数极值的理论：//(0)0φ≤，但计算得)(//t φ=2200(,)x f x t x y t y x +D +D D002(,)xy f x t x y t y x y ++D +D D D200),(2y y t y x t x f y ∆∆+∆++故)0(0//φ≥222y C y x B x A ∆+∆∆+∆=，因而kf 是负定的，这与kf 条件矛盾。

综上所述。

定理2：设0M 为)(M f 的驻点，)(M f 在0M 附近具有二阶连续偏导，则1）0>=C B BA H 且A>0时，0M 为极小值点；2）H>0且A<0时，0M 为极大值点；3）H<0时， 0M 一定不是极值点。

注：H=0时，没有任何结论。

总结：通过上述结论，计算函数极值之程序：1、求可疑点，即驻点和偏导数不存在的点；2、验证和判断。

例1：讨论)0,0(2222>>+=q p qy p x f 的极值。

解：由于,22p x f x =qy f y =，得唯一驻点)0,0(，] 进一步计算：q C B p A 1,0,1===，故H>0，A>0，)0,0(为极小值点。

例2：讨论54222),(y y xy x y x f -+-=的极值。

解：计算得432544,22y y xy f y x f y x -+-=-=，得唯一驻点p )0,0(，且H=0，（无法用定理来判定），由定义：225(,)(0,0)(,)()f f x y f f x y x y y ∆=-==--故在曲线02>=y y x 且上：0<∆f ；在曲线02<=y y x 且上：0>∆f ，故)0,0(不是极值点。

事实上，对p 点的任一邻域U(p ，ρ)，都可以找到一对点2212(,) , (,)p r r p r r -，其中r 充分小，满足0ρ<，则(,),1,2.i p U p i ρ∈=且12()()0f p f p ∆⋅∆<，因而，)0,0(不是极值点。

定理2的推广：定理3：设)(M f 为n 元函数，0M ),,(00201n x x x Λ为f 的驻点，二次型kf =j i nj i x x M f j i ξξ)(01,∑=，则当kf 正定时，0M 为极小值点；当kf 负定时，0M 为极大值点；当kf 不定时，0M 不是极值点。

最值：定义2：设),(y x f u =在区域D 上有定义，0M ∈D ，若)(M f ≤)(0M f ，D M ∈∀，称0M 为f 在D 上的最大值点，)(0M f 为最大值。

注：1、类似定义最小值和最小值点；2、最值是整体性概念；3、内部最值必是极值。

我们知道，有界闭区域D 上的连续函数),(y x f 必在D 上取得最大（小）值，如何计算最值。

类似一元函数求最值的方法为：先求极值；然后将极值与边值作比较，找出最大和最小的值即为最大值和最小值。

例3：记D 是由x 轴、y 轴与直线π2=+y x 所围成的闭区域，求 )sin(sin sin y x y x f +-+=在D 上的最大值。

解：计算)cos(cos ),cos(cos y x y f y x x f y x +-=+-=,D 内部有唯一驻点0M )32,32(ππ,且)(0M f =233,而在边界x =0上，0|sin sin 0x f y y ==-=;在边界0y =上0|0y f ==;而在边界2x y π+=上2|sin sin 0x y f x y π+==+=,故最大值为233。

§2条件极值先看一个例子：例1：要制造一个容积为43m 的无盖长方形水箱，问水箱的长、宽、高各为多少米时，用料最省。

分析：将其转换为数学问题。

所谓用料最省，即指水箱的表面积为最小，因而，问题的实质是寻求表面积函数的最小值。

设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,，则水箱的表面积：xz yz xy z y x f S 22),,(++==，由于水箱容积为43m ，故4xyz =，因而：问题转化为：当z y x ,,为何值时，在条件4xyz =下，可使),,(z y x f S =取得最小值。

像这类，计算在某些约束条件下的函数极值问题，就是多元函数的条件极值。

在工程技术领域，众多的实际问题都可归结为多元函数的条件极值。

接下来，我们将给出条件极值的一般表述方式，并给出条件极值的研究方法。

问题的一般形式：计算n 元函数),,(21n x x x f u Λ=在约束条件：()⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(*111n k n x x x x ΛΛΛφφ 下的极值，其中n k <<0。

那么，如何求解条件极值问题？1、简单情形我们首先指出，对简单的条件极值可转化为无条件极值，即求解约束条件方程组，假设求得到的解为：⎪⎩⎪⎨⎧==++),,(),,(1111n k k kn k x x x x x x ΛΛΛψψ 代入),,(21n x x x f u Λ=，可将上述条件极值转化为函数),,),,,(,),,,((1111n k n k k n k x x x x x x f u ΛΛΛΛ+++=ψψ关于变元n k x x ,,1Λ+的无条件极值。