函数极值充分条件

极值点的判断条件
极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。

对于函数f(x)，如果f'(x0)=0，那么x0可能是f(x)的极值点。

然而，这只是一个必要条件，并非充分条件。

根据极值的第二充分条件，如果f''(x0)>0，那么x0是f(x)的极小值点；如果f''(x0)<0，那么x0是f(x)的极大值点。

另外，驻点（一阶导数为零的点）和不可导点（导数不存在，也可以取得极值）都可能是极值点，但这并不绝对。

一个给定的区间内，可以有多个极大值和极小值点，其中最大的为最大值，最小的为最小值。

极值存在的第二充分条件是bai当一阶du导数等于0，而二阶导数大于0时，zhi为极小值点。

当一阶导数等于dao0，而二阶导数小于0时，为极大值点。

具体证明过程如下。

证明：因为对于函数y=f(x)。

设f(x)一阶可导，且y'=f'(x)，二阶可导，且y''=f''(x)。

且当x=x0时，f'(x0)=0。

那么当f''(x0)＞0时，而f''(x0)=lim(x→x0⁺)（f'(x)-f'(x0)）/(x-x0)=f''(x0)=lim(x→x0⁻)（f'(x)-f'(x0)）/(x-x0)＞0。

当x→x0⁺时，x-x0＜0，那么f'(x)-f'(x0)＜0，即f'(x)＜0。

当x→x0⁻时，x-x0＞0，那么f'(x)-f'(x0)＞0，即f'(x)＞0。

那么可得x＞x0时，f'(x)＜0，则函数f(x)为减函数，x＜x0时，f'(x)＞0，则函数f(x)为增函数，所以可得f(x)在x=x0处取得极小值。

同理可证明函数y=f(x)，当x=x0时，f'(x0)=0，f''(x0)＜0时，f(x)在x=x0处取得极大值。

扩展资料：1、二阶导数的性质（1）判断函数极大值以及极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。

当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。

当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

（2）函数凹凸性。

设f(x)在[ab]上连续，在（ab)内具有一阶和二阶导数，那么，若在（ab)内f''(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的。

若在（ab)内f’‘(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的。

多元函数极值的充分条件马丽君（集宁师范学院 数学系）我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。

若0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值点）对于多元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，有与上面一元函数取得极值的充分条件相对应的结论。

定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12,,,Tn f ff x x x ⎛⎫∂∂∂⎪∂∂∂⎝⎭为()f X 的梯度，记作gradf 。

引理 设n 元函数()f X ，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则()f X 在点000012(,,,)n X x x x =取得极值的必要条件是：0112(),,,0Tn n X X f ff gradf X x x x ⨯=⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。

定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶连续偏导数，000012(,,,)n X x x x =是()f X 的驻点，现定义()f X 在点0X 处的矩阵为：222000211212222000202122222000212()()()()()()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪=∂∂∂∂∂⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎩⎭由于各二阶偏导数连续，即22(,1,2,,)i j j if fi j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂，所以0()f H X 为实对称矩阵。

二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1．二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。

对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。

(2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。

(3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00，B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值；当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值；02>-AC B 时，),(00y x 不是极值点。

注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：y x x z 232-=∂∂，x y y z 22-=∂∂．x x z 622=∂∂, 22-=∂∂∂y x z , 222=∂∂yz ． 再求函数的驻点．令x z ∂∂= 0，y z ∂∂= 0，得方程组⎩⎨⎧=-=-.022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3232． 利用定理2对驻点进行讨论：(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC >0,故(0, 0)不是函数z = f (x , y ) 的极值点．(2)对驻点），（3232，由于A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4<0, 且A >0,则 2743232-=），（f 为函数的一个极小值． 例2：（2004数学一）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。

函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。

本文将对函数的极值和最值进行详细总结。

1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。

1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。

极大值点和极小值点合称为极值点。

1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。

1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。

这是极值判定的充分条件。

2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。

2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。

但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。

2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。

首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。

从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。

3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。

3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。

首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。

当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。

计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。

先求出一阶偏导，再令其为零并求出相再求函数的驻点.令—=O,■X :z C=O,-y得方程组r 23x -2y=O,2y —2x = O.二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1. 二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。

对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。

(2) 二元函数取得极值的必要条件：设f(x,y)在点(x o, y。

)处可微分且在点(X o,y o)处有极值，则f'x(X o,y°)=O , f 'y (X o, yo) = 0，即(x。

，y。

)是驻点。

(3)二兀函数取得极值的充分条件：设z = f (x, y)在(X o，y。

)的某个领域内有连续上二阶偏导数，且 f 'x(X o ,y°) = f 'y (X o, y°) = o，令f'xx (x o, y°) = A ，f'xy (X o,y°) =B，f'yy (x°,y°) =C ，贝U当B2- AC ::: O 且A<O 时，f(X o, y o)为极大值;当B2- AC ::: O 且A>O，f(x o, y o)为极小值；B2 - AC O时，(X o, y o)不是极值点。

注意：当B2—AC = O时，函数z = f (x, y)在点(x o,y o)可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1求函数z = x3 + y2—2xy的极值.【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值, 【解】先求函数的一、二阶偏导数：2；z 2 ；z :z3x -2 y， 2 y -2x . 歹=6x ,:x -y ：x2 2求得驻点(O, o)、(—,—). ;2Z ;y3 3利用定理2对驻点进行讨论:【解因为x 2 -6xy■ 10 y 2 - -2 yz _ zc cc 和:z2 x —6 y —2 y — -2z — =0 ,ex :：x&；z-6x 20 y - 2z-2y —-2z —:y0, :x .:z 0fy =3y,-3x 亠 10y - z = 0,将上式代入 x 2 —6xy-10y 2_2yz —z 2 T8=0，可得二_9,=3,--3, 二_3由2 -22zy 2 :Xz 2 -2() -2z :x 2:z 0 ・ 2:X匸启2cz c z -6-22 y — :x ;\;y'z 'z20—2 — — 2—— 2 y 2 ;:y ;:y ;:y⑴对驻点(0, 0),由于A = 0, B = — 2, C = 2, B 2 — AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y)的极值点.(2)对驻点(2,2),由于 A =4, B = — 2, C = 2,B 2 — AC = — 4*0,且 A . 0,则3 32 24f '一 —为函数的一个极小值. 3 3 27例 2： ( 2004 数学一)设 Z=Z (X,y)是由 x 2 _6xy • 10 y 2 _ 2yz _ Z 2 • 18 = 0 确定的函 数，求z = z(x, y)的极值点和极值・【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。

极值的判定方法详解极值是数学中一个重要的概念，它在优化问题、微积分和数学建模等领域中有着广泛的应用。

判定一个函数的极值是数学分析中的基本问题之一，本文将详细介绍极值的判定方法。

一、极值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在一个点x0，使得在x0的某个邻域内，对于任意的x，都有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值或极小值，同时称x0为极值点。

二、一阶导数法判定极值一阶导数法是判定极值的常用方法之一。

根据函数的导数可以判断函数在某一点的增减性，从而判定极值。

1. 极值点的必要条件若函数f(x)在x0处可导且x0为极值点，则f'(x0)=0。

这是极值点的必要条件，但不是充分条件。

2. 极值点的充分条件若函数f(x)在x0处二阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)>0，则x0为f(x)的极小值点；若f''(x0)<0，则x0为f(x)的极大值点。

三、二阶导数法判定极值二阶导数法是判定极值的另一种常用方法。

通过函数的二阶导数可以判断函数在某一点的凹凸性，从而判定极值。

1. 极值点的必要条件若函数f(x)在x0处可导且x0为极值点，则f''(x0)=0。

这是极值点的必要条件，但不是充分条件。

2. 极值点的充分条件若函数f(x)在x0处二阶可导，且f''(x0)>0，则x0为f(x)的极小值点；若f''(x0)<0，则x0为f(x)的极大值点。

四、边界点和无界区间的极值判定除了在内部点判定极值外，还需要考虑函数在边界点和无界区间的极值情况。

1. 边界点的极值判定若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且在a处或b处的导数不存在，则f(x)在[a, b]上的极值点可能出现在a或b处。

2. 无界区间的极值判定若函数f(x)在区间(-∞, +∞)上连续，在(-∞, +∞)内可导，且当x→±∞时，f(x)趋于某个常数L，则f(x)在(-∞, +∞)上的极值点可能出现在x→±∞时。

求极值的方法与技巧极值一般分为无条件极值和条件极值两类。

无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。

一、求解无条件极值的常用方法1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型定理1(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下：(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值；(2) AC -B 2<0时没有极值；(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值。

极值的求法：第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。

第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。

第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理1的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值。

应注意的几个问题：⑴对于二元函数z =f (x , y ),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；⑵AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论；⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。

例1求函数的极值。

2222()()xy z x y e -+=+解 令222222()22()2(1)02(1)0x y x y z x x y e x z y x y e y-+-+∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩得驻点及(0,0)22 1.x y +=又由22222222()2[2(13)4(1)]x y zy x x x y e x-+∂=-----∂ 22222()4(2)x y zxy x y e x y-+∂=---∂∂ 22222222()2[2(13)4(1)]x y z x y y x y ey -+∂=-----∂ 22(0,0)2,z A x∂==∂2(0,0)0,z B x y ∂==∂∂22(0,0)2zC y∂==∂240,B AC A ∆=-=-<>故为极小值。