函数的极值和最值知识梳理

3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.

导数的应用二------函数的极值与最值编稿：赵 雷 审稿：李 霞

【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。2. 会用导数求函数的极大值、极小值。3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。4. 掌握函数极值与最值的简单应用。【要点梳理】 要点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

)(xf0xx

0x)()(0xfxf)(0xf)(xf)(0xfy极大值

0x)()(0xfxf)(0xf)(xf)(0xfy极小值（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

（二）用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极值点.②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异。要点二、函数的最值（一） 函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

lim
x x0
f (x) f (x0 ) (x x0 )n
2
(n为正整数)
试讨论 f (x)在 x x0 点的极值问题.
解：由于 lim f (x) f (x0 ) 2 0， xx0 (x x0 )n
则
0，当x U (x0, ) 时，有
f
(x) f (x0 ) (x x0 )n
a 1 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 因此，当a 1时，f (a) 0，由第二充分条件可知： f (a) 为极小值.
-11-
例 4 设 f (x)在 x0 的某个邻域内连续，且
切线与直线 y 0 及 x 8所围成的三角形面积最大．
解 如图，设所求切点为 P(x0, y0 ), y
T
则切线PT为：y y0 2x0 (x x0 ),
B
P
y0 x02 ,
oA
Cx
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2 x0 )(16 x0
由极值定义可知：f (x)在 x0 不取得极值.
-13-
二、最大值最小值问题
假定：f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内除有限个点外可导， 且至多有有限个驻点.
讨论：f (x) 在[a,b]上的最大值与最小值的问题.
★ 最值的存在性：
若 f (x)在[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b]上的最值必定存在.
如：y x3，y x0 0， 但 x 0 不是极值点.
【注 2】函数的极值点只可能是驻点或导数不存在的点.

函数的极值与最值函数的极值与最值是数学中一个重要的概念，它帮助我们了解函数在特定区间内的最大值和最小值，对于解决实际问题和优化函数的性能具有重要意义。

在本文中，我们将探讨函数的极值和最值的概念、求解方法以及其在实际问题中的应用。

1. 函数的极值与最值概述函数的极值指的是函数在某个区间内取到的最大值或最小值。

极大值是指函数在该点的函数值大于或等于该点邻近的其他点的函数值，而极小值则是指函数在该点的函数值小于或等于该点邻近的其他点的函数值。

函数的最大值和最小值则是函数在整个定义域内取到的最大和最小的函数值。

2. 求解函数的极值与最值为了求解函数的极值与最值，我们可以采用以下方法：2.1 导数法对于可导的函数，我们可以通过求导来找到函数的极值。

首先，我们计算函数的导数，然后求解导数为零的点，即可得到函数的极值点。

通过求二阶导数，我们可以进一步判断该点是极大值还是极小值。

2.2 边界法如果函数在一个闭区间上连续，我们可以通过计算该区间的边界点和函数在这些点上的函数值，来找到函数的最值。

比较边界点上的函数值，即可得出函数的最大值和最小值。

3. 函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中有广泛的应用。

以下是几个例子：3.1 经济学在经济学中，函数的极值与最值可以用来优化生产效益、成本最小化和利润最大化的问题。

例如，一个公司可以通过求解该公司的生产函数的最大值，来确定最优的生产量和工人数量。

3.2 物理学在物理学中，函数的极值与最值可以用于研究运动的轨迹、优化物体的能量和速度等问题。

通过求解物体的加速度函数或能量函数的极值，可以找到物体在特定条件下的最优运动轨迹。

3.3 工程学在工程学中，函数的极值与最值可以用于设计和优化工程系统。

例如，通过求解某个系统的效率函数的最大值，可以找到系统的最佳工作点，从而提高工程系统的性能和效益。

总结：函数的极值与最值是数学中的重要概念，它们帮助我们优化函数和解决实际问题。

函数的极值与最值的判定在数学中，函数的极值和最值是研究函数性质时非常重要的概念。

判定一个函数的极值和最值可以帮助我们更好地理解函数的特点和行为。

本文将介绍如何确定函数的极值和最值，并给出相应的判定步骤和示例。

一、函数的极值函数的极值指的是函数在某一特定点上取得的最大值或最小值。

函数在极值点处的导数为零或不存在。

要判定函数的极值，我们需要依据下面的步骤进行操作：1. 求取函数的导函数。

导函数可以用来描述函数的变化趋势，它表示函数在某一点上的斜率。

2. 求取导函数的零点。

导函数的零点对应着函数的极值点，因为函数在极值点处的导数为零。

3. 分析导函数的零点的符号变化。

若导函数的零点从正变为负，那么函数在该点上取得极大值；若导函数的零点从负变为正，那么函数在该点上取得极小值。

4. 验证极值点。

通过计算函数在极值点处的取值，确定函数的极值。

二、函数的最值函数的最值是指在特定的定义域范围内，函数所能取得的最大值和最小值。

要确定函数的最值，我们需要按照以下步骤进行：1. 求取函数的定义域。

定义域是函数能够取值的范围。

2. 分析函数的变化趋势。

通过观察函数的图像、导函数的符号、一阶导数和二阶导数的正负性等信息，推测函数可能存在的最值点。

3. 确定最值点。

通过计算函数在最值点处的取值，确定最值。

三、示例分析现在我们来看一个具体的示例，以帮助更好地理解函数的极值和最值的判定过程。

假设我们有一个函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5。

我们将按照上述步骤来判定函数的极值和最值。

1. 求取导函数。

导函数f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。

2. 求取导函数的零点。

令f'(x) = 0，解得x = -1, 3。

3. 分析导函数的符号变化。

当x < -1时，f'(x) < 0；当-1 < x < 3时，f'(x) > 0；当x > 3时，f'(x) < 0。

函数的极值和最值在微积分中，函数的极值和最值是常见的概念。

极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值，而最值则是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

一、极值的定义对于一个函数f(x)，如果存在某个数a使得在a的邻域内的任意x，都有f(x)≤f(a)或者f(x)≥f(a)，那么称函数f(x)在点a处有极大值或极小值。

极大值和极小值统称为极值。

二、求解极值的方法为了求解函数的极值，我们需要采用求导的方法。

具体步骤如下：1. 对函数f(x)求导，得到f'(x)。

2. 找出f'(x)的零点，即解方程f'(x)=0。

3. 将零点代入f''(x)，判断它们的正负性。

- 如果f''(x)>0，则在该点处取得极小值。

- 如果f''(x)<0，则在该点处取得极大值。

- 如果f''(x)=0，则无法判断，需要进行其他方法的检验。

三、最值的定义函数的最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。

最大值用符号"max"表示，最小值用符号"min"表示。

四、求解最值的方法求解函数的最值需要考虑函数的定义域，并结合求导和极值的方法。

1. 函数定义域的判断- 如果函数是一个有限闭区间上的连续函数，则最值必然存在。

- 如果函数的定义域是整个实数集，则最值可能不存在。

2. 求解最值的步骤- 首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)。

- 然后，找出f'(x)的零点。

- 接着，将零点和函数的端点代入f(x)，求出这些点对应的函数值。

- 最后，比较这些函数值，找出最大值和最小值。

需要注意的是，在求解最值时，还需要考虑函数的边界特性和特殊点，如间断点、开区间端点以及无界区间的端点等。

总结：函数的极值和最值是微积分中的重要概念，通过对函数的导数、零点和二阶导数的分析，可以求解函数的极值和最值。

经济决策
在经济学中，很多问题涉及到成本和收益的权衡 ，这些问题的解决往往需要利用极值的概念。
3
物理现象解释
在物理学中，很多现象可以用极值的概念来解释 ，如物体运动的轨迹、电流的分布等。
05
习题与解答
习题
判断题
如果函数在某点的导数大于0，则该点为函数的极小值点。（）
选择题
函数f(x)在x=2处取得极大值，则f''(2)（）
学习目标
01 掌握函数极值和最值的定义、性质和求解方法。 02 理解极值与最值在实际问题中的应用，提高解决
实际问题的能力。
03 通过案例分析和练习，加深对极值与最值概念的 理解和掌握。
02
函数的极值
极值的定义
极值
函数在某点的值比其邻域内的任 何点的值都大或都小，则称该点 为函数的极值点，函数在该点的 值为极值。
表格法
通过列表比较函数的一阶导数、二阶导数和函数值的 变化趋势，确定极值点。
极值的求法
求解一阶导数
首先求出函数的一阶导数。
判断单调性
根据一阶导数的符号变化，判断函数的单调性。
寻找极值点
在单调性变化的点处寻找极值点。
验证
通过比较极值点附近函数值的凹凸性，验证所找到的极值点是否正确。
03
函数的最值
最值的定义
《函数的极值与最 值》ppt课件
目 录
• 引言 • 函数的极值 • 函数的最值 • 极值与最值的比较与联系 • 习题与解答
01
引言
主题介绍
函数极值与最值的概念
介绍函数极值和最值的定义，以及它 们在数学和实际应用中的重要性。
极值与最值的区别
阐述极值和最值的不同之处，包括定 义、性质和求解方法等。

函数的极值与最值的区别一、前言二、函数的极值函数的极值是指函数在一定区间内取得的最大值或最小值。

根据函数的定义，可以得出一个结论：如果函数在某一点的导数等于0，那么这一点可能成为函数的极值点。

换句话说，在一个函数图像中，函数的极值往往出现在函数图像上呈现出拐点的位置。

回到导数的定义上，导数表示函数随着自变量变化而变化的速率。

在一个函数图像上，如果某一点的导数为0，那么这一点就是函数的极值点。

如果导数为正，那么这一点就是函数的局部最小值，如果导数为负，则是函数的局部最大值。

这种情况通常要注意函数的定义域和值域，还要注意函数的单调性。

函数的最值是指函数在定义域内能够取到的最大值和最小值，包括局部最值和全局最值。

与函数的极值不同的是，函数的最值并不要求函数在某个点的导数等于0，而是所有可能点的函数值的极值。

在数学中，一个函数的最值可以通过指定函数的定义域并计算所有在该定义域内的函数值进行比较而得出。

比如说，对于 +x^2+3x+4 这个函数，其定义域是实数集合，该函数的最小值为（-1,6）时的函数值，最大值为（- \infty，+\infty）时的函数值。

需要注意的是，在某些情况下，函数有可能没有最大值和最小值。

函数的极值一般需要用到导数，因为导数可以告诉我们一个函数在某一点的斜率是多少，从而判断该点是否是局部最大值或最小值。

但是函数的最值并不需要用到导数，而是通过指定定义域并计算所有的函数值进行比较。

函数的极值和最值是非常重要的数学概念，在不同的数学应用场景中都起着重要的作用。

理解这两个概念的异同点，能够对学生们更深入地理解函数及其相关概念。

五、函数极值和最值的应用函数的极值和最值在数学上有着广泛的应用。

其中函数极值主要用于解决函数最大值和最小值的问题，常见的例子包括数学建模中的最优化问题、物理学中的牛顿力学问题和经济学中的生产问题等。

而函数的最值则是应用于优化问题，例如在经济学中，最大化利润和最小化成本都涉及到函数的最值。

函数的极值与最值在数学中，函数的极值和最值是一个非常重要的概念。

通过研究函数的极值和最值，我们可以了解函数在某个区间内的最大值和最小值，这对于实际问题的求解有着重要的指导意义。

本文将探讨函数的极值和最值的相关概念、求解方法以及与实际问题的应用。

一、函数的极值和最值的定义在讨论函数的极值和最值之前，我们需要先了解函数的极值点和最值的定义。

对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在一个点c，使得c在(a, b)的内部，并且满足对于a < x < c，有f(x) > f(c)，而对于c < x < b，有f(x) < f(c)（或者反之），则称c是函数f(x)在区间[a, b]上的一个极值点。

函数的最大值和最小值则分别是函数在区间[a, b]上的极大值和极小值。

如果在区间[a, b]上存在一个点c，使得对于任意x∈[a, b]，都有f(x) ≤ f(c)（或者f(x) ≥ f(c)），则称c是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值（或最小值）。

二、求解函数的极值和最值的方法接下来，我们将介绍一些常用的方法来求解函数的极值和最值。

1. 导数法导数法是求解函数极值和最值的一种常用方法。

首先，我们需要计算函数f(x)在[a, b]内的所有驻点。

驻点是指函数的导数f'(x)等于零的点。

其次，我们计算出[f(x)]''的值，并根据[f(x)]''的正负性来判断函数在驻点处的极值。

具体步骤如下：（1）求解导数f'(x)；（2）解方程f'(x) = 0，得到驻点；（3）计算[f(x)]''的值；（4）根据[f(x)]''的正负性来判断函数在驻点处的极值。

2. 边界法边界法是求解函数最值的一种方法。

如果函数f(x)在区间[a, b]上是连续的，那么最值一定在区间的边界上取得。

因此，我们只需要计算出f(x)在区间端点a和b处的函数值，并进行比较即可。

函数的极值与最值函数在数学中具有重要的地位和作用，在各个领域中都有广泛的应用。

函数的极值与最值是函数中的一个重要概念，它们与函数的变化趋势和特征密切相关。

本文将探讨函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。

一、函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。

极大值是函数在该区间内的最大值，极小值是函数在该区间内的最小值。

计算函数的极值的常用方法是求导。

如果函数在某一点的导数为0，且在该点的左侧导数由负变正，右侧导数由正变负，那么该点就是函数的极值点。

例如，对于函数f(x)=x^3-3x^2+2x，在取得极值的点处，f'(x)=0。

我们可以求得f'(x)=3x^2-6x+2=0，解得x=1或x=2/3。

分别代入函数，可以得到极小值f(2/3)=-4/27，以及极大值f(1)=0。

二、函数的最值函数的最值是指函数在整个定义域上的最大值和最小值。

计算函数的最值的方法可以通过求函数的导数，或者通过对函数的定义域进行讨论。

对于闭区间，只需要计算函数在端点上的值并进行比较即可找到最大值和最小值。

例如，对于函数f(x)=x^2-4x+3，定义域为[-1,3]。

首先计算端点的值，f(-1)=8，f(3)=6。

然后求导得到f'(x)=2x-4，令其等于0得到x=2。

将x=2代入函数得到f(2)=-1。

因此，在定义域[-1,3]上，f(x)的最大值为8，最小值为-1。

三、函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在经济学中，函数的最大值可以表示最大的利润或最小的成本；在物理学中，函数的极小值可以表示最短的路径或最小的能量。

以一个经济学的例子为说明：假设一家公司的生产函数为Q=100L-2L^2，其中Q表示产量，L表示劳动力的数量。

这个函数是一个抛物线函数，通过求导可以找到其极值点。

求导得到Q'=100-4L=0，解得L=25，即劳动力的数量为25时，产量最大。

函数的极值与最值函数是数学中非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。

在数学中，我们经常会遇到寻找函数的极值和最值的问题。

本文将介绍函数的极值和最值的概念、求取方法以及相关的应用。

一、函数的极值和最值概念函数的极值指的是函数在特定区间内取得的最大值和最小值。

极大值是函数在该区间内取得的最大值，而极小值则是函数在该区间内取得的最小值。

极大值和极小值统称为极值。

而最大值和最小值则是函数在整个定义域内的最大值和最小值。

二、求取函数极值的方法有多种方法可以求取函数的极值，下面介绍常用的两种方法：导数法和二阶导数法。

1. 导数法导数法是一种基于函数导数的方法，它通过求取函数的导数来判断函数在某一点的递增或递减性，从而确定极值的存在和位置。

具体步骤如下：（1）求取函数的导数；（2）求取导数为零的点，即导数为零的点可能是函数的极值点；（3）求取导数为零点的二阶导数，并判断二阶导数的正负性；（4）根据二阶导数的正负性来确定函数在该点处的极值。

2. 二阶导数法二阶导数法是基于函数的二阶导数来判断函数极值的存在和位置。

通过求取函数的二阶导数，我们可以确定函数的凹凸性，并进而确定极值的存在和位置。

具体步骤如下：（1）求取函数的二阶导数；（2）求取二阶导数为零的点，即二阶导数为零的点可能是函数的极值点；（3）根据二阶导数的正负性来确定函数在该点处的极值。

三、函数极值与最值的应用函数的极值和最值在数学中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 最优化问题最优化问题是函数极值与最值的常见应用之一。

在实际问题中，我们常需要寻找一个函数的最大值或最小值，以满足特定的条件。

例如，生产厂家为了最大化利润，需要确定产量的最优值，这就是一个最优化问题。

2. 经济学应用函数的极值和最值在经济学中也有广泛的应用。

例如，生产函数和效用函数都需要求取最大值或最小值来确定最佳生产方案或消费方案。

3. 物理学应用在物理学中，函数的极值和最值也有很多应用。

(1) 求f (x).
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .

§2-6 函数的极大(小)值和最大(小)值1.函数的极大(小)值 一个函数在它有定义的区间上可能没有最大(小)值，但它在某个部分区间上可能会有最大(小)值，即局部最大值或局部最小值.函数的局部最大值或局部最小值，又称为函数的极大值或极小值.具体地说，设函数)(x f 在点),(0b a x ∈连续.若有足够小的正数δ，使)||0()()(00δ<-<<x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点0x 取到极大值)(0x f ，并称点0x 为函数)(x f 的极大值点.同理，使 )||0()()(11δ<-<>x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点1x 取到极小值)(1x f ，并称点1x 为函数)(x f 的极小值点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，而函数的极大值点和极小值点统称为函数的极值点. 因为函数的极值是函数在小范围内的最大值或最小值，根据定理2-1，我们就有下面的结论：若函数()f x 在某区间内的点0x 处取到极值且有导数'0()f x ，则'=0()0f x .因此，0()0f x '=是可微函数．．．．在点0x 取到极值的必要条件,但它不是可微函数取到极值的充分条．．．．．．．．．．．．．．．．件．! 例如函数3)(x x f =，尽管有0)0(='f ，但0不是它的极值点(图2-22).以后，就把使0()0f x '=的点0x 称为函数)(x f 的驻点(可能不是极值点．．．．．．．).需要指出，不能把上面的结论简单说成“函数取到极值的必要条件”.例如，函数()f x x =(图2-23)，它在点0有极小值(也是最小值)，可是它在点0没有导数.因此，函数在区间内部的极值点只可能是它的驻点或没有导数的点.它们合在一起称为函数的临界点.一般情形下，求连续函数)(x f 在开区间),(b a 内的极值时，一般步骤是：第一步，求出)(x f 在区间),(b a 内的所有临界点(即驻点或没有导数的点)；第二步，对于每一个临界点，再用下面的判别法验证它是否为极值点；第三步，求出函数在极值点处的函数值(即函数的极大值或极小值).判别法Ⅰ 设0x 为连续函数)(x f 在区间),(b a 内的临界点(驻点或没有导数的点).若有足够小的正数δ，使(见图2-24)⑴)(x f 在),(00x x δ-内是增大的且在),(00δ+x x 内又是减小的，则)(0x f 是极大值； 图2-23x图2-21[或] [或]⑵)(x f 在),(00x x δ-内是减小的且在),(00δ+x x 内又是增大的，则)(0x f 是极小值；[或0)(<'x f ] [或0)(>'x f ]⑶)(x f 在),(00δδ+-x x 内是增大的或是减小的，则)(0x f 不是极值.当0x 为函数)(x f 的驻点且0)(0≠''x f 时，就用下面的判别法Ⅱ.判别法Ⅱ 设0x 为函数)(x f 在区间),(b a 内的驻点[即0)(0='x f ].若有二阶导数0)(0≠''x f ，则⑴ 当0)(0<''x f 时，)(0x f 是极大值； ⑵ 当0)(0>''x f 时，)(0x f 是极小值.[当0)(0=''x f 时，函数)(x f 在点0x 是否取到极值，需要做进一步的讨论]证 根据例22（§2-5），则有222200000011()()()()()()()()22f x h f x f x h f x h o h f x f x h o h '''''+=+++=++于是得 20001()()[()(1)]2f x h f x f x o h ''+-=+ 因为0)(0≠''x f ，所以当||h 足够小时，)]1()([0o x f +''与)(0x f ''同符号.因此，有正数δ，使当0||h δ<≤时，0()f x h +0()f x -=000,()00,()0f x f x ''<<⎧⎨''>>⎩ 这就是要证的结论.例23 求函数1323-+=x x y 的极值.解 2363(2)y x x x x '=+=+，666(1)y x x ''=+=+由0='y 得驻点122,0x x =-=.因为2060,60x x y y =-=''''=-<=>，所以31)2(3)2(232=--+-=-=x y 是极大值； 01x y ==-是极小值.【注】若函数()f x 在点0x 没有导数或二阶导数0()0f x ''=，就去用上面的判别法Ⅰ.2.函数的最大(小)值(又称为绝对极值) 函数的最大(小)值是指函数在定义域或定义域中某个区间上的最大(小)值.求连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值和最小值时，方法更简单：第一步，先求出)(x f 在开区间),(b a 内的临界点；并求出)(x f 在所有临界点上的函数值.(1) 0图2-24 (2)(3)第二步，把以上函数值与区间端点上的函数值)(a f 和)(b f 放在一起做比较，其中最大者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值，最小者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最小值.非闭区间上的连续函数可能没有最大值或最小值.在这种情形下，就要根据具体问题，经过分析后才能确定某个函数值是最大值或最小值.例如，⑴ 函数)(x f 在区间),[b a 上增大(减小)时，)(a f 就是最小值(最大值)；⑵ 函数)(x f 在区间],(b a 上增大(减小)时，)(b f 就是最大值(最小值)；⑶ 设有点),(b a c ∈. 若函数)(x f 在区间],(c a 上增大且又在区间),[b c 上减小，则)(c f 就是最大值；若函数)(x f 在区间],(c a 上减小且又在区间),[b c 上增大，则)(c f 就是最小值.例24 证明不等式：)0(1e >+>x x x .证 令)0()1(e )(≥+-=x x x f x ，则)(x f 在),0[+∞上是连续函数.因为)0(01e )(>>-='x x f x [即函数()f x 是增函数]所以(0)0f =是最小值.因此，()0(0)f x x >>，即)0(1e >+>x x x .例25 证明：函数)10()(<<-=αααx x x f 在区间),0(+∞内有最大值α-=1)1(f . 由此再证明近代数学中著名的赫尔窦(H ölder)不等式:11110,0,0,0;1p q ab a b a b p q p qp q ⎛⎫≤+>>>>+= ⎪⎝⎭ 证 由0)1()(11=-=-='--αααααx x x f 得驻点1=x . 因为 当10<<x 时， 0)1()(1>-='-ααx x f [即)(x f 增大]，当+∞<<x 1时， 0)1()(1<-='-ααx x f [即)(x f 减小]，所以α-=1)1(f 是最大值.其次，令q p b a x p ==-,1α，则111qp p p p p q p q q q a a a f ab a b b b p b p --⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而根据上述结论，即α-≤1)(x f ，则得不等式111(1)11q p q p aba b f p p q α---≤=-=-= 两端同乘q b ，并注意1=-p q q ，则得要证的不等式q p b qa p ab 11+≤. 在非闭区间上求一个函数的最大(小)值问题，常常出现在实际应用问题中.解这类问题时，首先需要根据问题本身，运用几何学或物理学或其他有关科学中的知识，列出“目标函数”(即要求它的最大值或最小值的函数)的函数式.这样，问题就变成求目标函数的最大值或最小值.例如， “当矩形周长l 为定值时，它的长和宽为何值时面积最大？”或“当矩形面积S 为定值时，它的长和宽为何值时周长最小？”设矩形的一边长为x ，则前一个问题的目标函数就是(矩形面积)()2l S x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 02l x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 而后一个问题的目标函数就是(矩形周长)()2S l x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ )0(+∞<<x 这样，问题就变成求函数)(x S 的最大值或求函数)(x l 的最小值.例26 设有闭合电路如图2-25. 它由电动势E 、内阻r 和纯电阻负载E 所构成.若E 和r 是已知常数，问负载R 为何值时，电流的电功率最大？解 根据电学的知识，闭合电路中电流的电功率为R I P 2=(I 为电流强度)而根据闭合电路的欧姆定律，电流强度R r E I +=. 因此，电功率为 22)(R r R E P += (自变量为R ) 由0='P ，即由0)()()()(2)(324222=+-=++⋅-+⋅='R r R r E R r R r R E R r E P 得r R =. 因此，当负载r R =(内阻)时，电功率取到最大值r E P 4/2=.例27 由材料力学的知识，横截面为矩形的横梁的强度是2h x k =ε(k 为比例系数，x 为矩形的宽，h 为矩形的高)今要将一根横截面直径为d 的圆木，切成横截面为矩形且有最大强度的横梁，那么矩形的高与宽之比应该是多少？解 如图2-26，因为222x d h -=，所以22()(0)kx d x x d ε=-<<.令0='x ε，即22222()2(3)0x k d x x k d x ε'=--=-=⎡⎤⎣⎦ 则得驻点x d=根据实际问题的提法，当矩形的宽/x d =强度ε取到最大值.此时，因为d dd x d h 32)3(2222=-=-= 所以2/=x h .图2-26在实际工作中，技术人员是按下面的几何方法设计的：把圆木的横截面(圆)的直径AB 分成三等份(如图2-27)，再分别自分点C 和D 向相反方向作直径AB 的垂线，交圆周后做成图中那样的矩形.这个矩形的长边与短边的比值就是2.例28 已知某工厂生产x 件产品的成本为21()2500020040C x x x =++(元) 问：⑴ 要使平均成本最小，应生产多少件产品？ ⑵ 若产品以每件500元售出，要获得最大利润，应生产多少件产品？最大利润是多少? 解 ⑴ 平均成本为x x x x C x C 40120025000)()(++==(元/件) 让040125000)(2=+-='x x C ，则得1000=x (件).因此，生产1000件产品时平均成本最小. ⑵ 售出x 件产品时，收入为x 500(元)，而利润为=)(x L (收入)x 500-(成本))40120025000(500)(2x x x x C ++-= 212500030040x x =-+- 让020300)(=-='x x L ，则得6000=x (件).因此，生产6000件产品并全部售出时，获得的利润最大.最大利润为900000)6000(=L (元). 习 题1.求下列函数的极值(极大值或极小值)：求连续函数在定义区间内的极值时，应先找出导数等于零的点（驻点）和没有导数的点，然后按上面指出的判别法，去判别函数在这些点上是否取到极大值或极小值.⑴x x x f -=3)(； ⑵242)(x x x f -=； ⑶122)(2-+-=x x x x f ；⑷()f x x = ⑸x x x f -=e )(； ⑹x x x f ln )(=； ⑺x x x f -+=e )1()(3； ⑻3231)1()(x x x f -=.答案：⑴max minf f ⎛= ⎝；⑵1)1(,0)0(m in m ax -=±=f f ； ⑶2)2(,2)0(m in m ax =-=f f ；⑷min 34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑸1m ax e )1(-=f ；⑹12m in e 2)e (---=f ；⑺2m ax e 27)2(-=f ；⑻max min 1(1)03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2.求下列函数在指出区间上的最大值和最小值：⑴];2,2[,1823-+--=x x x y ⑵];1,1[,15-++=x x y⑶];2,1[,13--=x x y ⑷511,,1;12y x x ⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦ ⑸211,1,12x y x +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦. 答案：⑴;11,27203-⑵;1,3-⑶;443,23-⑷;31,1532⑸0,2242-. 3.设n a a a <<< 21. 当x 为何值时，函数∑=-=ni i a x x f 12)()(取最小值？答案：n a a a x n +++=21(算术平均值). 4.设.0>a 求函数||11||11)(a x x x f -+++=的最大值. 提示：把区间),(+∞-∞分成三个区间(,0),(0,),(,)a a -∞+∞. 答案：21a a++. 5.证明下面的不等式： ⑴ );01(2)1ln(2<<--<+x x x x ⑵ 12ln 1(0);21x x x ⎛⎫+>> ⎪+⎝⎭ ⑶ );0(arctan 33><<-x x x x x ⑷ 1e 1(0)x x x -≥>. 6.设有方程033=+-c x x (c 为常数).问：当c满足什么条件时，方程有:⑴三个实根，⑵两个实根，⑶一个实根？ [提示：分别研究下图⑴，⑵，⑶]答案：⑴22<<-c ；⑵2±=c ；⑶2-<c 或2>c .7.在什么条件下，方程()300x px q pq ++=≠有：⑴一个实根，⑵三个实根？提示：参考上一题的做法. 答案：⑴042723>+q p ；⑵042723<+q p . 8.确定下列各方程实根的个数，并指出只含有一个实根的区间：⑵ 第6题图⑴ 0109623=-+-x x x ； ⑵ 020********=-+--x x x x ；⑶ )0(ln ≠=k kx x ； ⑷2e (0)x ax a =>.答案：⑴一个实根，在)5,4(内；⑵两个实根，32,1221<<-<<-x x ；⑶当0<k 时有一个实根，在)1,0(内；当1e0-<<k 时有两个实根，+∞<<<<21e ,e 1x x ； 当1e -=k 时有一个实根e =x ；当1e ->k 时没有实根.⑷当4e 02<<a 时有一个实根，在)0,(-∞内；当4e 2>a 时有三个实根， 1230,02,2x x x -∞<<<<<<+∞.9.设有二阶导数)(a f ''. 证明：⑴ 若函数)(x f 在点a 取到极大值，则0)(≤''a f ；⑵ 若函数)(x f 在点a 取到极小值，则0)(≥''a f .10.设函数21()22sin (0),(0)2f x x x f x ⎛⎫=-+≠= ⎪⎝⎭. 证明：)(x f 有最大值2)0(=f ，但)(x f 在点0的左旁附近不是增大的，而且在点0的右旁附近不是减小的(这说明判别法Ⅰ中的条件不是必要的).11.应用题 ⑴设两正数x 与y 的和等于常数a (a y x =+).求)0,0(>>n m y x n m 的最大值.⑵设两正数x 与y 的乘积等于常数a (a xy =).求)0,0(>>+n m y x n m 的最小值.⑶在有一定体积的所有正圆柱体中，当底圆半径与高之比为何值时，它有最小的表面积？⑷用薄钢板做一个容积为定值v 的无盖圆柱形桶.假若不计钢板厚度和剪裁时的损耗，问桶底半径r 与高h 各为多少时，用料最省？⑸从半径为R 的圆上切掉一个扇形后，把余下部分卷成一个漏斗.问余下部分扇形的圆心角θ为何值时，卷成漏斗的容积最大？第11⑸题图⑵ ⑴ 第11⑹题图x⑹(反射定律) 如图示，由点A 经点B ，再到点C . 证明：当入射角α等于反射角β时，折线ABC 的长度最短.⑺一商家销售某种商品的价格为x p 2.07-=(万元/T)，其中x 为销售量(单位:T)；商品的成本为13+=x C (万元).（i ）若每销售一吨商品，政府要征税t 万元，求商家获最大利润时的销售量；（ii ）t 为何值时，政府税收的总额最大？答案：⑴n m n m n m n m n m a +++)(；⑵n m n m mn n m a n m +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1)(；⑶1∶2；⑷r h ==⑸2θ=弧度)；⑺（i ）t x 5.210-=；（ii ）2=t .。

函数的极值与最值在数学中，函数的极值与最值是我们经常会遇到的概念。

它们在解决实际问题，优化算法等方面发挥着重要的作用。

本文将介绍函数的极值与最值的定义、求解方法以及其在实际问题中的应用。

一、极值的定义与求解方法极值是函数在特定区间内取得的最大值或最小值。

根据定义，当函数在某个点的左右两侧函数值发生变化时，这个点就被称为极值点。

函数的最大值与最小值就是所有极值点中的最大值与最小值。

求解函数的极值可以通过以下几种方法：1. 导数法导数法是求解函数极值最常用的方法之一。

首先，我们需要计算函数的导数，然后找出导数为零的点，即驻点。

接下来，通过二阶导数的符号判断驻点是极大值还是极小值。

2. 边界法当函数在一个闭区间内连续且可导时，我们只需要计算函数在区间的端点以及在内部导数为零的点，然后比较这些函数值，即可找到函数的最大值与最小值。

3. Lagrange乘数法Lagrange乘数法主要用于求解带有约束条件的极值问题。

通过构造Lagrange函数并求解其偏导数为零的方程，我们可以获得函数在约束条件下的极值点。

二、最值的定义与求解方法最值是函数在定义域内的最大值或最小值。

与极值不同的是，最值并不要求函数在某个点处取得。

求解函数的最值可以通过以下几种方法：1. 根据函数性质有些函数具有明显的性质，比如函数的图像是凸函数或凹函数，这时我们可以直接判断函数的最值在哪个区间内取得。

2. 数值法数值法是一种较为直接的方法。

我们可以通过在定义域内取一系列点的函数值，然后比较这些函数值找出最大值与最小值。

3. 优化算法优化算法可以用来求解函数的最值问题。

例如，梯度下降法、遗传算法、模拟退火算法等可以被应用于求解实际问题中的最优解。

三、函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些具体例子：1. 生产优化问题在生产过程中，我们希望能够最大化产量或最小化成本。

通过建立相应的数学模型，并利用函数的极值与最值概念，可以确定生产因素的最佳配置，从而实现生产效益的最大化。

∴ f (x) 在 x = ±1处没有极值. 说明 极值的判别法 (定理2 ~ 定理4) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时，不能说明极值不存在. 无极值的判断 ① 无可疑极值点的函数必无极值；
② 单调函数无极值； ③ 无定义的点一定不是极值点.
2 x2 的极值. 例5 求函数 f ( x) 2 (1 x)
① 求出 f (x) 在 (a , b) 内的驻点 x1 , x2 , 及不可导点 xm1 , xm2 ,
, xn ;
, xm
② 计算 f ( xi ) (i 1,2, , n) 及 f (a) , f (b) ; ③ 比较大小.
最大值：
M max f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (a), f (b) , f ( xn ), f (a), f (b)
所以，极大值为 f (1) 10 , 极小值为 f (3) 22 .
例4 求函数 f ( x) ( x 2 1)3 1 的极值. 解
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 , f ( x) 6( x 2 1)(5 x 2 1)
令 f ( x) 0, 得驻点 x1 0, x2 1, x3 1
L( x ) R ( x ) C ( x ) ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
那么生产多少件产品时，利润函数 L(x) 最大？ 解题思路
① 根据题意建立数学模型，即写出利润函数；
② 对利润函数求最值.
例7 已知某厂生产 x 件产品的成本为 1 2 C ( x) 25000 200 x x (元). 40 若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产 多少件产品？
1 2 解 利润函数为 L( x) 25000 300 x x 40

二、最值的求法
步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
三、应用举例
03
例1
解
计算
比较得
点击图片任意处播放\暂停
例2
敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？
练 习 题
练习题答案
下命题正确吗？
思考题
思考题解答
不正确． 例
在–1和1之间振荡 故命题不成立．
练 习 题
练习题答案
解
设房租为每月 元，
租出去的房子有 套，
每月总收入为
（唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为
点击图片任意处播放\暂停 例4
如图,
解
解得
所以F(x)在[0，1] 上最大值为 1。
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
极小值
例1
图形如下
例2. 求函数
的极值 .
解:
1) 求导数
2) 求极值可疑点
令
得
导数不存在的点
3) 列表判别
是极大点，
其极大值为
是极小点，
其极小值为
定理3(第二充分条件)
证
例3
解
图形如下
注意:

设 在点 的某邻域内有五阶连续导数，且： 解： 所以不论 ，还是 均有
解 (1)建立敌我相距函数关系 敌我相距函数 得唯一驻点

函数的极值与最值函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系，并在数学建模和问题求解中扮演重要角色。

函数的极值和最值是在特定区间内，函数取得的最大值和最小值。

本文将介绍函数的极值与最值的概念，并探讨如何求解函数的极值和最值。

一、函数的极值与最值概念在某个区间内，如果函数的值在该区间的其它点上都小于（或大于）该点的函数值，那么该点被称为函数的极值点。

函数的最大值和最小值就是函数在整个定义域内的极值。

对于实数域上的函数f(x)，如果存在一个实数c，使得在区间[a,b]内的任意一点x，都有f(x)≥f(c)，则称f(c)为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值；如果对于区间[a,b]内的任意一点x，都有f(x)≤f(c)，则称f(c)为函数f(x)在区间[a,b]上的最小值。

二、求解函数的极值与最值为了求解函数的极值和最值，我们可以采用以下方法：1. 导数法函数极值点必须满足导数为0或者不存在导数的条件。

通过求函数的导数，我们可以找到导数为零的点，然后判断这些点是否为函数的极值点。

当导数从正数变为负数时，函数的最大值出现；当导数从负数变为正数时，函数的最小值出现。

2. 端点法对于定义在有界闭区间上的函数，其最大值和最小值可能出现在区间的两个端点上。

因此，在求解函数的最大值和最小值时，我们需要检查区间的两个端点是否为候选点，并与导数法的结果进行比较。

3. 二次函数法对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0），其极值点为顶点，可以通过求解一元二次方程来确定顶点的横坐标，再将横坐标代入函数中求得纵坐标。

4. 函数图像法通过函数的图像，我们可以直观地看出函数的极值和最值。

在计算机图像绘制软件中，可以绘制函数的图像，然后从图像中读取函数的极值和最值。

三、应用举例下面通过几个具体的例子来说明如何求解函数的极值与最值。

例1：求解函数f(x) = x^2在区间[-2, 2]上的极值和最值。