函数的极值和最值知识梳理

导数的应用二------函数的极值与最值编稿：赵 雷 审稿：李 霞

【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。2. 会用导数求函数的极大值、极小值。3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。4. 掌握函数极值与最值的简单应用。【要点梳理】 要点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

)(xf0xx

0x)()(0xfxf)(0xf)(xf)(0xfy极大值

0x)()(0xfxf)(0xf)(xf)(0xfy极小值（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

（二）用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极值点.②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异。要点二、函数的最值（一） 函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

函数的极值与最值函数的极值与最值是数学中一个重要的概念，它帮助我们了解函数在特定区间内的最大值和最小值，对于解决实际问题和优化函数的性能具有重要意义。

在本文中，我们将探讨函数的极值和最值的概念、求解方法以及其在实际问题中的应用。

1. 函数的极值与最值概述函数的极值指的是函数在某个区间内取到的最大值或最小值。

极大值是指函数在该点的函数值大于或等于该点邻近的其他点的函数值，而极小值则是指函数在该点的函数值小于或等于该点邻近的其他点的函数值。

函数的最大值和最小值则是函数在整个定义域内取到的最大和最小的函数值。

2. 求解函数的极值与最值为了求解函数的极值与最值，我们可以采用以下方法：2.1 导数法对于可导的函数，我们可以通过求导来找到函数的极值。

首先，我们计算函数的导数，然后求解导数为零的点，即可得到函数的极值点。

通过求二阶导数，我们可以进一步判断该点是极大值还是极小值。

2.2 边界法如果函数在一个闭区间上连续，我们可以通过计算该区间的边界点和函数在这些点上的函数值，来找到函数的最值。

比较边界点上的函数值，即可得出函数的最大值和最小值。

3. 函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中有广泛的应用。

以下是几个例子：3.1 经济学在经济学中，函数的极值与最值可以用来优化生产效益、成本最小化和利润最大化的问题。

例如，一个公司可以通过求解该公司的生产函数的最大值，来确定最优的生产量和工人数量。

3.2 物理学在物理学中，函数的极值与最值可以用于研究运动的轨迹、优化物体的能量和速度等问题。

通过求解物体的加速度函数或能量函数的极值，可以找到物体在特定条件下的最优运动轨迹。

3.3 工程学在工程学中，函数的极值与最值可以用于设计和优化工程系统。

例如，通过求解某个系统的效率函数的最大值，可以找到系统的最佳工作点，从而提高工程系统的性能和效益。

总结：函数的极值与最值是数学中的重要概念，它们帮助我们优化函数和解决实际问题。

函数的极值与最值的判定在数学中，函数的极值和最值是研究函数性质时非常重要的概念。

判定一个函数的极值和最值可以帮助我们更好地理解函数的特点和行为。

本文将介绍如何确定函数的极值和最值，并给出相应的判定步骤和示例。

一、函数的极值函数的极值指的是函数在某一特定点上取得的最大值或最小值。

函数在极值点处的导数为零或不存在。

要判定函数的极值，我们需要依据下面的步骤进行操作：1. 求取函数的导函数。

导函数可以用来描述函数的变化趋势，它表示函数在某一点上的斜率。

2. 求取导函数的零点。

导函数的零点对应着函数的极值点，因为函数在极值点处的导数为零。

3. 分析导函数的零点的符号变化。

若导函数的零点从正变为负，那么函数在该点上取得极大值；若导函数的零点从负变为正，那么函数在该点上取得极小值。

4. 验证极值点。

通过计算函数在极值点处的取值，确定函数的极值。

二、函数的最值函数的最值是指在特定的定义域范围内，函数所能取得的最大值和最小值。

要确定函数的最值，我们需要按照以下步骤进行：1. 求取函数的定义域。

定义域是函数能够取值的范围。

2. 分析函数的变化趋势。

通过观察函数的图像、导函数的符号、一阶导数和二阶导数的正负性等信息，推测函数可能存在的最值点。

3. 确定最值点。

通过计算函数在最值点处的取值，确定最值。

三、示例分析现在我们来看一个具体的示例，以帮助更好地理解函数的极值和最值的判定过程。

假设我们有一个函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5。

我们将按照上述步骤来判定函数的极值和最值。

1. 求取导函数。

导函数f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。

2. 求取导函数的零点。

令f'(x) = 0，解得x = -1, 3。

3. 分析导函数的符号变化。

当x < -1时，f'(x) < 0；当-1 < x < 3时，f'(x) > 0；当x > 3时，f'(x) < 0。

函数的极值和最值在微积分中，函数的极值和最值是常见的概念。

极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值，而最值则是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

一、极值的定义对于一个函数f(x)，如果存在某个数a使得在a的邻域内的任意x，都有f(x)≤f(a)或者f(x)≥f(a)，那么称函数f(x)在点a处有极大值或极小值。

极大值和极小值统称为极值。

二、求解极值的方法为了求解函数的极值，我们需要采用求导的方法。

具体步骤如下：1. 对函数f(x)求导，得到f'(x)。

2. 找出f'(x)的零点，即解方程f'(x)=0。

3. 将零点代入f''(x)，判断它们的正负性。

- 如果f''(x)>0，则在该点处取得极小值。

- 如果f''(x)<0，则在该点处取得极大值。

- 如果f''(x)=0，则无法判断，需要进行其他方法的检验。

三、最值的定义函数的最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。

最大值用符号"max"表示，最小值用符号"min"表示。

四、求解最值的方法求解函数的最值需要考虑函数的定义域，并结合求导和极值的方法。

1. 函数定义域的判断- 如果函数是一个有限闭区间上的连续函数，则最值必然存在。

- 如果函数的定义域是整个实数集，则最值可能不存在。

2. 求解最值的步骤- 首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)。

- 然后，找出f'(x)的零点。

- 接着，将零点和函数的端点代入f(x)，求出这些点对应的函数值。

- 最后，比较这些函数值，找出最大值和最小值。

需要注意的是，在求解最值时，还需要考虑函数的边界特性和特殊点，如间断点、开区间端点以及无界区间的端点等。

总结：函数的极值和最值是微积分中的重要概念，通过对函数的导数、零点和二阶导数的分析，可以求解函数的极值和最值。

函数的极值与最值的区别一、前言二、函数的极值函数的极值是指函数在一定区间内取得的最大值或最小值。

根据函数的定义，可以得出一个结论：如果函数在某一点的导数等于0，那么这一点可能成为函数的极值点。

换句话说，在一个函数图像中，函数的极值往往出现在函数图像上呈现出拐点的位置。

回到导数的定义上，导数表示函数随着自变量变化而变化的速率。

在一个函数图像上，如果某一点的导数为0，那么这一点就是函数的极值点。

如果导数为正，那么这一点就是函数的局部最小值，如果导数为负，则是函数的局部最大值。

这种情况通常要注意函数的定义域和值域，还要注意函数的单调性。

函数的最值是指函数在定义域内能够取到的最大值和最小值，包括局部最值和全局最值。

与函数的极值不同的是，函数的最值并不要求函数在某个点的导数等于0，而是所有可能点的函数值的极值。

在数学中，一个函数的最值可以通过指定函数的定义域并计算所有在该定义域内的函数值进行比较而得出。

比如说，对于 +x^2+3x+4 这个函数，其定义域是实数集合，该函数的最小值为（-1,6）时的函数值，最大值为（- \infty，+\infty）时的函数值。

需要注意的是，在某些情况下，函数有可能没有最大值和最小值。

函数的极值一般需要用到导数，因为导数可以告诉我们一个函数在某一点的斜率是多少，从而判断该点是否是局部最大值或最小值。

但是函数的最值并不需要用到导数，而是通过指定定义域并计算所有的函数值进行比较。

函数的极值和最值是非常重要的数学概念，在不同的数学应用场景中都起着重要的作用。

理解这两个概念的异同点，能够对学生们更深入地理解函数及其相关概念。

五、函数极值和最值的应用函数的极值和最值在数学上有着广泛的应用。

其中函数极值主要用于解决函数最大值和最小值的问题，常见的例子包括数学建模中的最优化问题、物理学中的牛顿力学问题和经济学中的生产问题等。

而函数的最值则是应用于优化问题，例如在经济学中，最大化利润和最小化成本都涉及到函数的最值。

函数的极值与最值在数学中，函数的极值和最值是一个非常重要的概念。

通过研究函数的极值和最值，我们可以了解函数在某个区间内的最大值和最小值，这对于实际问题的求解有着重要的指导意义。

本文将探讨函数的极值和最值的相关概念、求解方法以及与实际问题的应用。

一、函数的极值和最值的定义在讨论函数的极值和最值之前，我们需要先了解函数的极值点和最值的定义。

对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在一个点c，使得c在(a, b)的内部，并且满足对于a < x < c，有f(x) > f(c)，而对于c < x < b，有f(x) < f(c)（或者反之），则称c是函数f(x)在区间[a, b]上的一个极值点。

函数的最大值和最小值则分别是函数在区间[a, b]上的极大值和极小值。

如果在区间[a, b]上存在一个点c，使得对于任意x∈[a, b]，都有f(x) ≤ f(c)（或者f(x) ≥ f(c)），则称c是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值（或最小值）。

二、求解函数的极值和最值的方法接下来，我们将介绍一些常用的方法来求解函数的极值和最值。

1. 导数法导数法是求解函数极值和最值的一种常用方法。

首先，我们需要计算函数f(x)在[a, b]内的所有驻点。

驻点是指函数的导数f'(x)等于零的点。

其次，我们计算出[f(x)]''的值，并根据[f(x)]''的正负性来判断函数在驻点处的极值。

具体步骤如下：（1）求解导数f'(x)；（2）解方程f'(x) = 0，得到驻点；（3）计算[f(x)]''的值；（4）根据[f(x)]''的正负性来判断函数在驻点处的极值。

2. 边界法边界法是求解函数最值的一种方法。

如果函数f(x)在区间[a, b]上是连续的，那么最值一定在区间的边界上取得。

因此，我们只需要计算出f(x)在区间端点a和b处的函数值，并进行比较即可。

函数的极值与最值函数在数学中具有重要的地位和作用，在各个领域中都有广泛的应用。

函数的极值与最值是函数中的一个重要概念，它们与函数的变化趋势和特征密切相关。

本文将探讨函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。

一、函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。

极大值是函数在该区间内的最大值，极小值是函数在该区间内的最小值。

计算函数的极值的常用方法是求导。

如果函数在某一点的导数为0，且在该点的左侧导数由负变正，右侧导数由正变负，那么该点就是函数的极值点。

例如，对于函数f(x)=x^3-3x^2+2x，在取得极值的点处，f'(x)=0。

我们可以求得f'(x)=3x^2-6x+2=0，解得x=1或x=2/3。

分别代入函数，可以得到极小值f(2/3)=-4/27，以及极大值f(1)=0。

二、函数的最值函数的最值是指函数在整个定义域上的最大值和最小值。

计算函数的最值的方法可以通过求函数的导数，或者通过对函数的定义域进行讨论。

对于闭区间，只需要计算函数在端点上的值并进行比较即可找到最大值和最小值。

例如，对于函数f(x)=x^2-4x+3，定义域为[-1,3]。

首先计算端点的值，f(-1)=8，f(3)=6。

然后求导得到f'(x)=2x-4，令其等于0得到x=2。

将x=2代入函数得到f(2)=-1。

因此，在定义域[-1,3]上，f(x)的最大值为8，最小值为-1。

三、函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在经济学中，函数的最大值可以表示最大的利润或最小的成本；在物理学中，函数的极小值可以表示最短的路径或最小的能量。

以一个经济学的例子为说明：假设一家公司的生产函数为Q=100L-2L^2，其中Q表示产量，L表示劳动力的数量。

这个函数是一个抛物线函数，通过求导可以找到其极值点。

求导得到Q'=100-4L=0，解得L=25，即劳动力的数量为25时，产量最大。