第三章 微分中值定理与导数的应用
Chapter 3 Mean Value Theorem of Differentials and the Application of Derivatives
3.1 微分中值定理 (The Mean Value Theorem)
一、罗尔定理 (Rolle's Theorem)
费马引理 (Fermat Lemma)
设函数()fx在点0x 的某邻域0()Ux内有定义 , 并且在0x处可导 , 如果对任意的0()xUx, 有0()()fxfx( 或0()()fxfx), 那么0()0fx。
Let ()fx be defined on the open interval 00(,)xxfor some. If ()fx
is differentiable at0x, and for any x in 00(,)xx ,
(or0()()fxfx)then 0()0fx.
驻点、奇异点和临界点
(1) 如果函数在c点的导数()0fc, 则称c点为驻点；
(2) 如果c是区间(,)Iab的内点 , 且函数在c点的导数()fc不存在 , 则称c
点为奇异点 ；
（3) 函数的定义域内的驻点、奇异点和端点统称为函数的临界点。
Stationary Point, Singular Point, and Critical Point
(1) If c is a point at which()0fc, we call c a stationary point;
(2) If c is an interior point of (,)Iab where ()fc fails to exist,
we call c a singular point;
(3) Any point of the three types ，including stationary point, singular point
第3章 微分中值定理与导数的应用
【考试要求】
1．掌握罗尔中值定理.拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义．
2．熟练掌握洛必达法则求“”.“”.“”.“”.“”.“”和“”型未定式极限的方法．
3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增.减区间的方法,会利用函数的增减性证
明简单的不等式．
4．理解函数极值的概念,掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法,并且会解简单
的应用问题．
5．会判定曲线的凹凸性,会求曲线的拐点．
6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．
【考试内容】
1.微分中值定理
1．罗尔定理
如果函数满足下述的3个款件：
（1）在闭区间上连续。
（2）在开区间内可导。
（3）在区间端点处的函数值相等,即,
那么在内至少有1点（）,使得．
说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点,临界点）,即若,则称点为函数的驻
点．
2．拉格朗日中值定理
如果函数满足下述的两个款件：
（1）在闭区间上连续。
（2）在开区间内可导,
那么在内至少有1点（）,使得下式（拉格朗日中值公式）成立：
．
说明：当时,上式的左端为零,右端式不为零,则只能,这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的
特殊情形．此外,由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位,因此有时也称这定理为微分中值定理．
3．两个重要推论
（1）如果函数在区间上的导数恒为零,那么在区间上是1个常数．
证：在区间上任取两点.（假定,同样可证）,应用拉格朗日中值公式可得
（）．
由假定,,所以 ,即 ．
因为.是上任意两点,所以上式表明在区间上的函数值总是相等的,即在区间上是1个常数．
（2）如果函数与在区间内的导数恒有,则这两个函数在内至多相差1个常数,即（为常数）．
证：设,则,依据上面的推论（1）可得,,即,故．
2.洛必达法则
1．时“”型未定式的洛必达法则
如果函数及满足下述的3个款件：
（1）当时,函数及都趋于零。
（2）在点的某个去心邻域内及都存在且。
（3）存在（或为无穷大）,
那么 ．
习题4.3
1. 写出下列函数在指定点处的Taylor公式(其中n
)：
(1)
xxxxf)(
在
02x
处； (2)
xxf
)(
在点
x
处的n
阶Taylor公式；
(3) xxxfln)(
在点
x
处的n
阶Taylor公式；
(4) xxf)(
在点
x
处的n
阶Taylor公式；
(5) xxfarctan)(
的二阶Maclaurin公式.
2. 利用Taylor公式求下列近似值(精确到.
)：
(1)
； (2).ln
.
3. 利用Taylor公式求下列极限： (1)
3
0esin(1)
limx
xxxx
x
； (2)
xxx
xlnlim
；
(3)
555454
lim
xxxxx
.
4. 设函数)(xf
在x
的某邻域内二阶可导，且
xxxfx
x)(sin
lim
.
求(0),'(0),''(0)fff
之值.
5. 设函数)(xf
在],[ba
上二阶可导，且)(')('bfaf
. 证明：存在(,)ab
使得
24
''()()()
()ffbfa
ba
.
6. 设函数()fx
具有二阶连续导数，且"()0fx
. 由Lagrange公式有
()()'()(01)fxhfxhfxh
. 证明：
21
lim
0
h.
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
1 中值定理的应用方法与技巧
中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分.微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述.积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(xf在［a,b］上连续，则在[a,b]上至少存在一点，使得))(()(abfdxxfba。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(xgxf在[a，b］上连续，且)(xg在［a，b］上不变号，则在［a，b]上至少存在一点，使得babadxxgfdxxgxf)()()()(。
一、 微分中值定理的应用方法与技巧
三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明,也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同,又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数,套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x在［0，1]上连续可导，且1)1(,0)0(。证明:任意给定正整数ba,，必存在（0，1）内的两个数,，使得baba)()(成立。
证法1:任意给定正整数a，令)()(,)(21xxfaxxf，则在[0，1]上对)(),(21xfxf应用柯西中值定理得：存在)1,0(，使得aaa)0()1(0)(。
任意给定正整数b，再令)()(,)(21xxgbxxg，则在[0，1]上对)(),(21xgxg应用柯西中值定理得:存在)1,0(,使得bbb)0()1(0)(。
两式相加得：任意给定正整数ba,,必存在（0,1)内的两个数,，使得baba)()(
