《数学分析》第五章 导数和微分 .ppt

第五章导数和微分5 微分一、微分的概念定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x.当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。

定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0).证：先证必要性：若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A.再证充分性：若f在点x0可导，则f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)，根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x.微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，所以当f ’(x 0)≠0时，=0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。

若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即 f ’(x)=，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。

因此导数也常称为微商。

二、微分的运算法则1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)；2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)；3、d=；4、d(f ◦g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du.例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。

《数学分析》第五章导数和微分1《数学分析》第五章导数和微分1导数和微分是数学分析中非常重要的概念。

导数以及微分的概念不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、经济、工程等各个学科中都起着关键的作用。

本章首先介绍导数的概念和性质。

导数是描述函数变化快慢的指标，它衡量了函数在其中一点附近的变化率。

直观地说，如果函数在其中一点附近呈现出逐渐增大的趋势，那么该点的导数将是正值；如果函数在其中一点附近呈现出逐渐减小的趋势，那么该点的导数将是负值。

导数的符号和数值都能够揭示出函数局部性质的特点。

导数的计算通常使用极限的概念。

通过定义极限，我们可以精确地计算出函数在其中一点的导数值。

导数的定义以及计算方法是数学分析中的重要内容，对于理解函数的变化规律以及解决实际问题有着重要的帮助。

接下来，本章详细介绍了一阶导数和高阶导数的概念。

一阶导数是函数变化最基本的指标，它描述了函数在其中一点的瞬时变化率；而高阶导数则描述了函数变化率的变化率，它们在一阶导数的基础上进一步深化了对函数性质的研究。

导数和微分在实际问题中有着丰富的应用。

通过导数和微分可以解决各种数学建模中的问题，如最大值、最小值的求解、函数图形的研究、曲线的切线和法线的求解等等。

导数和微分在物理学、经济学、工程学等应用领域也有着广泛的运用，如速度和加速度的求解、最优化问题的分析等。

在本章的最后，还介绍了一些与导数和微分相关的基本定理，如费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理等。

这些定理是导数和微分性质的重要推论，它们在数学分析和应用领域中起着重要的作用。

总之，导数和微分是数学分析中重要的概念，它们具有广泛的应用价值。

通过深入学习导数和微分的概念、性质和计算方法，我们可以更好地理解函数的特性、求解实际问题，为数学和应用科学的发展做出贡献。

2.许寿裳,王薄清.数学分析[M].高等教育出版社,2024.。

0()f x '*点击以上标题可直接前往对应内容微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的如果给边长x 一个增量, 正方形面积的增量Δx 的线性部分和的高阶部分( )2.Δx 2Δx x Δx Δx 此时, 当边长x 增加一个微小量时,可用Δx Δx ΔS 微分的概念222Δ()2()S x x x x x x =+∆-=∆+∆由两部分组成:设一边长为x 的正方形, 它的面积S = x 2是x 的函线性部分, 请先看一个具体例子.数.后退前进目录退出因的线性部分来近似.由此产生的误差是一个关于的高阶无穷小量Δx2(Δ),x即以为边长的小正方形(如图).Δx2xΔx x2Δx定义500Δ(Δ)()y f x x f x =+-可以表示成ΔΔ(Δ),(1)y A x o x =+设函数0(),().y f x x U x =∈并称为 f 在点处的微分, 记作ΔA x 0x 其中A 是与无关的常数, 则称函数f 在点0x Δx 由定义, 函数在点处的微分与增量只相差一个0x 关于的高阶无穷小量,而是的线性函数.Δx d y Δx ,d 0x A y x x ∆==()(2).d 0x A x f x x ∆==或更通俗地说, 是的线性近似.Δy d y 如果增量可微,定理5.10Δ(1).ΔyA o x=+于是00d ()()Δ.x x f x f x x ='=导, 且证(必要性)如果在点可微, 据(1) 式有f 0x 0Δ0Δ()lim Δx yf x x →'=即在点可导, 且f 0x 0().f x A '=函数在点可微的充要条件是在点可f f 0x 0x Δ0lim ((1)),x A o A →=+=(充分性) 设在点处可导,f 0x 0Δ()Δ(Δ),y f x x o x '=+00d ()Δ.x x yf x x ='=且f 则由的有限增量公式说明函数增量可Δy 表示为的线性部分,与关于的高x ∆0()Δf x x 'Δx 所以在点可微,f 0x 阶无穷小量部分之和.(Δ)o x 定理5.1000d ()()Δ.x x f x f x x ='=导, 且函数在点可微的充要条件是在点可f f 0x 0x0Δx x+xyO()y f x =Δyd y0x P RQ Q '∙∙∙∙Δ,y RQ =它是点P 处切线相在点的增量为f 0x d ,y RQ '=而微分是应于的增量.Δx 当很小时,两者之差相比于|Δd |y y Q Q '-=|Δ|x |Δ|x 将是更小的量(高阶无穷小).微分概念的几何解释:更由于0Δ0Δ0Δd limlim()0,Δx x y y Q Qf x xRQ →→'-'=='故若0()0,f x '≠Δ0lim 0.x Q Q RQ →'='这说明当d ()Δ,,(3)y f x x x I '=∈的高阶无穷小量.QQ 'RQ '还是Δ0,x →时若函数在区间上每一点都可微,则称是上f I f I 它既依赖于,也与有关.Δx x ()f x I 在上的微分记为的可微函数.则得到0Δx x+xyO()y f x =Δyd y0x P RQ Q '∙∙∙∙d ()d ,.(4)y f x x x I '=∈(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看所以导数也称为微商. 习惯上喜欢把写成,于是(3) 式可改写成Δx d x d d Δ.y x x ==这相当于的情形,此时显然有y x =d (),d yf x x '=(5)积分学部分中.成函数的微分与自变量的微分之商, 即更多的好处将体现在后面d (sin )cos d ;x x x =d()ln d .x xa a a x =1d()d ;x xx ααα-=例12()()d ()()d ()3.d ;()()u x v x u x u x v x v x v x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4.d (())()()d ,().f g x f u g x x u g x ''==其中由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则:1.d (()())d ()d ();u x v x u x v x ±=±2.d(()())()d ()()d ();u x v x v x u x u x v x =+d ()d ,u g x x '=由于故运算法则4 又可以写成微分的运算法则d ()d .y f u u '=解2222ln d()d(ln )sin d()x x x x x x =+-2(2ln 12sin )d .x x x x =+-它在形式上与(4)式完全一样, 不管是自变量还u 例2 求的微分.22ln cos y x x x =+这个性质称为“一阶微分形式不变性”.是中间变量( 另一个变量的可微函数) 上式都成立.22d d(ln cos )y x x x =+22d(ln )d(cos )x x x =+2222d(cos )sin d()2sin d x x x x x x =-=-这里在的计算中, 用了一阶微分形式不变性.例3 求的微分.123e ++=x x y 解3213d e d(21)x x y x x ++=++3221(32)e d .x x x x ++=+§5 微分微分的概念微分的运算法则微分在近似计算中的应用高阶微分或写作22d ()d ,y f x x ''=称为f 的二阶微分.d(d )d(()Δ)y f x x '=()ΔΔ()d(Δ)f x x x f x x '''=⋅+则当f 二阶可导时, d y 关于x 的微分为若将一阶微分d ()Δy f x x '=仅看成是的函数, x 注由于与x 无关, 因此x 的二阶微分Δx d(Δ)x =三者各不相同, 不可混淆.2()()f x x ''=∆2()(d ).f x x ''=d(d )x x 2d =,0=22d (d ),x x =它与2d()2d x x x=高阶微分22d ()d ;(6)y f x x ''=当x 是中间变量((),())y f x x t ϕ==时, 二阶微分依次下去, 可由阶微分求n 阶微分:1n -对的n 阶微分均称为高阶微分. 2n ≥当x 是自变量时,的二()y f x =阶微分是为高阶微分不具有形式不变性.)d (d d 1y y n n -=(1)1d(()d )n n f x x --=()()d .n n f x x =22()d ()d .(7)f x x f x x '''=+()2d d ()d y f x x '=()d d ()d(d )f x x x f x x '''=+例422()sin ,(),d .y f x x x t t y ϕ====设求解法一2 () (), sin ,x t y f x y t ϕ===先将代入得.0d 2=x 而当x 为自变量时,它比(6) 式多了一项2()d ,f x x '()x t ϕ=当时,由(6) 得22d ()d x t t ϕ''=不一定为0,22cos ,y t t '=于是.sin 4cos 2222t t t y -=''22222d (2cos 4sin )d .y t t t t =-解法二依(7) 式得222d ()d ()d y f x x f x x'''=+22sin d cos d x x x x =-+2222..sin (2d )cos 2d t t t t t =-+2222(2cos 4sin )d .t t t t =-2()d f x x '如果将漏掉就会产生错误.22d ()d x t tϕ''=§5 微分微分的概念微分的运算法则高阶微分微分在近似计算微分在近似计算中的应用1.函数值的近似计算000(Δ)()()Δ.(8)f x x f x f x x '+≈+000()()()().(9)f x f x f x x x '≈+-(9) 式的几何意义是当x 与x 0充分接近时, 可用点0Δ()Δ(Δ),y f x x o x '=+由于由此得Δd .y y ≈记, 即当时，0Δx x x =+0x x ≈故当很小时, 有Δx (8) 式可改写为中的应用公式(9) 分别用于sin x , tan x , ln(1+x ), e x ( x 0= 0 ), ,sin x x ≈,tan x x ≈(),1ln x x ≈+.1e x x +≈例5 试求sin 33o 的近似值( 保留三位有效数字).解π,60x ∆=由公式(9) 得到处的切线近似代替曲线, 这种线性近00(,())P x f x 可得近似计算公式( 试与等价无穷小相比较):似的方法可以简化一些复杂的计算问题.,606sin 33sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ 0()sin ,,6f x x x π==取sin33sin cos 6660πππ⎛⎫⎛⎫≈+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.545≈2.误差的估计0|Δ|||,x x x x δ=-≤设数x 是由测量得到的, y 是由函数经过()y f x =如果已知测量值x 0 的误差限为,即x δ算得到的y 0= f (x 0) 也是y = f (x ) 的一个近似值. 差, 实际测得的值只是x 的某个近似值x 0. 由于测量工具精度等原因, 存在测量误计算得到.由x 0计000().(11)||()yx f x y f x δδ'=则当x δ很小时, 量y 0 的绝对误差估计式为:相对误差限则为0|()|y x f x δδ'=称为y 0 的绝对误差限,而的0y 0()()y f x f x ∆=-0()f x x '≈∆0().x f x δ'≤33001π38792.39cm ,6V d =≈201π2V d d δδ=解以d 0 = 42,0.05d δ=计算的球体体积和误差估绝对误差限和相对误差限.计分别为:203001π21||π6V d d V d δδ=⨯‰.03 3.57d d δ=≈例6 设测得一球体直径为42cm, 测量工具的精度为0.05cm. 试求以此直径计算球体体积时引起的2π420.052=⨯⨯3138.54cm ;≈。

第五章导数和微分1 导数的概念一、导数的定义定义1：设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f’(x0). 若该极限不存在，则称f在点x0处不可导.令x=x0+△x，△y=f(x0+△x)-f(x0)，则：==f’(x0).∴导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限. 这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称为差商)，而导数f’(x0)则为f在x0处关于x的变化率.注：显然常量函数f(x)=C在任何一点x的导数都等于零.例1：求函数f(x)=x2在点x=1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程.解：f’(1)===2.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x-1.例2：证明函数f(x)=|x|在点x=0处不可导.证：f’(0)=，∵=1，=-1，∵不存在，∴f在点x=0处不可导.设f(x)在点x0可导，则ε=f’(x0)-是当△x→0时的无穷小量，于是ε·△x=o(△x)，即△y=f’(x0)△x+o(△x)，称为f在点x0的有限增量公式.该公式对△x=0仍成立.定理5.1：若函数f在点x0可导，则f在点x0连续.注：可导是连续的充分而非必要条件.例3：证明函数f(x)=x2D(x)仅在点x0=0处可导，其中D(x)为狄利克雷函数.证：当x0≠0时，由归结原理可得f在x= x0处不连续，∴f在x= x0处不可导.当x0=0时，∵D(x)有界，∴f’(0)==xD(x)=0.即f仅在点x0=0处可导.定义2：设函数y=f(x)在点x0的某右邻域(x0, x0+δ)上有定义，若右极限=(0<△x<δ)存在，则称该极限值为f在点x0的右导数，记作f’+(x0). 类似地，定义左导数为f’-(x0)==.右导数和左导数统称为单侧导数.定理5.2：若函数f在点x0的某右邻域内有定义，则f’(x0)存在的充要条件是：f’+(x0)与f’-(x0)都存在，且f’+(x0)=f’-(x0).例4：设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的左右导数与导数.解：f’+(0)===0.f’-(x0) ===1.∵f’+(x0)≠f’-(x0)，∴f在x=0处不可导.二、导函数若函数在区间I上每一点都可导(区间端点只考虑单侧导数)，则称f为I上的可导函数. 对每一个x∈I，都有一个导数f’(x)(或单侧导数)与之对应，函数f’就称为f 在I上的导函数，简称为导数. 记作f’, y’或，即：f’(x)=, x∈I注：f’(x0)可写作：y’或例5：证明：(1)(x n)’=nx n-1，n为正整数；(2)(sinx)’=cosx，(cosx)’=-sinx；(3)(log a x)’=log a e (a>0，a≠1，x>0)，特别的(ln x)’=.证：(1)对于y=x n, ==x n-1+x n-2△x +…+△x n-1，∴(x n)’==(x n-1+x n-2△x +…+△x n-1)=x n-1=nx n-1.(2)∵==，由cosx在R上连续可得：(sinx)’==cosx.又==，由sinx在R上连续可得：(cosx)’== -sinx.(3)∵=log a=log a，又由log a x的连续性可得：(log a x)’=log a=log a=log a e.当a=e时，ln e=1，∴(ln x)’=.三、导数的几何意义曲线y=f(x)在点(x0,y0)的切线方程为：y-y0=f’(x0)(x-x0).即函数f在点x0的导数f’(x0)是曲线fy=(x)在点(x0,y0)的切线斜率.若α表示这条切线与x轴正方向的夹角，则f’(x0)=tanα.例6：求曲线y=x3在点P(x0,y0)处的切线方程与法线方程.解：y’=3x2, ∴f’(x0)=3x02==.当x0≠0时，曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0)，即y=3x02x-2y0；法线方程为y-y0=(x-x0)，即y=x y0.当x0=0时，切线方程为y=0，法线方程为x=0.定义3：若函数f在点x0的某邻域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥f(x)或f(x0)≤f(x)，则称f在点x0取得极大(小)值，称点x0为极大(小)值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.例7：证明：若f’+(x0)>0，则存在δ>0. 对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).证：∵f’+(x0)=>0，由保号性可知，存在δ>0，对一切x∈(x0,x0+δ)，有>0，∴对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).定理5.3(费马定理)：设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为f的极值点，则必有f’(x0)=0.我们称满足方程f’(x0)=0的点为稳定点. 稳定点不一定是极值点。